2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅰ）

第1页（共24页）2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择（共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}，B＝{x|﹣2≤x＜2}，则A∩B＝（）A．[1，2）B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]2．（5分）（2014•新课标Ⅰ）＝（）A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i3．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数4．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知F为双曲线C：x2﹣my2＝3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．mD．3m5．（5分）（2014•新课标Ⅰ）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）（2014•新课标Ⅰ）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y＝f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．第2页（共24页）C．D．7．（5分）（2014•新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M＝（）A．B．C．D．8．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα＝，则（）A．3α﹣β＝B．3α+β＝C．2α﹣β＝D．2α+β＝9．（5分）（2014•新课标Ⅰ）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p310．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝（）A．B．3C．D．2第3页（共24页）11．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）12．（5分）（2014•新课标Ⅰ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（2014•新课标Ⅰ）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为．（用数字填写答案）14．（5分）（2014•新课标Ⅰ）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知A，B，C为圆O上的三点，若＝（+），则与的夹角为．16．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．三、解答题17．（12分）（2014•新课标Ⅰ）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan+1＝λSn﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：an+2﹣an＝λ第4页（共24页）（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．18．（12分）（2014•新课标Ⅰ）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544．19．（12分）（2014•新课标Ⅰ）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC＝AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．第5页（共24页）20．（12分）（2014•新课标Ⅰ）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．21．（12分）（2014•新课标Ⅰ）设函数f（x）＝aexlnx+，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y＝e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2014•新课标Ⅰ）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE．（Ⅰ）证明：∠D＝∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2014•新课标Ⅰ）已知曲线C：+＝1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．选修4-5：不等式选讲24．（2014•新课标Ⅰ）若a＞0，b＞0，且+＝．第6页（共24页）（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并说明理由．第7页（共24页）2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}，B＝{x|﹣2≤x＜2}，则A∩B＝（）A．[1，2）B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≥3或x≤﹣1，即A＝（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B＝[﹣2，2），∴A∩B＝[﹣2，﹣1]．故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2014•新课标Ⅰ）＝（）A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．【解答】解：＝＝﹣（1+i）＝﹣1﹣i，故选：D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，第8页（共24页）∴f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），f（﹣x）•g（﹣x）＝﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误，|f（﹣x）|•g（﹣x）＝|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误，f（﹣x）•|g（﹣x）|＝﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故C正确．|f（﹣x）•g（﹣x）|＝|f（x）•g（x）|为偶函数，故D错误，故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．4．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知F为双曲线C：x2﹣my2＝3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．mD．3m【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．【解答】解：双曲线C：x2﹣my2＝3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为＝0，∴点F到C的一条渐近线的距离为＝．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．5．（5分）（2014•新课标Ⅰ）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24＝16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2＝16﹣2＝14种情况，∴所求概率为＝．故选：D．【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断第9页（共24页）该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．6．（5分）（2014•新课标Ⅰ）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y＝f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．【解答】解：在直角三角形OMP中，OP＝1，∠POM＝x，则OM＝|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）＝OM|sinx|＝|cosx|•|sinx|＝|sin2x|，其周期为T＝，最大值为，最小值为0，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．7．（5分）（2014•新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M＝（）第10页（共24页）A．B．C．D．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环M＝1+＝，a＝2，b＝，n＝2；第二次循环M＝2+＝，a＝，b＝，n＝3；第三次循环M＝+＝，a＝，b＝，n＝4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M＝．故选：D．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．8．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα＝，则（）A．3α﹣β＝B．3α+β＝C．2α﹣β＝D．2α+β＝【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）＝cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）＝cosα，则答案可求．【解答】解：由tanα＝，得：，第11页（共24页）即sinαcosβ＝cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）＝cosα＝sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）＝sin（）＝cosα成立．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．9．（5分）（2014•新课标Ⅰ）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3【分析】作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．【解答】解：作出图形如下：由图知，区域D为直线x+y＝1与x﹣2y＝4相交的上部角型区域，p1：区域D在x+2y≥﹣2区域的上方，故：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；p2：在直线x+2y＝2的右上方和区域D重叠的区域内，∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；p3：由图知，区域D有部分在直线x+2y＝3的上方，因此p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3错误；第12页（共24页）p4：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．10．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝（）A．B．3C．D．2【分析】求得直线PF的方程，与y2＝8x联立可得x＝1，利用|QF|＝d可求．【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|＝d，∵＝4，∴|PQ|＝3d，∴不妨设直线PF的斜率为﹣＝﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y＝﹣2（x﹣2），与y2＝8x联立可得x＝1，∴|QF|＝d＝1+2＝3，故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．11．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）【分析】由题意可得f′（x）＝3ax2﹣6x＝3x（ax﹣2），f（0）＝1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．【解答】解：∵f（x）＝ax3﹣3x2+1，∴f′（x）＝3ax2﹣6x＝3x（ax﹣2），f（0）＝1；①当a＝0时，f（x）＝﹣3x2+1有两个零点，不成立；第13页（共24页）②当a＞0时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x＝时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）＝﹣3•+1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题．12．（5分）（2014•新课标Ⅰ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4【分析】画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．【解答】解：几何体的直观图如图：AB＝4，BD＝4，C到BD的中点的距离为：4，∴．AC＝＝6，AD＝4，显然AC最长．长为6．故选：B．第14页（共24页）【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（2014•新课标Ⅰ）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为﹣20．（用数字填写答案）【分析】由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．【解答】解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：8．含x2y6的系数是28，∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28＝﹣20．故答案为：﹣20【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．14．（5分）（2014•新课标Ⅰ）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为A．【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为：A．【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．15．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知A，B，C为圆O上的三点，若＝（+），则与的夹角为90°．第15页（共24页）【分析】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．【解答】解：在圆中若＝（+），即2＝+，即+的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90°【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2＝c2﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC⇒（2+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2＝c2﹣bc，又因为：a＝2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2＝bc⇒b2+c2﹣bc＝a2⇒b2+c2﹣bc＝4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角第16页（共24页）形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三、解答题17．（12分）（2014•新课标Ⅰ）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan+1＝λSn﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：an+2﹣an＝λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．【分析】（Ⅰ）利用anan+1＝λSn﹣1，an+1an+2＝λSn+1﹣1，相减即可得出；（Ⅱ）假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为d．可得λ＝an+2﹣an＝（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）＝2d，．得到λSn＝，根据{an}为等差数列的充要条件是，解得λ即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵anan+1＝λSn﹣1，an+1an+2＝λSn+1﹣1，∴an+1（an+2﹣an）＝λan+1∵an+1≠0，∴an+2﹣an＝λ．（Ⅱ）解：假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为d．则λ＝an+2﹣an＝（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）＝2d，∴．∴，，∴λSn＝1+＝，根据{an}为等差数列的充要条件是，解得λ＝4．此时可得，an＝2n﹣1．因此存在λ＝4，使得{an}为等差数列．也可以先考虑前3项成等差数列，得出λ，再进一步验证即可．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．第17页（共24页）18．（12分）（2014•新课标Ⅰ）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544．【分析】（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX＝np即可求得．【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：＝170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02＝200，s2＝（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02＝150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）＝P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）＝0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，第18页（共24页）依题意知X～B（100，0.6826），所以EX＝100×0.6826＝68.26．【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．19．（12分）（2014•新课标Ⅰ）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC＝AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．【分析】（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AO，B10＝CO，进而可得AC＝AB1；（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10＝CO，∴AC＝AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO＝CO，又∵AB＝BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，第19页（共24页）∵∠CBB1＝60°，∴△CBB1为正三角形，又AB＝BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴＝（0，，），＝＝（1，0，），＝＝（﹣1，，0），设向量＝（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取＝（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量＝（1，﹣，），∴cos＜，＞＝＝，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）（2014•新课标Ⅰ）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）设直线l：y＝kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y＝kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得又，所以a＝2，b2＝a2﹣c2＝1，故E的方程．…．（5分）（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y＝kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）第20页（共24页）将y＝kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12＝0，当△＝16（4k2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积＝，设，则t＞0，，当且仅当t＝2，k＝±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y＝x﹣2或y＝﹣x﹣2．…（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）（2014•新课标Ⅰ）设函数f（x）＝aexlnx+，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y＝e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．【分析】（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）＝2，f′（1）＝e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）＝xlnx，函数h（x）＝，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g（x）min，h（x）max；【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝+，由题意可得f（1）＝2，f′（1）＝e，第21页（共24页）故a＝1，b＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝exlnx+，∵f（x）＞1，∴exlnx+＞1，∴lnx＞﹣，∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）＝xlnx，则g′（x）＝1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）＝﹣．设函数h（x）＝xe﹣x﹣，则h′（x）＝e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）＝﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2014•新课标Ⅰ）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE．（Ⅰ）证明：∠D＝∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．【分析】（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D＝∠CBE，由CB＝CE，可得∠E＝∠CBE，即可证明：∠D＝∠E；第22页（共24页）（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A＝∠CBE，进而可得∠A＝∠E，即可证明△ADE为等边三角形．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D＝∠CBE，∵CB＝CE，∴∠E＝∠CBE，∴∠D＝∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A＝∠CBE，∵∠CBE＝∠E，∴∠A＝∠E，由（Ⅰ）知，∠D＝∠E，∴△ADE为等边三角形．【点评】本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2014•新课标Ⅰ）已知曲线C：+＝1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．第23页（共24页）【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x＝2cosθ、y＝3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：+＝1，可令x＝2cosθ、y＝3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t＝x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6＝0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）＝﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）＝1时，|PA|取得最小值，最小值为．【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．选修4-5：不等式选讲24．（2014•新课标Ⅰ）若a＞0，b＞0，且+＝．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并说明理由．【分析】（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根据ab≥2及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b＝6．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+＝，∴＝+≥2，∴ab≥2，当且仅当a＝b＝时取等号．第24页（共24页）∵a3+b3≥2≥2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）∵2a+3b≥2＝2，当且仅当2a＝3b时，取等号．而由（1）可知，2≥2＝4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b＝6成立．【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/6/2012:27:35；用户：18799180383；邮箱：18799180383；学号：21498020