中考专项复习分式方程

第七讲　分式方程分式方程一、定义:分母中含有_______的方程.二、解分式方程的一般方法分式方程整式方程未知数去分母方程两边同乘___________最简公分母三、解分式方程的步骤1.去分母:方程两边同乘___________,约去分母将分式方程化为_____方程.2.求解:解这个_____方程.3.检验:将求得的整式方程的根代入所乘的____________,使__________________的根是原方程的根.使________________的根不是原方程的根,必须舍去.最简公分母整式整式最简公分母最简公分母不等于0最简公分母等于0四、应用列分式方程解应用的一般步骤:审、设、列、解、验、答.【自我诊断】(打“√”或“×”)1.+1=0,-2=3均为分式方程.　()2.若x=1是分式方程的根,则k=　()3.分式方程的解为x=1.　()×√×4.将分式方程化为整式方程后为x+2(x-2)=1.　()5.甲每小时比乙多加工10个零件,若甲、乙分别加工300个零件,甲比乙少用1小时,若设甲每小时加工x个零件,则列出方程为　()××考点一分式方程的解法【例1】(1)(2017·随州中考)解分式方程:(2)(2017·济宁中考)解方程:【思路点拨】去分母化为整式方程,解整式方程,代入最简公分母检验.【自主解答】(1)原方程可化为:3+x2-x=x2,解得x=3.检验:当x=3时,x(x-1)≠0,所以,原分式方程的解为x=3.(2)方程两边乘(x-2),得2x=x-2+1,解得x=-1,检验:当x=-1时,x-2≠0,2-x≠0.所以原分式方程的解为x=-1.【名师点津】解分式方程的一般步骤【备选例题】(2016·潜江中考)解方程:【解析】去分母得:3(x-1)=x(x+1)-(x+1)(x-1),解得:x=2,检验:当x=2时,(x+1)(x-1)≠0,∴原分式方程的解是x=2.【题组过关】1.(2017·滨州中考)分式方程的解为　(　　)世纪金榜导学号16104091A.x=1　　　B.x=-1　　　C.无解　　　D.x=-2【解析】选C.去分母,得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3,去括号、合并同类项,得x=1,检验:当x=1时,(x-1)(x+2)=0,所以x=1不是原分式方程的根,所以原分式方程无解.2.(2016·十堰中考)用换元法解方程时,设=y,则原方程可化为　(　　)A.y--3=0 B.y--3=0C.y-+3=0 D.y-+3=0【解析】选B.∵可转化为y-=3,即y--3=0.3.(2017·威海中考)方程的解是____.【解析】去分母得,3-x-1=x-4,解得x=3,检验知x=3是原分式方程的解.答案:x=34.(2017·杭州中考)若则m=________.　世纪金榜导学号16104092【解析】当m=3时,等式成立;当m≠3时,得|m|=1,得m=±1,又因为m-1≠0,所以m的值为3或-1.答案:3或-15.(2017·无锡中考)解方程:【解析】方程两边都乘以(2x-1)(x+2),化为整式方程5(x+2)=3(2x-1).解这个整式方程得x=13.经检验,x=13是原分式方程的解,∴原分式方程的解是x=13.【知识拓展】可化为一元二次方程的分式方程的解法可化为一元二次方程的分式方程的解法与可化为一元一次整式方程的解法相同,化为一元二次方程后,解这个一元二次方程,然后检验.考点二与分式方程的解有关的字母取值问题【例2】(1)(2017·泸州中考)关于x的分式方程=3的解为正实数,则实数m的取值范围是________.　世纪金榜导学号16104093(2)(2017·攀枝花中考)若关于x的分式方程无解,则实数m=________.【思路点拨】(1)解分式方程→求得方程的解→方程的解为正实数→不等式→求得m的范围→方程的解不等于2→不等式→m的范围.(2)分式方程无解包括两种情况,一是分式方程变形后的整式方程无解.二是整式方程的解不是原分式方程的根,分别求出m的值.【自主解答】(1)x+m-2m=3x-6,x=.由题意得x=>0,解得m<6,又x=≠2,∴m≠2,∴m<6且m≠2.答案:m<6且m≠2(2)将分式方程化为整式方程得7+3(x-1)=mx,整理得(m-3)x=4,∵分式方程无解分为整式方程无解和整式方程的解不是分式方程的根,∴当整式方程无解时,则m-3=0,即m=3;当整式方程的解不为分式方程的根时,则x=1,∴m-3=4,即m=7.答案:7或3【名师点津】与分式方程的解有关问题的两种类型一是根据方程的解的性质讨论字母的取值,其解题策略是化分式方程为整式方程,用含有字母的代数式示方程的解,根据题意列不等式求出字母的取值范围,注意考虑满足分母不等于零的限制条件;二是分式方程无解,分式方程无解有两种情况:1.由分式方程所化为的整式方程ax=b,出现a=0,b≠0的情况,此时整式方程无解,所以分式方程也无解;2.由分式方程化为整式方程,整式方程的解使得分式方程的分母为零,此时分式方程无解.【题组过关】1.(2017·聊城中考)如果关于x的分式方程=1时出现不适合原方程的根,那么m的值为　(　　)A.-2　　　B.2　　　C.4　　　D.-4【解析】选D.去分母得,m+2x=x-2①,把增根x=2代入①得,m=-4.2.(2016·贺州中考)若关于x的分式方程的解为非负数,则a的取值范围是　(　　)世纪金榜导学号16104094A.a≥1 B.a>1C.a≥1且a≠4 D.a>1且a≠4【解析】选C.去分母得:2(2x-a)=x-2,解得x=由题意得≥0且≠2,解得a≥1且a≠4.考点三分式方程的应用【考情分析】　　分式方程的应用的层级为能列分式方程解决实际问题,在各地中考试题中均有体现,是分式方程的一个重要考向,考查的内容一般为行程问题、工程问题、和差倍分问题等,有时涉及设计问题,结合方程组、不等式组一起考查,各种题型均有体现.命题角度1:行程问题【例3】(2016·哈尔滨中考)早晨,小明步行到离家900米的学校去上学,到学校时才发现眼镜忘在家中,于是他立即按原路步行回家,拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校.已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟,小明骑自行车速度是步行速度的3倍.(1)求小明步行速度(单位:米/分)是多少.(2)下午放学后,小明骑自行车回到家,然后步行去图馆,如果小明骑自行车和步行的速度不变,小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍,那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米?【思路点拨】(1)设步行速度为x米/分,根据“步行到校的时间=骑自行车到校的时间+10”列方程求解.(2)设小明家与图书馆之间的路程为y米.根据小明“步行从家到图书馆的时间≤骑自行车从学校到家的时间×2”列不等式求解.【自主解答】(1)设小明步行的速度为x米/分,根据题意,得=10,解得x=60.经检验x=60是原方程的解,小明步行速度为60米/分.(2)设小明家与图书馆之间的路程为y米,根据题意,得×2,解得y≤600,∴小明家与图书馆之间的路程最多是600米.【母题变式】(改变问法)其他条件不变,问小明从家步行去学校的时间为多少?提示:15分.设小明从家步行去学校的时间为x分,则3×解得x=15.经检验知:x=15是原方程的解.答:小明步行从家去学校的时间为15分.【知识归纳】行程问题一般有三个量:路程、速度和时间.一般题目告诉一个量,我们设一个量,然后再根据第三个量的关系列方程.命题角度2:工程问题【例4】(2016·呼和浩特中考)某一公路的道路维修工程,准备从甲、乙两个工程队中选一个队单独完成,根据两队每天的工程费用和每天完成的工程量可知,若由两队合作此项维修工程,6天可以完成,共需工程费用385200元,若单独完成此项维修工程,甲队比乙队少用5天,每天的工程费用甲队比乙队多4000元.从节省资金的角度考虑,应该选择哪个工程队?世纪金榜导学号16104095【思路点拨】(1)设甲队单独完成此项工程需x天,“根据甲队一天的工作量+乙队一天的工作量=”列方程求解.(2)分别计算甲乙两队每天的工程费用,再乘以各自完成这项工程的天数,比较得出结论.【自主解答】设甲队单独完成此项工程需x天,乙队单独完成需要(x+5)天.依据题意可列方程:解得:x1=10,x2=-3(舍去),经检验x=10是原方程的解,设甲队每天的工程费用为y元,依据题意可列方程:6y+6(y-4000)=385200,解得:y=34100.∴甲队完成此项工程费用为:34100×10=341000元,乙队完成此项工程费用为:30100×15=451500元.答:从节省资金的角度考虑,应该选择甲工程队.【母题变式】(改变问法)因工程需要,此项工程必须在8天之内完成,问应如何安排甲乙两队的工作时间,才能使总费用最低.提示:由原题解题过程知,甲队单独完成这项工程比乙队单独完成这项工程的费用低,故安排甲做8天,剩下的工程量乙做,所以乙还需的天数为:即甲做8天,乙做3天可使总费用最低.【名师点津】 列分式方程解应用题的一般步骤 1.审 审清题意,分清题中的已知量、未知量 2.设 设适当的未知数,可以直接设未知数,有的题目需要间接设未知数 3.列 用含未知数的代数式表示相等关系列出方程 4.解 解分式方程 5.验 检验是否是增根,是否符合题意 6.答 写出答案(包括单位)【题组过关】1.(2017·新疆生产建设兵团中考)某工厂现在平均每天比原多生产40台机器,现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同,设原计划每天生产x台机器,根据题意,下面列出的方程正确的是　(　　)【解析】选B.原计划平均每天生产x台机器,根据题意得,2.(2017·泰安中考)某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件,很快售完;该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫,所进件数比第一批多40%,每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元,求第一批购进多少件衬衫?设第一批购进x件衬衫,则所列方程为　世纪金榜导学号16104096(　　)【解析】选B.第一批购进x件衬衫,根据第二批每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元,列方程得3.(2017·扬州中考)星期天,小明和小芳从同一小区门口同时出发,沿同一路线去离该小区1800米的少年宫参加活动,为响应“节能环保,绿色出行”的号召,两人都步行,已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍,结果小明比小芳早6分钟到达,求小芳的速度.世纪金榜导学号16104097【解析】设小芳的速度为x米/分,由题意可得=6,解方程得,x=50经检验,x=50是原方程的解且符合实际.答:小芳的速度为50米/分.4.(2017·黄冈中考)黄麻中学为了创建全省“最美书屋”,购买了一批图书,其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元.已知学校用12000元购买的科普类图书的本数与用9000元购买的文学类图书的本数相等.求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元?世纪金榜导学号16104098【解析】设文学类图书平均每本的价格为x元,则科普类图书平均每本的价格为(x+5)元,依题意可列方程:解得:x=15.经检验:x=15是所列分式方程的解.∴x+5=15+5=20.答:科普类图书和文学类图书平均每本的价格分别为20元和15元.5.(2017·广州中考)甲、乙两个工程队均参与某筑路工程,先由甲队筑路60公里,再由乙队完成剩下的筑路工程,已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的倍,甲队比乙队多筑路20天.　世纪金榜导学号16104099(1)求乙队筑路的总公里数.(2)若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5∶8,求乙队平均每天筑路多少公里.【解析】(1)乙队筑路的总公里数:60×=80(公里).(2)设甲队每天筑路5x公里,乙队每天筑路8x公里.根据题意得解得x=.乙队每天筑路×8=(公里).经检验x=是原方程的解且符合题意答:乙队平均每天筑路公里.