〖中考零距离-新课标〗2019年四川省眉山市中考数学第二次模拟试题及答案解析

最新四川省眉山市中考数学二模试卷　一、选择题(.每小题3分，共30分）1．到2008年5月8日止，青藏铁路共运送旅客265.3万人次，用科学记数法示265.3万正确的是（　　）A．2.653×105 B．2.653×106 C．2.653×107 D．2.653×1082．﹣的绝对值为（　　）A．﹣2 B．﹣ C． D．13．下面的三视图所对应的物体是（　　）A． B． C． D．4．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（　　）A． B． C． D．5．下列运算正确的是（　　）A．a2•a3=a5 B．（ab）2=ab2 C．（a3）2=a9 D．a6÷a3=a26．已知甲、乙两组数据的平均数分别是=80，=90，方差分别是S甲2=10，S乙2=5，比较这两组数据，下列说法正确的是（　　）A．甲组数据较好 B．乙组数据较好C．甲组数据比较整齐 D．乙组数据的波动较小7．如图，小红同学要用纸板制作一个高4cm，底面周长是6πcm的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是（　　）A．12πcm2 B．15πcm2 C．18πcm2 D．24πcm28．已知二次函数y=ax2+bx+c（其中a＞0，b＞0，c＜0），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧；④方程ax2+bx=0一定有两个不相等的实数根．以上说法正确的个数为（　　）A．1 B．2 C．3 D．49．解放军某部接到上级命令，乘车前往四川地震灾区抗震救灾、前进一段路程后，由于道路受阻，汽车无法通行，部队通过短暂休整后决定步行前往、若部队离开驻地的时间为t（小时），离开驻地的距离为s（千米），则能反映s与t之间函数关系的大致图象是（　　）A． B． C． D．10．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC=30°，AD=3，BD=5，则CD的长为（　　）A． B．4 C． D．4.5　二、填空题（每小题3分，共24分）11．使代数式有意义的x的取值范围是　　　　　　．12．一个口袋中装有4个红球，x个绿球，2个黄球，每个球除颜色外其它都相同，搅均后随机地从中摸出一个球是绿球的概率是，则袋里有　　　　　　个绿球．13．已知一组数据1，2，0，﹣1，x，1的平均数是1，则这组数据的中位数为　　　　　　．14．在一次知识竞赛中，学校为获得一等奖和二等奖共30名学生购买奖品，共花费528元，其中一等奖奖品每件20元，二等奖奖品每件16元，求获得一等奖和二等奖的学生各有多少名？设获得一等奖的学生有x名，二等奖的学生有y名，根据题意可列方程组为　　　　　　．15．如图，在反比例函数y=（x＞0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1+S2+S3=　　　　　　．16．如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD、BC边上的点．若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为　　　　　　．17．已知，AB是⊙O直径，半径OC⊥AB，点D在⊙O上，且点D与点C在直径AB的两侧，连结CD，BD．若∠OCD=22°，则∠ABD的度数是　　　　　　．18．如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2015次，点P依次落在点P1，P2，P3，…P2015的位置，则点P2015的横坐标为　　　　　　．　三、解答题（19、20每小题9分，共18分）19．先化简，再求值：，其中a=+1，b=﹣1．20．在2008年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电．该地供电局组织电工进行抢修．供电局距离抢修工地15千米．抢修车装载着所需先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果两车同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度．　四、解答题（本题14分）21．2014年开始辽宁足球队把盘锦辽滨锦绣体育场作为了自己的主场，小球迷“球球”对自己学校部分学生对去赛场为辽宁队加油助威进行了抽样调查，根据收集到的数据绘制了如下不完整的统计图表．调查情况（说明：A：特别愿意去；B：愿意去；C：去不去都行；D：不愿意去）（1）求出不愿意去的学生的人数占被调查总人数的百分比；（2）求出扇形统计图中C所在的扇形圆心角的度数；（3）若该校学生共有2000人，请你估计特别愿意去加油助威的学生共有多少人？（4）大赛组委会为了鼓励大众到体育场为球队加油助威的热情，进行了“玩游戏，赠门票”的活动，一个被等分成4个扇形的圆形转盘，分别标有数字2，3，5，6，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘）．若转两次的数字之和大于等于10则赠送一张门票，请用“列表法”或“画树形图”的求出获赠门票的概率．　五、解答题（22小题12分、23小题12分，共24分）22．如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．23．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）求证：△BCD∽△BEC；（3）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长．　六、解答题（本题12分）24．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量w（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：w=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为y（元）．（1）求y与x之间的函数关系式，自变量x的取值范围；（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元？（参考关系：销售额=售价×销量，利润=销售额﹣成本）　七、解答题（本题14分）25．已知∠MAN，AC平分∠MAN．（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出；若不成立，请说明理由；（3）在图3中：①∠MAN=60°，∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD=　　　　　　AC；②若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD=　　　　　　AC（用含α的三角函数表示），并给出证明．　八、解答题（本题14分）26．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（5，0）、B（6，﹣6）和原点．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点B的直线y=kx+b与抛物线交于点C（2，m），请求出△OBC的面积S的值；（3）过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F，交直线DC于点E．直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED，是否存在点P，使得△OCD与△CPE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．　参考答案与试题解析　一、选择题(.每小题3分，共30分）1．到2008年5月8日止，青藏铁路共运送旅客265.3万人次，用科学记数法表示265.3万正确的是（　　）A．2.653×105 B．2.653×106 C．2.653×107 D．2.653×108【考点】科学记数法—表示较大的数．【】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：265.3=2653000=2.653×106．故选B．　2．﹣的绝对值为（　　）A．﹣2 B．﹣ C． D．1【考点】绝对值．【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解，第一步列出绝对值的表达式，第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．【解答】解：∵|﹣|=，∴﹣的绝对值为．故选：C．　3．下面的三视图所对应的物体是（　　）A． B． C． D．【考点】由三视图判断几何体．【分析】本题可利用排除法解答．从主视图看出这个几何体上面一个是圆，直径与下面的矩形的宽相等，故可排除B，C，D．【解答】解：从主视图左视图可以看出这个几何体是由上、下两部分组成的，故排除D选项，从上面物体的三视图看出这是一个圆柱体，故排除B选项，从俯视图看出是一个底面直径与长方体的宽相等的圆柱体，故选A．　4．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（　　）A． B． C． D．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可．【解答】解：解不等式①，得x＜2，解不等式②，得x＞﹣1，所以不等式组的解集是﹣1＜x＜2，故选C．　5．下列运算正确的是（　　）A．a2•a3=a5 B．（ab）2=ab2 C．（a3）2=a9 D．a6÷a3=a2【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】利用同底数幂相乘，积的乘方的性质，幂的乘方的性质，同底数幂的除法的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、a2•a3=a5，正确；B、错误，应为（ab）2=a2b2；C、错误，应为（a3）2=a6；D、错误，应为a6÷a3=a3．故选A．　6．已知甲、乙两组数据的平均数分别是=80，=90，方差分别是S甲2=10，S乙2=5，比较这两组数据，下列说法正确的是（　　）A．甲组数据较好 B．乙组数据较好C．甲组数据比较整齐 D．乙组数据的波动较小【考点】方差．【分析】比较两组数值哪组较好，不只要比较平均数，还要比较方差，方差越小数据的波动越小．由此可得出答案．【解答】解：因为甲的方差大于乙的，因此乙组数据波动较小．故选D．　7．如图，小红同学要用纸板制作一个高4cm，底面周长是6πcm的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是（　　）A．12πcm2 B．15πcm2 C．18πcm2 D．24πcm2【考点】圆锥的计算．【分析】利用圆锥的底面周长易得圆锥的底面半径，那么利用勾股定理易得圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．【解答】解：∵底面周长是6π，∴底面圆的半径为3cm，∵高为4cm，∴母线长5cm，∴S=15πcm2．故选B．　8．已知二次函数y=ax2+bx+c（其中a＞0，b＞0，c＜0），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧；④方程ax2+bx=0一定有两个不相等的实数根．以上说法正确的个数为（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】二次函数的性质．【分析】由a、b、c的符号可判断开口方程，对称轴，顶点坐标，再结合一元二次方程根与系数的关系逐项判断，可得出答案．【解答】解：∵a＞0，∴二次函数图象开口向上，故①正确；∵a＞0，b＞0，c＜0，∴﹣＜0，＜0，∴其顶点坐标一定在第二象限，故②不正确；在y=ax2+bx+c中，令y=0可得ax2+bx+c=0，设该方程的两根分别为x1和x2，由根与系数的关系可知x1x2=＜0，∴x1和x2中必有一个为正值，∴二次函数图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧；故③正确；∵ax2+bx=x（ax+b）=0，∴方程的两根为x=0或x=﹣，∴b≠0，∴﹣≠0，∴方程ax2+bx=0有两个不相等的实数根，故④正确；综上可知正确的有3个，故选C．　9．解放军某部接到上级命令，乘车前往四川地震灾区抗震救灾、前进一段路程后，由于道路受阻，汽车无法通行，部队通过短暂休整后决定步行前往、若部队离开驻地的时间为t（小时），离开驻地的距离为s（千米），则能反映s与t之间函数关系的大致图象是（　　）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【分析】因为前进一段路程后，由于道路受阻，汽车无法通行，部队通过短暂休整后决定步行前往，由此即可求出答案．【解答】解：根据题意：分为3个阶段：1、前进一段路程后，位移增大；2、部队通过短暂休整，位移不变；3、部队步行前进，位移增大，但变慢；故选A．　10．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC=30°，AD=3，BD=5，则CD的长为（　　）A． B．4 C． D．4.5【考点】等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】首先以CD为边作等边△CDE，连接AE，利用全等三角形的判定得出△BCD≌△ACE，进而求出DE的长即可．【解答】解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE．∵∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD=∠ACE，∴在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD=AE．又∵∠ADC=30°，∴∠ADE=90°．在Rt△ADE中，AE=5，AD=3，于是DE=，∴CD=DE=4．故选：B．　二、填空题（每小题3分，共24分）11．使代数式有意义的x的取值范围是　x＞2　．【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．【分析】根据分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数进行解答．【解答】解：由题意得，x﹣2＞0，解得x＞2．故答案为：x＞2．　12．一个口袋中装有4个红球，x个绿球，2个黄球，每个球除颜色外其它都相同，搅均后随机地从中摸出一个球是绿球的概率是，则袋里有　3　个绿球．【考点】概率公式．【分析】设袋中有x个绿球，再根据概率公式求出x的值即可．【解答】解：设袋中有x个绿球，∵袋中有红球4个，黄球2个，从中任意摸出一个球是绿球的概率为，∴=，解得：x=3，故答案为：3．　13．已知一组数据1，2，0，﹣1，x，1的平均数是1，则这组数据的中位数为　1　．【考点】中位数；算术平均数．【分析】根据平均数的定义先算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数．【解答】解：这组数据的平均数为1，有（1+2+0﹣1+x+1）=1，可求得x=3．将这组数据从小到大重新排列后，观察数据可知最中间的两个数是1与1，其平均数即中位数是（1+1）÷2=1．故答案为：1．　14．在一次知识竞赛中，学校为获得一等奖和二等奖共30名学生购买奖品，共花费528元，其中一等奖奖品每件20元，二等奖奖品每件16元，求获得一等奖和二等奖的学生各有多少名？设获得一等奖的学生有x名，二等奖的学生有y名，根据题意可列方程组为　　．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】设获得一等奖的学生有x名，二等奖的学生有y名，根据“一等奖和二等奖共30名学生，”“一等奖和二等奖共花费528元，”列出方程组即可．【解答】解：设获得一等奖的学生有x名，二等奖的学生有y名，由题意得．故答案为：．　15．如图，在反比例函数y=（x＞0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1+S2+S3=　　．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】根据反比例函数的几何意义，可知图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P1向x轴、y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，据此作答．【解答】解：由题意，可知点P1、P2、P3、P4坐标分别为：（1，2），（2，1），（3，），（4，）．解法一：∵S1=1×（2﹣1）=1，S2=1×（1﹣）=，S3=1×（﹣）=，∴S1+S2+S3=1++=．解法二：∵图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P1向x轴、y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，∴1×2﹣×1=．故答案为：．　16．如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD、BC边上的点．若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为　3　．【考点】勾股定理；相似三角形的判定与性质．【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，即可求GF的长．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=90°，∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，∵∠GEF=90°，∴∠GEA+∠FEB=90°，∴∠AGE=∠FEB，∠AEG=∠EFB．∴△AEG∽△BFE，从而推出对应边成比例：，又∵AE=BE，∴AE2=AG•BF=2，推出AE=（舍负），∴GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=1+2+2+4=9，∴GF的长为3．故答案为：3．　17．已知，AB是⊙O直径，半径OC⊥AB，点D在⊙O上，且点D与点C在直径AB的两侧，连结CD，BD．若∠OCD=22°，则∠ABD的度数是　23°或67°　．【考点】圆周角定理．【分析】按点D在直线OC左侧、右侧两种情形分类讨论，利用圆周角定理求解．【解答】解：由题意，①当点D在直线OC左侧时，如答图1所示．连接OD，则∠1=∠2=22°，∴∠COD=180°﹣∠1﹣∠2=136°，∴∠AOD=∠COD﹣∠AOC=136°﹣90°=46°，∴∠ABD=∠AOD=23°；②当点D在直线OC右侧时，如答图2所示．连接OD，则∠1=∠2=22°；并延长CO，则∠3=∠1+∠2=44°．∴∠AOD=90°+∠3=90°+44°=134°，∴∠ABD=∠AOD=67°．综上所述，∠ABD的度数是23°或67°，故答案为：23°或67°．　18．如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2015次，点P依次落在点P1，P2，P3，…P2015的位置，则点P2015的横坐标为　2014　．【考点】规律型：点的坐标；旋转的性质．【分析】根据图形的翻转，分别得出P1、P2、P3…的横坐标，再根据规律即可得出各个点的横坐标．【解答】解：观察图形结合翻转的方法可以得出P1、P2的横坐标是1，P3的横坐标是2.5，P4、P5的横坐标是4，P6的横坐标是5.5…依此类推下去，因为2013÷3=671，×3+2.5=2012.5，所以P2013的横坐标为2012.5．P2014、P2015的横坐标是2014．故答案为：2014．　三、解答题（19、20每小题9分，共18分）19．先化简，再求值：，其中a=+1，b=﹣1．【考点】分式的化简求值；分母有理化．【分析】本题考查了化简与代值计算，关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．【解答】解：原式=÷=﹣=﹣；当a=+1，b=﹣1时，原式=﹣=﹣．　20．在2008年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电．该地供电局组织电工进行抢修．供电局距离抢修工地15千米．抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果两车同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度．【考点】分式方程的应用．【分析】速度分别是：设抢修车的速度为x千米/时，则吉普车的速度为1.5x千米/时；路程：都是15千米，时间表示为：．关键描述语为：“抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果两车同时到达抢修工地”．等量关系为：抢修车的时间﹣吉普车的时间=．【解答】解：设抢修车的速度为x千米/时，则吉普车的速度为1.5x千米/时．由题意得：．解得：x=20．经检验：x=20是原方程的解．∴当x=20时，1.5x=30．答：抢修车的速度为20千米/时，吉普车的速度为30千米/时．　四、解答题（本题14分）21．2014年开始辽宁足球队把盘锦辽滨锦绣体育场作为了自己的主场，小球迷“球球”对自己学校部分学生对去赛场为辽宁队加油助威进行了抽样调查，根据收集到的数据绘制了如下不完整的统计图表．调查情况（说明：A：特别愿意去；B：愿意去；C：去不去都行；D：不愿意去）（1）求出不愿意去的学生的人数占被调查总人数的百分比；（2）求出扇形统计图中C所在的扇形圆心角的度数；（3）若该校学生共有2000人，请你估计特别愿意去加油助威的学生共有多少人？（4）大赛组委会为了鼓励大众到体育场为球队加油助威的热情，进行了“玩游戏，赠门票”的活动，一个被等分成4个扇形的圆形转盘，分别标有数字2，3，5，6，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘）．若转两次的数字之和大于等于10则赠送一张门票，请用“列表法”或“画树形图”的方法求出获赠门票的概率．【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．【分析】（1）首先求出总人数为50人，再计算不愿意去的学生的人数的百分比即可；（2）由C的总人数和总人数作比值再乘以360°，即可得到C所在的扇形圆心角的度数；（3）用2000乘以特别愿意去加油助威的学生所占的百分比即可；（4）列出所有情况，然后求出两次的数字之和大于等于10的情况计算即可．【解答】解：（1）25÷50%=50（人），2÷50=4%，不愿意去的学生的人数占被调查总人数的百分比为4%；（2）（10÷50）×360=72°，扇形统计图中C所在的扇形圆心角的度数为72°；（3）2000×50%=1000（人），∴估计特别愿意去加油助威的学生共有1000人；（4）列表如下： 第1次第2次 2 3 5 6 2 （2，2） （3，2） （5，2） （6，2） 3 （2，3） （3，3） （5，3） （6，3） 5 （2，5） （3，5） （5，5） （6，5） 6 （2，6） （3，6） （5，6） （6，6）由表可知，所有可能出现的结果共有16个，且每种结果出现的可能性相等，其中两次的和大于等于10（记为事件A）的结果有4个，即（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），∴P（A）==．　五、解答题（22小题12分、23小题12分，共24分）22．如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】过点C作CD⊥AD于点D，分别在Rt△CBD、Rt△CAD中用式子表示CD、AD，再根据已知求得BD、CD的长，从而再将CD于9比较，若大于9则无危险，否则有危险．【解答】解：过点C作CD⊥AD于点D，∵∠EAC=60°，∠FBC=30°，∴∠CAB=30°，∠CBD=60°．∴在Rt△CBD中，CD=BD．在Rt△CAD中，AD=CD=3BD=24×0.5+BD，∴BD=6．∴CD=6．∵6＞9，∴货船继续向正东方向行驶无触礁危险．　23．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）求证：△BCD∽△BEC；（3）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长．【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）连结OC，如图，根据等腰三角形的性质得OC⊥AB，然后根据切线的判定定理即可得到直线AB是⊙O的切线；（2）根据圆周角定理求得∠ECD=90°，进而求得∠BCD=∠E，根据∠CBD=∠EBC，即可证明△BCD∽△BEC．（3）设BD的长是x，因为△BCD∽△BEC，根据相似三角形的对应边成比例，可求出x的值，然后根据OB=OA=x+3求解即可．【解答】（1）证明：如图，连接OC．∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB．∴AB是⊙O的切线．（2）证明：∵ED是直径，∴∠ECD=90°．∴∠E+∠EDC=90°．又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，∴∠BCD=∠E．又∵∠CBD=∠EBC，∴△BCD∽△BEC．（3）解：∵，∴．∵△BCD∽△BEC，∴．设BD=x，则BC=2x．又∵BC2=BD•BE，（2x）2=x（x+6）．解得x1=0，x2=2．∵BD=x＞0，∴BD=2，∴OA=OB=BD+OD=2+3=5．　六、解答题（本题12分）24．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量w（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：w=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为y（元）．（1）求y与x之间的函数关系式，自变量x的取值范围；（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元？（参考关系：销售额=售价×销量，利润=销售额﹣成本）【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【分析】（1）根据销售利润y=（每千克销售价﹣每千克成本价）×销售量w，即可列出y与x之间的函数关系式；（2）先利用配方法将（1）的函数关系式变形，再利用二次函数的性质即可求解；（3）先把y=150代入（1）的函数关系式中，解一元二次方程求出x，再根据x的取值范围即可确定x的值．【解答】解：（1）y=w（x﹣20）=（x﹣20）（﹣2x+80）=﹣2x2+120x﹣1600，则y=﹣2x2+120x﹣1600．由题意，有，解得20≤x≤40．故y与x的函数关系式为：y=﹣2x2+120x﹣1600，自变量x的取值范围是20≤x≤40；（2）∵y=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200，∴当x=30时，y有最大值200．故当销售价定为30元/千克时，每天可获最大销售利润200元；（3）当y=150时，可得方程﹣2x2+120x﹣1600=150，整理，得x2﹣60x+875=0，解得x1=25，x2=35．∵物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，∴x2=35不合题意，应舍去．故当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元．　七、解答题（本题14分）25．已知∠MAN，AC平分∠MAN．（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在图3中：①∠MAN=60°，∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD=　　AC；②若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD=　　AC（用含α的三角函数表示），并给出证明．【考点】解直角三角形；全等三角形的判定；角平分线的性质．【分析】（1）由角平分线的性质可证∠ACB=∠ACD=30°，又由直角三角形的性质，得AB+AD=AC．（2）根据角平分线的性质过点C分别作AM，AN的垂线，垂足分别为E，F，可证AE+AF=AC，只需证AB+AD=AE+AF即可，由△CED≌△CFB，即可得AB+AD=AE+AF．（3）由（2）知ED=BF，AE=AF，在直角三角形AFC中，可求AB+AD=2cosAC．【解答】（1）证明：∵AC平分∠MAN，∠MAN=120°，∴∠CAB=∠CAD=60°，∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠ACB=∠ACD=30°，∴AB=AD=AC，∴AB+AD=AC．（2）解：成立．证法一：如图，过点C分别作AM，AN的垂线，垂足分别为E，F，∵AC平分∠MAN，∴CE=CF，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°，∴∠CDE=∠ABC，∵∠CED=∠CFB=90°，∴△CED≌△CFB，∴ED=FB，∴AB+AD=AF+BF+AE﹣ED=AF+AE，由（1）知AF+AE=AC，∴AB+AD=AC，证法二：如图，在AN上截取AG=AC，连接CG，∵∠CAB=60°，AG=AC，∴∠AGC=60°，CG=AC=AG，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠CBG=180°，∴∠CBG=∠ADC，∴△CBG≌△CDA，∴BG=AD，∴AB+AD=AB+BG=AG=AC；（3）证明：由（2）知，ED=BF，AE=AF，在Rt△AFC中，cos∠CAF=，即cos，∴AF=ACcos，∴AB+AD=AF+BF+AE﹣ED=AF+AE=2AF=2cosAC．把α=60°，代入得AB+AD=AC．　八、解答题（本题14分）26．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（5，0）、B（6，﹣6）和原点．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点B的直线y=kx+b与抛物线交于点C（2，m），请求出△OBC的面积S的值；（3）过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F，交直线DC于点E．直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED，是否存在点P，使得△OCD与△CPE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把A，B，C三点代入二次函数解析式即可求得二次函数解析式．（2）把点C的横坐标代入抛物线解析式，可求得纵坐标，把点C、B坐标代入一次函数解析式即可求得一次函数解析式．进而求得OG长．S△OBC=S△OGC+S△OGB（3）两三角形相似，已有两个直角相等，那么夹直角的两边对应成比例；注意对应边的不同可分两种情况进行分析．【解答】解：（1）由题意得：，解得．故抛物线的函数关系式为y=﹣x2+5x；（2）因为C在抛物线上，所以﹣22+5×2=m，所以m=6所以C点坐标为（2，6）因为B，C在直线y=kx+b′上，所以．解得k=﹣3，b′=12直线BC的解析式为y=﹣3x+12设BC与x轴交于点G，则G的坐标为（4，0）所以S△OBC==24（3）存在P，使得△OCD∽△CPE设P（m，n），∵∠ODC=∠E=90°故CE=m﹣2，EP=6﹣n若要△OCD∽△CPE，则要=或=即=或=解得m=20﹣3n或n=12﹣3m又因为（m，n）在抛物线上，．或．解得，即，或，即，故P点坐标为（，）和（6，﹣6）．　2016年6月2日