理论力学1-7章答案

第7章点的复合运动7-1图示车A沿半径R的圆弧轨道运动，其速度为vA。车B沿直线轨道行驶，其速度为vB。试问坐在车A中的观察者所看到车B的相对速度vB/A，与坐在车B中的观察者看到车A的相对速度vA/B，是否有？（试用矢量三角形加以分析。）答：1．以A为动系，B为动点，此时绝对运动：直线；相对运动：平面曲线；牵连运动：定轴转动。为了定量举例，设，，则∴2．以B为动系，A为动点。牵连运动为：平移；绝对运动：圆周运动；相对运动：平面曲线。此时∴7-3图示装置中的鼓轮以等角速度转动，鼓轮的半径为r。自动记录笔连接在沿铅垂方向并按规律运动的构件上。试求记录笔在纸带上所画曲线的方程。解： （1） （2）由（1）代入（2），得7-5图示铰接四边形机构中，O1A=O2B=100mm，O1O2=AB，杆O1A以等角速度=2rad/s绕轴O1转动。AB杆上有一套筒C，此套筒与杆CD相铰接，机构的各部件都在同一铅垂面内。试求当=，CD杆的速度和加速度。解：1．动点：C（CD上），动系：AB，绝对：直线，相对：直线，牵连：平移。2．（图a）ve=vAm/s（↑）3．（图b）m/s2m/s2（↑）7-7图示瓦特离心调速器以角速度绕铅垂轴转动。由于机器负荷的变化，调速器重球以角速度向外张开。如=10rad/s，=1.21rad/s；球柄长l=0.5m；悬挂球柄的支点到铅垂轴的距离e=0.05m；球柄与铅垂轴夹角=30°。试求此时重球的绝对速度。解：动点：A，动系：固连于铅垂轴，绝对运动：空间曲线，相对运动：圆图，牵连运动：定轴转动。m/sm/sm/s或m/sm/s7-9图示直角曲杆OBC绕O轴转动，使套在其上的小环M沿固定直杆OA滑动。已知OB=0.1m；OB与BC垂直；曲杆的角速度=0.5rad/s。试求当=60°时小环M的速度和加速度。解：动点：小环M，动系：OBC，绝对运动：直线，相对运动：直线，牵连运动：定轴转动。图（a）：m/sm/s图（b）： （1）上式向aC投影，又m/s2m/s2代入（1），得aM=0.35m/s2（→）7-`11图示偏心凸轮的偏心距OC=e，轮半径。凸轮以等角速度绕O轴转动。设某瞬时OC与CA成直角，试求此瞬时从动杆AB的速度和加速度。解：1．动点：A（AB上），动系：轮O，绝对运动：直线，相对运动：圆周，牵连运动：定轴转动。2．（图a），（↑），3．（图b）向投影，得=（↓）7-13A、B两船各自以等速vA和vB分别沿直线航行，如图所示。B船上的观察者记录下两船的距离和角，试证明：，解：证法一：∵vA、vB均为常矢量，∴B作惯性运动。在B船上记录下的两船距离和角为A船相对B船运动的结果。以A为动点，B为动系，则牵连运动为平移，绝对运动为直线，相对运动：平面曲线。∵，∴由教科公式（2-35），∴证法二：建立图（a）坐标系Bxy，则，，∴7-15图示直升飞机以速度=1.22m/s和加速度aH=2m/s2向上运动。与此同时，机身（不是旋翼）绕铅垂轴（z）以等角速度=0.9rad/s转动。若尾翼相对机身转动的角速度为=180rad/s，试求位于尾翼叶片顶端的一点的速度和加速度。解：m/s2第6章点的一般运动与刚体的简单运动6－1试对图示五个瞬时点的运动进行分析。若运动可能，判断运动性质；若运动不可能，说明原因。答：（a）减速曲线运动；（b）匀速曲线运动；（c）不可能，因全加速度应指向曲线凹（d）加速运动；（e）不可能，时，，此时a应指向凹面，不能只有切向加速度。6-3图示点P沿螺线自外向内运动。它走过的弧长与时间的一次方成正比，试问该点的速度是越来越快，还是越来越慢？加速度是越来越大，还是越来越小？解：s=kt，匀速运动；∴∵逐渐变小，∴加速度a越来越大。6-5已知运动方程如下，试画出轨迹曲线、不同瞬时点的v、a图像，说明运动性质。1．，2．式中，t以s计；x以mm计。解：1．由已知得3x=4y （1）∴∴为匀减速直线运动，轨迹如图（a），其v、a图像从略。2．由已知，得化简得轨迹方程： （2）轨迹如图（b），其v、a图像从略。6-7搅拌机由主动轴O1同时带动齿轮O2、O3转动，搅杆ABC用销钉A、B与O2、O3轮相连。若已知主动轮转速为n=950r/min，AB=O2O3，O2A=O3B=250mm，各轮的齿数Z1、Z2、Z3如图中所示。试求搅杆端点C的速度和轨迹。解：搅杆ABC作平移，∴vC=vA，C点的轨迹为半径250mm的圆。rad/sm/s6-9图示凸轮顶板机构中，偏心凸轮的半径为R，偏心距OC=e，绕轴O以等角速转动，从而带动顶板A作平移。试列写顶板的运动方程，求其速度和加速度，并作三者的曲线图像。解：（1）顶板A作平移，其上与轮C接触点坐标：（为轮O角速度）（2）三者曲线如图（a）、（b）、（c）。6-11图示绳的一端连在小车的的点A上，另一端跨过点B的小滑车绕在鼓轮C上，滑车离AC的高度为h。若小车以速度v沿水平方向向右运动，试求当=45°时B、C之间绳上一点P的速度、加速度和绳AB与铅垂线夹角对时间的二阶导数各为多少。解：1．∵P点速度与AB长度变化率相同∴（=45°，x=h时）2．同样：（∵，x=h）3．，∴∴（顺）6-13自行车B沿近似用抛物线方程y=Cx2（其中C=0.01m-1）描述的轨道向下运动。当至点A（xA=20m，yA=4m）时，=8m/s，=4m/s2。试求该瞬时B的加速度大小。假设可将车－人系统看成点。解：A点的曲率半径：y=0.01x2x=20m时，=62.47mm/s2m/s26-15由于航天器的套管式悬臂以等速向外伸展，所以通过内部机构控制其以等角速度=0.05rad/s绕轴z转动。悬臂伸展长度l从0到3m之间变化。外伸的敏感试验组件受到的最大加速度为0.011m/s2。试求悬臂被允许的伸展速度。解：用极坐标解，由书上公式（2－35）：得本题中aP=0.011m/s2，=0（等速向外），=0（等角速度）∴这里，，即即∴mm/s运动学篇第5章引论5－1图中所示为游乐场内大回转轮上的游人坐椅（B）。当回转轮绕固定轴转动时，试分析座椅－人的运动形式。答：平移。5－3直杆AB分别在图a和b所示的导槽内运动。其中图a所示的槽壁分别为铅垂面与水平面；图b所示的槽壁为圆柱面与水平面相连接。试分析杆在两种情形下的运动形式。答：（a）杆AB之A端位于铅垂面时作平面运动；当A端下滑至水平面时，AB作平移。（b）当B位移于圆弧段时，AB绕O作定轴转动；当B过C点而A尚未过C点时作平面运动；当A过C点时作平移。第4章摩擦平衡问题4－1一叠纸片按图示形状堆叠，其露出的自由端用纸粘连，成为两叠彼此独立的纸本A和B。每张纸重0.06N，纸片总数有200张，纸与纸之间以及纸与桌面之间的摩擦因数都是0.2。假设其中一叠纸是固定的，试求拉出另一叠纸所需的水平力FP。解：1．将A从B中拉出：A中最上层，这里称第1层纸，其上、下所受正压力分别为FN1=mg=0.06NFN2=2mg以此类推，A中第i层纸上、下受力图（a）其最下层，即第100层纸，上、下受正压力FN100s=199mgFN100x=200mg所受总摩擦力N∴FPA=241N2．将B从A中拉出：B中第i层纸上、下受正压力（图b）：，所受总压力所受总摩擦力N∴FPB=239N4－3砖夹的宽度为250mm，杆件AGB和GCED在点G铰接。砖的重为W，提砖的合力FP作用在砖夹的对称中心线上，尺寸如图所示。如砖夹与砖之间的静摩擦因数fs=0.5，试问d应为多大才能把砖夹起（d是点G到砖上所受正压力作用线的距离）。解：1．整体（题图），FP=W （1）2．图（a）， （2），FN1=FN2 （3） （4）3．图（b）mm4－5图示为凸轮顶杆机构，在凸轮上作用有力偶，其力偶矩的大小为M，顶杆上作用有力FQ。已知顶杆与导轨之间的静摩擦因数fs，偏心距为e，凸轮与顶杆之间的摩擦可忽略不计，要使顶杆在导轨中向上运动而不致被卡住，试问滑道的长度l应为多少？解：1．对象：凸轮；受力图（b）， （1）2．对象：顶杆，受力图（a）， （2） （3）（1）、（3）代入（2），得 （4），代入（4），得∴即4－7一人用水平力F将电气开关插头插入插座。二者初始接触的情形如图所示，当F=13.3N时，插头完成所述动作。试问开始插入时，垂直于插座中每个簧片上的接触分量是多少？设摩擦因数为0.25。解：图（a），由对称性，， （1） （2）由（1）、（2）∴N4－9图示均质杆重W，长l，置于粗糙的水平面上，二者间的静摩擦因数为fs。现在杆一端施加与杆垂直的力FP，试求使杆处于平衡时FP的最大值。设杆的高度忽略不计。解：设杆在FP作用下有绕A转动趋势，杆单位长度受摩擦力，方向如图（a）。， （1）即 （2）， （3）由（2）， （4）代入（3），代入（4），4－11图示为螺旋拉线装置。两个螺旋中一个为左旋，另一个为右旋，因而当转动中间的眼状螺母时，两端钢丝绳可拉紧或松开。已知螺纹是矩形的，螺旋半径为6.35mm，螺距为2.54mm，该装置现承受拉力FT=5kN。为松开拉线，克服阻力转动螺母，需作用力矩M=30.2N·m。试求在螺旋中的有效摩擦因数。解：取眼状螺母上端螺纹，受力图（a）螺纹斜率，作用在螺纹上的切向力N其平衡方程：（1）（2）临界：F=fFN（3）解（1）、（2）、（3）联立，得松开时（松开）讨论：原书答案对应于拉紧时摩擦系数，其受力图（b），其平衡方程：F=fFN解得（拧紧）4－13图示均质杆重22.2N，B端放置于地面，A端靠在墙上。设B端不滑动，试求A端不滑动时的最小静摩擦因数。解：BA的单位矢量e1=A端可能滑动的方向在平行于yz面过A点的平面内，且⊥e1，设其单位矢为e2，则e2=为e2与y正向夹角。∵e1⊥e2，即即，墙对A端的法向反力FN=FNi摩擦力A点总反力：由平衡方程：，4－15平板闸门宽度l=12m（为垂直于图面方向的长度），高h=8m，重为400kN，安置在铅垂滑槽内。A、B为滚轮，半径为100mm，滚轮与滑槽间的滚动阻碍系数=0.7mm，C处为光滑接触。闸门由起重机启闭，试求：1．闸门未启动时（即FT=0时，A、B、C三点的约束力）；2．开启闸门所需的力FT（力FT通过闸门重心）。解：闸门受水压如图（a）线性分布最大压强：kN/m2总压力kN位于距C为处1．闸门未启时平衡：， （1）， （2）， （3）解得kNkNkN（原书答案为设水重度=10kN/m3所致）2．启动闸门时，图（b）摩擦阻力kNkN闸门能启动的条件是kN第3章力系的平衡3－1试求图示两外伸梁的约束反力FRA、FRB，其中（a）M=60kN·m，FP=20kN；（b）FP=10kN，FP1=20kN，q=20kN/m，d=0.8m。解：图（a-1），FAx=0，FRB=40kN（↑），kN（↓）图（b-1），M=FPd，即FRB=21kN（↑），FRA=15kN（↑）3－3拖车重W=20kN，汽车对它的牵引力FS=10kN。试求拖车匀速直线行驶时，车轮A、B对地面的正压力。解：图（a）：kN，kN3－5钥匙的截面为直角三角形，其直角边AB=d1，BC=d2。设在钥匙上作用一个力偶矩为M的力偶。试求其顶点A、B、C对锁孔边上的压力。不计摩擦，且钥匙与锁孔之间的隙缝很小。解：图（a）：ΣMA=0， （1）ΣFx=0， （2）ΣFy=0， （3）解（1）、（2）、（3）联立，得3－7起重机装有轮子，可沿轨道A、B移动。起重机桁架下弦DE的中点C上挂有滑轮（图未画出），用来提起挂在索链CG上的重物。从架上提起的物料重W=50kN，当此重物离开材料架时，索链与铅垂线成=20°角。为了避免重物摆动，又用水平绳索GH拉住重物。设索链张力的水平分力仅由右轨道B承受，试求当重物离开材料架时轨道A、B的受力。解：图（a），ΣFy=0， （1）图（b），ΣFx=0，ΣMB=0，（↑）ΣFy=0，（↑）3－9题图上部为小腿的骨架。通过附着在髋部A和膝盖骨B上的四头肌，使小腿抬起。膝盖骨可在膝关节的软骨上自由滑动。四头肌进一步延伸，并与胫骨C相附着。小腿的力学模型示于题图的下部。试求四头肌的拉力FT和股骨（铰）D受到的合力大小。小腿质量为3.2kg，质心为G1，脚的质量为1.6kg，质心为G2。解：，图（a）：ΣMD=0FT=954NΣFx=0，NΣFy=0，FDy=479N3－11一活动梯子放在光滑水平的地面上，梯子由AC与BC两部分组成，每部分的重均为150N，重心在杆子的中点，彼此用铰链C与绳子EF连接。今有一重为600N的人，站在D处，试求绳子EF的拉力和A、B两处的约束力。解：图（a）：ΣMA=0FRB=375NΣFy=0，FRA=525N图（b）：ΣMC=0TEF=107N3－13飞机起落架由弹簧液压杆AD和油缸D以及两个绕枢轴转动的连杆OB和CB组成，假设该装置正以匀速沿着跑道运动，轮子所支承的载荷为24kN。试求A处销钉所受的力。解：图（a）：ΣMO=0 （1）ΣFy=0， （2）FOy=24kN （3）解（1）、（2）、（3），得FDA=41.5kN3－15厂房构架为三铰拱架。桥式吊车顺着厂房（垂直于纸面方向）沿轨道行驶，吊车梁的重W1=20kN，其重心在梁的中点。跑车和起吊重物的重W2=60kN。每个拱架重W3=60kN，其重心在点D、E，正好与吊车梁的轨道在同一铅垂线上。风压的合力为10kN，方向水平。试求当跑车位于离左边轨道的距离等于2m时，铰支承A、B两处的约束力。解：图（a）：ΣML=0，Fr=25kN （1）图（b）：ΣMA=0，kNΣFy=0，FAy=106kNΣFx=0，kN （2）图（c）：ΣMC=0，FBx=22.5kN代入（2），得kN3－17体重为W的体操运动员在吊环上做十字支撑。已知l、、d（两肩关节间距离）、W1（两臂总重）。假设手臂为均质杆，试求肩关节受力。解：图（a）：ΣFy=0，2图（b）：ΣFx=0，ΣFy=0，ΣM=0，∴3－19厂房屋架如图所示，其上承受铅垂均布载荷。若不计各构件重，试求杆1、2、3的受力。解：图（a）：ΣFx=0，FAx=0kN图（b）：ΣMC=0F2=358kN（拉）图（c）：，=12.89°ΣFx=0，F1cos=F3kN（拉）ΣFy=0，kN（压）3－21夹钳手柄的倾斜角，力FP，试求夹钳施加给物体的力。（注：原题已知尺寸不具体，故这儿改之）解：原题载荷对荷，结构对称，故中对称面上水平方向约束力为0，因若不为零，则上约束力朝左，下约束力朝右，这是不可能的；由于对称，水平的约束力应都朝左或都朝右，这与作用力反作用又矛盾，故只能为0，得受力图（a）、（b）：图（a）：ΣMB=0（1）图（b）：ΣMD=0（2）（1） 代入（2），得3－23作用在踏板上的铅垂力FP使得位于铅垂位置的连杆上产生拉力FT=400N，图中尺寸均已知。试求轴承A、B的约束力。解：整体图（a）：ΣMx=0，NΣMAy=0，NΣFz=0，FAz=184NΣMAz=0，FBy=0ΣFy=0，FAy=0∴kN；kN3－25图示两匀质杆AB和BC分别重为W1和W2，其端点A和C处用固定球铰支撑在水平面上，另一端B用活动球铰相联接，并靠在光滑的铅垂墙上，墙面与AC平行。如杆AB与水平线成45°角，∠BAC=90°，试求支座A和C的约束力及墙在B处的支承力。解：1．取AB+BC杆为研究对象，受力图（a）ΣMAC=0,∴ΣMAz=0，FCy=0ΣMCz=0,∴ΣMAy=0,（↑）ΣMCy=0,ΣFx=0，FAx+FCx=0 （1）2．AB杆，受力图（b）ΣMOz=0，FAx=0 （2）代入（1），∴FCx=0第2章力系的等效与简化2－1脊柱上低于腰部的部位A是脊椎骨受损最敏感的部位，因为它可以抵抗由力F对A之矩引起的过大弯曲效应，如图所示。已知F、d1和d2。试求产生最大弯曲变形的角度。解：本题实际是求使A处产生最大约束力偶。由力矩特性：（图a）时力臂最大。此时：(a)2－3如图所示，试求F对点A的力矩。解：=2－5齿轮箱有三个轴，其中A轴水平，B和C轴位于yz铅垂平面内，轴上作用的力偶如图所示。试求合力偶。解：MA=（1,0,0）MA=3.6（1,0,0）kN·mMB=（0,sin40°,cos40°）MB=6（0,sin40°,cos40°）kN·mMC=（0,sin40°,-cos40°）MC=6（0,sin40°,-cos40°）kN·m∴M=ΣMi=MA+MB+MC=（3.6,12sin40°,0）kN·m2－7已知图示一平面力系对A（3,0），B（0,4）和C（–4.5,2）三点的主矩分别为：MA=20kN·m，MB=0，MC=–10kN·m。试求该力系合力的大小、方向和作用线。解：由已知MB=0知合力FR过B点；由MA=20kN·m，MC=-10kN·m知FR位于A、C间，且（图（a））在图（a）中：设OF=d，则 （1） （2）即∴F点的坐标为（-3,0）合力方向如图（a），作用线如图过B、F点；即作用线方程：讨论：本题由于已知数值的特殊性，实际G点与E点重合。2－9图示电动机固定在支架上，它受到自重160N、轴上的力120N以及力偶矩为25N·m的力偶的作用。试求此力系向点A简化的结果。解：由已知F1=160NF2=120NF3=25N·mF1=（0,0,-160）NF2=（-120,0,0）NM=（25,0,0）N·mr=（0.075,0.2,0.025）m向A点简化，得FR=F1+F2=（-120,0,-160）N==（25,0,0）=（-7,9,24）N·m2－11折杆AB的三种支承方式如图所示，设有一力偶矩数值为M的力偶作用在曲杆AB上。试求支承处的约束力。解：图（a）：；图（b）：由图（c）改画成图（d），则∴2－13齿轮箱两个外伸轴上作用的力偶如图所示。为保持齿轮箱平衡，试求螺栓A、B处所提供的约束力的铅垂分力。解：ΣMi=0，FAy=750N（↓）FBy=750N（↑）（本题中FAx，FBx等值反向，对力偶系合成结果无贡献。）2－15试求图示结构中杆1、2、3所受的力。解：3杆为二力杆图（a）：ΣMi=0，F=F3（压）图（b）：ΣFx=0，F2=0ΣFy=0，（拉）2－17试求图示两种结构的约束力FRA、FRC。解：（a），CD为二力杆，图（c）—力偶系ΣMi=0（b）AB为二力杆图（d）ΣMi=0，2－19试求机构在图示位置保持平衡时主动力系的关系。解：AB为二力杆，图（a）：ΣFx=0， （1）图（b）：ΣMi=0， （2）由（1）、（2），得M=Fd静力学篇第1章引论1－1图a、b所示，Ox1y1与Ox2y2分别为正交与斜交坐标系。试将同一方F分别对两坐标系进行分解和投影，并比较分力与力的投影。解：（a），图（c）：分力：，投影：，讨论：=90°时，投影与分力的模相等；分力是矢量，投影是代数量。（b），图（d）：分力：，投影：，讨论：≠90°时，投影与分量的模不等。1－3试画出图示各物体的受力图。1－5试画出图示结构中各杆的受力图。1－7试画出图示连续梁中的AC和CD梁的受力图。1－9两种正方形结构所受力F均已知。试分别求其中杆1、2、3所受的力。解：图（a）：（拉）F1=F3（拉）F2=F（受压）图（b）：F1=0∴F2=F（受拉）1－11图示起重机由固定塔AC与活动桁架BC组成。桁架BC用铰链连接于点C，并由钢索AB维持其平衡。重W=40kN的物体悬挂在钢索上，钢索绕过点B的滑轮，并沿直线BC引向铰盘。长度AC=BC，不计桁架重量和滑轮摩擦。试用角=∠ACB的函数来示钢索AB的张力FAB以及桁架上沿直线BC的压力FBC。解：图（a）：，∴，即∴1－13图示用柔绳机连的两个小球A、B放置在光滑圆柱面上，圆柱面（轴线垂直于纸平面）半径OA=0.1m，球A重1N，球B重2N，绳长0.2m。试求小球在平衡位置时半径OA和OB分别与铅垂线OC之间的夹角和，并求在点A和B处小球对圆柱的压力FN1和FN2。小球的尺寸忽略不计。解：（1）图（a）：A平衡：，（2）B平衡：，（3）∵TA=TB∴（4）∴（5）由A平衡：由B平衡：1－15由三脚架ABCD、铰车E和滑轮D组成的提升机构，从矿井中吊重W=30kN的物体，如图所示。若图中ABC为等边三角形，各杆和绳索DE与水平面都成60°角。试求当物体被匀速起吊时各杆所受的力。解：节点D，受力图（a）：，FA=FB （1）显然TE=W （2），即 （3）， （4）解（1）、（2）、（3）、（4）联立，得FC=-1.55kN（受压）FA=-31.5kN（受压）FB=-31.5kN（受压）