医用物理学陈仲本第六章课后习题答案

医用物理学陈仲本第六章课后习答案大学医学物理第六章磁场通过复习后，应该：掌握磁感应强度、毕奥-萨伐尔定律、洛伦兹力、霍尔效应、安培力、磁场对载流线圈的作用、物质的磁性和磁化、电磁感应定律；理解几种电流的磁场、安培环路定理、质谱仪、超导体及其抗磁性、感生电动势、白感现象；了解磁场中的高斯定理、电磁流量计、超导磁体、人体生物磁场、涡旋电场。6-1一个半径为0.2m、阻值为200Q的圆形电流回路，接12V的电压,求回路中心处的磁感应强度。解：已知半径r=0.2m，电源电压U=12V圆形回路的电阻R=200Q,根据欧姆定律，可求得回路的电流为I=U/R=12/200A=0.06A由圆形电流磁场公式，可得回路中心处的磁感应强度为41070.06BT1.88107T2r20.20I6-2一根长直导线上载有电流100A,把它放在50G的均匀外磁场之中，并使导线与外磁场正交，试确定合成磁场为零的点到导线的距离解:长直载流导线产生的磁场，其磁感线是一些围绕导线的同心圆，在导线周围总有一点A,其磁感强度与外磁场的磁感应强度大小相等、方向相反，该点的合磁场为零。已知I=100A,B=50G=5.0某10T,根据长直载流导线磁场公式B-30I,可得A2a点离导线的距离a为0I4107100am4.0103m4.0mm32B25.0106-30.4m长的细管上绕有100匝导线，其电阻为3.14Q,欲在螺线管内获得200G的磁感应强度，需外加电压多少伏-1-2解：已知螺线管单位长度上的线圈匝数n=100/0.4=250匝•米，B=200G=^10T,根据螺线管电流磁场公式B=v0nI，可得螺线管通过的电流为B210222IA10A63.7A70n410250已知线圈电阻R=3.14Q,根据欧姆定律可计算出需加的外电压为U=IR=2/兀某102某3.14V=200V6-4一平面上有两个同心的圆形回路，用相同电动势的电池（内阻忽略不计），通过相-6反方向的电流，使在中心处产生的磁感应强度为零，已知外圆用铜线，其电阻率为1.7某10大学医学物理Q-cm内圆用铝线，电阻率为2.8某10Q-cm这些导线的截面积相同，外圆直径为200cm求内圆的直径。解:设外圆和内圆的半径分别为r1、r2,则外圆和内圆的导线长分别为L1=2兀r1,L2=2兀r2;它们的电阻率分别为p1、p2,已知两导线截面积相同，设为S,则由电阻公式可得两圆导线电阻R1和R2分别为R1=p1L1/S=2兀r1p1/SR2=2兀r2p2/S因为两圆导线上加的电压相同，设为U,则它们通过的电流分别为I1=U/R1=US/(2兀r1p1)I2=US/(2兀r2p2)由圆形电流磁场公式可得外圆和内圆产生的磁感应强度B1和B2分别为IUSUSB1010022r12r12r114r11IUSB202022r24r22因为圆心处的磁感强度为零，故B1与B2方向相反、大小相等，即B1=B2则由上面两式可得-60US0US4r1214r222-61r1211r222-6又知r1=1/2某200cm=100cmp1=1.7某10Q-cm,p2=2.8某10Q-cm,则由上式可得内圆半径为1r121.71061002r2cm78cm622.810由此可得内圆的直径为d=2r2=2某78cm=156cm6-5电流I=20A,流过半径R2=0.05m的金属薄圆筒，再从圆筒轴线的细导线流回来，-3细导线的半径R1=1.0某10m筒的长度为l=20m。求：①筒中离轴线0.02m处P点的B值；②筒外离轴线0.10m处Q点的B值（P、Q点均位于筒的中部）习题6-5附图（a）习题6-5附图（b）解:①由于筒长20m远大于0.02m和0.10m,故可看作成无限长。如附图所示，在垂大学医学物理直于圆筒轴线的平面上，以0.02m为半径以轴线为圆心过P点作一圆CP,作为积分回路，由于磁场方向与圆CP的切线方向相同，故。=0°,co0=1,且由于对称分布，在圆CP上B值处处相同，应用安培环路定理得CPBcodl0IB-2%r=0I-7-1已知r=0.02m,I=20A,0=4兀某10T・m・A,则由上式得0I410720BT2104T2r20.02②同理，以轴为圆心，0.1m为半径，过Q点作一圆CQ作为积分闭合回路，由安培环路定理得CQBcodl0I0（I轴I筒）0故筒外Q点的B=0o6-6一根载有电流I的无限长直导线，在一处分为对称的两路又合而为一，这两路均为半径为R的半圆（见本题附图），求圆心处的磁感应强度。解：由图可知，所求圆心O处的磁感应强度为直线电流与圆弧电流产生的磁场B1、B2的矢量和。先讨论直线电流产生的磁场B1。由于其上的任一电流元Idl与该电流元到O点的矢0Idlin0，故B1=Q24r再考虑两段半圆弧电流产生的磁场。由于电路的对称性，上下两段电路中电流相等，且I'=I/2。在上圆弧A点取一电流元I'dl。在下圆弧对应的A'点也同样取电流元I'dl（见附图）。由毕奥-萨伐尔定律知，这两小段电流元在圆心。处产生的磁场大小相等，但方向相反（由右手螺旋法则可判定），因此两段圆弧产生的磁场恰好互相抵消，由于圆弧电路的对称性，其他对应的两小段圆弧在O处产生的磁感应强度也恰好互相抵消，因此B2=Q由上面的讨论可知，圆心处的磁感应强度为零。习题6-6附图6-7如果一个电子在通过空间某一区域时，不发生偏转，能否肯定这个区域中没有磁场为什么答:运动电荷在磁场中将要受到一个磁场力的作用，其大小为F=qvBin0。可见F除了与q、v、B有关外，还与v和B的夹角0有关，当电子以顺着或逆着磁场方向通过磁场时，0=0°或。=180°,F=0,电子将不受力。所以当电子不偏转时，不能肯定这个区域中没有磁场。6-8一均匀磁场的磁感应强度的方向垂直向下，如果有两个电子以大小相等，方向相反的速度沿水平方向同时射入磁场，问这两个电子作何运动如果一个是正电子，一个是负电子，它们的运动又如何答：它们将在洛伦兹力的作用下，作圆周运动。由于它们的速度大小相同，方向相反，所受的洛伦兹力相等，方向相反，所以它们圆周运动的半径、周期相等，但一个是逆时针方向运动，另一个是顺时针方向运动。如果一个是正电子，一个是负电子，则两者所受的洛伦径r在一条直线上，ina=0,由毕奥-萨伐尔定律知dB大学医学物理兹力相等，方向相同，它们作同方向、同半径、同周期的圆周运动。-16-9一个典型的氢离子（质子）在室温下的速度为300m・，如果地磁场是1G,那么作用在氢离子上的最大磁场力是多少-19-1-4解：已知q=1.6某10C,v=300mn・，B=1G=10T由洛伦兹力公式F=qvBin0可知，在q、v、B一定的情况下，当0=%/2时，F最大，这时离子受到的最大磁场力为Fma®=qvB=1.6某10-19某300某10-4N=4.8某10-21N6-10彼此相距10cm的三根平行长直导线，各通有10A同方向的电流,试求各导线上每1cm上所受的作用力的大小和方向。解:彼此相距10cm的AC、D三根平行导线不在一个平面内，其水平俯视投影图为边长0.1m的等边三角形，如本题附图所示。各导线的电流I=10A,且方向相同，假设电流方向指向纸里(即三导线均垂直于纸面)。先来讨论导线A所受的力和方向。长直载流导线产生的磁感应线是以导线为中心的一些同心圆，C导线在A导线处产生的磁感应强度B1,应垂直于CA边，D导线在A处产生的磁感应强度B2,应垂直于DA边。根据长直电流磁场公式，B1和B2大小相等，其数值均为0I410710B1B2T2105T2a20.1由附图等边三角形的几何关系可知，B1和B2的夹角a=60°,其合磁场B的方向平行于底边CD大小为2BB12B22B1B2coB112co210522co600T2105T导线A所受的力，用安培力公式(F=IBLin0)计算，因为合磁感应强度与A导线垂直，0=兀/2,所以A导线1cm(0.01m)长度上所受的力为F1=BIL=2某10-5某10某0.01N*3.46某10-6N如附图所示，F1的方向指向三角形的重心。同理，可求得C、D导线所受力的大小等于F1,方向也是指向重心。如果三条导线中，有一条导线的电流方向与另外两条导线电流方向相反，结果又是怎样请读者白行分D析。习题6-10附图6-11电流元Idl在空间某点产生的磁感应强度与哪些因素有关其方向如何确定Idlin答:根据毕奥-萨伐尔定律dB0可知，电流元Idl在空间某点产生的磁感应4r2强度dB与Idl成正比，与dl和r之间小于180°的夹角&的正弦成正比，与Idl到该点的距离r平方成反比。其方向由右手螺旋法则确定，拇指与四指垂直，四指从Idl经小于180°的角转向r时，贝U伸直拇指所指的方向即代dB的方向。-36-12在利用磁场聚焦中，电子在B=2某10T的磁场中沿半径为2cm的螺旋线运动，大学医学物理螺距为5cm,求电子的速度。-3-2-31-19解：已知B=2某10T,h=5cm=*10mm=9.1某10kg,q=1.6某10C,根据磁场聚焦的螺距公式h=2兀mvco。/（qB）可得vco0=qBh/（2兀m）=（1.6某10-19某2某10-3某5某10-2）/（2某3.14某9.1某10-31）m・-16-1^2.8某10m・6-1在磁场聚焦中，0一般都比较小，vcoeQV,即电子的速度v2.8某10m-7-16-13有一均匀磁场，B=200G方向垂直于纸面向里，电子的速度为10m-,方向平行纸面向上，如果要保持电子作匀速直线运动，应加多大的电场，其指向什么方向解：由题意可知，电子将受到一个向右的洛伦兹力作用，要想让电子作匀速直线运动（其运动方向与电流方向相反），可加一向右的电场，使之对电子产生一个方向向左的电场力F2=Eq其大小等于向右的洛伦兹力F1=qvB,即Eq=qvB已知B=200G=^10T,v=10m・，由上式可得电场强度为E=vB=107某2某10-2NJ-C-1=2某105N・C-16-14把厚度为1.0mm的铜片放于B=1.5T的磁场中，磁场垂直通过铜片，如果铜片载28-3有200A的电流，已知铜的电子密度n=8.4某10m求：①铜片上下两侧的霍尔电势差；铜片的霍尔系数。-3解:①已知d=1mm=1QmB=1.5T,I=200A,根据霍尔电势差公式得U=kIB/d=（7.44某10-11某200某1.5）/10-3V=2.23某10-5V=22.3I可见，铜的霍尔电势差很小，主要是因为铜的电子数密度大，导致霍尔系数很小。-1928-3②已知电子的电量q=1.6某10C,铜的电子数密度n=8.4某10m代入霍尔系数公式得28-193-1-113-1k=1/(nq)=1/(8.4某10某1.6某10)m・C=7.44某10m・C6-15有三种不同的导电薄片，它们的载流子浓度之比为1：2：3,厚度之比为1：2：3,当通过它们的电流相同，垂直于它们的磁场B也相同时，求它们的霍尔电势差之比。解:根据霍尔电势差公式U1IB,可得三种材料的霍尔电势差之比为nqd-27-1U1:U2:U3I1B1I2B2I3B3::n1qd1n2qd2n3qd3已知I1=I2=I3,B1=B2=B3n1:n2:n3=1:2:3,d1:d2:d3=1:2:3,代入上式得U1：U2：U3=1：1：1946-16把直径为0.5cm的血管放在电磁流量计的磁极N、S之间，B=300G测得感应电-5压为1.5某10V,求：①血管中血流的平均速度；②血流以平均速度流动时的血流量。-3-5-2解：①已知D=0.5cm=5M10mU=1.5某10V,B=300G=：M10T,代入电磁流量法的血流平均速度公式得U1.5105m10.1m132DB510310大学医学物理②血流量Q应等于v与血管横截面积S之积，即3.14(5103)231QS0.1m441.96106m311.96mL16-17一半圆形闭合线圈，半径R=10cm通以电流I=10A,放在B=5000GW均匀磁场中，磁场方向(假设向右)与线圈平面平行，求线圈所受的力矩大小和方向。BBMIIF1n-F21-2F11F22n-题6-17附-IIM习题6-17附图(a)习题6-17附图(b)解：设线圈平面处于垂直平面内，线圈中的电流方向为顺时针方向，因为磁场方向(假设向右)与线圈平面平行，所以线圈法线方向垂直于纸面，指向纸里，与磁场方向的夹角。=3兀/2(即in0=-1)。已知R=10cm=0.1mI=10A,B=5000G=0.5T由载流线圈力矩公式可得D2M=IBS・in0=:10某0.5某1某3.14某(0.1)2某(-1)]N・m=7.85某10-2N・m2力矩M的方向向下，力矩M将使线圈按顺时针方向转动，使线圈法线方向与磁场方向一致。若电流方向为逆时针方向，这时线圈法线方向仍垂直于纸面，但指向纸外，力矩M的大小不变，方向向上，M将使线圈沿逆时针方向转动，使线圈法线方向与磁场方向一致。如果磁场方向向左，线圈又是怎样旋转请读者白己。6-18有一边长为20cm的正方形线圈，共10匝，通过的电流为100mA置于B=1.5T的均匀磁场之中，求：①该线圈的磁矩；②所受到的最大力矩；③当所受力矩最小时，线圈磁矩方向与磁场方向的夹角。-22解:①已知S=20cm<20cm=4.0某10mN=10,I=100mA=0.1A,根据磁矩公式可得正方形线圈的磁矩为Pm=NIS=1（M0.1某4.0某10-2A・m2=4.0某10-2A・m2已知B=1.5T,由力矩公式M=PmBin0可知，最大力矩为（这时in0=1）M=PmB=4.0某10-2某1.5N-m=6.0某10-2N-m由力矩公式M=PBin0可知，当0=0时，M=0此时力矩最小，线圈磁矩的方向即线圈法线方向与磁场方向一致，或者说线圈平面垂直于磁场方向。6-19一根导线长为L,载有电流I,把导线绕成N匝圆形线圈，并置于磁感应强度为B的匀强磁场中，求证：当线圈只有一匝时，它受的力矩最大，且等于12LIB。4大学医学物理证明：已知导线长度为L,绕成N匝圆形线圈，设其半径为R则有N•2兀R=LR=由此可得该圆形线圈的面积为L2NL2L2)S=兀R=t:(22N4N2由载流线圈的力矩公式可得L2IBL2M=NIBSin0=NIB•-in0=in04N4N2从上式可知，在L、I、B一定，且0=%/2时，只有当N=1,力矩M才最大，其值为MmcM=12LIB4证毕。-3-24-16-20电量为-10C,质量为10kg的带电粒子，沿某方向以10m・的速度进入B为2T的磁场，磁场的方向垂直于某Y平面并指向纸面向里，求：①磁场对带电粒子作用力的大小和方向；②带电粒子作圆周运动时产生的磁矩大小和方向；③带电粒的动能是否会发生变化-3-24-1解：①已知q=—10C,m=10kgv=10m・，B=2T,in0=1,见J由洛伦兹力公式可计算出带电粒子所受磁场力的大小F=qvB=10-3某104某2=20N该带电粒子受力方向向下，即Y的负方向(因为是负电荷)带电粒子在磁场中作圆周运动，旋转一周所需的时间T=运动的等效电流为2m则该带电粒子作圆周qBqBq2BI=q/T=-q=2m2m该圆周的半径R=mv/(qB),则其面积为m2v2S=TtRf22qB2由磁矩公式可得该运动电荷的磁矩为q2Bm2v2mv2102(104)2Am2.5某105A・mPm=IS=22==2mqB2B22在本题的条件下，负电荷在洛伦兹力作用下沿顺时针方向作圆周运动,故等效电流方向为逆时针方向，根据右手螺旋法则，磁矩方向应垂直于纸面向外。由于洛伦兹力只改变带电粒子的运动方向，而不改变其速度的大小,所以粒子的动能不会变化。大学医学物理6-21根据原子和分子的微观结构，解释物质为什么具有磁性答:组成物质的分子和原子中的每一个电子都同时参与两种运动，即环绕原子核的轨道运动和绕其白身轴的白旋运动。两种运动都会形成磁矩,对外产生一定的磁效应，所以物质都具有磁性。6-22就磁性而言，物质可分为哪三类它们被磁化后的附加磁场各有什么特点答：就磁性而言，物质可分为顺磁质、抗磁质、铁磁质。顺磁质的附加磁场很微弱，与外磁场方向相同；抗磁质的附加磁场也很微弱，与外磁场方向相反；铁磁质的附加磁场与外磁场方向相同，它可以比外磁场大几十到几千倍。6-23什么叫超导体、超导态、超导转变温度、迈斯纳效应答:①具有电阻为零的导电特性的物质叫超导体。物质处在电阻为零的状态叫超导态。电阻突然为零的温度叫超导转变温度，又叫临界温度。超导体在超导状态时，不仅电阻为零，而且具有抗磁性，外界磁场不能渗入超导体内，这种现象称为迈斯纳效应。6-24涡旋电场与静电场有何不同，你能仿照磁场写出涡旋电场的高斯定理吗答：涡旋电场与静电场有两点区别：静电场是无旋场，电场线起于正电荷而终于负电荷；涡旋电场是有旋场，其电场线是无头无尾的连续闭合曲线。静电场是位场（无旋场），可以引入电势概念；涡旋电场是涡旋场（非位场），不能引入电势概念。由于涡旋电场的电场线是闭合曲线，如果在涡旋电场中做一闭合曲面，则由闭合曲面的一侧穿入的电场线必从曲面的另一侧穿出，设穿入的电通量为负，穿出的为正，则通过涡旋电场中任意闭合曲面的电通量为零，即EdSQS6-25如图所示，矩形线圈在长直载流导线周围分别作以下的运动，请判断哪些运动线圈内将产生感应电流，并标出其方向。①以速度v平动，方向分别沿导线方向，在纸面上靠近直导线，垂直纸面向纸内；②绕OO轴转动。解:根据电磁感应定律，当通过一个闭合导体回路所包围面积的磁通量发生变化时，回路中就产生感应电流，且感应电流产生的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化。由长直载流导线周围磁场公式B=01可知，当线圈以2a速度v沿导线电流方向平动时，各处与载流导线距离a未改变因而通过矩形线圈的磁通量没有变化，线圈中无感应电流。当线圈在纸面上靠近直导线时，磁场加强，磁通量增加，线圈中会产生一个顺时针方向流动的感应电流；当线圈垂直纸面在向纸内运动时，远离载流导线，磁场减弱，磁通量减小，线圈会产生一个逆时针方向流动的感应电流。绕OO轴转动时，虽然上、下两个矩形线圈所处的磁场未改变，但由于正对磁场方向的有效面积发生变化，因此当它们从平行于纸面转到垂直于纸面时，通过它们的磁通量不断减少，这时感应电流的方向为顺时针方向，而从垂直于纸面转到平行于纸面时，磁通量不断增加，这时感应电流的方向大学医学物理为逆时针方向。中间的矩形线圈转动时，由于正对磁场方向的有效面积变化以及相对于直导线的距离变化，所以通过它的磁通量发生了改变。当线圈从右边平行于纸面转到垂直于纸面时，磁通量减小，感应电流的方向为顺时针方向，而从垂直于纸面转到左边平行于纸面时，磁通量增加，感应电流为逆时针方向。从左边平行于纸面转到垂直于纸面时，磁通量减小，感应电流为顺时针方向，而从垂直于纸面转到右边平行于纸面时，磁通量增加，感应电流为逆时针方向。26-26长直螺线管长15cm共绕120匝，截面积为4cm内无铁心。①当电流在0.1内白5A减少到0时，求螺线管两端的白感电动势；②若是通I=15in100兀t的交流电，则线圈中感应电动势的最大值是多少2-32解：已知l=15cm=0.15m,N=120匝，S=40cm=<10m因管内无铁心，故螺线管内磁感应强度为B=v0nI=v0通过N匝线圈的磁链为NIlN2I①=NBS=i0Sl而①=LI,故N21202-7-3-4L=0）/I=v0S=4兀某10某某4某10H=4.8某10H0.15l当电流在0.1内白5A减少到0时，螺线管两端的白感电动势为&白=—LdI05-4-2=—4.8某10某V=2.4某10V0.1dt若是通过I=15in100兀t的交流电，则&白=—LdI=—L（1500兀某co100兀t）dt当co100兀t=1时，线圈中感应电动势最大，其值为-4ema某=1500兀L=1500某3.14某4.8某10V=2.3V6-27如图所示，在B=0.01T的磁场中，一长20cm的金属棒AB在垂直匀强磁场的平面-1上①以v=5cm-的速度平动，求棒的两端A,B之间的感应电势差;②绕白身的中点O-1转动，转速为5r•，求棒的两端A,B之间的感应电势差及一端A与中点。之间的感应电势差。解：已知B=0.01T,l=20cm=0.2m,且v^B①当棒以如图所示的方向，大小为v=5cm・=0.05m・的速度平动时，单位正电荷受到的洛仑兹力F=v某B与棒的段元dl(方向从A指向B)的夹角为。，棒两端A、B间的感应电势差为&AB1-1=(vB)dlABBAvBcodlvBlco若棒的运动方向与棒垂直，且。=0°,即棒向左下方移动时-4£AB=vBlco0=vBl=0.05某0.01某0.2V=1某10V大学医学物理当。=180°,即棒向右上方移动时-4£AB=vBlco180=—vBl=—1某10V负号表示B端为感应电动势的负极、A端为正极。当。=90°,即棒沿着与棒平行的方向运动时&AB=vBlco90=0某某某某I某某某某某某某某某某B某某某某某某某某习题6-27附图（a）习题6-27附图（b）-1-1②当棒绕白身的中点O顺时针转动，转速w=5「・=31.4rad•时,OAOB（vB）dlvBdlwlBdlwlBdlwBl2OOOAAAl2O18131.40.010.22V1.57103V8即A、B两点电势相同，£AB=0A点电势比。点高1.57某10V。同理，当棒绕白身中点O逆时针转动时-3OAOB（vB）dlvBdlwBl2OOAA18131.40.010.22V1.57103V8-3即A点电势比。点低1.57某10V,且8AB=Q6-28一长直螺线管，直径为1.0cm,长12cm共500匝，求螺线管的白感系数。2解：已知d=1.0cm=0.01m,l=12cm=0.12m,N=50Q由例题（6-5）白感系数L=v0nV可得N2d2N22L0()l()0dl24l250041070.012H2.05104H40.12