高考数学一轮复习(正弦定理和余弦定理检测试题

【状元之路】（新课标，通用版）2015届高考数学一轮复习5-6(正弦定理和余弦定理检测试题（2）文一、选择题11．[2013·北京]在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝，则sinB等于()3155A.B.C.D．1593abb515解析：根据正弦定理，＝，则sinB＝sinA＝×＝，故选B项．sinAsinBa339答案：B2．[2013·山东]△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝3，则c＝()A．23B．2C.2D．1ab13解析：由正弦定理＝得：＝，sinAsinBsinAsinB133又∵B＝2A，∴＝＝，sinAsin2A2sinAcosA3∴cosA＝，∴∠A＝30°，2∴∠B＝60°，∠C＝90°，∴c＝12＋32＝2.答案：B3．已知△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果a，b，c成等差数列，∠B＝30°，1△ABC的面积为，那么b为()2A．1＋3B．3＋33＋3C.D．2＋3311解析：∵acsinB＝，∴ac＝2，22又2b＝a＋c，∴a2＋c2＝4b2－4，3＋3由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得，b＝.3答案：C1π4．[2013·天津]在△ABC中，∠ABC＝，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝()41010A.B.1053105C.D.1052解析：在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝2＋9－2×2×3×＝5，2ACBC53310即得AC＝5.由正弦定理＝，即＝，所以sin∠BAC＝.sin∠ABCsin∠BAC2sin∠BAC102答案：C5．[2013·辽宁]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinBcosC＋csinBcosA1＝b，且a＞b，则∠B＝()2ππA.B.632π5πC.D.3611解析：根据正弦定理：asinBcosC＋csinBcosA＝b等价于sinAcosC＋sinCcosA＝，即sin(A221＋C)＝.25ππ又a＞b，∴∠A＋∠C＝，∴∠B＝.故选A项．66答案：A6．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝3a，B＝30°，那么C等于()A．120°B．105°C．90°D．75°3解析：依题意由正弦定理得sinC＝3sinA，又B＝30°，∴sinC＝3sin(150°－C)＝cosC2313＋sinC，即－sinC＝cosC，∴tanC＝－3，又0°＜C＜180°，因此C＝120°.222答案：A7．若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且asinA＋csinC－2asinC＝bsinB，则∠B等于()2ππA.B.64π3πC.D.34解析：针对asinA＋csinC－2asinC＝bsinB利用正弦定理边角互化可得a2＋c2－2ac＝b2，即a2＋c2－b2＝2ac，a2＋c2－b22ac2π∴cosB＝＝＝，∴B＝.2ac2ac24答案：B8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac＝3，且a＝3bsinA，则△ABC的面积等于()13A.B.223C．1D.41解析：∵a＝3bsinA，∴由正弦定理得sinA＝3sinBsinA，∴sinB＝.∵ac＝3，∴△ABC的面积31111S＝acsinB＝×3×＝，故选A.2232答案：A9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C,3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为()A．4∶3∶2B．5∶6∶7C．5∶4∶3D．6∶5∶4解析：因为a，b，c为连续的三个正整数，且A＞B＞C，可得a＝c＋2，b＝c＋1①.又因为3bb2＋c2－a2b2＋c2－a2＝20acosA，由余弦定理可知cosA＝，则3b＝20a·②，联立①②，化简可得7c22bc2bc15－13c－60＝0，解得c＝4或c＝－(舍去)，则a＝6，b＝5.又由正弦定理可得，sinA∶sinB∶sinC7＝a∶b∶c＝6∶5∶4.故选D.答案：D10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＋c＝4，∠B＝30°，则c等于()1312A.B.5513C．3D.43a2＋c2－b2a2＋c＋bc－b解析：在△ABC中，由余弦定理得cosB＝＝，2ac2ac3＋4c－b3∵a＝3，b＋c＝4，∠B＝30°，∴＝，即3＋4(c－b)＝3c,3＋c＝4b，结合b23c213＋c＝4解得c＝.∴选A.5答案：A二、填空题11．[2014·石家庄质检一]在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若(a＋b＋c)(a＋b－c)＝ab，则角C的大小为__________．解析：∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝ab，∴(a＋b)2－c2＝ab，∴a2＋b2－c2＝－ab，a2＋b2－c21∴cosC＝＝－.2ab22π又∵0＜C＜π，∴C＝.32π答案：312．在△ABC中，∠B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为__________．解析：由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°，即49＝25＋BC2＋5BC，解得BC＝3.故S113153＝AB·BCsin120°＝×5×3×＝.△ABC2224153答案：413．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝__________.解析：∵(a＋b)2－c2＝ab，∴a2＋b2－c2＝－ab，a2＋b2－c21∴cosC＝＝－，∴C＝120°.2ab2答案：120°3514．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝，cosB＝，b＝3，则c＝__________.51335412解析：因为cosA＝，cosB＝，所以sinA＝，sinB＝，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋5135134531256cosAsinB＝×＋×＝，513513654563×bcbsinC6514由正弦定理＝，得c＝＝＝.sinBsinCsinB1251314答案：5三、解答题15．[2013·课标全国Ⅱ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．解析：(1)由已知及正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB.又A＝π－(B＋C)，故sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC.由①②和C∈(0，π)得sinB＝cosB，π又B∈(0，π)，所以B＝.412(2)△ABC的面积S＝acsinB＝ac.24π由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos.4又a2＋c2≥2ac，4故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．2－2因此△ABC面积的最大值为2＋1.π答案：(1)；(2)2＋1.416．[2013·江西]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC＋(cosA－3sinA)cosB＝0.(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．解析：(1)由已知得－cos(A＋B)＋cosAcosB－3sinAcosB＝0，即有sinAsinB－3sinAcosB＝0，因为sinA≠0，所以sinB－3cosB＝0，又cosB≠0，所以tanB＝3，5π又0＜B＜π，所以B＝.3(2)由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accosB.1因为a＋c＝1，cosB＝，211有b2＝3a－2＋.2411又0＜a＜1，于是有≤b2＜1，即有≤b＜1.42π1答案：(1)；(2)≤b＜1.32创新试题教师备选教学积累资源共享教师用书独具1．[2013·山东]设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB7＝.9(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．解析：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，7又b＝2，a＋c＝6，cosB＝，9所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.42(2)在△ABC中，sinB＝1－cos2B＝.9asinB22由正弦定理得sinA＝＝.b3因为a＝c，所以A为锐角．1所以cosA＝1－sin2A＝.3102因此sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝.272．[2013·浙江]在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB＝3b.(1)求角A的大小；(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．6ab解析：(1)由2asinB＝3b及正弦定理＝，得sinAsinB3sinA＝.2π因为A是锐角，所以A＝.3(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc·cosA，得b2＋c2－bc＝36.28又b＋c＝8，所以bc＝.3173由三角形面积公式S＝bcsinA，得△ABC的面积为.233．[2013·北京]在△ABC中，a＝3，b＝26，∠B＝2∠A，(1)求cosA的值；(2)求c的值．解析：(1)∵a＝3，b＝26，∠B＝2∠A，326∴在△ABC中，由正弦定理得＝.sinAsin2A2sinAcosA266∴＝.故cosA＝.sinA3363(2)由(1)知，cosA＝，∴sinA＝1－cos2A＝.331又∵∠B＝2∠A，∴cosB＝2cos2A－1＝.322∴sinB＝1－cos2B＝.353在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.9asinC∴c＝＝5.sinA4．[2013·天津]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bsinA＝3csinB，a2＝3，cosB＝.3(1)求b的值；π(2)求sin2B－的值．37ab解析：(1)在△ABC中，由＝，可得bsinA＝asinB，又由bsinA＝3csinB，可得a＝3c，sinAsinB又a＝3，故c＝1.2由b2＝a2＋c2－2accosB，cosB＝，可得b＝6.325(2)由cosB＝，得sinB＝，进而得33145cos2B＝2cos2B－1＝－，sin2B＝2sinBcosB＝.99πππ45＋3所以sin2B－＝sin2Bcos－cos2Bsin＝.33318A－B5．[2013·四川]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB－sin(A－23B)sinB＋cos(A＋C)＝－，5(1)求cosA的值；→→(2)若a＝42，b＝5，求向量BA在BC方向上的投影．A－B3解析：(1)由2cos2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－，得253[cos(A－B)＋1]cosB－sin(A－B)sinB－cosB＝－，53即cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－.533则cos(A－B＋B)＝－，即cosA＝－.5534(2)由cosA＝－，0＜A＜π，得sinA＝，55ab由正弦定理，有＝，sinAsinBbsinA2所以，sinB＝＝.a2π由题知a＞b，则A＞B，故B＝.43根据余弦定理，有(42)2＝52＋c2－2×5c×－，5解得c＝1或c＝－7(舍去)．→→→2故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cosB＝.286．[2013·重庆]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋2ab＝c2.(1)求C；32cosα＋Acosα＋B2(2)设cosAcosB＝，＝，求tanα的值．5cos2α5解析：(1)因为a2＋b2＋2ab＝c2，a2＋b2－c2－2ab2由余弦定理有cosC＝＝＝－，2ab2ab23π故C＝.4(2)由题意得sinαsinA－cosαcosAsinαsinB－cosαcosB2＝.cos2α52因此(tanαsinA－cosA)(tanαsinB－cosB)＝，52tan2αsinAsinB－tanα(sinAcosB＋cosAsinB)＋cosAcosB＝，52tan2αsinAsinB－tanαsin(A＋B)＋cosAcosB＝.①53ππ因为C＝，A＋B＝，442所以sin(A＋B)＝，2因为cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB，322即－sinAsinB＝，523222解得sinAsinB＝－＝.5210由①得tan2α－5tanα＋4＝0，解得tanα＝1或tanα＝4.9