2022-2023学年安徽省巢湖市柘皋中学高二数学第二学期期末联考模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项:1．答前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若展开式中只有第四项的系数最大，则展开式中有理项的项数为（）A．B．C．D．2．若非零向量，满足，向量与垂直，则与的夹角为（）A．B．C．D．3．已知的边，的长分别为20,18，，则的角平分线的长为（）A．B．C．D．4．函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．5．已知集合A＝{x|y＝，x∈Z}，B＝{y|y＝sin(x＋φ)}，则A∩B中元素的个数为(　　)A．3B．4C．5D．66．过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线，若与轴的交点坐标为，则该双曲线的方程可能为（）A．B．C．D．7．甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．8．设直线l1，l2分别是函数f(x)=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是()A．(0,1)B．(0,2)C．(0,+∞)D．(1,+∞)9．若将函数f(x)＝x5示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则（）A．B．C．D．10．由曲线，直线，和轴所围成平面图形的面积为（）A．B．C．D．11．设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为(　　)A．－15x4B．15x4C．－20ix4D．20ix412．抛物线的准线方程为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．14．如图，在正方体中，直线与所成角大小为_____15．若圆柱的轴截面为正方形，且此正方形面积为4，则该圆柱的体积为______．16．若复数是纯虚数(是虚数单位)，为实数，则复数的模为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆C：与圆M：的一个公共点为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M的直线l与椭圆C交于A、B两点，且A是线段MB的中点，求的面积．18．（12分）已知正三棱柱中，，点为的中点，点在线段上.（Ⅰ）当时，求证；（Ⅱ）是否存在点，使二面角等于60°？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.19．（12分）已知，命題对任意，不等式恒成立；命题存在，使得成立.(1)若为真命题，求的取值范围；(2)若为假，为真，求的取值范围.20．（12分）观察下列等式：；；；；……（1）照此规律，归纳猜想第个等式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.21．（12分）已知函数,．（Ⅰ）求函数的单调减区间；（Ⅱ）证明:；（Ⅲ）当时，恒成立，求实数的值.22．（10分）已知函数，在点处的切线方程为．（1）求的解析式；（2）求的单调区间；（3）若函数在定义域内恒有成立，求的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据最大项系数可得的值，结合二项定理展开式的通项，即可得有理项及有理项的个数.【详解】展开式中只有第四项的系数最大，所以，则展开式通项为，因为，所以当时为有理项，所以有理项共有4项，故选：D.【点睛】本题考查了二项定理展开式系数的性质，二项定理展开式通项的应用，有理项的求法，属于基础题.2、B【解析】∵，且与垂直，∴，即，∴，∴，∴与的夹角为．故选．3、C【解析】利用角平分线定理以及平面向量的线性运算法则可得，两边平方，利用平面向量数量积的运算法则，化简即可得结果.【详解】如图，因为是的角平分线，所以，所以，即.两边平方得，所以，故选C.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算法则，以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题.向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.4、B【解析】由函数存在唯一的零点等价于函数与函数只有唯一一个交点，画出与的大致图象，根据使得函数与函数只有唯一一个交点，得到，即可求解.【详解】由题意，函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点等价于函数与函数只有唯一一个交点，因为，所以函数与函数唯一交点为，又因为，且，所以，即函数在上单调递减函数，又因为是最小正周期为2，最大值为的正弦函数，所以可得与函数的大致图象，如图所示，所以要使得函数与函数只有唯一一个焦点，则，因为，则，，所以，解得，又因为，所以实数的范围为，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，函数的单调性的应用，以及导数的应用，其中解答中把唯一零点转化为两个函数的交点问题，结合图象进行研究是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.5、C【解析】利用定义域的的要求可以求出A集合，利用三角函数的性质求出B集合，再计算A与B的交集的元素个数即可.【详解】集合A满足－＋x＋6≥0，(x－3)(x＋2)≤0，－2≤x≤3，∴A＝{－2，－1，0，1，2，3}，B＝[－，]，所以A∩B＝{－2，－1，0，1，2}，可知A∩B中元素个数为5.【点睛】本题考查集合间的交集关系的求解，本题难点在于无理数与有理数的比大小，属于简单题.6、A【解析】直线的方程为，令，得，得到a,b的关系，结合选项求解即可【详解】直线的方程为，令，得.因为，所以，只有选项满足条件.故选：A【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的标准方程，考查运算求解能力.7、C【解析】首先求得甲的平均数，然后结合题意确定污损的数字可能的取值，最后利用古典概型计算公式求解其概率值即可.【详解】由题意可得：，设被污损的数字为x，则：，满足题意时，，即：，即x可能的取值为,结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值：.故选C.【点睛】本题主要考查茎叶图的识别与阅读，平均数的计算方法，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8、A【解析】试题分析：设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即。分别令得又与的交点为，故选A。考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.9、B【解析】分析：由题意可知，，然后利用二项式定理进行展开，使之与进行比较，可得结果详解：由题可知：而则故选点睛：本题主要考查了二次项系数的性质，根据题目意思，将转化为是本题关键，然后运用二项式定理展开求出结果10、B【解析】利用定积分表示面积，然后根据牛顿莱布尼茨公式计算，可得结果.【详解】，故选：B【点睛】本题主要考查微积分基本定理，熟练掌握基础函数的导函数以及牛顿莱布尼茨公式，属基础题.11、A【解析】试题分析：二项式的展开式的通项为，令，则，故展开式中含的项为，故选A.【考点】二项展开式，复数的运算【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式可以写为，则其通项为，则含的项为．12、D【解析】根据题意，抛物线y=4x2的标准方程为x2=，其焦点在y轴正半轴上，且p=，则其准线方程为y=﹣；故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】利用点差法得到AB的斜率，结合抛物线定义可得结果.【详解】详解：设则所以所以取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为因为,，因为M’为AB中点，所以MM’平行于x轴因为M(-1,1)所以，则即故答案为2.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设，利用点差法得到，取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的性质得到，进而得到斜率．14、【解析】连接，交于点，再连接，根据几何体的结构特征可得则是直线与平面所成的角，再利用解三角形的有关知识求出答案即可【详解】连接，交于点，再连接，是在正方体中则是直线与平面所成的角，设正方体的边长为1则直线与平面所成的角的大小为故答案为【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，以及线面角的做法和解法，运用三角函数来解三角形即可求出答案15、【解析】根据圆柱的结构特征可知底面半径和高，代入体积公式计算即可．【详解】解：∵圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，∴圆柱的底面半径，高，∴圆柱的体积．故答案为．【点睛】本题考查了圆柱的结构特征和体积的计算，属于基础题．16、2【解析】分析：先化z为代数形式，再根据纯虚数概念得a，最后根据复数模的定义求结果.详解：因为是纯虚数，所以，所以点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；(2)【解析】（1）将公共点代入椭圆和圆方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；（2）设过点M（0，﹣2）的直线l的方程为y＝kx﹣2，联立椭圆方程，运用韦达定理，以及三角形的面积公式可得所求值．【详解】（1）由题意可得1，（b2﹣1）2，解得a2＝3，b2＝2，则椭圆方程为1；（2）设过点M（0，﹣2）的直线l的方程为y＝kx﹣2，联立椭圆方程2x2+3y2＝6，可得（2+3k2）x2﹣12kx+6＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2，x1x2，A是线段MB的中点，可得x2＝2x1，解得k2，x12，可得△OAB的面积为•2•|x1﹣x2|＝|x1|．【点睛】本题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与圆锥曲线位置关系，其中联立直线方程和圆锥曲线方程，运用韦达定理，是解题的常用方法．18、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在点,当时，二面角等于.【解析】试题分析：（Ⅰ）证明：连接，由为正三棱柱为正三角形，又平面平面平面.易得丄平面.（Ⅱ）假设存在点满足条件，设.由丄平面，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为．试题解析：（Ⅰ）证明：连接，因为为正三棱柱，所以为正三角形，又因为为的中点，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，所以.因为，所以，所以在中，，在中，，所以，即.又，所以丄平面，面，所以.（Ⅱ）假设存在点满足条件，设.取的中点，连接，则丄平面，所以，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，令，得，同理，平面的一个法向量为，则，取，∴.∴，解得，故存在点,当时，二面角等于.19、(1)；(2)【解析】（1）由题得，解不等式即得解；（2）先由题得，由题得，中一个是真命题，一个是假命题，列出不等式组，解不等式组得解.【详解】(1)对任意，不等式恒成立，当，由对数函数的性质可知当时，的最小值为，，解得.因此，若为真命题时，的取值范围是.(2)存在，使得成立，.命题为真时，，且为假，或为真，，中一个是真命题，一个是假命题.当真假时，则解得；当假真时，，即.综上所述，的取值范围为.【点睛】本题主要考查指数对数函数的性质和不等式的恒成立问题的解法，考查复合命题的真假和存在性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20、（1）；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）第个等式为.(2)利用个数学归纳法证明猜想.详解：（1）第个等式为；（2）用数学归纳法证明如下：①当时，左边，右边,所以当时，原等式成立.②假设当时原等式成立，即,则当时，,所以当时，原等式也成立.由①②知，（1）中的猜想对任何都成立.点睛：（1）本题主要考查归纳猜想和数学归纳法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是证明n=k+1时，=.21、(1)f(x)的单调递减区间是.(2)证明见解析.(3).【解析】(Ⅰ)求导，由，即可得到函数的单调减区间；(Ⅱ)记h(x)＝f(x)g(x),设法证明，即可证明.(Ⅲ)由题即，易证,当时取到等号，由得,由此可求的值.【详解】(Ⅰ)因为由，得所以f(x)的单调递减区间是.(Ⅱ)记h(x)＝f(x)g(x)＝,,所以在R上为减函数因为所以存在唯一，使即，,当时，；当时，.所以所以.(Ⅲ)因为,所以,易证,当时取到等号，由得,,所以即.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明与恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.22、（1）;（2）的单调增区间为，单调减区间为;（3）．【解析】【试题分析】（1）借助导数的几何意义建立方程组求解；（2）先求导再借助导数与函数单调性之间的关系求解；（3）先将不等式进行等价转化，再分离参数借助导数知识求其最值，即可得到参数的范围。（1）由题意，得，则，∵在点处的切线方程为，∴切线斜率为，则，得，将代入方程，得，解得，∴，将代入得，故．（2）依题意知函数的定义域是，且，令，得，令，得，故的单调增区间为，单调减区间为．（3）由，得，∴在定义域内恒成立．设，则，令，得．令，得，令，得，故在定义域内有极小值，此极小值又为最小值．∴的最小值为，所以，即的取值范围为．点睛：导数是研究函数的单调性、极值（最值）等方面的重要工具，本题的设置旨在考查导数在研究函数的单调性与极值（最值）中的运用。求解第一问时，直接借助题设与导数的几何意义建立方程求解；求解第二问时，依据题设条件，先求导法则及导数与函数的单调性之间的关系建立不等式探求；解答第三问时，先将不等式进行转化，再构造函数，运用导数的知识进行分析探求，从而使得问题简捷、巧妙获解。