振动力学参考答案

..请打双面习题与综合训练第一章一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型,房顶质量为m,视为一刚性杆；柱子高h,视为无质量的弹性杆,其抗弯刚度为EJ。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。解：由于两根杆都是弹性的,可以看作是两根相同的弹簧的并联。等效弹簧系数为k则其中为两根杆的静形变量,由材料力学易知=则=设静平衡位置水平向右为正方向,则有FsinFhmgF所以固有频率一均质等直杆,长为l,重量为W,用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置,如题2-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程,并求出振动固有周期。解：给杆一个微转角＝h2F＝mg由动量矩定理：其中求题2-3图中系统的固有频率,悬臂梁端点的刚度分别是和,悬臂梁的质量忽略不计。解：悬臂梁可看成刚度分别为k1和k3的弹簧,因此,k1与k2串联,设总刚度为k1ˊ。k1ˊ与k3并联,设总刚度为k2ˊ。k2ˊ与k4串联,设总刚度为k。即为,,求题2-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中、和是三个轴段截面的极惯性矩,I是圆盘的转动惯量,各个轴段的转动惯量不计,材料剪切弹性模量为G。解：〔1〔2〔3〔4如题2-5图所示,质量为的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动,鼓轮绕轴的转动惯量为I,忽略绳子的弹性、质量及个轴承间的摩擦力,求此系统的固有频率。解：此系统是一个保守系统,能量守恒系统的动能为：系统的势能为：总能量由于能量守恒消去得系统的运动方程为：系统的固有频率为：如题2-6图所示,刚性曲臂绕支点的转动惯量为,求系统的固有频率。解：设曲臂顺时针方向转动的角为广义坐标,系统作简谐运动,其运动方程为。很小,系统的动能为所以,取系统平衡位置为势能零点。设各弹簧在静平衡位置伸长为,由,〔A由题意可知,系统势能为〔B将〔A式代入〔B式,可得系统最大势能为,由,得所以,有一个有阻尼的弹簧--质量系统,质量为10kg,弹簧静伸长是1cm,自由振动20个循环后,振幅从0.64cm减至0.16cm,求阻尼系数c。解：振动衰减曲线得包络方程为：振动20个循环后,振幅比为：代入,得：又＝c=6.9Ns/mOmgXOYOFKFC,一长度为l、质量为m的均质刚性杆铰接于O点并以弹簧和粘性阻尼器支承,如题2-8图所示。写出运动微分方程,并求临界阻尼系数和阻尼固有频率的表达式。解：图〔1为系统的静平衡位置,画受力图如〔2。由动量矩定理,列系统的运动微分方程为：当n＝pn时,c＝cC如题2-9图所示的系统中,刚杆质量不计,试写出运动微分方程,并求临界阻尼系数及固有频率。解：如题2-10图所示,质量为2000kg的重物以3cm/s的速度匀速运动,与弹簧及阻尼器相撞后一起作自由振动。已知k=48020N/m,c=1960Ns/m,问重物在碰撞后多少时间达到最大振幅?最大振幅是多少?解：以系统平衡位置为坐标原点,建立系统运动微分方程为所以有++x=0其特征方程为：+r+=0r=-0.494.875i所以：x=cos4.875t+sin4.875t由于nsin4.875t+0.006当=0时,振幅最大,此时t=0.03s。当t=0.03s时,x=0.005m代入初始条件,得,得物体达到最大振幅时,有既得t=0.30s时,物体最大振幅为cm由实验测得一个系统的阻尼固有频率为,在简谐激振力作用下出现最大位移值的激振频率为,求系统的无阻尼固有频率、相对阻尼系数及对数衰减率。解：,,；三个方程联立,解得：习题与综合训练第二章2-1已知系统的弹簧刚度k=800N/m,作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s,相邻两振幅的比值,若质量块受激振力N的作用,求系统的稳态响应。解：由题意,可求出系统的运动微分方程为得到稳态解其中由又有所以x＝1.103cos<3t－5127>2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用,当激振频率rad/s时,系统发生共振；给质量块增加1kg的质量后重新试验,测得共振频率rad/s,试求系统原来的质量及弹簧刚度。解：设原系统的质量为m,弹簧常数为k由,共振时所以①又由当②①与②联立解出m＝20.69kgk＝744.84N/m2-3总质量为W的电机装在弹性梁上,使梁产生静挠度,转子重Q,重心偏离轴线e,梁重及阻尼可以不计,求转速为时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。解：列出平衡方程可得：所以：又因为即为所求的振幅2-4如题2-4图所示,作用在质量块上的激振力,弹簧支承端有运动,写出系统的运动微分方程,并求稳态振动。题2-4图解：选时物块平衡位置为坐标原点O,建立坐标系,如右图,则即即〔*改成,下面也都一样利用复数求解,用代换sinwt并设方程〔*的解为这里求的是特解,也就是稳态解。代入方程〔*得其中B为振幅,为响应与激励之间的相位差,有=。其中2-5如题2-5图的弹簧质量系统中,两个弹簧的连接处有一激振力,求质量块的振幅。题2-5图解：设弹簧1,2的伸长分别为x1和x2,则有,〔A由图〔1和图〔2的受力分析,得到〔B〔C联立解得,所以,n=0,得,2-6在题2-6图示的系统中,刚性杆AB的质量忽略不计,B端作用有激振力,写出系统运动微分方程,并求下列情况中质量m作上下振动的振幅值∶<1>系统发生共振；<2>等于固有频率的一半。mgBP0sintAXAYAFCFK题2-6图解：图〔1为系统的静平衡位置,以为系统的广义坐标,画受力如图〔2又I＝ml2则1系统共振,即22-7写出题2-7图示系统的运动微分方程,并求系统固有频率、阻尼比及稳态响应振幅。题2-7图解：以刚杆转角为广义坐标,由系统的动量矩定理即令,,,,,得到2-8一机器质量为450kg,支承在弹簧隔振器上,弹簧静变形为0.5cm。机器有一偏心重,产生偏心激振力N,其中是激励频率,g是重力加速度。求<1>在机器转速为1200r/min时传入地基的力；<2>机器的振幅。解：设系统在平衡位置有位移,则即又有则〔1所以机器的振幅为〔2且,〔3又有〔4将〔1〔2〔4代入〔2得机器的振幅=0.584mm则传入地基的力为2-9一个粘性阻尼系统在激振力作用下的强迫振动力为,已知N,B=5cm,rad/s,求最初1秒及1/4秒内,激振力作的功及。2-10

证明

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粘性阻尼在一周期内消耗的能量可表示为证明2-11证明简谐激振力作用下的结构阻尼系统在时振幅达最大值。证明：设结构阻尼的应变幅度为B,则应变改变一周期内所消耗的能量为与材料有关的常数与频率无关,则等效粘性阻尼系数由于振幅所以,其中,对求导得,当时,,振幅B达到最大值2-12无阻尼系统受题2-12图示的外力作用,已知,求系统响应。题2-12图解：由图得激振力方程为当0t1时,,则有2-18求无阻尼系统对题2-18图的抛物型外力的响应,已知。题2-18图解：由图得激振力方程为当0t1时,,则有2-20求零初始条件的无阻尼系统对题2-20图所示支承运动的响应。题2-20图解：系统运动的微分方程为由图得支承运动方程为当0图。根据刚体绕定轴转动微分方程其中得到复摆运动微分方程为或由和初始条件将上式分离变量积分可得到复摆在任意位置的角速度。所以当时,,此瞬时复摆的外力图如图〔b。由质心运动定理所以,要点及讨论〔1刚体绕定轴转动微分方程可与质点运动基本定律类比。运用此方程可解决定轴转动刚体的动力学问题,因通过转动轴的未知约束力在外力矩中不出现,所以对转动轴取矩可直接建立刚体运动微分方程。这是绕定轴转动微分方程的一般用法。在某些情况下也可用此方程求解未知力。如图所示,若已知皮带轮角加速度,可用定轴转动微分方程求皮带拉力,之间的关系。〔2当刚体运动确定后,欲求转动轴处的未知约束力,可用质心运动定理,即式中,,a为质心距转动轴的距离。约束力沿质心切线与法线方向分解较为方便。〔3刚体运动微分方程列出后,根据给出的初始条件进行积分,可求得刚体任意瞬时的角速度及角位移。在本题中也可直接用定积分求出摆至铅垂位置时的角速度,积分式为。在铅垂位置处直接应用定轴转动微分方程,可求出此位置的角加速度,即,此时外力矩MO为零,所以。〔4在本题中也可选例图13-2所示角为广义坐标,此时微分方程为。读者试解释方程中的"一"号表示什么？并给出对应于角的初始条件,然后求解问题〔2。3-2均质半圆柱体,质心为,与圆心O1的距离为e,柱体半径为,质量为,对质心的回转半径为,在固定平面上作无滑动滚动,如题3-2图所示,列写该系统的运动微分方程。题3-2图解：系统具有一个自由度,选为广义坐标。半圆柱体在任意位置的动能为：用瞬心法求：故系统具有理想约束,重力的元功为应用动能定理的微分形式等式两边同除,,等式两边同除故微分方程为①若为小摆动,,并略去二阶以上微量,上述非线性微分方程可线性化,系统微摆动的微分方程为要点及讨论〔1本题也可以用平面运动微分方程求解。系统的受力图与运动分析图如图〔b所示。列写微分方程上述方程包含,,,,五个未知量,必须补充运动学关系才能求解。建立质心坐标与广义坐标之间的关系,所以运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立,消去未知约束力,,就可以得到与式①相同的系统运动微分方程。因为在理想约束的情况下,未知约束力在动能定理的表达式中并不出现,所以用动能定理解决已知力求运动的问题更简便、直接。〔2本题也可用机械能守恒定律求解。系统的动能选半圆柱体中心O1所在平面为零势面,系统的势能由两边对时间求导数,即可得到与式①相同的运动微分方程。3-3均质杆AB,长,质量为,沿光滑墙面滑下,如题3-3图所示。设水平面也为光滑的。列写该系统的运动微分方程。题3-3图解：系统具有一个自由度,选为广义坐标。系统在任一位置的动能为由瞬心法求质心的速度,,所以系统的主动力图为图〔a所示。重力的元功为由动能定理所以系统的运动微分方程为要点及讨论〔1平面运动刚体可用式计算刚体动能,式中为刚体对瞬心的转动惯量,为质心与瞬心间的距离。在本题中质心的速度也可用式计算。其中〔2所谓广义坐标应包含坐标值〔线位移或角位移、坐标原点、坐标正方向。广义坐标的选择一般不是唯一的,例如在本题中也可选杆与水平线的夹角为广义坐标,正方向如图〔b所示〔顺时针,广义坐标选定后其它运动量〔位移及位移的一阶、二阶导数都根据广义坐标确定〔包括大小与正方向。如质心C的位移与速度,正方向应如图所示,大小分别为,系统的动能主动力的元功根据动能定理建立的方程为所以"—"号说明当取正值时为负,即反时针方向。〔3本题也可用平面运动微分方程求解,读者试列出方程。3-4如题3-4图所示,均质圆柱体质量为,半径为,沿倾斜角为的三角块作无滑动滚动,质量为的三角块置于光滑的水平面上。列写该系统的运动微分方程。题3-4图解：系统具有两个自由度,选为广义坐标。系统具有理想约束,且在水平方向的外力为零,所以系统机械能守恒：,水平方向动量守恒。整理后可分别列写两个方程①②式中①②为系统微分方程的首次积分,对时间求导后,即可得到系统运动微分方程。要点及讨论〔1在理想约束的情况下,动能定理建立了系统的动能与主动力之间的关系,直接给出了系统的速度〔或角速度与位移〔或角位移之间的关系,对时间求导一次可得到系统的运动微分方程。〔2用动能定理建立系统运动微分方程的步骤为：①分析系统受力,在理想约束的情况下只有主动力作功,所以一般在受力图上只画主动力。②建立广义坐标,确定其原点和正方向；分析系统运动,重点是分析速度〔角速度,将速度〔角速度用广义速度表示。③计算系统在任意位置的动能,将动能表示为广义坐标、广义速度的函数。④计算力的功,若用积分形式动能定理,则计算主动力在有限路程上的功,若用微分形式的动能定理,则计算力的元功。⑤应用动能定理建立系统的受力与运动间的关系。〔3在理想约束、主动力又为势力的情况下,可用机械能守恒定律建立系统运动微分方程。〔4对于多自由度系统,如两个自由度系统,动能定理只给出一个方程,必须与其他定理,如动量定理或动量矩定理联合应用,才能得到另外一个方程。题3-5图3-5题3-5图所示为刚性建筑模型。刚性基础质量为m,刚性建筑的质量为M,对质心C的转动惯量为IC。两刚体在O处铰接并附有刚度系数为k1的扭转弹簧。其他参数如图示。设地基有水平运动z,试建立系统微幅运动微分方程。图中。解：应用牛顿矢量力学建立刚体运动的微分方程时,首先要画出每个刚体的受力图,如题3-5图、所示。对于图,建立刚体的水平运动微分方程为<1>对于图：建立刚体在铅垂平面内的运动微分方程为<2><3><4>其中xC、yC及x均是对固定坐标系的坐标,同时考虑到微小运动的假说,于是有<5><6>由方程<1>、<2>消去未知力,FOx并考虑式<5>得<7>又由方程<2>、<3>和<4>消去未知力FOy、FOx,并考虑式<5>和<6>,得<8>方程<7>和<8>为系统微幅运动微分方程,若令x和为确定系统位置的广义坐标,写为矩阵形式那么,方程<7>和<8>改写为矩阵形式如下：<9>由此例题可以看出,应用牛顿矢量力学建立系统的运动微分方程,一定要画受力图,于是必然要涉及未知约束力,因此较为繁琐,特别是该例中的组合刚体系统更是如此。然而对于多自由度系统,应用拉格朗日方程建立运动微分方程较为简单。由动静法得,以整体为研究对象：以M为研究对象：又忽略高阶小量,所以以上两式化简后得：化成矩阵形式为：3-6题3-6图所示两端简支的均匀梁,已知弯曲刚度为EI,单位长度的质量为m,分布载荷为F。试用哈密顿原理求运动方程。解：若梁的挠曲函数为w,则动能为应变〔势能为题3-6图外力功为将式、式与式代入变分式得到对式进行分部积分运算,得到由于,时,哈密顿原理要求w=0,因而式变为因为,t1与t2区间的虚位移w不可能为零,由此,得到梁的边界条件与运动方程两端简支的梁,显然是满足边界条件式的。3-7应用拉格朗日方程导出题3-7图所示系统的运动微分方程。题3-7图解：取各质量偏离其平衡位置的x1、x2、x3、x4为广义坐标。即<1>则系统的动能<2>系统的势能为<3>计算拉格朗日方程中的各项导数如下：将以上各项导数代入拉格朗日方程得<4>写成矩阵形式<5>其中质量矩阵刚度矩阵位移列阵3-8在地震研究中,建筑物可简化为支承在两弹簧上的质量为m的刚体,其中直线弹簧的弹性系数为k,扭转弹簧的弹性系数为kT,如题3-8图所示。设IG为建筑物相对质心G的转动惯量,试利用坐标x〔相对于平衡位置的直线运动及描述建筑物转动的坐标,求出运动方程。〔a〔b题3-8图运动的分离体图如图〔b所示。地震中可设为微小角度,因此因此运动方程为如果则则频率方程为即或由动静法得,以刚体m为研究对象：又忽略高阶小量,所以以上两式化简后得：图中：kx、m应反向。方程应为3-9为了使结构隔离机器产生的振动,将机器安装在一很大的机座上,机座由弹簧支承,如题3-9图所示。试求机座在图示平面内的运动方程。题3-9图选择坐标q1、q2、q3,这些坐标已能完全描述该系统的运动,并相互独立。设机器和机座的总质量为M,总质量对质心G点的惯性矩为IG,则式中,V为贮存在弹簧中的势能。有：由拉格朗日方程得则运动方程为因此系统具有三坐标耦合的运动方程。假定,由频率方程可求出系统的各阶固有频率。题3-10图3-10题3-10图是一个带有附有质量和上的约束弹簧的双摆,采用质量的微小水平平动和为坐标,写出系统运动的作用力方程。解：利用刚度影响系数法求刚度矩阵。设,分别画出与的受力图,并施加二物块力,列平衡方程,对：,,对：,,设,分别画出与的受力图,并施加二物块力,列平衡方程,对：,,对：,,由,,,,,,解得,,,,得作用力方程为3-11题3-11图为一刚性杆竖直支承于可移动的支座上,刚杆顶面和底面受水平弹簧的约束,质心C上受水平力和扭矩的作用。设刚杆长度、横截面积和质量密度分别为l、A及,以质心C的微小位移与为坐标,列出系统运动的作用力方程。题3-11图解：设质心的水平位移与相对于质心的转角为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵。设,画出受力图,并施加物体力与力偶,列平衡方程,,,设,画出受力图,并施加物体力与力偶,列平衡方程,,,,,,,得作用力方程为3-12题3-12图是两层楼建筑框架的示意图,假设梁是刚性的,框架中各根柱为棱柱形,下层弯曲刚度为,上层为,采用微小水平运动及为坐标,列出系统运动的位移方程。题3-12图解：由材料力学知,当悬臂梁自由端无转角时,其梁的等效刚度为,由此可将题3-12图等效为图,其中,广义坐标如图〔a示。利用刚度影响系数法求刚度矩阵。设,画出受力图,并施加物体力,列平衡方程,可得到,同理可求得。最后求得刚度矩阵为=由刚度矩阵求逆得到柔度矩阵为得到系统的位移方程为也可由柔度影响系数法求柔度矩阵。即,对图〔a中的施加单位力,而不受力,此时第一个弹簧变形为,第二个弹簧变形为零。由此可得位移为,,同理求出,。最后得到柔度矩阵为A、B两点的受力分别为：系统运动的位移方程为：3-13质量m1、m2以及长为l1、l2的无重刚杆构成的复合摆,如题3-13、图所示。假设摆在其铅垂平衡位置附近作微幅振动。试分别取1、2和x1,x2为广义坐标,求刚度矩阵。题3-13图解：首先求对于广义坐标1、2的刚度矩阵。令1=1、2=0。如题3-13图所示.此时是k11,k21分别代表施加于两个刚杆上的力矩,由静力平衡条件得<1><2>由式<1>、<2>得<3>3-14在题3-14图所示系统中,刚杆AB不计质量,当质量M与m位于铅垂线上时为系统的平衡位置。试以x,为广义坐标导出线性系统运动微分方程。解：令,则质量m的坐标为题3-14图质量m的速度为<1>系统动能为<2>将式<1>代入式<2>,并整理得<3>考虑到微幅振动,令cos≈1,则将动能T写为的齐二次函数,有题3-15图题3-15图3-15质量为长为的均质杆,其一端铰接于半径为质量为的均质圆轮的中心,圆轮在水平面上作纯滚动,如题3-15图所示,试列写系统运动微分方程。解：系统具有两个自由度,选图示与铅垂线的夹角及圆轮中心的位移为广义坐标。分析圆轮,受力图如图〔b所示。列写圆轮的运动微分方程：①②③运动学方程④分析杆,列写的运动微分方程,如图〔c⑤⑥题3-15图⑦运动学方程⑧⑨上述9个方程包含等9个未知量,由上述9个方程消去未知的约束力可得到系统的运动微分方程。由①③④⑤⑧得由①③④⑥⑦⑨得将式代入式,化简后得式为系统的运动微分方程。要点及讨论运用平面运动微分方程求解刚体动力学问题时,需分别分析每个刚体的运动与受力,列写每个刚体的运动微分方程及补充的运动学方程。未知量的数目应与方程的数目相等。联立求解所列写的方程,即可得到所要求的结果。用本题中的方法求解刚体系统动力学问题时,由于要将系统拆开成单个刚体,方程中出现了许多未知约束力,为消去未知力增加了许多繁冗的演算。这种方法不是列写刚体系统微分方程唯一的方法,但如果要求刚体间相互的约束力,其中某些方程可应用。习题四题4-1图4-1题4-1图所示的均匀刚性杆质量为,求系统的频率方程。解：设杆的转角和物块位移x为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵。设,画出受力图,并施加物体力偶与力,由平衡条件得到,,设,画出受力图,并施加物体力偶与力,由平衡条件得到,,得作用力方程为由频率方程,得题4-2图4-2题4-2图所示的系统中,两根长度为l的均匀刚性杆的质量为及,求系统的刚度矩阵和柔度矩阵,并求出当和时系统的固有频率。解：如图取为广义坐标,分别画受力图。由动量矩定理得到,整理得到,则刚度矩阵和柔度矩阵分别得,,系统的质量矩阵为由频率方程,并代入已知条件得,整理得到,求得,。解：做增广矩阵===当,时,,其中,,题4-3图4-3题4-3图所示,滑轮半径为R,绕中心的转动惯量为,不计轴承处摩擦,并忽略绕滑轮的绳子的弹性及质量,求系统的固有频率及相应的主振型。解：如图选x1,x2,x3为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵。设,画出受力图,并施加物体,由平衡条件得到,,,设,画出受力图,并施加物体,由平衡条件得到,=0,,设,画出受力图,并施加物体,由平衡条件得到,,,则刚度矩阵和质量矩阵分别得,,由频率方程,得展开为,解出频率为,,。由特征矩阵的伴随矩阵的第一列,并分别代入频率值,得系统的主振型矩阵为题4-4图4-4三个单摆用两个弹簧联结,如题4-4图所示。令及。试用微小的角、和为坐标,以作用力方程方法求系统的固有频率及主振型。解：如图选为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵。设,画出受力图,并施加物体于,由平衡条件得到,,,设,画出受力图,并施加物体,由平衡条件得到,,,设,画出受力图,并施加物体,由平衡条件得到,,,则刚度矩阵和质量矩阵分别得,,由频率方程,得展开为,解出频率为,,。由特征矩阵的伴随矩阵的第一列,并分别代入频率值,得系统的主振型矩阵为解：质量矩阵M=使逆时针方向旋转弧度1,保持不动,受力如图：F=kh使逆时针旋转弧度1,保持不动,对受力分析入图：使逆时针旋转弧度1,保持不动,对受力分析入图：该系统的刚度矩阵为：特征矩阵：令0,得,,将各频率依次带入伴随矩阵的第一列,令即得各阶主振型题4-5图4-5题4-5图所示的简支梁的抗弯刚度为EJ,本身质量不计,以微小的平动、和为坐标,用位移方程方法求出系统的固有频率及主振型。假设。解：如图取广义坐标,用柔度影响系数法求柔度矩阵。在处施加单位力,其余各质量块处不受力,则由材料力学知识,得到三集中质量块处的静挠度即为。同理可得到其它柔度矩阵的各列,最后得到柔度矩阵为得到系统的位移方程为由系统的特征矩阵,得频率方程,即其中,展开频率方程为解出。由特征矩阵的伴随矩阵的第一列,分别代入特征值,得到主振型为。4-6如题4-6图所示,用三个弹簧连接的四个质量块可以沿水平方向平动,假设和,试用作用力方程计算系统的固有频率及主振型。题4-6图解：如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为,由频率方程,得因此可得到频率方程解出,,,解出频率为,,。由特征矩阵,特征矩阵的伴随矩阵的第一列,将代入,即得归一化得将代入,得归一化得将代入,得归一化得将代入,得归一化得得系统的主振型矩阵为各阶主振型如下图所示：题4-7图4-7题4-7图表示一座带有刚性梁和弹性立柱的三层楼建筑。假设,,,,。用微小的水平平动、和为坐标,用位移方程方法求出系统的固有频率和正则振型矩阵。解：由材料力学知,当悬臂梁自由端无转角时,其梁的等效刚度为,由此可将题4-7图等效为图,其中,,广义坐标如图〔a示。利用柔度影响系数法求柔度矩阵。即,对图〔a中的施加单位力,其余不受力,此时第一个弹簧变形为,第二和第三个弹簧变形为零。由此可得个坐标位移为,,,同理求出其余各列。最后得到柔度矩阵为系统的质量矩阵为得到系统的位移方程为由系统的特征矩阵,得频率方程,即其中,展开频率方程为解出。解出固有频率为由特征矩阵的伴随矩阵的第一列,分别代入特征值,得到主振型为。主质量振型为正则振型的第i列为,由此得到正则振型振型为解：质量矩阵为时：,,：,时：,,设=0,,,,题4-8图4-8在题4-8图所示的系统中,各个质量只能沿铅垂方向运动,假设,,试求系统的固有频率及振型矩阵。解：如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为,由频率方程,得解出频率为,,由特征矩阵的伴随矩阵的第一列,将代入得系统的第一阶主振型为满足如下关系：,展开以上二式得,。取,,可得到。即有满足如下关系：,展开以上二式得,,,联立得。取,,可得到。即得主振型矩阵为4-9试计算题4-4的系统对初始条件和的响应。解：在习题4-4中已求得系统的主振型矩阵和质量矩阵分别为,主质量振型为正则振型的第i列为,由此得到正则振型振型为初始条件为,=0正则坐标的响应为,,由,展开得到其中,,。4-10试计算题4-6的系统对初始条件和的响应。解：在习题4-6中已求得系统的主振型矩阵和质量矩阵分别为,主质量振型为正则振型的第i列为,由此得到正则振型振型为正则坐标初始条件为=0,=正则坐标的响应为,,,其中频率为。最终得到响应,由,展开得到解：从6—6中可得主频率和主振型矩阵为,由质量矩阵,可求出主质量矩阵则正则振刑矩阵为于是于是得所以响应为,即,其中,.4-11试确定题4-7中三层楼建筑框架由于作用于第三层楼水平方向的静载荷P忽然去除所引起的响应。解：在习题4-7中已求得系统的正则振型振型和质量矩阵分别为,当作用于第三层楼水平方向的静载荷P忽然去除时,相当于受到了初始条件的激励,即,正则坐标初始条件为=,=正则坐标的响应为由,展开得到其中。4-12假定一个水平向右作用的斜坡力施加与题4-4中中间摆的质量上,试确定系统的响应。解：在习题3-13中已求得系统的正则振型振型和质量矩阵分别为,由题意,施加的作用力为将作用力变换到正则坐标：由方程〔2-28得到对于斜坡力的卷积积分,第i个正则坐标的响应：用正则坐标表示的位移矢量由,展开得到其中,,。4-13试确定题4-6的系统对作用于质量和质量上的阶跃力的响应。解：在习题4-6中已求得系统的正则振型振型和质量矩阵分别为,由题意,施加的作用力为将作用力变换到正则坐标：用正则坐标表示的位移矢量由,展开得到其中。4-14在题4-7的三层楼建筑中,假定地面的水平运动加速度,试求各层楼板相对于地面的稳态水平强迫振动。解：在习题4-7中已求得系统的正则振型振型和质量矩阵分别为,由题意,施加的作用力为将作用力变换到正则坐标：用正则坐标表示的位移矢量由,展开得到其中,〔i=1,2,3;,,。题4-15图4-15质量为的滑块用两个刚度分别为及的弹簧连接在基础上,滑块上有质量为、摆长为l的单摆,假设及,基础作水平方向的简谐振动,其中,试求∶<1>单摆的最大摆角；〔2系统的共振频率。解：如图所示选择广义坐标。利用质量影响系数法求质量矩阵,设,画惯性力及,由平衡条件得到,,。设,画惯性力及,由平衡条件得到,,。利用刚度影响系数法求刚度矩阵。设,画出受力图,并施加物块力,列平衡方程,得到,设,画出受力图,并施加物块力,列平衡方程,得到,得作用力方程为令为稳态响应,代入上式得,展开为将代入可得到。稳态运动时有,则有由频率方程,得展开为,解出频率为,即为共振频率。题4-16图4-16题4-16图示的系统中,各个质量只能沿铅垂方向运动,假设在质量4m上作用有铅垂力,试求∶各个质量的强迫振动振幅；系统的共振频率。解：如图选择广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵为,系统的质量矩阵为,由频率方程,得解得,,,由特征矩阵的伴随矩阵的第一列,并分别代入频率值,得系统的主振型矩阵为主质量振型为正则振型的第i列为,由此得到正则振型振型为正则坐标表示的微分方程由题意,施加的作用力为将作用力变换到正则坐标：用正则坐标表示的位移矢量其中,〔i=1,2,3。由,展开得到解：质量矩阵：刚度矩阵：由频率方程得：解得列出运动方程:设其稳态响应为：所以原方程化为：即：所以：令则：题4-17图4-17在题4-17图的有阻尼系统中,,左端的质量块受阶跃力P的作用,初始条件为零,求系统响应。解：〔1写出无阻尼受迫振动方程〔2求固有频率和正则振型由频率方程,得解得,,。由特征矩阵的伴随矩阵的第一列,并分别代入频率值,得系统的主振型矩阵为主质量振型为正则振型的第i列为,由此得到正则振型振型为〔3正则坐标表示的微分方程〔4引入振型阻尼比建立阻尼矩阵,求主阻尼矩阵。则有,。所以,得。由,得。〔5引入振型阻尼比的正则坐标表示的微分方程由题意,施加的作用力为将作用力变换到正则坐标：〔6用正则坐标表示的响应其中,,i=1,2。〔7用物理坐标表示的响应由,展开得到,习题题4-5图5-1用瑞利法求题4-5系统的基频。解：由材料力学公式知：柔度矩阵：质量矩阵：设振型为：所以基频为：题4-7图5-2用瑞利法求题4-7系统的基频。解：系统的质量矩阵和柔度矩阵为设=设则于是=5-3用里兹法求题4-5系统的第一、二阶固有频率。题4-5图解；有已知条件得系统的质量矩阵和柔度矩阵分别为：设振型由得〔把改成将代入和=>解得：解：由已知条件可求出系统的质量矩阵和柔度矩阵分别为设振型则可得把它们代入下式可求得：5-4用邓克莱法求题4-5系统的基频。题4-5图解：按材料力学挠度公式,则有,由邓克莱公式得题4-7图5-5用邓克莱法求题4-7系统的基频。解：由材料力学知,同理：由邓克莱法知：解之得：5-6用矩阵迭代法计算题4-5系统的固有频率和主振型。题4-5图解：由材料力学的知识得柔度矩阵为可得到动力矩阵：对初始假设矩阵进行迭代与之对应的第一阶主振型：下面是求第二阶主频率和主振型：经过6次迭代,下面是求第二阶主频率和主振型：经过1次迭代,题4-7图5-7用矩阵迭代法计算题4-7系统的固有频率和主振型。解：得系统的质量矩阵和柔度矩阵取假设振动由于与之对应的第一阶主振型下面计算第二阶振型和频率：得到含清除矩阵的动力矩阵假设初始振型为,经过8次迭代后得到下面计算第3次振型和频率：用同样的方法可得经过三次迭代,最后的结果是：题4-8图5-8用矩阵迭代法计算题4-8系统的固有频率和主振型。解：如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为,可得动力矩阵D==设初始假设振型=进行迭代经过一次迭代后得==由于所以即与之对应的第一阶主振型为又由于所以可得含清除矩阵的动力矩阵选取初始假设振型==第二次迭代==由于所以所以与之对应的第二阶主振型为=由于6m所以可得动力矩阵假设=第二次迭代由于所以所以所以第三阶振型为综上所得可以写出主振型固有频率为,,5-9用子空间迭代法计算题4-5系统的第一、二阶固有频率和主振型。题4-5图解：系统的质量矩阵、刚度矩阵、柔度矩阵。现取假设振型由动力矩阵迭代得到分别归一化得到求得、再由李兹法特征植问题为即其中。由上述方程非零解的条件得频率方程解所以重复上述过程进行第二次迭代,有归一化得则有由有得则结束迭代,求得系统的前二阶固有频率及相应的主振型5-10用传递矩阵法求题5-10图所示系统的固有频率和主振型。题5-10图5-11题5-11图示的悬臂梁质量不计,抗弯刚度为EJ,用传递矩阵法求梁横向弯曲振动的固有频率和主振型。题5-11图5-12用传递矩阵法求题4-5系统的固有频率和主振型。题4-5图习题六6-1一等直杆沿纵向以等速v向右运动,求下列情况中杆的自由振动∶杆的左端突然固定；杆的右端突然固定；杆的中点突然固定。解；<1>杆的左端突然固定；杆的初始条件为：有题可知得,所以有：进而有：%全部改成：6-2求下列情况中当轴向常力突然移去时两端固定的等直杆的自由振动∶常力F作用于杆的中点,如题6-2图所示；常力F作用于杆的三分之一点处,如题6-2图所示；两个大小相等、方向相反的常力F作用于杆的四分之一点及四分之三点处如题图6-2所示。题6-2图解：根据题意,时杆内的应变杆的初始条件为因为干两端固定,可解得固有频率及主振型为将主振型代入归一化条件,得得到正则振型得到以正则坐标表示的初始条件为得到以正则坐标表示的对初始条件的响应于是杆的自由振动根据题意,时杆内的应变杆的初始条件为因为干两端固定,可解得固有频率及主振型为将主振型代入归一化条件,得得到正则振型得到以正则坐标表示的初始条件为得到以正则坐标表示的对初始条件的响应于是杆的自由振动根据题意,时杆内的应变杆的初始条件为因为干两端固定,可解得固有频率及主振型为将主振型代入归一化条件,得得到正则振型得到以正则坐标表示的初始条件为得到以正则坐标表示的对初始条件的响应于是杆的自由振动题6-3图6-3如题6-3图所示,一端固定一端自由的等直杆受到均匀分布力的作用,求分布力突然移去时杆的响应。解：t-=0时的应变为杆的初始条件为一端自由一端固定,可知杆的因有频率和主振型为将主振型代入上式归一化为以正则坐标表示初始条件为以正则坐标表示对初始条件的响应为于是杆的自由振动为杆左端固定端,右端为自由端边界条件得固有频率,主振型i=1,2,……杆在x处的应变初始条件由得再利用三角函数正交性得6-4假定一轴向常力F突然作用于题6-2的等直杆的中点处,初始时刻杆处于静止平衡状态,求杆的响应。解：由题意知,边界条件为由此解出固有频率将主振型代入归一化条件,得得到正则振型由因为为集中力,不是分布力所以由上式得稳态响应〔i=1,2,3…6-5假定题6-3的等直杆上作用有轴向均匀分布的干扰力,求该杆的稳态强迫振动。解：因为杆是一端固定,可得固有频率和主振型为将主振型代入归一化条件,得得到正则振型又第i个正则方程为所以可得正则坐标的稳态响应为杆的稳态响应振动为其中。6-6一根两端自由的等直杆,中央作用有一轴向力,其中、为常数,假设起初杆处于静止,求杆的响应。解：由题意知,边界条件为有这些边界条件得,所以所以由所以所以由由于集中力,而非分布力所以,因为是在中央作用力,所以所以,由上式求得稳态响应当时,,当时,,所以6-7一根等直圆轴的两端连接着两个相同的圆盘,如题6-7图所示,已知轴长l,轴及圆盘对轴中心线的转动惯量分别为及,求系统扭转振动的频率方程。解：〔设代入运动微分方程得上式的解可表示为其边界条件当x=0时,当x=l时,U〔0=U题6-7图,其中6-8题6-8图中的等直圆轴一端固定,另一端和扭转弹簧相连,已知轴的抗扭刚度为,质量密度为,长度为l,弹簧的扭转刚度为,求系统扭转的频率方程。题6-8图〔设代入运动微分方程得：上式的解可表示为〔a其边界条件为,在处〔b将〔b中第一式代入〔a得：〔c将〔b中第二式代入〔a得：,其中6-9写出题6-9图所示系统的纵向振动频率方程,并写出主振型的正交性表达式。题6-9图解：边界条件为：由得,由条件〔2得所以这就是我们所要求的频率方程所以主振型关于质量的正交性主振型关于刚度的正交性为解：⑴该题中杆的振动方程为：<1>其中由于边界条件中U〔0=0代入U〔x中得C=0再将U〔x代入<1>中,由<1>知：=再由边界知：EA得：即：⑵已知方程由乘并对杆积分得所以由得：所以,其解为正交。6-10试求具下列边界条件等截面梁的横向弯曲振动频率方程及主振型∶两端固定；一端固定、一端简支；一端简支、一端自由。6-11求下列情况中常力F突然移去时等截面简支梁的自由振动∶<1>常力F作用于x=a处,如题图6-11所示；两个大小相等、方向相反的常力F作用于梁的四分之一点及四分之三点处,如题图6-11所示。题6-11图6-12假定上题的简支梁承受强度为的均匀分布力,求分布力突然移去时梁的响应。6-13一简支梁在t=0时除两端点外梁上所有点都得到横向速度v,求梁的响应。6-14一常力F突然加在简支梁的中点,求梁的响应。6-15一简支梁在距左端和处作用有两个横向干扰力,求梁的稳态响应。6-16一简支梁在左半跨上作用有强度为的分布力,求梁中央处的振幅。6-17试求简支梁在正弦分布的横向干扰力作用下的稳态响应。6-18简支梁受分布干扰力作用,求梁的稳态响应。6-19简支梁受分布干扰力的作用,求梁的稳态响应。6-20一简支梁在x=l端的支座有的横向运动,求梁的稳态响应。6-21如题6-21图所示,等截面悬臂梁的自由端有一弹性支撑,其弹簧刚度为k,求频率方程和主振型的正交性条件。6-22试求两端附有集中质量m的自由等截面梁的频率方程及主振型正交性条件。题6-21图题6-23图6-23如题6-23图所示,简支梁上附有两个相等的集中质m,m值等于全梁质量的一半,试用瑞利法求系统的基频,并用里兹法求基频和第二阶固有频率。6-24如题6-24图所示,一根矩形截面杆一端固定一端自由,其长度为l,厚度为b,横截面积A按直线规律变化∶,其中为自由端的截面积,试用里兹法求纵向振动的第一及第二阶固有频率。假设基频函数题6-25图题6-24图6-25两端固定的等截面梁,中央有一集中质量m,如题6-25图所示,设振型函数,用瑞利法求梁横向振动的基频。题6-26图6-26题6-26图所示为一等截面悬臂梁,<1>选基础函数,用里兹法求第一及第二阶固有频率,并与精确值比较；<2>分别取及作振型函数,用瑞利法求梁的基频,并与<1>的结果比较。