材料力学全套讲义

材料力学全套第一章绪论目录材料力学全套第一章绪论§1.1材料力学的任务§1.2变形固体的基本假设§1.3外力及其分类§1.4内力、截面法及应力的概念§1.5变形与应变§1.6杆件变形的基本形式目录材料力学全套§1.1材料力学的任务传统具有柱、梁、檩、椽的木制房屋结构古代建筑结构目录建于隋代（605年）的河北赵州桥桥长64.4米，跨径37.02米，用石2800吨一、材料力学与工程应用材料力学全套古代建筑结构建于辽代（1056年）的山西应县佛宫寺释迦塔塔高9层共67.31米，用木材7400吨900多年来历经数次地震不倒，现存唯一木塔目录§1.1材料力学的任务材料力学全套四川彩虹桥坍塌目录§1.1材料力学的任务材料力学全套美国纽约马尔克大桥坍塌比萨斜塔§1.1材料力学的任务材料力学全套目录§1.1材料力学的任务1、构件：工程结构或机械的每一组成部分。（例如：行车结构中的横梁、吊索等）理论力学—研究刚体，研究力与运动的关系。材料力学—研究变形体，研究力与变形的关系。二、基本概念2、变形：在外力作用下，固体内各点相对位置的改变。(宏观上看就是物体尺寸和形状的改变）材料力学全套3、内力：构件内由于发生变形而产生的相互作用力。（内力随外力的增大而增大）强度：在载荷作用下，构件抵抗破坏的能力。刚度：在载荷作用下，构件抵抗变形的能力。塑性变形(残余变形)—外力解除后不能消失弹性变形—随外力解除而消失｛§1.1材料力学的任务目录材料力学全套§1.1材料力学的任务4、稳定性：在载荷作用下，构件保持原有平衡状态的能力。强度、刚度、稳定性是衡量构件承载能力的三个方面，材料力学就是研究构件承载能力的一门科学。目录材料力学全套研究构件的强度、刚度和稳定性,还需要了解材料的力学性能。因此在进行理论分析的基础上，实验研究是完成材料力学的任务所必需的途径和手段。目录§1.1材料力学的任务材料力学的任务就是在满足强度、刚度和稳定性的要求下，为设计既经济又安全的构件，提供必要的理论基础和计算方法。三、材料力学的任务若：构件横截面尺寸不足或形状不合理,或材料选用不当___不满足上述要求,不能保证安全工作.若：不恰当地加大横截面尺寸或选用优质材料___增加成本,造成浪费均不可取}材料力学全套构件的分类：杆件、板壳*、块体*§1.1材料力学的任务材料力学主要研究杆件等截面直杆——等直杆四、材料力学的研究对象直杆——轴线为直线的杆曲杆——轴线为曲线的杆{等截面杆——横截面的大小形状不变的杆变截面杆——横截面的大小或形状变化的杆{目录材料力学全套§1.2变形固体的基本假设1、连续性假设：认为整个物体体积内毫无空隙地充满物质在外力作用下，一切固体都将发生变形，故称为变形固体。在材料力学中，对变形固体作如下假设：目录灰口铸铁的显微组织球墨铸铁的显微组织材料力学全套2、均匀性假设：认为物体内的任何部分，其力学性能相同§1.2变形固体的基本假设普通钢材的显微组织优质钢材的显微组织目录材料力学全套§1.2变形固体的基本假设ABCFδ1δ2如右图，δ远小于构件的最小尺寸，所以通过节点平衡求各杆内力时，把支架的变形略去不计。计算得到很大的简化。4、小变形与线弹性范围3、各向同性假设：认为在物体内各个不同方向的力学性能相同（沿不同方向力学性能不同的材料称为各向异性材料。如木材、胶合板、纤维增强材料等）认为构件的变形极其微小，比构件本身尺寸要小得多。目录材料力学全套§1.3外力及其分类外力：来自构件外部的力（载荷、约束反力）按外力作用的方式分类体积力：连续分布于物体内部各点的力。如重力和惯性力面力：连续分布于物体表面上的力。如油缸内壁的压力，水坝受到的水压力等均为分布力若外力作用面积远小于物体表面的尺寸，可作为作用于一点的集中力。如火车轮对钢轨的压力等分布力：集中力：目录材料力学全套按外力与时间的关系分类载荷缓慢地由零增加到某一定值后，就保持不变或变动很不显著，称为静载。静载：动载：载荷随时间而变化。如交变载荷和冲击载荷§1.3外力及其分类交变载荷冲击载荷目录材料力学全套内力：外力作用引起构件内部的附加相互作用力。求内力的方法—截面法目录§1.4内力、截面法和应力的概念(1)假想沿m-m横截面将杆切开(2)留下左半段或右半段(3)将弃去部分对留下部分的作用用内力代替(4)对留下部分写平衡方程，求出内力的值。材料力学全套FSMFFaa目录§1.4内力、截面法和应力的概念例如材料力学全套例1.1钻床求：截面m-m上的内力。用截面m-m将钻床截为两部分，取上半部分为研究对象，解：受力如图：§1.4内力、截面法和应力的概念列平衡方程:目录FNM材料力学全套目录§1.4内力、截面法和应力的概念为了表示内力在一点处的强度，引入内力集度,即应力的概念。——平均应力——C点的应力应力是矢量，通常分解为—正应力—切应力应力的国际单位为Pa（帕斯卡）1Pa=1N/m21kPa=103N/m21MPa=106N/m21GPa=109N/m2材料力学全套§1.5变形与应变1.位移刚性位移；MM'MM'变形位移。2.变形物体内任意两点的相对位置发生变化。取一微正六面体两种基本变形：线变形——线段长度的变化DxDx+DsxyogMM'LNL'N'角变形——线段间夹角的变化目录材料力学全套3.应变x方向的平均应变：正应变（线应变）§1.5变形与应变DxDx+DsxyogMM'LNL'N'M点处沿x方向的应变：切应变（角应变）类似地，可以定义M点在xy平面内的切应变为：均为无量纲的量。目录材料力学全套§1.5变形与应变例1.2已知：薄板的两条边固定，变形后a'b,a'd仍为直线。解：250200adcba'0.025gab,ad两边夹角的变化：即为切应变。目录求：ab边的m和ab、ad两边夹角的变化。材料力学全套拉压变形拉伸（压缩）、剪切、扭转、弯曲剪切变形杆件的基本变形：目录§1.6杆件变形的基本形式材料力学全套扭转变形弯曲变形目录§1.6杆件变形的基本形式材料力学全套第二章拉伸、压缩与剪切(1)目录材料力学全套第二章拉伸、压缩与剪切目录§2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力§2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力§2.4材料拉伸时的力学性能§2.5材料压缩时的力学性能§2.7失效、安全因数和强度计算§2.8轴向拉伸或压缩时的变形§2.9轴向拉伸或压缩的应变能§2.10拉伸、压缩超静定问§2.11温度应力和装配应力§2.12应力集中的概念§2.13剪切和挤压的实用计算材料力学全套§2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例目录材料力学全套§2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例目录材料力学全套作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。拉（压）杆的受力简图FF拉伸FF压缩§2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例目录受力特点与变形特点：材料力学全套§2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例目录材料力学全套§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力1、截面法求内力FFmmFFNFFN目录(1)假想沿m-m横截面将杆切开(2)留下左半段或右半段(3)将弃去部分对留下部分的作用用内力代替(4)对留下部分写平衡方程求出内力即轴力的值材料力学全套§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力2、轴力：截面上的内力FFmmFFNFFN目录由于外力的作用线与杆件的轴线重合，内力的作用线也与杆件的轴线重合。所以称为轴力。3、轴力正负号：拉为正、压为负4、轴力图：轴力沿杆件轴线的变化材料力学全套§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力已知F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图。11例题2.1FN1F1解：1、计算各段的轴力。F1F3F2F4ABCD2233FN3F4FN2F1F2AB段BC段CD段2、绘制轴力图。目录材料力学全套§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力目录材料力学全套§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积有关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。目录在拉（压）杆的横截面上，与轴力FN对应的应力是正应力。根据连续性假设，横截面上到处都存在着内力。于是得静力关系：材料力学全套§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力目录平面假设—变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。横向线ab、cd仍为直线，且仍垂直于杆轴线，只是分别平行移至a’b’、c’d’。观察变形：材料力学全套§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力目录从平面假设可以判断：（1）所有纵向纤维伸长相等（2）因材料均匀，故各纤维受力相等（3）内力均匀分布，各点正应力相等，为常量材料力学全套§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力该式为横截面上的正应力σ计算公式。正应力σ和轴力FN同号。即拉应力为正，压应力为负。圣维南原理目录材料力学全套§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力目录材料力学全套§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力例题2.2图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15×15的方截面杆。FABC解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）用截面法取节点B为研究对象45°12FBF45°目录材料力学全套§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力2、计算各杆件的应力。FABC45°12FBF45°目录材料力学全套§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力例题2.2悬臂吊车的斜杆AB为直径d=20mm的钢杆，载荷W=15kN。当W移到A点时，求斜杆AB横截面上的应力。解：当载荷W移到A点时，斜杆AB受到拉力最大，设其值为Fmax。讨论横梁平衡目录0.8mABC1.9mdCA材料力学全套§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力由三角形ABC求出斜杆AB的轴力为斜杆AB横截面上的应力为目录0.8mABC1.9mdCA材料力学全套§2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力实验表明：拉（压）杆的破坏并不总是沿横截面发生，有时却是沿斜截面发生的。目录材料力学全套§2.4材料拉伸时的力学性能力学性能：在外力作用下材料在变形和破坏方面所表现出的力学特性。一试件和实验条件常温、静载目录材料力学全套§2.4材料拉伸时的力学性能目录材料力学全套§2.4材料拉伸时的力学性能二低碳钢的拉伸目录材料力学全套§2.4材料拉伸时的力学性能明显的四个阶段1、弹性阶段ob比例极限弹性极限2、屈服阶段bc（失去抵抗变形的能力）屈服极限3、强化阶段ce（恢复抵抗变形的能力）强度极限4、局部径缩阶段ef目录胡克定律E—弹性模量（GN/m2）材料力学全套§2.4材料拉伸时的力学性能两个塑性指标:断后伸长率断面收缩率为塑性材料为脆性材料低碳钢的为塑性材料目录材料力学全套§2.4材料拉伸时的力学性能三卸载定律及冷作硬化1、弹性范围内卸载、再加载2、过弹性范围卸载、再加载材料在卸载过程中应力和应变是线性关系，这就是卸载定律。材料的比例极限增高，延伸率降低，称之为冷作硬化或加工硬化。目录材料力学全套§2.4材料拉伸时的力学性能四其它材料拉伸时的力学性质对于没有明显屈服阶段的塑性材料，用名义屈服极限σp0.2来表示。目录材料力学全套§2.4材料拉伸时的力学性能对于脆性材料（铸铁），拉伸时的应力应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和径缩现象，试件突然拉断。断后伸长率约为0.5%。为典型的脆性材料。σbt—拉伸强度极限（约为140MPa）。它是衡量脆性材料（铸铁）拉伸的唯一强度指标。目录材料力学全套第二章拉伸、压缩与剪切(2)目录材料力学全套§2.5材料压缩时的力学性能一试件和实验条件常温、静载目录材料力学全套§2.5材料压缩时的力学性能二塑性材料（低碳钢）的压缩拉伸与压缩在屈服阶段以前完全相同。屈服极限比例极限弹性极限E---弹性摸量目录材料力学全套§2.5材料压缩时的力学性能三脆性材料（铸铁）的压缩脆性材料的抗拉与抗压性质不完全相同压缩时的强度极限远大于拉伸时的强度极限目录材料力学全套目录§2.5材料压缩时的力学性能材料力学全套§2.7失效、安全因数和强度计算一、安全因数和许用应力工作应力极限应力塑性材料脆性材料塑性材料的许用应力脆性材料的许用应力目录n—安全因数—许用应力材料力学全套§2.7失效、安全因数和强度计算二、强度条件根据强度条件，可以解决三类强度计算问题1、强度校核：2、设计截面：3、确定许可载荷：目录材料力学全套§2.7失效、安全因数和强度计算例题2.4油缸盖与缸体采用6个螺栓连接。已知油缸内径D=350mm，油压p=1MPa。螺栓许用应力[σ]=40MPa，求螺栓的内径。每个螺栓承受轴力为总压力的1/6解：油缸盖受到的力根据强度条件即螺栓的轴力为得即螺栓的直径为目录材料力学全套§2.7失效、安全因数和强度计算例题2.5AC为50×50×5的等边角钢，AB为10号槽钢，〔σ〕=120MPa。确定许可载荷F。解：1、计算轴力（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）用截面法取节点A为研究对象2、根据斜杆的强度，求许可载荷AFα查表得斜杆AC的面积为A1=2×4.8cm2目录材料力学全套§2.7失效、安全因数和强度计算3、根据水平杆的强度，求许可载荷AFα查表得水平杆AB的面积为A2=2×12.74cm24、许可载荷目录材料力学全套§2.8轴向拉伸或压缩时的变形一纵向变形二横向变形钢材的E约为200GPa，μ约为0.25—0.33EA为抗拉刚度泊松比横向应变目录{材料力学全套§2.8轴向拉伸或压缩时的变形目录材料力学全套§2.8轴向拉伸或压缩时的变形目录对于变截面杆件（如阶梯杆），或轴力变化。则材料力学全套例题2.6AB长2m,面积为200mm2。AC面积为250mm2。E=200GPa。F=10kN。试求节点A的位移。解：1、计算轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）取节点A为研究对象2、根据胡克定律计算杆的变形。AF300§2.8轴向拉伸或压缩时的变形斜杆伸长水平杆缩短目录材料力学全套3、节点A的位移（以切代弧）§2.8轴向拉伸或压缩时的变形AF300目录材料力学全套§2.9轴向拉伸或压缩的应变能在范围内,有应变能（）：固体在外力作用下，因变形而储存的能量称为应变能。目录1lD材料力学全套§2.10拉伸、压缩超静定问题约束反力（轴力）可由静力平衡方程求得静定结构：目录材料力学全套§2.10拉伸、压缩超静定问题约束反力不能由平衡方程求得超静定结构：结构的强度和刚度均得到提高超静定度（次）数：约束反力多于独立平衡方程的数独立平衡方程数：平面任意力系：3个平衡方程平面共点力系：2个平衡方程目录材料力学全套§2.10拉伸、压缩超静定问题1、列出独立的平衡方程超静定结构的求解方法：2、变形几何关系3、物理关系4、补充方程5、求解方程组，得例题2.7目录图示结构，1、2杆抗拉刚度为E1A1，3杆抗拉刚度为E3A3，在外力F作用下，求三杆轴力？材料力学全套§2.10拉伸、压缩超静定问题例题2.8目录在图示结构中，设横梁AB的变形可以省略，1，2两杆的横截面面积相等，材料相同。试求1，2两杆的内力。1、列出独立的平衡方程解：2、变形几何关系3、物理关系4、补充方程5、求解方程组得材料力学全套§2.11温度应力和装配应力一、温度应力已知：材料的线胀系数温度变化（升高）1、杆件的温度变形（伸长）2、杆端作用产生的缩短3、变形条件4、求解未知力即温度应力为目录材料力学全套§2.11温度应力和装配应力二、装配应力已知：加工误差为求：各杆内力。1、列平衡方程2、变形协调条件3、将物理关系代入解得因目录材料力学全套§2.12应力集中的概念常见的油孔、沟槽等均有构件尺寸突变，突变处将产生应力集中现象。即理论应力集中因数1、形状尺寸的影响：2、材料的影响：应力集中对塑性材料的影响不大；应力集中对脆性材料的影响严重，应特别注意。目录尺寸变化越急剧、角越尖、孔越小，应力集中的程度越严重。材料力学全套一.剪切的实用计算§2-13剪切和挤压的实用计算铆钉连接剪床剪钢板FF目录材料力学全套销轴连接§2-13剪切和挤压的实用计算剪切受力特点：作用在构件两侧面上的外力合力大小相等、方向相反且作用线很近。变形特点：位于两力之间的截面发生相对错动。目录材料力学全套FF§2-13剪切和挤压的实用计算FnnFFsnFnFsnnF｛｛｝｝FsFsnnFmm目录材料力学全套§2-13剪切和挤压的实用计算假设切应力在剪切面（m-m截面）上是均匀分布的,得实用切应力计算公式：切应力强度条件：许用切应力，常由实验方法确定塑性材料：脆性材料：目录材料力学全套二.挤压的实用计算假设应力在挤压面上是均匀分布的得实用挤压应力公式*注意挤压面面积的计算FF§2-13剪切和挤压的实用计算挤压力Fbs=F（1）接触面为平面Abs—实际接触面面积（2）接触面为圆柱面Abs—直径投影面面积目录材料力学全套塑性材料：脆性材料：§2-13剪切和挤压的实用计算挤压强度条件：许用挤压应力，常由实验方法确定(a)d(b)dδ(c)目录材料力学全套§2-13剪切和挤压的实用计算目录材料力学全套为充分利用材料，切应力和挤压应力应满足§2-13剪切和挤压的实用计算得：目录材料力学全套图示接头，受轴向力F作用。已知F=50kN，b=150mm，δ=10mm，d=17mm，a=80mm，[σ]=160MPa，[τ]=120MPa，[σbs]=320MPa，铆钉和板的材料相同，试校核其强度。2.板的剪切强度解：1.板的拉伸强度§2-13剪切和挤压的实用计算例题3-1目录材料力学全套3.铆钉的剪切强度4.板和铆钉的挤压强度结论：强度足够。§2-13剪切和挤压的实用计算目录材料力学全套§2-13剪切和挤压的实用计算例题3-2平键连接图示齿轮用平键与轴连接，已知轴的直径d=70mm，键的尺寸为，传递的扭转力偶矩Me=2kN·m，键的许用应力[τ]=60MPa，[]=100MPa。试校核键的强度。OFdMe｝nnhb(a)FSMennO(b)0.5hFSnnb(c)目录材料力学全套§2-13剪切和挤压的实用计算解：（1）校核键的剪切强度由平衡方程得（2）校核键的挤压强度由平衡方程得或平键满足强度要求。目录材料力学全套小结1.轴力的计算和轴力图的绘制2.典型的塑性材料和脆性材料的主要力学性能及相关指标3.横截面上的应力计算，拉压强度条件及计算4.拉（压）杆的变形计算，桁架节点位移5.拉压超静定的基本概念及超静定问题的求解方法目录6.剪切变形的特点,剪切实用计算,挤压实用计算材料力学全套第三章扭转材料力学全套第三章扭转§3.1扭转的概念和实例§3.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图§3.3纯剪切§3.4圆轴扭转时的应力§3.5圆轴扭转时的变形§3.7非圆截面杆扭转的概念材料力学全套汽车传动轴§3.1扭转的概念和实例材料力学全套汽车方向盘§3.1扭转的概念和实例材料力学全套杆件受到大小相等,方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用,杆件的横截面绕轴线产生相对转动。受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。扭转受力特点及变形特点:§3.1扭转的概念和实例材料力学全套直接计算1.外力偶矩§3.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图材料力学全套按输入功率和转速计算电机每秒输入功：外力偶作功完成：已知轴转速－n转/分钟输出功率－P千瓦求：力偶矩Me§3.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图材料力学全套T=Me2.扭矩和扭矩图§3.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图用截面法研究横截面上的内力材料力学全套扭矩正负规定右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)§3.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图材料力学全套扭矩图§3.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图材料力学全套解:(1)计算外力偶矩例题3.1§3.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图传动轴,已知转速n=300r/min,主动轮A输入功率PA=45kW,三个从动轮输出功率分别为PB=10kW,PC=15kW,PD=20kW.试绘轴的扭矩图.由公式材料力学全套(2)计算扭矩(3)扭矩图§3.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图材料力学全套§3.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图传动轴上主、从动轮安装的位置不同，轴所承受的最大扭矩也不同。ABCDA318N.m795N.m1432N.m材料力学全套§3.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图材料力学全套§3.3纯剪切一、薄壁圆筒扭转时的切应力将一薄壁圆筒表面用纵向平行线和圆周线划分；两端施以大小相等方向相反一对力偶矩。圆周线大小形状不变，各圆周线间距离不变；纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只是倾斜了一个角度。观察到：结果说明横截面上没有正应力材料力学全套§3.3纯剪切采用截面法将圆筒截开，横截面上分布有与截面平行的切应力。由于壁很薄，可以假设切应力沿壁厚均匀分布。由平衡方程，得二、切应力互等定理材料力学全套§3.3纯剪切在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。纯剪切各个截面上只有切应力没有正应力的情况称为纯剪切切应力互等定理：材料力学全套§3.3纯剪切三、切应变剪切胡克定律在切应力的作用下，单元体的直角将发生微小的改变，这个改变量称为切应变。当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变与切应力τ成正比，这个关系称为剪切胡克定律。G—剪切弹性模量(GN/m2)各向同性材料，三个弹性常数之间的关系：τ材料力学全套§3.4圆轴扭转时的应力1.变形几何关系观察变形：圆周线长度形状不变，各圆周线间距离不变，只是绕轴线转了一个微小角度；纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只是倾斜了一个微小角度。圆轴扭转的平面假设：圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间的距离不变。MexppqqMexppqqMeMe材料力学全套§3.4圆轴扭转时的应力扭转角（rad）dx微段两截面的相对扭转角边缘上a点的错动距离：边缘上a点的切应变：发生在垂直于半径的平面内。MeppqqMedcabb′ppqq材料力学全套§3.4圆轴扭转时的应力距圆心为的圆周上e点的错动距离：距圆心为处的切应变：也发生在垂直于半径的平面内。—扭转角沿x轴的变化率。dcabb′ppqqee′材料力学全套§3.4圆轴扭转时的应力2.物理关系根据剪切胡克定律距圆心为处的切应力：垂直于半径横截面上任意点的切应力与该点到圆心的距离成正比。材料力学全套§3.4圆轴扭转时的应力3.静力关系横截面对形心的极惯性矩材料力学全套§3.4圆轴扭转时的应力公式适用于：1）圆杆2）令抗扭截面系数在圆截面边缘上，有最大切应力横截面上某点的切应力的方向与扭矩方向相同，并垂直于半径。切应力的大小与其和圆心的距离成正比。材料力学全套实心轴§3.4圆轴扭转时的应力与的计算材料力学全套空心轴令则§3.4圆轴扭转时的应力材料力学全套§3.4圆轴扭转时的应力实心轴与空心轴与对比材料力学全套§3.4圆轴扭转时的应力扭转强度条件：1.等截面圆轴：2.阶梯形圆轴：材料力学全套§3.4圆轴扭转时的应力强度条件的应用（1）校核强度（2）设计截面（3）确定载荷材料力学全套§3.4圆轴扭转时的应力例3.2由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径D=89mm、壁厚=2.5mm，材料为20号钢，使用时的最大扭矩T=1930N·m,[]=70MPa.校核此轴的强度。解：（1）计算抗扭截面模量cm3（2）强度校核满足强度要求材料力学全套§3.4圆轴扭转时的应力例3.3如把上例中的传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定其直径。并比较实心轴和空心轴的重量。解：当实心轴和空心轴的最大应力同为[]时，两轴的许可扭矩分别为若两轴强度相等，则T1=T2，于是有材料力学全套§3.4圆轴扭转时的应力在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横截面面积之比。可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的31%。实心轴和空心轴横截面面积为材料力学全套已知：P＝7.5kW,n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比=0.5。二轴长度相同。求:实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。解：首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩实心轴例题3.4§3.4圆轴扭转时的应力材料力学全套空心轴d2＝0.5D2=23mm§3.4圆轴扭转时的应力确定实心轴与空心轴的重量之比长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：实心轴d1=45mm空心轴D2＝46mmd2＝23mm材料力学全套P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kWn1=n2=120r/min解：1、计算各轴的功率与转速2、计算各轴的扭矩例题3.53§3.4圆轴扭转时的应力求:各轴横截面上的最大切应力；并校核各轴强度。已知：输入功率P1＝14kW,P2=P3=P1/2，n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm.[]=30MPa。.T1=M1=1114NmT2=M2=557NmT3=M3=185.7Nm材料力学全套3、计算各轴的横截面上的最大切应力；校核各轴强度3§3.4圆轴扭转时的应力满足强度要求。材料力学全套相对扭转角抗扭刚度§3.5圆轴扭转时的变形材料力学全套单位长度扭转角扭转刚度条件§3.5圆轴扭转时的变形许用单位扭转角rad/m⁰/m材料力学全套扭转强度条件扭转刚度条件已知T、D和[τ]，校核强度已知T和[τ]，设计截面已知D和[τ]，确定许可载荷已知T、D和[φ/]，校核刚度已知T和[φ/]，设计截面已知D和[φ/]，确定许可载荷§3.5圆轴扭转时的变形材料力学全套例题3.6§3.5圆轴扭转时的变形某传动轴所承受的扭矩T=200Nm，轴的直径d=40mm，材料的[τ]=40MPa，剪切弹性模量G=80GPa，许可单位长度转角[φ/]=1⁰/m。试校核轴的强度和刚度。材料力学全套传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A输入功率P1=400kW，从动轮C，B分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。已知[τ]=70MPa，[φˊ]=1°/m，G=80GPa。(1)试确定AC段的直径d1和BC段的直径d2；(2)若AC和BC两段选同一直径，试确定直径d；(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?解：1.外力偶矩例题3.7§3.5圆轴扭转时的变形材料力学全套2.扭矩图按刚度条件3.直径d1的选取按强度条件§3.5圆轴扭转时的变形材料力学全套按刚度条件4.直径d2的选取按强度条件5.选同一直径时§3.5圆轴扭转时的变形材料力学全套6.将主动轮安装在两从动轮之间受力合理§3.5圆轴扭转时的变形材料力学全套§3.7非圆截面杆扭转的概念平面假设不成立。变形后横截面成为一个凹凸不平的曲面，这种现象称为翘曲。自由扭转（截面翘曲不受约束）约束扭转（各截面翘曲不同）材料力学全套§3.7非圆截面杆扭转的概念杆件扭转时，横截面上边缘各点的切应力都与截面边界相切。材料力学全套开口/闭口薄壁杆件扭转比较§3.7非圆截面杆扭转的概念材料力学全套小结1、受扭物体的受力和变形特点2、扭矩计算，扭矩图绘制3、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算4、圆轴扭转时的变形及刚度计算材料力学全套第四章弯曲内力目录材料力学全套第四章弯曲内力§4-1弯曲的概念和实例§4-2受弯杆件的简化§4-3剪力和弯矩§4-4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系§4-6平面曲杆的弯曲内力目录材料力学全套§4-1弯曲的概念和实例起重机大梁目录材料力学全套车削工件目录§4-1弯曲的概念和实例材料力学全套火车轮轴目录§4-1弯曲的概念和实例材料力学全套弯曲特点以弯曲变形为主的杆件通常称为梁目录§4-1弯曲的概念和实例材料力学全套平面弯曲平面弯曲:弯曲变形后的轴线为平面曲线,且该平面曲线仍与外力共面。目录§4-1弯曲的概念和实例对称弯曲材料力学全套常见弯曲构件截面目录§4-1弯曲的概念和实例材料力学全套梁的载荷与支座集中载荷分布载荷集中力偶固定铰支座活动铰支座固定端§4-2受弯杆件的简化目录材料力学全套目录§4-2受弯杆件的简化材料力学全套火车轮轴简化目录§4-2受弯杆件的简化材料力学全套目录§4-2受弯杆件的简化材料力学全套吊车大梁简化均匀分布载荷简称均布载荷目录§4-2受弯杆件的简化材料力学全套非均匀分布载荷目录§4-2受弯杆件的简化材料力学全套简支梁外伸梁悬臂梁FAxFAyFByFAxFAyFByFAxFAyMA静定梁的基本形式目录§4-2受弯杆件的简化材料力学全套FNFSMFS剪力，平行于横截面的内力合力M弯矩，垂直于横截面的内力系的合力偶矩FByFNFSM§4-3剪力和弯矩目录FAy材料力学全套FAyFNFSMFByFNFSM截面上的剪力对所选梁段上任意一点的矩为顺时针转向时，剪力为正；反之为负。+_截面上的弯矩使得梁呈凹形为正；反之为负。§4-3剪力和弯矩左上右下为正；反之为负左顺右逆为正；反之为负目录+_材料力学全套解：1.确定支反力FAyFBy2.用截面法研究内力FAyFSEME目录例题4-1FAy§4-3剪力和弯矩材料力学全套FByFByFAyFSEMEO分析右段得到：FSEMEO目录§4-3剪力和弯矩材料力学全套FAyFBy截面上的剪力等于截面任一侧外力的代数和。目录FAyFSE2FFSE§4-3剪力和弯矩材料力学全套FAyFBy截面上的弯矩等于截面任一侧外力对截面形心力矩的代数和。目录MEFAy2FME§4-3剪力和弯矩材料力学全套q悬臂梁受均布载荷作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：任选一截面x，写出剪力和弯矩方程x依方程画出剪力图和弯矩图FSxMxl由剪力图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为目录例题4-2qx§4-4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图材料力学全套BAlFAYFBY图示简支梁C点受集中力作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力FAy＝Fb/lFBy＝Fa/l2．写出剪力和弯矩方程x2FSxMxx1ACCB3.依方程画出剪力图和弯矩图。CFab目录例题4-3§4-4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图材料力学全套BAlFAYFBY图示简支梁C点受集中力偶作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力FAy＝M/lFBy＝-M/l2．写出剪力和弯矩方程x2x1ACCB3.依方程画出剪力图和弯矩图。CMab目录例题4-4§4-4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图材料力学全套BAlFAYqFBY简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力FAy＝FBy＝ql/22．写出剪力和弯矩方程yxCx3.依方程画出剪力图和弯矩图。FSxMx目录例题4-5§4-4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图材料力学全套Bqly已知平面刚架上的均布载荷集度q,长度l。试：画出刚架的内力图。例题4-6解：1、确定约束力2、写出各段的内力方程竖杆AB：A点向上为yBqlyFN(y)FS(y)M(y)平面刚架的内力目录材料力学全套横杆CB：C点向左为xBqlyBFN(x)M(x)xFS(x)x平面刚架的内力目录材料力学全套竖杆AB：Bqly根据各段的内力方程画内力图横杆CB：MFNFSql＋－＋平面刚架的内力目录材料力学全套§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩关系：目录材料力学全套载荷集度、剪力和弯矩关系：q＝0，Fs=常数，剪力图为水平直线；M(x)为x的一次函数，弯矩图为斜直线。2.q＝常数，Fs(x)为x的一次函数，剪力图为斜直线；M(x)为x的二次函数，弯矩图为抛物线。分布载荷向上（q>0），抛物线呈凹形；分布载荷向上（q<0），抛物线呈凸形。3.剪力Fs=0处，弯矩取极值。4.集中力作用处，剪力图突变；集中力偶作用处，弯矩图突变§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录材料力学全套5、也可通过积分方法确定剪力、弯矩图上各点处的数值。从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力图向上（下）突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，弯矩图向上（下）突变，突变幅度为集中力偶的大小。剪力图在该点没有变化。§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录材料力学全套微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。建立FS一x和M一x坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录材料力学全套BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN例题4-6简支梁受力的大小和方向如图示。试画出其剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力求得A、B二处的约束力FAy＝0.89kN,FBy＝1.11kN根据力矩平衡方程2．确定控制面在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。EDCF§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录材料力学全套(+)(-)BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kNEDCFM(kN.m)xO3．建立坐标系建立FS－x和M－x坐标系5．根据微分关系连图线4．应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在FS－x和M－x坐标系中。0.891.111.3351.67(-)(-)0.335xFS(kN)O0.89kN=＝1.11kN§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录材料力学全套（-）（+）解法2：1．确定约束力FAy＝0.89kNFFy＝1.11kN2．确定控制面为A、C、D、B两侧截面。FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDC3．从A截面左测开始画剪力图。Fs（kN）0.891.11§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录材料力学全套（-）（-）4．从A截面左测开始画弯矩图。M（kN.m）从A左到A右从C左到C右从D左到D右从A右到C左1.3300.330从C右到D左1.665（-）（+）FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（kN）0.891.11§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系从D右到B左从B左到B右目录材料力学全套qBADa4aFAyFBy例题4-7试画出梁的剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力根据梁的整体平衡，由求得A、B二处的约束力qa2．确定控制面由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截面为控制面，约束力FBy右侧的截面，以及集中力qa左侧的截面，也都是控制面。C§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录材料力学全套（+）（-）（+）qBADa4aFAyFByqaC3．建立坐标系建立FS－x和M－x坐标系OFSxOMx4．确定控制面上的剪力值，并将其标在FS－x中。5．确定控制面上的弯矩值，并将其标在M－x中。§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录材料力学全套（+）（-）qBADa4aFAyFByqa解法2：1．确定约束力2．确定控制面，即A、B、D两侧截面。3．从A截面左测开始画剪力图。Fs9qa/47qa/4qa§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录材料力学全套（+）M（+）（-）qBADa4aFAyFByqaFs9qa/47qa/4qa4．求出剪力为零的点到A的距离。B点的弯矩为-1/2×7qa/4×7a/4+81qa2/32=qa2AB段为上凸抛物线。且有极大值。该点的弯矩为1/2×9qa/4×9a/4=81qa2/325．从A截面左测开始画弯矩图81qa2/32qa2§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录材料力学全套（-）（-）（+）（+）（-）Fs例题4-8试画出图示有中间铰梁的剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力从铰处将梁截开qFDyFDyqaFAyFByMAFAyFByqa/2qa/2qaMqa2/2qa2/2BAaqaCaaDqMA§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录材料力学全套平面曲杆某些构件（吊钩等）其轴线为平面曲线称为平面曲杆。当外力与平面曲杆均在同一平面内时，曲杆的内力有轴力、剪力和弯矩。目录§4-6平面曲杆的弯曲内力材料力学全套目录画出该曲杆的内力图解：写出曲杆的内力方程§4-6平面曲杆的弯曲内力例题4-10材料力学全套小结1、熟练求解各种形式静定梁的支座反力2、明确剪力和弯矩的概念，理解剪力和弯矩的正负号规定3、熟练计算任意截面上的剪力和弯矩的数值4、熟练建立剪力方程、弯矩方程，正确绘制剪力图和弯矩图目录材料力学全套第五章弯曲应力目录材料力学全套第五章弯曲应力§5-2纯弯曲时的正应力§5-3横力弯曲时的正应力§5-4弯曲切应力§5-6提高弯曲强度的措施目录§5-1纯弯曲材料力学全套回顾与比较内力应力FSM目录§5-1纯弯曲材料力学全套纯弯曲梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲§5-1纯弯曲目录材料力学全套§5-2纯弯曲时的正应力一、变形几何关系aabbmnnmm´a´a´b´b´m´n´n´平面假设：横截面变形后保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度。材料力学全套凹入一侧纤维缩短突出一侧纤维伸长中间一层纤维长度不变－－中性层中间层与横截面的交线－－中性轴§5-2纯弯曲时的正应力目录设想梁是由无数层纵向纤维组成材料力学全套胡克定理§5-2纯弯曲时的正应力目录建立坐标二、物理关系(a)(b)aabbmnnmooy材料力学全套三、静力学关系§5-2纯弯曲时的正应力目录(c)FN、My、Mz材料力学全套正应力公式变形几何关系物理关系静力学关系为梁弯曲变形后的曲率为曲率半径，§5-2纯弯曲时的正应力目录材料力学全套正应力分布§5-2纯弯曲时的正应力目录MM与中性轴距离相等的点，正应力相等；正应力大小与其到中性轴距离成正比；中性轴上,正应力等于零材料力学全套常见截面的IZ和WZ圆截面矩形截面空心圆截面空心矩形截面§5-2纯弯曲时的正应力目录材料力学全套§5-3横力弯曲时的正应力目录弹性力学精确分析表明，当跨度l与横截面高度h之比l/h>5（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。横力弯曲材料力学全套横力弯曲正应力公式横力弯曲最大正应力目录§5-3横力弯曲时的正应力细长梁的纯弯曲或横力弯曲横截面惯性积IYZ=0弹性变形阶段公式适用范围材料力学全套弯曲正应力强度条件1.等截面梁弯矩最大的截面上2.离中性轴最远处4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑3.变截面梁要综合考虑与目录§5-3横力弯曲时的正应力材料力学全套FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1mMx30zy180120K1.C截面上K点正应力2.C截面上最大正应力3.全梁上最大正应力4.已知E=200GPa，C截面的曲率半径ρFSx90kN90kN1.求支反力（压应力）解：例题5-1目录§5-3横力弯曲时的正应力材料力学全套BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kN2.C截面最大正应力C截面弯矩C截面惯性矩目录§5-3横力弯曲时的正应力材料力学全套BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kN3.全梁最大正应力最大弯矩截面惯性矩目录§5-3横力弯曲时的正应力材料力学全套BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kN4.C截面曲率半径ρC截面弯矩C截面惯性矩目录§5-3横力弯曲时的正应力材料力学全套分析（1）（2）弯矩最大的截面（3）抗弯截面系数最小的截面图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知材料的许用应力例题5-2目录§5-3横力弯曲时的正应力材料力学全套（3）B截面，C截面需校核（4）强度校核B截面：C截面：（5）结论轴满足强度要求（1）计算简图（2）绘弯矩图FaFb解：目录§5-3横力弯曲时的正应力材料力学全套分析（1）确定危险截面（3）计算（4）计算，选择工字钢某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重材料的许用应力起重量跨度试选择工字钢的型号。（2）例题5-3目录§5-3横力弯曲时的正应力材料力学全套（4）选择工字钢型号（5）讨论（3）根据计算（1）计算简图（2）绘弯矩图解：36c工字钢目录§5-3横力弯曲时的正应力材料力学全套作弯矩图，寻找需要校核的截面要同时满足分析：非对称截面，要寻找中性轴位置T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。试校核梁的强度。例题5-4目录§5-3横力弯曲时的正应力材料力学全套（2）求截面对中性轴z的惯性矩（1）求截面形心z1yz52解：目录§5-3横力弯曲时的正应力材料力学全套（4）B截面校核（3）作弯矩图目录§5-3横力弯曲时的正应力材料力学全套（5）C截面要不要校核？（4）B截面校核（3）作弯矩图目录§5-3横力弯曲时的正应力梁满足强度要求材料力学全套§5-4弯曲切应力目录xdxxyPmq(x)ABmnm1n1分几种截面形状讨论弯曲切应力一、矩形截面梁1、横截面上各点的切应力方向平行于剪力2、切应力沿截面宽度均匀分布关于切应力的分布作两点假设：Fsbhymnm1n1Op1q1pdxxyz材料力学全套§5-4弯曲切应力目录dxm1n1nmMM+dMτ’ypp1m1n1mndxpp1q1qyττ’σdAFN1FN2zyy1讨论部分梁的平衡材料力学全套§5-4弯曲切应力m1n1mndxpp1q1qyττ’σdAFN1FN2zyy1材料力学全套§5-4弯曲切应力目录材料力学全套横力弯曲截面发生翘曲切应变PP§5-4弯曲切应力若各截面Fs相等，则翘曲程度相同，纵向纤维长度不变，对计算无影响。若各截面Fs不等（如有q作用），则翘曲程度不同，各纵向纤维长度发生变化，对计算有影响。但这种影响对梁常可忽略。材料力学全套§5-4弯曲切应力二、圆形截面梁Fs材料力学全套§5-4弯曲切应力目录Fs三、工字型截面梁Bb0hh0zyy材料力学全套实心截面梁正应力与切应力比较对于直径为d的圆截面maxmax=6(l/d)§5-4弯曲切应力目录（l为梁的跨度）材料力学全套实心截面梁正应力与切应力比较对于宽为b、高为h的矩形截面maxmax=4(l/h)§5-4弯曲切应力目录（l为梁的跨度）材料力学全套梁的跨度较短（l/h<5）；在支座附近作用较大载荷（载荷靠近支座）；铆接或焊接的工字形或箱形等截面梁（腹板、焊缝、胶合面或铆钉等）qBACDElPPa§5-4弯曲切应力有些情况必须考虑弯曲切应力材料力学全套悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应力为0.34MPa，木材的〔σ〕=10MPa，[τ]=1MPa，求许可载荷。1.画梁的剪力图和弯矩图2.按正应力强度条件计算许可载荷3.按切应力强度条件计算许可载荷解：例题5-5目录§5-4弯曲切应力材料力学全套4.按胶合面强度条件计算许可载荷5.梁的许可载荷为目录§5-4弯曲切应力材料力学全套§5-6提高弯曲强度的措施目录1.降低Mmax合理安排支座合理布置载荷材料力学全套合理布置支座目录FFF§5-6提高弯曲强度的措施材料力学全套合理布置支座目录§5-6提高弯曲强度的措施材料力学全套目录合理布置载荷F§5-6提高弯曲强度的措施材料力学全套2.增大WZ合理设计截面合理放置截面目录§5-6提高弯曲强度的措施材料力学全套目录合理设计截面§5-6提高弯曲强度的措施材料力学全套目录合理设计截面§5-6提高弯曲强度的措施令材料力学全套目录合理放置截面§5-6提高弯曲强度的措施材料力学全套3、等强度梁目录§5-6提高弯曲强度的措施材料力学全套目录§5-6提高弯曲强度的措施材料力学全套小结1、了解纯弯曲梁弯曲正应力的推导方法2、熟练掌握弯曲正应力的计算、弯曲正应力强度条件及其应用3、了解提高梁强度的主要措施目录材料力学全套弯曲变形第六章目录材料力学全套第六章弯曲变形§6-1工程中的弯曲变形问题§6-2挠曲线的微分方程§6-3用积分法求弯曲变形§6-4用叠加法求弯曲变形§6-6提高弯曲刚度的一些措施§6-5简单超静定梁目录目录材料力学全套§6-1工程中的弯曲变形问题7-1目录材料力学全套目录§6-1工程中的弯曲变形问题材料力学全套目录§6-1工程中的弯曲变形问题材料力学全套§6-2挠曲线的微分方程1.基本概念挠曲线方程：由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计挠度转角关系为：挠曲线挠度转角挠度y：截面形心在y方向的位移向上为正转角θ：截面绕中性轴转过的角度。逆时针为正7-2目录材料力学全套2.挠曲线的近似微分方程推导弯曲正应力时，得到：忽略剪力对变形的影响§6-2挠曲线的微分方程目录材料力学全套由数学知识可知：略去高阶小量，得所以§6-2挠曲线的微分方程目录材料力学全套由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。§6-2挠曲线的微分方程目录材料力学全套§6-3用积分法求弯曲变形挠曲线的近似微分方程为：积分一次得转角方程为：再积分一次得挠度方程为：7-3目录材料力学全套积分常数C、D由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。位移边界条件光滑连续条件－弹簧变形§6-3用积分法求弯曲变形目录材料力学全套例1求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。解1）由梁的整体平衡分析可得：2）写出x截面的弯矩方程3）列挠曲线近似微分方程并积分积分一次再积分一次ABF§6-3用积分法求弯曲变形目录材料力学全套4）由位移边界条件确定积分常数代入求解5）确定转角方程和挠度方程6）确定最大转角和最大挠度ABF§6-3用积分法求弯曲变形目录材料力学全套例2求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。解1）由梁整体平衡分析得：2）弯矩方程AC段：CB段：§6-3用积分法求弯曲变形目录材料力学全套3）列挠曲线近似微分方程并积分AC段：CB段：§6-3用积分法求弯曲变形目录材料力学全套4）由边界条件确定积分常数代入求解，得位移边界条件光滑连续条件§6-3用积分法求弯曲变形目录材料力学全套5）确定转角方程和挠度方程AC段：CB段：§6-3用积分法求弯曲变形目录材料力学全套6）确定最大转角和最大挠度令得，令得，§6-3用积分法求弯曲变形目录材料力学全套讨论积分法求变形有什么优缺点？§6-3用积分法求弯曲变形目录材料力学全套§6-4用叠加法求弯曲变形设梁上有n个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为，挠度为y，则有：若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为，转角为，挠度为，则有：由弯矩的叠加原理知：所以，7-4目录材料力学全套故由于梁的边界条件不变，因此重要结论：梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。§6-4用叠加法求弯曲变形目录材料力学全套例3已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC；B截面的转角B1）将梁上的载荷分解yC1yC2yC32）查表得3种情形下C截面的挠度和B截面的转角。解§6-4用叠加法求弯曲变形目录材料力学全套3）应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和§6-4用叠加法求弯曲变形目录yC1yC2yC3材料力学全套例4已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C1）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。解§6-4用叠加法求弯曲变形目录材料力学全套3）将结果叠加2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自C截面的挠度和转角。§6-4用叠加法求弯曲变形目录材料力学全套讨论叠加法求变形有什么优缺点？§6-4用叠加法求弯曲变形目录材料力