高一数学 对数与对数运算

宠辱不惊，看庭前花开花落；去留无意，望天上云卷云舒。——《洪应明》对数与对数运算第1课时对数学习目标1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值.知识点一对数的概念11思考解指数方程：x＝可化为x＝32，所以＝.那么你会解3x＝吗？33.3x22答案不会，因为2难以化为以3为底的指数式，因而需要引入对数概念.梳理对数的概念：如果x＝，且≠，那么数叫做以为底的对数，记作＝，其中叫做对数的底数，aN(a>0a1)xaNxlogaNaN叫做真数.常用对数与自然对数：通常将以为底的对数叫做常用对数，以为底的对数称为自然对数，可简记为，简记10elog10NlgNlogeN为lnN.知识点二对数与指数的关系思考，且≠等于？loga1(a>0a1)答案设＝，化为指数式t＝，则不难求得＝，即＝loga1ta1t0loga10.梳理一般地，有对数与指数的关系：若，且≠，则x＝⇔＝a>0a1aNlogaNx.对数恒等式：alogN＝；x＝，且≠aNlogaax(a>0a1).对数的性质：(1)1的对数为零；(2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数.类型一对数的概念例1在N＝log(b－2)中，实数b的取值范围是()(5－b)A.b<2或b>5B.20，b≠1)，则有()＝＝A.log2abB.log2ba＝＝C.logba2D.logb2a111(2)将3－2＝，6＝化为对数式9264.1解方程：m＝(3)35.命题角度2对数式化为指数式例4求下列各式中x的值：2(1)logx＝－；(2)log8＝6；(3)lg100＝x；643x1(4)－lne2＝x；(5)log＝x.213＋22221解＝643＝433＝－2＝.(1)x4161111(2)因为x6＝8，所以x＝x668623622＝2.(3)10x＝100＝102，于是x＝2.(4)由－lne2＝x，得－x＝lne2，即e－x＝e2.云路鹏程九万里，雪窗萤火二十年。——《王实甫》一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。——《增广贤文》所以x＝－2.1(5)因为log＝x，213＋22111所以(2－1)x＝＝＝＝2－1，3＋222＋122＋1所以x＝1.反思与感悟要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解.跟踪训练计算：；log81；log6254(1)log927(2)(3).43354logN命题角度3对数恒等式aa＝N的应用3logx例5(1)求33＝2中的x.logblogclogN(2)求aabc的值(a，b，c均为正实数且不等于1，N＞0).log2x1跟踪训练5设255＝9，则x＝.＝，≠，对应的指数式是1.logbNa(b>0b1N>0)()A.ab＝NB.ba＝NC.aN＝bD.bN＝a若＝，则2.logax1()A.x＝1B.a＝1C.x＝aD.x＝103.下列指数式与对数式互化不正确的一组是()A.e0＝1与ln1＝01111B.83＝与log＝－28231＝与92＝C.log3923＝与1＝D.log77177人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。——刘鹗常将有日思无日，莫待无时思有时。——《增广贤文》已知＝，则等于4.logx162x()A.±4B.4C.256D.25.设10lgx＝100，则x的值等于()A.10B.0.01C.100D.1000对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即b＝⇔＝，且≠，，据此1.aNlogaNb(a>0a1N>0)可得两个常用恒等式：b＝；alogN＝(1)logaab(2)aN.2.在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.课时作业一、选择题1.有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数.其中正确命题的个数为()A.1B.2C.3D.42.已知b＝log(5－a)，则实数a的取值范围是()(a－2)A.a>5或a<2B.20，且a≠1，M>0，N>0，那么：＝＋；(1)loga(M·N)logaMlogaNM(2)log＝logM－logN；aNaan＝∈(3)logaMnlogaM(nR).知识点二换底公式思考1观察知识点一的三个公式，我们发现对数都是同底的才能用这三个公式.而实际上，早期只有常用对数表(以10为底)和自然对数表(以无理数e为底)，可以查表求对数值.那么我们在运算和求值中遇到不同底的对数怎么办？答案设法换为同底.log5思考假设2＝，则＝，即＝x，从而有x＝，再化为对数式可得到什么结论？2xlog25xlog23log25log2335log23答案把x＝化为对数式为：＝，35log35xlog5log5又因为＝2，所以得出＝2的结论xlog35.log23log23梳理一般地，对数换底公式：logb＝c，且≠，，，且≠；logab(a>0a1b>0c>0c1)logca特别地：＝，且≠，，且≠logab·logba1(a>0a1b>0b1).海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。——林则徐宠辱不惊，看庭前花开花落；去留无意，望天上云卷云舒。——《洪应明》类型一具体数字的化简求值例计算：－；1(1)log345log353×5；(2)log2(24)lg27＋lg8－lg1000(3)；lg1.2(4)log29·log38.45解(1)log45－log5＝log＝log9＝log32＝2log3＝2.33353333×5＝3×10＝13(2)log2(24)log2(22)log2(2)＝＝13log2213.3lg278lg102(3)原式＝12lg1033lg3223102＝12lg103342lg10＝12lg10312lg2103＝＝.122lg10＝23(4)log29·log38log2(3)·log3(2)＝2log23·3log321＝6·log23·log23＝6.反思与感悟具体数的化简求值主要遵循2个原则.(1)把数字化为质因数的幂、积、商的形式.(2)不同底化为同底.跟踪训练计算：＋；1(1)2log63log6411(2)(lg25－lg)÷1002；4；(3)log43·log98忍一句，息一怒，饶一着，退一步。——《增广贤文》常将有日思无日，莫待无时思有时。——《增广贤文》1＋－0.0643(4)log2.56.25lne.类型二代数式的化简命题角度1代数式恒等变换x2y例2化简log.a3zx2y解∵>0且x2>0，y>0，∴y>0，z>0.3zx2y3log＝log(x2y)－logza3aaz3＝2＋－logaxlogaylogaz11＝2log|x|＋logy－logz.a2a3a反思与感悟使用公式要注意成立条件，如2不一定等于，反例：－2＝－是不lgx2lgxlog10(10)2log10(10)成立的要特别注意≠，≠.loga(MN)logaM·logaNloga(M±N)logaM±logaN.x跟踪训练2已知y>0，化简log.ayz命题角度2用代数式表示对数例已知＝b＝，求3log189a,185log3645.解方法一∵＝b＝，∴＝，log189a,185log185blog45log9×5log9＋log5于是log45＝18＝18＝181836log36×＋18log181821log182a＋ba＋b＝＝.182－a1＋log189方法二∵＝b＝，∴＝，log189a,185log185blog45log9×5于是log45＝18＝1836log36×18log18182log9＋log5a＋b＝1818＝.－－2log1818log1892a方法三∵＝b＝，log189a,185∴lg9＝alg18，lg5＝blg18，老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。——唐·王勃勿以恶小而为之，勿以善小而不为。——刘备lg45lg9×5lg9＋lg5∴log45＝＝＝36lg361822lg18－lg9lg9alg18＋blg18a＋b＝＝.2lg18－alg182－a反思与感悟此类问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元.跟踪训练已知＝，＝，用，表示3log23alog37bablog4256.11.log＋log3等于()53510A.0B.1C.－1D.log532.设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()＝A.logab·logcblogca＝B.logab·logcalogcb＝C.loga(bc)logab·logac＋＝＋D.loga(bc)logablogac×等于3.log29log34()11A.B.C.2D.442＋的值是4.lg0.01log216.1.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.2.运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质.(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用.(3)在运算过程中避免出现以下错误：①n＝n，②＝，logaN(logaN)loga(MN)logaM·logaN③＝logaM±logaNloga(M±N).课时作业一、选择题1.下列各式(各式均有意义)不正确的个数为()吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎？与朋友交而不信乎？传不习乎？——《论语》穷则独善其身，达则兼善天下。——《孟子》nlogM1①log(MN)＝logM＋logN；②log(M－N)＝a；③am＝；④(am)n＝amn；⑤logb＝－nlogb.aaaalogNanaamanA.2B.3C.4D.52.log4等于()211A.B.C.2D.424log83.化简5等于()log52A.log54B.3log52C.2D.34.已知lg2＝a，lg3＝b，则用a，b表示lg15为()A.b－a＋1B.b(a－1)C.b－a－1D.b(1－a)15.若log·log6·logx＝2，则x等于()53361A.9B.91C.25D.25log2log3计算＋2－3－2的值是6.(log32log23)()log23log32A.log26B.log36C.2D.1二、填空题＋＋＝7.(log43log83)(log32log92).8.(lg5)2＋lg2·lg50＝.x9.已知lg(x＋2y)＋lg(x－y)＝lg2＋lgx＋lgy，则＝y.2110.若3x＝y＝，则＋＝436xy.三、解答题若＝，求x＋－x的值11.x·log32016120162016.以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。——《旧唐书·魏征列传》非淡泊无以明志，非宁静无以致远。——诸葛亮12.计算：121(1)log32＋log＋9log5－log1；30.254532lg2＋lg3(2).111＋lg0.36＋lg82313.已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py.(1)求p的值；111(2)求证：－＝.zx2y四、探究与拓展272log2714.计算－－＋8＋(2－3)0－log1＋2lg5＋lg4－5log2＝.8353log23非淡泊无以明志，非宁静无以致远。——诸葛亮