（整理版）第十三讲函数模型及其应用

投入资金20万元经销甲或乙两种商品.经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P和Q(万元),且它们与投入资金x(万元)的关系是P=(a>0).假设不管资金如何投放,经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不小于5万元,那么a的最小值应为()A.D.解析:设对乙商品投入资金x万元,那么投入甲商品的资金为(20-x)万元(0≤x≤20).那么纯利润S(x)=,依题意应有S(x)≥5恒成立,即≥5,即a≥,由于0≤x≤20,∴答案:A二､填空题:(本大题共4小题,每题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)7.(精选考题·武汉联考题)镭经过100年剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年剩留质量为y,那么y关于x的函数关系是________.答案:(x≥0)8.(精选考题·温州统考题)某服装商贩同时卖出两套服装,卖出价为168元/套,以本钱计算一套盈利20%而另一套亏损20%,那么此商贩________.(填赚或赔多少钱)解析:设盈利的那套服装本钱价为x,那么x+20%x=168,x=140元,设亏损的那套服装本钱价为y,那么y-20%y=168,y=210元,所以商贩赔(210-168)-(168-140)=14(元).答案:赔14元9.在不考虑空气阻力的情况下,设火箭的最大速度vm/s和燃料的质量Mkg,火箭(除燃料外)的质量mkg的函数关系是v=•ln(1+M/m).当燃料质量是火箭质量的________倍时,火箭的最大速度可达12km/s.解析:∵•ln(1+M/m)≤1,∴≤e6-1.答案:e6-110.一水池有两个进水口,一个出水口,每水口的进､出水速度如图甲､乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示(至少翻开一个水口).________.解析:由丙图(题图)知0点到3点蓄水量为6,故应两个进水口进水,不出水,故①正确.由丙图(题图)知3点到4点间1小时蓄水量少1个,故1个进水1个出水,故②错误.由丙图(题图)知4点到6点蓄水量不变,故两个进水一个出水,故③错误.答案:①三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)11.某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李.如果超过规定的质量,那么需购置行李票,行李费用y(元)是关于行李质量x(kg)的一次函数,其图象如下图.(1)根据图象数据,求y与x之间的函数关系式;(2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少千克?解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.由题图可知,当x=60时,y=6;当x=80时,y=10.∴∴y与x之间的函数关系式为y=x-6(x≥30).(2)y=x-6(x≥30)中y的值为0时,x的值为最多可免费携带行李的质量,应是函数图象与x轴交点的横坐标.当y=0时,x=30.∴旅客最多可免费携带行李的质量为30kg.12.某公司生产的A型商品通过租赁柜台进入某商场销售.第一年,商场为吸引厂家,决定免收该年管理费,该年A型商品定价为每件70元,年销售量为12.7万件.第二年,商场开始对该商品征收比率为m%的管理费(即销售100元要征收m元),于是该商品每件的定价提高%,预计年销售量将减少m万件.(1)将第二年商场对该商品征收的管理费y(万元)表示成m的函数,并指出这个函数的定义域;(2)要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于21万元,那么商场对该商品征收管理费的比率m%的范围是多少?(3)第二年,商场在所收管理费不少于21万元的前提下,求使厂家获得最大销售金额时的m的值.解:(1)依题意,第二年该商品年销售量为(12.7-m)万件,每件销售价格为:故当m=3时,厂家销售金额最大,且商场所收管理费又不少于21万元.13.某皮鞋厂,从今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双,1.2万双,1.3万双,1.37万双.由于产品质量好,款式新颖,前几个月的产品销售情况良好.为了推销员在推销产品时,接受订单不至于过多或过少,需要估测以后几个月的产量.厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂不准备增加设备和工人,假设你是厂长,将会采用什么方法估算以后几个月的产量?解:作出图象如以下图,图上可以得到四个点:A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37).解法1:(一次函数模型)设模拟函数为y=ax+b,以B,C两点的坐标代入函数式,有所以得y=0.1x+1.评析:此法的结论是:在不增加工人和设备的条件下,产量会每月上升1000双,这是不太可能的.解法2:(二次函数模拟)设y=ax2+bx+c,将A,B,C三点的坐标代入,有2+0.35x+0.7.评析:由此法计算4月份产量为1.3万双,比实际产量少700双.而且,由二次函数性质可知,产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下,对称轴方程是x=3.5),这显然不符合实际情况.解法3:(幂函数模拟)如以下图,设y=a+b,将A,B两点的坐标代入,有评析:以x=3和4代入,分别得到y=1.35和1.48,与实际产量差距较大.这是因为此法只使用了两个月的数据.方法4:(指数函数模拟)如上图,设y=abx+c,将A､B､C三点的坐标代入,得x+1.4.4+1.4=1.35.