线性代数及其应用第4节初等矩阵

线性代数及其应用第4节初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵.矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算,它有着广泛的应用.下面我们进一步介绍一些有关知识.一、定义定义1由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.等矩阵,记为E(i,j).1.对调两行或对调两列把单位矩阵中第i,j两行对调(rirj),得初用m阶初等矩阵Em(i,j)左乘矩阵A=(aij)mn,得得初等矩阵,记为E(i(k)).其结果相当于对矩阵A施行第一种初等行变换:把A的第i行与第j行对调(rirj).类似地,以n阶初等矩阵En(i,j)右乘矩阵A,其结果相当于对矩阵A施行第一种初等列变换:把A的第i列与第j列对调(cicj).2.以数k0乘某行或某列以数k0乘单位矩阵E的第i行(rik),初等矩阵,记为E(ij(k)).可以验证:以Em(i(k))左乘矩阵A,其结果相当于以数k乘A的第i行(rik);以En(i(k))右乘矩阵A,其结果相当于以数k乘A的第i列(cik).3.以数k乘某行(列)加到另一行(列)上去以数k乘E的第j行加到第i行上(ri+krj)[或以k乘E的第i列加到第j列上(cj+kci)],得可以验证:以Em(ij(k))左乘矩阵A,其结果相当于把A的第j行乘k加到第i行上(ri+krj);以En(ij(k))右乘矩阵A,其结果相当于把A的第i列乘k加到第j列上(cj+kci).二、初等矩阵的性质由初等变换的可逆性得：定理4初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵仍是初等矩阵，且(1)(2)A的右边乘相应的n阶初等矩阵.定理5设A是一个mn矩阵,对A施行一次初等行变换,相当于在A的左边乘相应的m阶初等矩阵;对A施行一次初等列变换,相当于在利用等价矩阵的定义及定理5可得定理6设A是秩为r的任意mn矩阵，则使得存在m阶初等矩阵与n阶初等矩阵定理7设A为可逆矩阵,则存在有限个初等矩阵P1,P2,...,Pt,使A=P1P2...Pt.推论1m×n矩阵A~B的充分必要条件是:存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,使PAQ=B.定理7也可叙述成可逆矩阵可分解成有限个初等矩阵的乘积.由于初等变换不改变矩阵的秩，因此，有推论2对任意m×n矩阵A，若都是可逆矩阵，则推论3对n阶方阵A，若存在有限个初等矩阵使得则该推论说明：逆矩阵．可逆矩阵A仅作初等行变换可以化为单位矩阵，在相同的初等行变换下单位矩阵E就化为矩阵A的使得在有限个初等矩阵则推论4设A是n阶方阵，B是n×k矩阵，若存在相同的初等行变换下n×k矩阵B就化为A-1B．可逆矩阵A仅作初等行变换可以化为单位矩阵，该推论说明：三、求逆矩阵的初等行变换法用分块矩阵形式,(i)、(ii)两式可合并为:当|A|0且A=P1P2...Pt时,有　　　　Pt-1Pt-1-1...P1-1A=E,(i)及Pt-1Pt-1-1...P1-1E=A-1.(ii)(i)式表明A经一系列初等行变换可变成E,(ii)式表明E经这同一系列初等行变换即变成A-1.由知，求矩阵A-1B.A变为E时,B就变为A-1B.A变成E时,原来的E就变成A-1.利用初等行变换求逆矩阵的,还可用于由例9用初等行变换法求矩阵的逆矩阵．其中例b1用初等行变换法解矩阵方程AX=B,其中解例10用初等行变换法解矩阵方程四、初等矩阵决定的线性变换在本节的最后，我们来讨论初等矩阵决定的线性变换，为简单起见，这里只讨论二阶初等矩阵的情形．第一种初等矩阵对应的变换为关于y=x的对称变换．第二种初等矩阵E(i(k))，这里i=1，2，先讨论i=1，即此时，当k>0时，实验系统对应的变换为水平收缩与拉伸；而对应于水平收缩与拉伸变换，对应于关于y的对称变换，所以此时E(1(k))分解为水平收缩与拉伸变换和关于y的对称变换的乘积．当k<0时，因为实验系统对于i=2的情形，可类似地得到，这里略．第三种初等矩阵E(ij(k))，也需分两种情形：对应于水平剪切变换，对应于垂直剪切变换．实验系统于是，有由等矩阵的乘积，因此三种基本变换（对称、伸缩、剪切）的矩阵都是初等矩阵；反之，初等矩阵决定的线性变换或者是基本变换，或者可分解为基本变换的乘积．任何可逆线性变换都可由三种基本变换复合而成．知，可逆矩阵可分解为有限个初实验系统例11设有可逆矩阵，将线性变换y=Ax分解成三种基本变换的乘积，并在实验系统中加以验证．实验系统本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.