新人教版七年级数学上册第四章《余角和补角（2）》名师教案

4.3第四课时余角和补角（二）——方位角一、教学目标（一）学习目标1.理解方位角的意义，会画方位角；2.方位角的辨析与应用.（二）学习重点理解方位角的意义，方位角的辨析与应用.（三）学习难点方位角的辨析与应用.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）方位角是以正南、正北为基准，描述物体运动的方向.（2）“北偏东45度”“北偏西45度”“南偏东45度”“南偏西45度”分别称为东北方向、西北方向、东南方向、西南方向．2.预习自测（1）如图所示，①射线OA表示的方向是_________.②射线OB表示的方向是_________.③射线OC表示的方向是_________．【】余角和补角.【数学思想】【解题过程】解：①射线OA表示的方向是北偏西.②射线OB表示的方向是南偏西（或西南方向）.③射线OC表示的方向是南偏东．【思路点拨】按方位角的意义判断.【答案】①射线OA表示的方向是北偏西.②射线OB表示的方向是南偏西（或西南方向）.③射线OC表示的方向是南偏东（2）如图所示，下列说法中错误的是()A.OA的方向是北偏西22°；B.OB的方向是西南方向；C.OC的方向是南偏东60°；D.OD的方向是北偏东60°.【知识点】余角和补角.【数学思想】【解题过程】解：方位角是以正北、正南为基准描述，故D是错误的.【思路点拨】按方位角的意义判断.【答案】D.（3）如图，学校、工厂、电视塔在平面图上的标点分别是A、B、C，工厂在学校的北偏西30°，电视塔在学校的南偏东15°，则平面图上的∠BAC应是少度？【知识点】余角和补角.【数学思想】【解题过程】解：如图，∵工厂在学校的北偏西30°，电视塔在学校的南偏东15°，∴∠1=30°，∠3=15°，∴∠2=90°﹣∠1=60°，∴∠BAC=∠3+90°+∠2=15°+90°+60°=165°．【思路点拨】先根据方向角的概念得出∠1与∠3的度数，进而得出∠2的度数，故可得结论．【答案】∠BAC应是165度．（4）小明的家在车站O的北偏东72°方向300米A处，学校B在车站O的南偏西10°方向200米处，那么小明上学经车站所走的∠AOB等于__________度．【知识点】余角和补角.【数学思想】【解题过程】解：如图∠AOB=（90°﹣72°）+90°+10°=118°．【思路点拨】可先作出简单的图形，进而结合图形进行求解．【答案】118°．(二)课堂设计1.知识回顾（1）两个角互余:两个角的和为90度.（2）1周角=360度,1平角=180度；1直角=90度.2.问题探究探究一探究方位角★●活动①学生自主学习138页.师问：什么叫方位角？如何描述方位角？学生举手抢答.：方位角是表示方位的角，通常以正北、正南为基准，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西.【设计意图】了解方位角的意义，强调方位角的描述方法.探究二画方位角★●活动①大胆操作，探究新知师问：根据方位角的意义与描述方法，你能在下图中画出表示物体所在方位的射线吗？学生活动：抽3名学生到黑板上分别画图，其余学生在练习本上画图.（1）物体A在北偏西方向上；（2）物体B在东北方向上；（3）物体C在南偏东方向上.总结：画方位角时，找寻O为观测点，以正南、正北为基准画出表示已知角度的射线即可.【设计意图】通过画图表示物体的方位，进一步理解方位角的意义及描述方法.●活动②辨析方位角★师问：在下图中，你能找到表示南偏东40°的方向线的射线吗？学生举手抢答.总结：根据方位角的概念，以正北、正南为基准描述，不能只看图中已知角的度数回答问题.【设计意图】加强方位角的辨析，突破难点：根据方位角的概念，以正北、正南为基准描述，不能只看图中已知角的度数回答问题.●活动③方位角的实际应用★▲师问：你能解决下列实际问题吗？先从A看某飞行物B在正东，后来B绕A按逆时针方向旋转140°，那么这时B在A的方向是_________．学生活动：指导学生先画图，找准B的方位后，再描述位置.总结：确定物体的方位，首先分清谁是观测点，谁是观测对象.在观测点假设有一指南针，画出被观测对象所在的射线，即可确定其方位.【设计意图】学生在问题情境下描述方位角：确定物体的方位，首先分清谁是观测点，谁是观测对象.在观测点假设有一指南针，画出被观测对象所在的射线，即可确定其方位.探究三运用知识解决问题★▲●活动①例1.如图，如果在阳光下你的身影的方向为北偏东方向，那么太阳相对于你的方向是（）A.南偏西60°B.南偏西30°C.北偏东60°D.北偏东30°【知识点】余角和补角.【数学思想】【解题过程】解：两个物体互相观测所在的方位,其关系是：角度不变，方向相反，故选A.【思路点拨】根据两个物体互相观测所在的方位之间的关系解答.【答案】A.练习：A看B的方向是南偏东50°，则B看A的方向是_______________．【知识点】余角和补角.【数学思想】【解题过程】解：两个物体互相观测所在的方位之间的关系是：角度不变，方向相反,故B看A的方向是北偏西50°.【思路点拨】两个物体互相观测所在的方位之间的关系.【答案】北偏西50°.【设计意图】根据方位角的意义，知道两个物体互相观测所在的方位之间的关系是：角度不变，方向相反.●活动2例2.如图，O点是学校所在位置，A村位于学校南偏东42°方向，B村位于学校北偏东25°方向，C村位于学校北偏西65°方向，在B村和C村间的公路OE（射线）平分∠BOC．（1）求∠AOE的度数；（2）公路OE上的车站D相对于学校O的方位是什么？（以正北、正南方向为基准）【知识点】余角和补角.【数学思想】【解题过程】解：（1）如图所示：∵A村位于学校南偏东42°方向，∴∠1=42°，则∠2=48°，∵C村位于学校北偏西65°方向，∴∠COM=65°，∵B村位于学校北偏东25°方向，∴∠4=25°，∴∠BOC=90°，∵OE（射线）平分∠BOC，∴∠COE=45°，∴∠EOM=65°﹣45°=20°，∴∠AOE=20°+90°+48°=158°；（2）由（1）可得：∠EOM=20°，则车站D相对于学校O的方位是：北偏西20°．【思路点拨】（1）利用方向角分别求出∠1=42°，则∠2=48°，以及∠COM=65°，∠4=25°，再结合角平分线的性质得出∠COE=45°，即可得出答案；（2）利用（1）中所求得出：∠EOM=20°，即可得出答案．【答案】（1）∠AOE=158°；（2）北偏西20°．练习：如图所示，一艘船从A点出发，沿东北方向航行至B，再从B点出发沿南偏东15°方向航行至C点，则∠ABC等于_______度．【知识点】余角和补角.【数学思想】【解题过程】解：从图中我们发现，∠NAB=45°，∠MBC=15°，作，可得∠ABM=∠HAB=∠NAB=45°，所以∠ABC=45°+15°=60°．故答案为60．【思路点拨】将实际问题转化为方向角的问题，画图正确表示出方位角，利用三角形内角和为180度的性质解答即可．【答案】60．【设计意图】对于题中有多个物体的方位问题，首先根据方位角的意义，辨析每个物体具体的方位角度数，求相关的角的度数时，一定是小于180度的角；结合角的相关知识，解决方位角的计算.●活动3例3.如图，一艘客轮沿东北方向OC行驶，在海上O处发现灯塔A在北偏西30°方向上，灯塔B在南偏东60°方向上．（1）在图中画出射线OA、OB、OC；（2）求∠AOC与∠BOC的度数，你发现了什么？【知识点】余角和补角.【数学思想】【解题过程】解：（1）如图所示，根据方向角的概念画出图形，使∠1=45°，∠2=30°，∠3=60°；（2）∵∠1=45°，∴∠4=90°﹣45°=45°，∴∠AOC=30°+45°=75°，∵∠3=60°，∴∠5=90°﹣60°=30°，∴∠BOC=∠5+∠1=30°+45°=75°，∴∠AOC=∠BOC，即OC平分∠AOB．【思路点拨】（1）根据方向角的表示方法画出图形即可；(2)先根据∠1的度数求出∠4的度数，由∠3的度数求出∠5的度数，再根据∠AOC=∠2+∠4，∠BOC=∠1+∠5即可得出结论．【答案】（1）画图如图所示；（2）OC平分∠AOB．练习：如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东60°方向有一艘船，同时，从B地发现这艘船在它北偏东30°，试在图中确定这艘船的位置．【知识点】余角和补角.【数学思想】【解题过程】解：如图所示：作∠1=60°，∠2=30°，两射线相交于P点，则点P即为所求．【思路点拨】根据方向角的概念分别画出过点A与点B的射线，两条射线的交点即为这艘船的位置．【答案】【设计意图】掌握方位角的画法及相关计算，熟知方向角的描述方法是解答问题的关键．3.课堂总结知识梳理（1）理解方位角的意义，会画方位角；（2）方位角的辨析与应用.重难点归纳（1）理解方位角的意义，会画方位角；（2）方位角的辨析与应用.(3)课后作业基础型自主突破1.小王从家出发向南偏东30°的方向走了1000米到达小军家，则小王家在小军家的________方向．【知识点】余角和补角.【数学思想】【解题过程】解：两个物体互相观测所在的方位之间的关系是：角度不变，方向相反，故小王家在小军家的北偏西30°方向.【思路点拨】两个物体互相观测所在的方位之间的关系是角度不变，方向相反.【答案】北偏西30°2.如图，在灯塔O处观测到轮船A位于东北方向，同时轮船B在南偏东55°方向，那么∠AOB的大小为（　　）A．80°B．90°C．100°D．85°【知识点】余角和补角.【数学思想】【解题过程】解：∠AOB=180°﹣55°﹣45°=80°．故选A．【思路点拨】根据方向角的定义，然后利用角的和差即可求解．【答案】A．3.如图所示，下列说法：①B在A的东北方向，A在B的西南方向；②C在A的北偏东75°方向；③C在B的南偏东30°方向；④B在C的北偏西30°方向，其中正确的有（　　）A.1个B.2个C.3个D.4个【知识点】余角和补角.【数学思想】【解题过程】解：①B在A的东北方向，A在B的西南方向，此说法正确；②C在A的北偏东75°方向，此说法正确；③C在B的南偏东30°方向，此说法正确；④B在C的北偏西30°方向，此说法正确；正确的有①②③④，故选D．【思路点拨】根据方向角的定义对每一个选项进行逐一的判断，找出正确的选项即可．【答案】D．4.从小岛O处同时开出三艘汽艇，A艇航向是南偏西35°，B艇航向是东北方向，C艇航向为∠AOB的平分线，则C艇的方向角是　　．【知识点】余角和补角.【数学思想】【解题过程】解：如图所示，∵A艇航向是南偏西35°，B艇航向是东北方向，∴∠1=35°，∠2=45°，∴∠AOB=35°+45°+90°=170°，∵C艇航向为∠AOB的平分线，∴∠AOC=，∴∠COS=∠AOC﹣∠1=85°﹣35°=50°．故答案为：南偏东50°．【思路点拨】根据题意画出图形，再由角平分线的定义及方向角的概念，利用数形结合求解．【答案】南偏东50°．5.如图，一艘客轮沿西南方向OC行驶，在海上O处发现灯塔A在北偏西60°方向上，灯塔B在南偏东30°方向上．在图中画出射线OA、OB、OC．【知识点】余角和补角.【数学思想】【解题过程】解：如图所示：【思路点拨】根据方向角的表示方法画出图形，注意西南方向是正西与正南的角平分线．熟知方向角的描述方法是解答此题的关键．【答案】如图所示：6.如图所示，射线OC平分∠AOB，OD、OE三等分∠AOC，图中与∠COE相等的角是　　．若∠COD=20°，则∠AOB=　　．【知识点】余角和补角.【数学思想】【解题过程】解：∵OD、OE三等分∠AOC，∴∠AOE=∠EOD=∠DOC，∴∠AOD=∠COE；∵∠COD=20°，∴∠AOC=3∠COD=60°，∵射线OC平分∠AOB，∴∠AOB=2∠AOC=120°．故答案为∠AOD，120°．【思路点拨】由于OD、OE三等分∠AOC，可得到∠AOE=∠EOD=∠DOC，则∠AOD=∠COE=2∠DOC，当∠COD=20°，则∠AOC=3∠COD=60°，根据射线OC平分∠AOB，则∠AOB=2∠AOC=120°．【答案】∠AOD，120°．能力型师生共研1.在一张城市地图上，如图，有学校、医院、图书馆三地，图书馆被墨水污染，具体位置看不清，但知道图书馆在学校的东北方向，在医院的南偏东60°方向，你能确定图书馆的位置吗？【知识点】余角和补角.【数学思想】【解题过程】解：在医院A处，以正南方向为始边，逆时针转60°角，得角的终边射线AO，在学校B处，以正北方向为始边，顺时针旋转45°角，得角的终边射线BO，则AO与BO的交点为点O，点O就是图书馆的位置．【思路点拨】分别建立找到图书馆在学校的东北方向，在医院的南偏东60°方向，两直线的交点即是图书馆的位置．【答案】如图，点O就是图书馆的位置．2.如图，A点和B点表示地面上的两个观测点，从A点观测到它的北偏东30°方向有一个读书亭C，同时，从B点观测到这个读书亭C在它的北偏西45°方向，试在图中确定读书亭C的位置．【知识点】余角和补角.【数学思想】【解题过程】解：如图所示：作∠1=30°，∠2=45°，两射线相交于C点，则点C即为所求．【思路点拨】根据方向角的概念分别画出过点A与点B的射线，两条射线的交点即为读书亭C的位置．【答案】点C即为所求.探究型多维突破1.如图，A、B两处是我国在南海上的两个观测站，从A处发现它的北偏西30°方向有一艘轮船，同时，从B处发现这艘轮船在它的北偏西60°方向．（1）试在图中确定这艘轮船的位置C处．（保留画图痕迹）（2）求∠ACB度数．【知识点】余角和补角.【数学思想】【解题过程】解：（1）如图，（2）根据题意，知∠ABC=30°，∠BAC=90°+30°=120°，则∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣120°﹣30°=30°．【思路点拨】（1）根据题意正确画出方向角；（2）利用三角形的内角和求解即可．【答案】（1）如图，；（2）∠ACB=30°．2.小明有一张地图，如图所示，上面标有A、B、C三地，由于被墨迹污染，C地的具体位置看不清楚了，但知道C地在A地的北偏东30°，在B地的东南方向，A地在B地的东偏南70°．（1）请你在图中画一画，试着帮他确定C地在地图上的位置；（2）求∠ABC的大小．【知识点】余角和补角.【数学思想】【解题过程】解：（1）如图所示，射线BC与AC的交点即为C点；（2）∵∠ABX=70°，∠CBX=45°，∴∠ABC=70°﹣45°=25°．故答案为：25°．【思路点拨】（1）先分别以A、B两点为原点画出坐标系，再画射线BC、AC，使∠CBX=45°，∠1=30°，两条射线的交点即为C点；（2）根据C地在A地的北偏东30°，在B地的东南方向，A地在B地的东偏南70°，可知∠ABX=70°，∠CBX=45°，根据此度数即可求解．【答案】（1）如上图所示；（2）25°．自助餐1.书店、学校、食堂在平面上分别用点A、B、C来表示，书店在学校的北偏西30°，食堂在学校的南偏东15°，则平面图上的∠ABC应该是（　　）A．65°B．35°C．135°D．165°【知识点】余角和补角.【数学思想】【解题过程】解：∠ABC=90°﹣30°+90°+15°=165°，故选：D．【思路点拨】首先根据题意画出图形，再计算出∠ABC的度数即可．【答案】D．2.一个角的补角与它的余角的2倍的差是平角的，则这个角的度数是（）A.30°B.45°C.50°D.60°【知识点】余角和补角.【数学思想】【解题过程】解：设这个角是．根据题意，得，．故答案为B．【思路点拨】设这个角是，则它的补角是，余角是．根据一个角的补角与它的余角的2倍的差是平角的列方程即可求解．【答案】B.3.如图，A、B、C三个点分别代表邮局、医院、学校中的某一处，邮局和医院分别在学校的北偏西方向，邮局又在医院的北偏东方向，那么图中A点应该是　　，B点应该是　　，C点是　　．【知识点】余角和补角.【数学思想】【解题过程】解：由题意知：邮局和医院分别在学校的北偏西方向，邮局又在医院的北偏东方向，所以可推断出A点是邮局，B点是医院，C点是学校．【思路点拨】结合图和已知条件可直接判断出A、B、C三点．【答案】A点是邮局，B点是医院，C点是学校．4.如图，学校、工厂、电视塔在平面图上的标点分别是A、B、C，工厂在学校的北偏西30°，平面图上的∠BAC为165度，则电视塔在学校的________方位上.【知识点】余角和补角.【数学思想】【解题过程】解：∵工厂在学校的北偏西30°，∴∠1=30°，∴∠2=90°﹣∠1=60°，∴∠3=∠BAC--∠2=165°-90°-60°=15°．答：电视塔在学校的南偏东15°．【思路点拨】先根据方向角的概念得出∠1与∠2的度数，最后计算出∠3的度数，故可得出结论．【答案】南偏东15°．5.如图所示，A、B两条海上巡逻艇同时发现海面上有一不明物体，A艇发现该不明物体在它的东北方向，B艇发现该不明物体在它的南偏东60°的方向上，请你试着在图中确定这个不明物体的位置．【知识点】余角和补角.【数学思想】【解题过程】解：根据题意，分别以A和B所在位置作出不明物体所在它们的方向上的射线，两线的交点D即为不明物体所处的位置．如下图所示：【思路点拨】先以A点为中心，作出它东北方向的一条射线AP，同样以B点为中心，作出在它南偏东60°方向上的一条射线与AP的交于D点，即D点为不明物体所处的位置．【答案】D即为不明物体所处的位置．6.（1）如图1所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处．①∠AOC与∠BOD相等吗？理由；②∠AOD与∠BOC数量上有什么关系吗？说明理由．（2）若将这副三角尺按图2所示摆放，直角顶点重合在点O处，不添加字母，图中现有标注字母所表示的角；①找出图中相等关系的角；②找出图中互补关系的角，并说明理由．【知识点】余角和补角.【数学思想】【解题过程】解：（1）①∠AOC与∠BOD相等．理由如下：∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠BOC=∠DOC+∠BOC，即∠AOC=∠BOD；②∵∠AOD+∠BOC+∠COD+∠AOB=360°，∴∠AOD+∠BOC=180°；（2）①∠AOB=∠COD，∠AOC=∠BOD；②∠AOB+∠COD=180°，∠AOD+∠BOC=180°．【思路点拨】（1）根据等式的性质和周角的概念解答；（2）根据余角和补角的概念、结合图形解答即可．【答案】（1）①∠AOC与∠BOD相等．理由如下：∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠BOC=∠DOC+∠BOC，即∠AOC=∠BOD；②∵∠AOD+∠BOC+∠COD+∠AOB=360°，∴∠AOD+∠BOC=180°；（2）①∠AOB=∠COD，∠AOC=∠BOD；②∠AOB+∠COD=180°，∠AOD+∠BOC=180°．_1234567897.unknown_1234567901.unknown_1234567903.unknown_1234567905.unknown_1234567907.unknown_1234567908.unknown_1234567906.unknown_1234567904.unknown_1234567902.unknown_1234567899.unknown_1234567900.unknown_1234567898.unknown_1234567893.unknown_1234567895.unknown_1234567896.unknown_1234567894.unknown_1234567891.unknown_1234567892.unknown_1234567890.unknown