数值计算方法习题答案

数值分析（p11页）4试证：对任给初值x0,求开方值的牛顿迭代公式恒成立下列关系式：证明：（1）（2）取初值，显然有，对任意，6证明：若有n位有效数字，则，而必有2n位有效数字。8解：此题的相对误差限通常有两种解法.①根据本章中所给出的定理：（设x的近似数可示为，如果具有l位有效数字，则其相对误差限为，其中为中第一个非零数）则，有两位有效数字，相对误差限为，有两位有效数字，相对误差限为，有两位有效数字，其相对误差限为：②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解对于，其相对误差限为同理对于，有对于，有备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。（2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。11.解:，，具有3位有效数字，具有7位有效数字9.解：有四舍五入法取准确值前几位得到的近似值，必有几位有效数字。令,,所对应的真实值分别为,,，则①∣-∣≤EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3=EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3∣-∣/∣∣＜EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3/＜②∣-∣≤EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3=EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3∣-∣/∣∣＜EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3/＜③∣-∣＜EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3=EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3∣-∣/∣∣＜EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3/＜12.解：⑴－=⑵1-cosx==2⑶≈1+x++…+-1=x++…+13.解：⑴-=⑵=-设=a，=b,则==EMBEDEquation.3-=⑶===-习题一（54页）5.证明：利用余项表达式（11）（19页），当为次数≤n的多项式时，由于=0，于是有=－=0,即=，表明其n次插值多项式就是它自身。9.证明：由第5题知，对于次数≤n的多项式，其n次插值多项式就是其自身。于是对于=1，有=即，EMBEDEquation.3+EMBEDEquation.3+EMBEDEquation.3=则，++=111.分析：由于拉格朗日插值的误差估计式为－=EMBEDEquation.3误差主要来源于两部分和。对于同一函数讨论其误差，主要与有关。在（1）中计算x=的积分值，若用二次插值，需取三个节点，由于在1，2两个节点之间，所以应选1，2为节点，在剩下的两个点中，与更靠近，所以此题应选,,为节点来构造插值多项式。15.证明：由拉格朗日插值余项公式有︱－︱≤≤︱︱︱︱由于==++≥︱－︱≤EMBEDEquation.3︱︱20.证明：当n=1时，==C·=C假设当n=k时，结论成立，则有=C；=C；那么，当n=k+1时，==C=C证明完毕。（类似的方式可证明第一个结论）21.解：由定理4（26页）可知：=,其中当n>k时，==0；当n=k时，==；EMBEDEquation.3=13.解：由题意知，给定插值点为=,=;=,=;=,=由线性插值公式知线性插值函数为=+=+当x=时，≈≈+≈其截断误差为︱︱≤︱︱，其中=︱︱EMBEDEquation.3=，EMBEDEquation.3=-，EMBEDEquation.3=︱︱≈于是︱︱≤×××≤×若用二次插值，则得=++≈≈其截断误差为︱︱≤︱︱其中=︱︱=︱︱=<于是︱︱≤×︱×××︱<×17解：差商表为———————————————————————————————一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商五阶差商———————————————————————————————1-32033151564483391510557121061928715100由差商形式的牛顿插值公式，有=＋＋＋=-3＋3＋6＋23题：解：由于，则设由，则所以24.解：由于可设由得，有：EMBEDEquation.3所以26．解：由泰勒公式有设其满足，其中由，得代入(*)式既可得.33.解：由于，故在处有连续，即：解得：34、解：首先确定求解过程中涉及到的一些参数值。,,于是得到关于的方程组：(三对角方程)（追赶法）解方程求出，代入即得满足题目要求的三次样条函数习题二2.解：判断此类题目，直接利用代数精度的定义当时，左=右=，左=右当时，左=右=，左=右当时，左=右=，左=右当时，左=右=，左右所以求积公式的代数精度为2.3.解：⑴求积公式中含有三个待定参数，即：，因此令求积公式对均准确成立，则有解得：所求公式至少有2次代数精度。又由于当时，左=0右=当时，左=右=所以求积公式只有3次代数精度。⑵、⑶类似方法得出结论。6.解：因要求构造的求积公式是插值型的，故其求积系数可表示为故求积公式为：下面验证其代数精度：当时，当时，当时，所以其代数精度为1。7.证明：⑴若求积公式⑷对和准确成立，则有及所以求积公式对亦准确成立。⑵次多项式可表示为若公式⑷对是准确的，则有7题中的上一步可知，其对亦成立。由代数精度定义可知，其至少具有m次代数精度。12.解：精确解为：17解：首先将区间[0，1]变换为[-1，1]，令，则三点高斯公式为：（高斯求积公式的节点与系数可查表得到，对于高斯求积公式，计算系数和节点十分困难）,则则_1314911026.unknown_1314911080.unknown_1314911738.unknown_1314972831.unknown_1314972910.unknown_1314972955.unknown_1314973005.unknown_1314973320.unknown_1314974227.unknown_1314979235.unknown_1314979236.unknown_1314979237.unknown_1314979282.unknown_1314979710.unknown_1314979804.unknown_1314979805.unknown_1314979863.unknown_1314980021.unknown_1314980084.unknown_1314980435.unknown_1314980627.unknown_1314980719.unknown_1314980855.unknown_1314980957.unknown_1314980983.unknown_1314981050.unknown_1314981101.unknown_1314981755.unknown_1314981814.unknown_1321810749.unknown_1321810897.unknown_1321810920.unknown_1321810966.unknown_1321810979.unknown_1321810980.unknown_1321810981.unknown_1321810982.unknown_1321811011.unknown_1321811012.unknown_1321811013.unknown_1321811058.unknown_1321811080.unknown_1321811105.unknown_1321811106.unknown_1321811192.unknown_1321811236.unknown_1321811290.unknown_1321811291.unknown_1321811292.unknown_1321811293.unknown_1321811294.unknown_1321811295.unknown_1321811296.unknown_1321811297.unknown_1321811298.unknown_1321811299.unknown_1321811501.unknown_1321811502.unknown_1321811503.unknown_1321811504.unknown_1321811505.unknown_1321811506.unknown_1321811507.unknown_1321811508.unknown_1321811509.unknown_1321811512.unknown_1321811557.unknown_1321811570.unknown_1321811619.unknown_1321811771.unknown_1321811795.unknown_1321811796.unknown_1321811813.unknown_1321811818.unknown_1321811831.unknown_1321811875.unknown_1321811876.unknown_1321811884.unknown_1321811885.unknown_1321811886.unknown_1321812049.unknown_1321812093.unknown_1321812137.unknown_1321812138.unknown_1321812157.unknown_1321812166.unknown_1321812274.unknown_1321812287.unknown_1321812345.unknown_1321812383.unknown_1321812474.unknown_1321812514.unknown_1321812557.unknown_1321812637.unknown_1321812669.unknown_1321812723.unknown_1321812826.unknown_1321812839.unknown_1321812893.unknown_1321812938.unknown_1321812981.unknown_1321813003.unknown_1321813081.unknown_1321813305.unknown_1321813369.unknown_1321813395.unknown_1321813396.unknown_1321813419.unknown_1321813432.unknown_1321813442.unknown_1321813474.unknown_1321813509.unknown_1321813522.unknown_1321813564.unknown_1321813665.unknown_1321813704.unknown_1321813741.unknown_1321813802.unknown_1321813808.unknown_1321813841.unknown_1321813842.unknown_1321813843.unknown_1321813904.unknown_1321813905.unknown_1321814186.unknown_1321814232.unknown_1321814233.unknown_1321814247.unknown_1321814248.unknown_1321814281.unknown_1321814326.unknown_1321814339.unknown_1321814348.unknown_1321814396.unknown_1321814406.unknown_1321814426.unknown_1321814532.unknown_1321814533.unknown_1321814670.unknown_1321814848.unknown_1321814849.unknown_1321815078.unknown_1321815133.unknown_1321815134.unknown_1321815141.unknown_1321815143.unknown_1321815152.unknown_1321815163.unknown_1321815172.unknown_1321815180.unknown_1321815273.unknown_1321815306.unknown_1321815307.unknown_1321815308.unknown_1321815309.unknown_1321815317.unknown_1321815318.unknown_1321815346.unknown_1321815400.unknown_1321815431.unknown_1321815462.unknown_1321815464.unknown_1321815465.unknown_1321815504.unknown_1321815567.unknown_1321815568.unknown_1321815569.unknown_1321815570.unknown_1321815653.unknown_1321815654.unknown_1321815655.unknown_1321815752.unknown_1321815799.unknown_1321815817.unknown_1321815832.unknown_1321815838.unknown_1321815887.unknown_1321815897.unknown_1321815901.unknown_1321815955.unknown_1321815982.unknown_1321815983.unknown_1321815999.unknown_1321816310.unknown_1321856706.unknown_1321856792.unknown_1321856874.unknown_1321856966.unknown_1321857011.unknown_1321857069.unknown_1321857120.unknown_1321857136.unknown_1321857218.unknown_1321857246.unknown_1321857360.unknown_1321857407.unknown_1321857531.unknown_1321857532.unknown_1321857551.unknown_1321857753.unknown_1321857754.unknown_1321857798.unknown_1321857905.unknown_1321857921.unknown_1321857940.unknown_1321858016.unknown_1321858071.unknown_1321858118.unknown_1321858147.unknown_1321858213.unknown_1321858214.unknown_1321858240.unknown_1321858255.unknown_1321858384.unknown_1321858390.unknown_1321858418.unknown_1321858435.unknown_1321858469.unknown_1321858506.unknown_1321858566.unknown_1321858660.unknown_1321858682.unknown_1321858839.unknown_1321858883.unknown_1321858894.unknown_1321858929.unknown_1321858963.unknown_1321858978.unknown_1321858986.unknown_1321859012.unknown_1321859028.unknown_1321859044.unknown_1321859050.unknown_1321859091.unknown_1321859092.unknown_1321859117.unknown_1321859144.unknown_1321859170.unknown_1321859171.unknown_1321859183.unknown_1321859184.unknown_1321859189.unknown_1321859305.unknown_1321859329.unknown_1321859396.unknown_1321859433.unknown_1321859544.unknown_1321859549.unknown_1321859595.unknown_1321859620.unknown_1321859630.unknown_1321859637.unknown_1321859664.unknown_1321859736.unknown_1321859753.unknown_1321859754.unknown_1321859815.unknown_1321859919.unknown_1321860653.unknown_1321860684.unknown_1321860709.unknown_1321860722.unknown_1321860754.unknown_1321860775.unknown_1321860779.unknown_1321860786.unknown_1321860806.unknown_1321860816.unknown_1321860836.unknown_1321860837.unknown_1321860925.unknown_1321860962.unknown_1321860980.unknown_1321860998.unknown_1321861117.unknown_1321861131.unknown_1321861150.unknown_1321861224.unknown_1321861226.unknown_1321861235.unknown_1321861248.unknown_1321861257.unknown_1321861313.unknown_1321861333.unknown_1321861357.unknown_1321861369.unknown_1321861370.unknown_1321861448.unknown_1321861595.unknown_1321861759.unknown_1321861791.unknown_1321861819.unknown_1321861824.unknown_1321861878.unknown_1321861942.unknown_1321862002.unknown_1321862137.unknown_1321862138.unknown_1321965048.unknown_1321965086.unknown_1321965292.unknown_1321965482.unknown_1321965624.unknown_1321965674.unknown_1321965833.unknown_1321966079.unknown_1321966093.unknown_1321966276.unknown_1321966496.unknown_1321966510.unknown_1321966898.unknown_1321966910.unknown_1321966920.unknown_1321966933.unknown_1321967074.unknown_1321967436.unknown_1321967528.unknown_1321967740.unknown_1321967988.unknown_1321968779.unknown_1321968805.unknown_1321968883.unknown_1321970299.unknown_1321970362.unknown_1321970562.unknown_1321970623.unknown_1321970707.unknown_1321970877.unknown_1321970884.unknown_1321970941.unknown_1321970983.unknown_1321971005.unknown_1321971020.unknown_1321976041.unknown_1321976106.unknown_1321976230.unknown_1321976433.unknown_1321976511.unknown_1321976636.unknown_1321977140.unknown_1409511205.unknown_1409511598.unknown