材料科学第6章 单因素与双因素优选法

试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法第6章单因素与双因素优选法（Optimumseekingmethod）6.1单因素优选法6.2双因素优选法6.1.1来回调试6.1.2黄金分割法（0.618法）6.1.5抛物线法6.2.1纵横对折法（对开法）6.2.2从好点出发法（旋升法）6.1.3分数法6.1.4对分法（平分法）**试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法优选法含义：根据生产和科研中的不同问题，利用数学原理，合理地安排试验点，减少试验次数，以求迅速地找到最佳点的一类科学方法。适用范围：可以解决那些试验指标与因素间不能用数学形式达，或虽有表达式但很复杂的一类问题。具体应用： 怎样选取合适的配方,合适的制作过程，使产品的质量最好？ 在质量的标准要求下，使产量成本最低，生产过程最快？ 已有的仪器怎样调试，使其性能最好？**试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法6.1单因素优选法问题：f(x)是区间[a，b]的单值函数，但f(x)的表达式未知。确定f(x)的最大值的近似位置？：f(x)的表达式未知，只能通过试验得出在某一点x0的数值f(x0)。希望用尽量少的试验次数来确定f(x)的最大值的近似位置单因素优选法。区间[a，b]内单变量单峰函数f(x)**试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法6.1.1来回调试方法（1）设x2x1x1点试验值y1=f(x1)；x2点试验值y2=f(x2)如y2y1则最大值肯定不在[a，x1]区间；下一步只考虑[x1，b]区间。**试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章优选法（2）在[x1，b]区间取一点x3。x3x2，x3点试验值y3=f(x3)如y3y2则最大值肯定不在[x3，b]区间；则去掉（x3，b）。**试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章优选法（3）在[x1，x3]区间取一点x4，......来回调试方法存在问题：取点任意。希望能取最少的点最快地接近客观上的最大值。怎样安排试验点的方法最好？**试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法6.1.2黄金分割法（0.618法）黄金分割：把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比等于另一部分对于该部分之比，这个比例就是0.618。**黄金分割法解决如何选取最佳试验点。试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法黄金分割法：（1）将第一个试验点x1安排在试验范围内的0.618处；在x1的对称点做试验x2。x1=a+(b-a)×0.618得到试验结果y1=f(x1)，y2=f(x2)。x2=b-(b-a)×0.618=a+(b-x1)=a+(b-a)×0.382ax2x1by2y1比较y2和y1。如y1y2，则去掉[a，x2]。**试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法（2）只考虑[x2，b]区间。设x1的对称点为x3，试验值为y3=f(x3)。比较y3和y1。......注意：黄金分割法中两个相互比较的试验点总在所在区间的2个黄金分割点上，即0.618和0.382处，且这2个点一定是相互对称的。**试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法例6.1为了达到某种产品的质量指标。需要加入一种添加剂。已知其最佳加入量在1kg和2kg之间。要求通过试验的办法找到最佳加入量。解：首先在试验范围的0.618处做第一个试验（x1）。在这一点的对称点即0.382处做第二个试验（x2）。这两点的加入量为：x1=1000+(2000-1000)×0.618=1618gx2=2000-(2000-1000)×0.618=1382g比较两次试验结果，如第二个试验（x2）结果好于第一个试验（x1）结果。则去掉1618g以上部分，然后在1000g和1618g之间找x2的对称点x3。x3=1618-(1618-1000)×0.618=1236g**试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法如果仍然是第二个试验（x2）结果好，则去掉1236g以下的一段，在剩下的区间[1236，1618]继续找（x2）的对称点（1472g），做第4次试验......按同样方法继续做下去，一次比一次地更加接近所需要的加入量，直至达到所要求的精度，即可找到最佳加入量。**http://finance.qq.com/a/20061214/000603.htm华罗庚优选法成就酒业大王五粮液实验设计与数据处理第一章引言*2004年版*试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法6.1.3分数法这批分数的特点是前一分数的分子加分母等于后一分数的分母，而前一分数的分母就是后一分数的分子。0.618可以用一批渐近分数来表示，这批分数是：例6-2在配制某种金属酸洗液时，已知某酸的加入量大于130ml以上时酸洗效果肯定不好。要求用150ml的锥形量杯计量，优选该酸的加入量。**涂料搅拌机（多档手动调速）；电阻阻值；机床转速、大容量量杯。离散的取值！实验设计与数据处理第一章引言*2004年版*试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法[分析]150ml的锥形量杯的整个量程共有15格，每格代表10m1，但每格的高度不等。用该量杯很难量出几毫升或者是几点几毫升，因此不便于用0.618法。解：试验范围为0~130ml，在量杯中正好是13格。用8/13来代替0.618。第一次试验在8/13处即80ml处。在其对称点5/13处即50ml处（即0.382处）作第二次。对比试验结果，结果第一次试验即加80ml某酸的酸洗效果较好，则下次试验不考虑加酸量小于50ml的情况，合适的加酸量只能在50~130ml之间。**试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法50~130ml的试验范围正好是8格，第三次试验在5/8处即100ml处进行。然后将试验结果与第一次试验（80ml处）的结果进行对比，结果第一次试验的效果较好。即该酸的最佳加入量在80~100ml之间。由于该结果已达到设计要求，因此不再继续试验。**试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法6.1.4对分法（平分法）前述方法都是先做两个试验，再通过比较找出最好点所在位置的倾向性的方法来不断地将试验范围缩小，最后找到最佳点。有些情况下可以只做一个试验。对分法也称为平分法（Bisectionmethod），其要点是每个试验点都取在试验范围的中点，将试验范围对分为两半。每做一次试验，试验范围缩小一半，然后再在缩小后的试验范围的中点做下次试验。**只有符合以下两个条件的时候，才能应用对分法。（1）要有—个标准或具体指标来鉴别试验结果的好坏。（2）要预知该因素对指标的影响规律，即能够从试验结果直接判断出该因素的值是取大了还是取小了。如果没有这一条件就不能确定丢去哪段，保留哪段，也就无从下手做下一次试验。实验设计与数据处理第一章引言*2004年版*试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法例6-3为了某种钢材的性能达到要求，需要在成分中添加某合金元素。已知该元素的质量百分含量为16%时，钢材性能是合格的。能否在保证钢材性能的前提下，少用一点该合金元素？[解]先在零到16%的中点8％处做第一次试验看看产品质量是否合格。结果产品质量合格，则丢掉右边一半，不再考虑8％以上的含量。**由钢材的性能高低即可判断合金元素的加入量是高是低，因此对这类问题，建议用对分法，而不用0618法。实验设计与数据处理第一章引言*2004年版*试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法然后在零到8％的中点4％处做第二次试验。试验结果不合格，丢掉左边的一段即4％以下的含量。再在4％到8％的中点6％处做第三次试验，试验结果合格。然后再在4%与6%之间的5%处做第四次试验，产品质量仍然合格，则该合金元素的最佳加入量最后取5％。**实际生产中，为了留有余地，可取6%的合金元素加入量进行钢材生产。实验设计与数据处理第一章引言*2004年版*试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法6.1.5抛物线法原理：根据已得的3个试验数据，找到这3点的抛物线方程，然后求出该抛物线的极大值y0，作为下次试验的依据。抛物线法中试验点的选取过程**试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法具体方法：（1）在3个试验点x1，x2，x3（x1x2x3），分别得到试验值y1，y2，y3。根据拉格郞日插值法可得到一个2次函数（抛物线）。（2）设上述方程在x4处取得最大值，则**试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法（3）在x=x4处做试验，得试验结果y4。（4）比较y1，y2，y3，y4的大小。设最大值由xn给出（xn=x1，x2，x3，x4任一值）。则在x1，x2，x3，x4中选取最靠近xn的左右两侧xn-1和xn-2（xn-1和xn+1均等于x1，x2，x3，x4任一值）（xn-1xnxn-2）。（5）根据xn-1，xn和xn-2三点处的函数值可再做出一条抛物线方程。重复步骤（2）、（3）和（4），直至找到函数的极大值。**试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法抛物线法的优点：（1）抛物线法试验次数少：穷举法需要做n次试验，黄金分割法只要lgn次，而抛物线法只需要lglgn次。且抛物线法效果更好；（2）抛物线法通常用在0.618法取得一些数据之后，效果更好；或0.618法试验后，用最后3个数据按抛物线法求出函数的极大值，并与试验的最佳值对比，决定是否再做一次试验。**试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法例6.4在测定某离心泵效率与流量Q之间关系曲线试验中，已经测得3组数据如表6.1所示。问如何利用抛物线法尽快找到最高效率点？表6.1离心泵效率与流量Q试验结果** 流量Q/(L/s) 8 20 32 效率/% 50 75 70试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法解：设效率为y，流量为x。用试验数据建立抛物线方程，确定极值点。**一个区组就是试验材料的一个部分，如例4中的一个金属样品就是一个区组。试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法接下来的试验在流量24L/s处进行。试验得离心泵效率为78%。（如该效率已经可以，则无须进一步试验）利用流量为20，24和32三点的效率建立抛物线方程，求出极大值。并与78%比较，确定是否进行下次试验。在试验数据中选取3点：** 流量Q/(L/s) 20 24 32 效率/% 75 78 70试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法6.2双因素优选法数学问题：迅速寻找二元函数y=f(x，z)的最大值及其对应的（x，z）点的问题。几何意义：把x，z平面作为水平面，试验结果看成该点的高度。求山峰的最高点。**试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法6.2.1纵横对折法（对开法）步骤：（1）在直角坐标系中画出一矩形代表优选范围。axb，czd（2）在中线x=(a+b)/2上用单因素法找最大值，设为P点；在中线z=(c+d)/2上用单因素法找最大值，设为Q点。x=(a+b)/2z=(c+d)/2**试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章优选法（3）比较P和Q的大小。如果Q大，去掉x(a+b)/2部分（如果P大，去掉z(c+d)/2部分）。（4）再用同样的方法处理余下的半个矩形......**该法的要点是先固定第一个因素于其试验范围的中点，用单因素法优选第二个因素。然后，固定第二个因素于其试验范围的中点，再优选第一个因素。然后将两个结果进行比较，沿着“差”点所在的线，丢去不包括好点所在的半个平面。这样继续下去，不断地将试验范围缩小，就可找到最佳点。实验设计与数据处理第一章引言*2004年版*试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章优选法例6.5磺酸是磺化油经乙醇水溶液萃取出来的。根据经验，乙醇水溶液的浓度范围为50%~90%（体积分数），用量范围为30%~70%（质量分数）时较好。试选择乙醇水溶液的合适浓度和用量，便分离出来的磺酸最多。解：（1）先将乙醇用量固定在50%，用0.618法，求得A点较好，即浓度为80%。**试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法（4）在剩下的范围内再上下对折，将浓度固定在80%，对用量进行优选。结果还是A点最好。（2）再将乙醇浓度固定在70%，用0.618法，求得B点较好。（3）比较A点和B点的试验结果，A点比B点好。于是丢掉下半部分。（5）结论：A点即为所求。即乙醇水溶液浓度为80%，用量为50%。**试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法6.2.2（从好点出发法）旋升法步骤：（1）在直角坐标系中画出一矩形代表优选范围：axb，czd（2）先在一条中线上[如x=(a+b)/2]用单因素法求得最大值，设为P1点；（3）然后过P1点做水平线，在此水平线上用单因素法求得最大值，设为P2点。**“从好点出发法”对某一因素进行优选试验时，另一因素固定在上次试验结果的好点上。实践证明，该方法比纵横对折法效果更好。实验设计与数据处理第一章引言*2004年版*试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法（4）比较P1和P2的大小。如果P2大，去掉通过P1点的直线所分开的不含P2点的部分，即x(a+b)/2部分。（5）在通过P2的垂线上找最大值，设为P3。（6）比较P2和P3的大小。如果P3大，去掉通过P2点的直线所分开的不含P3点的部分。（7）继续做下去......直至找到最佳点。**试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法例6.6影响某化工产品产量的主要因素为温度和时间，其试验范围为温度55~75℃，时间30~310min。要求利用优选法选择合适的合成条件，以提高影响某化工产品的产量。解：（1）先固定温度为65℃，用单因素优选法优选时间。得最优时间为150min，其收率为41.6%。**试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法（2）固定时间为150min，用单因素优选法优选温度。得最优温度为67℃，其收率为51.6%。（去掉温度小于65℃部分）（3）先固定温度为67℃，对时间用单因素优选法优选。得最优时间为80min，其收率为56.9%。（去掉时间大于150min）部分。**试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法（4）再固定时间为80min，再对温度进行优选。此时温度优选范围为65~75℃。优选结果还是67℃。（5）结论：最好的工艺条件是温度67℃，时间80min，得率56.9%。**试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法附加材料1：华罗庚提出了“优选法”，即选取这种最优点的方法本身应该是最优的，或者说可用最少的试验次数来找出最优点。作为著名的数学大师，华罗庚先生从20世纪60年代开始，主要致力于优选法和统筹法的推广、应用和普及，并取得了可观的经济效益。经过20年左右的努力，产生了数以十亿计的巨大经济效益，被评为“全国重大科技成果奖”。在推广应用数学方法时，他特别强调群众性、实践性和理论性，这个思路正体现了科学技术面向经济建设的精神。这个案例给我们的启示是：基础理论研究工作者，一旦发现其理论研究成果有实际应用时，应该毫不犹豫地投身到实践中去，将理论成果转化为现实的生产力。**实验设计与数据处理第一章引言*2004年版*试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法附加材料2：华罗庚优选法成就酒业大王五粮液1972年，有外商提出，希望能销售五粮液低度酒。那时在国外低度酒还占主导地位。所以很多外国人对五粮液的高度数望而生畏。但国内不少人认为，五粮液好就好在高度，低度就要变味，就不是五粮液。五粮液的度数为什么就不能降低呢？当时五粮液负责科研技术工作的刘沛龙琢磨起了这个问题。顶着各方压力，刘沛龙整整搞了六年试验，但依然没有成功。低度酒不是多掺点水就行，这是一个对酒质的全新要求，尤其对于五粮液这样的名优白酒来说，要求就更为严格。但刘沛龙不甘放弃，不分白昼地钻进了自己摆的酒阵。**试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法附加材料2：华罗庚优选法成就酒业大王五粮液直到1978年，华罗庚先生率领一个小分队来川推广优选法和统筹法，刘沛龙有幸参加了小分队在宜宾的活动，并听了多次讲学。当时的五粮液酒厂也十分重视这项工作，成立了双选办公室。刘沛龙如鱼得水，立即学以致用，以优选法来指导试验。所谓优选法选法，是华罗庚运用黄金分割法发明的一种可以尽可能减少做试验次数、尽快地找到最优的方法。比如要试制一种新型材料，需要加入某种原料增强其强度，这就有加入多少的问题，加多了不行，加少了也不行，只有完全合适才可以。**试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法附加材料2：华罗庚优选法成就酒业大王五粮液比如我们估出每吨加入量在1克至1000克之间，这样我们就可以借用黄金分割规律来简化试验次数，而不必从1克到1000克做1000次试验，我们用一个有刻度的纸条来表示1至1000克。在纸条上找到618(1000×0.618)克的地点画一条竖线，做一次试验，然后把纸条对折起来，找到618的对称点382(618×0.618)，再做一次试验，如果382克为最好，则把618以外的纸条裁掉。然后再对折，找到382的对称点236(382×0.618)做试验，这样循环往复，就可以找到最佳的数值。刘沛龙利用优选法，终于解开了酒阵之谜。在一个星期的时间里，用优选法选出了38度和35度这两个最佳度数，然后将两种酒放进冰箱，静观其变。**试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法附加材料2：华罗庚优选法成就酒业大王五粮液成功了！他原来担心的致浊程度和析出物状态已达到预期效果。经过过滤处理后，手中的酒晶莹、碧透，像高度酒那么无色透明，口感很好，五粮液固有的风格特点并没有走样。尽管成功只用了六天功夫，但曾经摸爬滚打的六年却为他奠定了通向成功的基石。喜庆之余，刘沛龙装了两瓶38度和35度低度酒，送给华罗庚先生，并在酒瓶上题了两句表示感谢的话：“六年未成功，双法出成果”。华罗庚先生闻知此事也非常高兴，欣然题诗回赠：“名酒五粮液，优选味更醇；省粮五百担，产量增五成。豪饮李太白，雅酌陶渊明；深恨生太早，只能享老春。”**试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法附加材料2：华罗庚优选法成就酒业大王五粮液后来刘沛龙又将38度改成39度，口感更醇净甘爽，在国际市场引起了不小震动，订货量猛增了3倍。国外对酒的税收额是随酒度数增减来收的，度数高税收就越高，度数低税收也更低。因此这一项出口就为国家节约了大额酒税，创造了丰厚的经济效益。**试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法练习思考题：6、用托盘天平称量坩埚的质量在32.45～32.55g之间。试说明如何用对分法在电光分析天平上快速称量坩埚的准确质量。7、在冰铜生产中，鼓风炉风压是影响冰铜产量的主要因素，根据生产经验确定风压优选范围为50～70mmHg。试通过3次试验，采用0618法找出最佳风压。8、在一定范围内钢的强度是碳含量的单调增加函数。希望用试验设计方法，通过实验找到使钢的强度达到一定值以上的最低碳含量值。试分别说明如何用对分法和分数法安排试验。9、在调试某热工仪表的电子线路时，要在0.5k，1k，1.3k，2k，3k，5k和5.5k等七种不同阻值的电阻中选用一个合适的电阻。如何选取？11、某C6140车床，转速分12个档，在其他因素（刀具、工件、吃刀深度、走刀量等）固定的条件下，寻找最合适的转速，以使加工的铸铁型材表面质量最好。如何安排试验？**试验设计与数据处理(ExperimentDesign&DataProcessing)第6章单因素与双因素优选法NextChapter第7章正交试验设计（Orthogonaldesign）**黄金分割法解决如何选取最佳试验点。http://finance.qq.com/a/20061214/000603.htm华罗庚优选法成就酒业大王五粮液实验设计与数据处理第一章引言*2004年版*涂料搅拌机（多档手动调速）；电阻阻值；机床转速、大容量量杯。离散的取值！实验设计与数据处理第一章引言*2004年版*只有符合以下两个条件的时候，才能应用对分法。（1）要有—个标准或具体指标来鉴别试验结果的好坏。（2）要预知该因素对指标的影响规律，即能够从试验结果直接判断出该因素的值是取大了还是取小了。如果没有这一条件就不能确定丢去哪段，保留哪段，也就无从下手做下一次试验。实验设计与数据处理第一章引言*2004年版*由钢材的性能高低即可判断合金元素的加入量是高是低，因此对这类问题，建议用对分法，而不用0618法。实验设计与数据处理第一章引言*2004年版*实际生产中，为了留有余地，可取6%的合金元素加入量进行钢材生产。实验设计与数据处理第一章引言*2004年版*一个区组就是试验材料的一个部分，如例4中的一个金属样品就是一个区组。该法的要点是先固定第一个因素于其试验范围的中点，用单因素法优选第二个因素。然后，固定第二个因素于其试验范围的中点，再优选第一个因素。然后将两个结果进行比较，沿着“差”点所在的线，丢去不包括好点所在的半个平面。这样继续下去，不断地将试验范围缩小，就可找到最佳点。实验设计与数据处理第一章引言*2004年版*“从好点出发法”对某一因素进行优选试验时，另一因素固定在上次试验结果的好点上。实践证明，该方法比纵横对折法效果更好。实验设计与数据处理第一章引言*2004年版*实验设计与数据处理第一章引言*2004年版*