中医护理学基础课程教案

介值定理的证明介值定理的证明篇一：用介值定理证明原函数的存在性用介值定理直接证明[?f(t)dt]'?f(x)a?证明F(x??x)?F(x)??x??xxf(t)dt,因为f(t)在[a,b]上连续，从而m?f(x)?M，F(x??x)?F(x)F(x??x)?F(x)?M，从而存在x???x??x，使得=f(?)（介?x?xF(x??x)?F(x)值定理）。lim=f(x)所以F’(x)=f(x)?x?0?xm?篇二：介值定理的一些应用介值定理的一些应用摘要：介值定理是连续函数的一个很重要的定理。本文主要讨论利用介值定理证明方程根的问题。介值定理不但可以证明方程根的存在性，而且可以判断方程根的个数，还能判断方程根的范围。文章还讨论利用介值定理处理不等式问题。最后举例说明介值定理在生活中的应用。关键词：介值定理方程不等式应用介值定理是一个简单的定理，但是我们在学习数学分析的过程中会经常遇到很多依靠这个定理来解决的题目。此外，我们还会见到利用这个定理证明微积分中的一些定理。介值定理是闭区间上连续函数的基本性质之一，了解这个定理并能够灵活运用这个定理来解决一些问题是十分有必要的。介值性定理：设函数f(x)在闭区间?a,b?上连续。并且函数f?a?与函数f?b?不相等。如果?是介于f?a?和f?b?之间的任何实数f?a??f?b?，则至少存在一点x0??a,b?使得f???f?b?或f?a????x.0???.推论：根的存在定理如果函数f(x)在闭区间?a,b?上连续，并且f?a?和f?b?满足f?a?f?b??0，那么至少存在一点x0，使得f?x.0??0.即是方程f?x?=0在?a,b?内至少有一个根。1.介值定理在方程根的问题上的应用利用介值性定理或是根的存在性定理解决方程的根的问题是一类广泛存在的题目。可以利用此定理来解决方程根是否存在，根的个数和根的范围等的问题。1.1介值定理证明方程根存在性证明类似方程f?x?=g?x?在区间至少存在一个根的问题总是可以转化为连续函数F?x?=f?x??g?x?的零点问题，一般可以利用根的存在定理来解决这类的问题。例1证明：函数f?x?在区间?0,2a?上连续并且函数f?0?=f?2a?。那么方程f?x?=f?x?a?在?0,a?内至少有一个根。证明：设F?x?=f?x??f?x?a?,函数F?x?在区间?0,a?上面连续，并且F?0?=f?0??f?a?,F?a??f?a??f?2a?=f?a??f?0?,如果f?0??f?a?=0，那么x=0就是方程f?x?=f?x?a?的一个根；如果f?0??f?a??0，那么F?0?F?a??0。根据根的存在定理可以得到，在?a,b?内至少存在一点c，使得c?a?0,F?c??f??c??f?所以方程f?x?=f?x?a?在?0,a?至少存在一个根。例2证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根。证明：设f?x?=a0xn?a1xn?1???an?1x?an,则?anan?limf?x??lixm?a0????????x???x???xxn??nx???limf?x???aa?nlixm?a0?n???n????x???xxn??x???limf?x????可得任给M?0，存在N?0，当X?N时，f?x??M?0，x???limf?x????可得任给M?0，存在N'?0，当X?N'时，f?x??M?'0，'?上连续，并且f?N'?1??0,f?N'?1??0。又f?x?在?N?1,N?1??根据根的存在定理即存在一点x0??N'?1,N?1?，使得f?x0??0,所以f?x?至少有一个实根。1.2介值定理推断方程根个数利用介值定理我们已经解决了方程根是否存在的问题，我们不但能判断存在性的问题，我们还可以利用这个定理来推断出方程根的个数的问题。例3证明：方程x3?px?q?0,p?0，有且只有一个根。证明：设f?x?=x3?px?q?0,则x???lim???，所以?b?0.使得f?b??0.lim???，所以?a?0.使得f?a??0.x???根据介值定理，?c??a,b?，使得f?c??0，即c3?pc?q?0。在由p?0，对?x2?x1，有33f?x2??f?x1??x2?x1?p?x2?x1?=?x2?x1??x22?x1x2?x12??p?x2?x1?222??x12?x2?x1?x2??p??0,?x1x2????x2?x1???,22????又函数f?x?是单调递增的，所以只有一个根。例4证明：方程x3??x?1=0，恰好有3个实根。证明：设f?x?=x3?9x?1,计算可以得到f??3???1?0，f??2??9?0，f?0???1?0，f?4??27?0，??2,0?，?0,4?分别对连续函数f?x?用根的存在定理，在区间??3,?2?，推断出f?x?在这3个区间??3,?2?，??2,0?，?0,4?个有一个零点，但是f?x?是3次多项式，最多有3个零点。所以方程x3??x?1=0，恰好有3个实根。1.3介值定理推断方程根的范围根据介值定理我们已经能够判断出方程根的存在性和根的个数，而且还可以根据这一定理推断出方程根的范围。例5a1,a2,a3为正数，?1??2??3，证明：f?x??在??1,?2?和??1,?2?各有一个根。证明：当x????时，所以fa2x??1a3x??3a1x??1???a1x??1?a2x??2?a3x??3?0，a2x??2和a3x??3有界。?x????,同理当x????时，所以和有界。f?x????,于是存在充分靠近?1的x1??1和充分靠近?2的x2??2，使得f?x1??0,f?x2??0，由介值定理可以推出f?x?=0，在?x1,x2?有一个根，从而在??1,?2?有一个根。同理可以证明??2,?3?有一个根。例6证明：方程围。证明：在方程两端同时乘以?x?1??x?2??x?3?可以得?x?2??x?3??2?x??1?x??3??x???1x??2,?0设F?x???x?2??x?3??2?x?1??x?3???x?1??x?2?,1x?1?2x?2?3x?3?0有两个实根，并判断这两个根的范则F?x?在???,???连续。取F?1??0,F?2??0由闭区间上连续函数的介值定理可得，在?1,2?至少存在一点x1使得F?x1??0,取F?2??0,F?3??0由介值定理可以得到。在?2,3?内至少存在一点x2，使得F?x2?=0,又x1?x2，F?x??0是一元二次方程.因为一元二次方程至多有两个实根，x1?x2，所以x1,x2就是方程的两个实根，分别在?1,2?与?2,3?内。2.介值定理在不等式方面的应用介值定理也能够解决不等式问题方面。首先，来看一个利用介值性定理证明的一个命题。例7如果对于所有x??a,b?都有f?x??0，则f?x?在?a,b?恒正或是恒负。证明：反证法,如果存在两点x1,x2??a,b?，使得f?x1??0,f?x2??0,设x1?x2在区间?x1,x2?对于连续函数f?x?用介值定理。推出存在???x1,x2???a,b?,使得f????0,这与题目条件不符，所以得证。这个证明说明了连续函数的一个整体性质，区间上不等于零的连续函数必然保持恒定的符号，现在设函数f?x?在区间I=?a,b?内有定义且连续。如果函数f?x?=0在?a,b?内无实根,则f?x?在?a,b?内恒正或是恒负；如果函数f?x?=0在?a,b?内有n个实根，x1?x2?x3?xn?1?xn，n个实根分成n+1个小区间?a,x1?,?x1,x2???xn,b?，那么函数f?x?在上面n+1个小的区间篇三：介值定理及其应用邯郸学院本科毕业论文题目学生指导教师年级专业二级学院（系、部）介值定理及其应用姚梅王淑云教授2008级本科数学与应用数学数学系邯郸学院数学系2012年6月郑重声明本人的毕业论文是在指导教师王淑云的指导下独立撰写完成的．如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督．特此郑重声明．毕业论文作者（签名）：年月日介值定理及其应用摘要介值定理是闭区间上连续函数的重要性质之一，在《数学分析》教材中，一般应用有关实数完备性定理中的确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理来证明．本课题通过构造辅助函数，应用区间套定理、致密性定理、柯西收敛准则、确界原理对介值定理进行证明．介值定理应用非常广泛，应用介值定理能很巧妙的解决一些问题．如利用介值定理可证明根的存在性、证明不等式、证明一些等式以及解决实际问题等．此外本文还对介值定理进行了推广，并且列举了一些具体的例题来展示推广的介值定理的应用．关键词：介值定理连续函数根的存在定理应用IntermediatevaluetheoremanditsapplicationYaoMeiDrectedbyProfessorWangShuyunABSTRACTIntermediatevaluetheoremisacontinuousfunctiononaclosedintervalinanimportantproperties.In"mathematicalanalysis"textbook,generalapplicationaboutrealnumbercompletenesstheoremofsupremumprinciple,themonotoneboundedtheorem,nestedintervaltheorem,finitecoveringtheoremtoprove.Thistopicthroughtheconstructionofauxiliaryfunction,applicationofnestedintervaltheorem,compacttheorem,Cauchyconvergencecriterion,principleofsupremumandinfimumprovesthatintermediatevaluetheorem.Intermediatevaluetheoremiswidelyusedandthistheoremcanbeverycleverlytosolvesomeproblems.Suchastheuseofintermediatevaluetheoremcanbeproofoftheexistenceoftheroot,theproofofinequality,thatsomeequationandsolvingpracticalproblems.Inadditiontotheintermediatevaluetheoremisgeneralizedandlistssomespecificexamplestodemonstratethewideapplicationofintermediatevaluetheorem.KEYWORDS：IntermediatevaluetheoremContinuousfunctionTheexistencetheoremofrootApplication目录摘要..............................................................I外文页.............................................................II前言..............................................................11介值定理及其证明方法..............................................21.1介值定理的内容..............................................21.2介值定理的四种证明方法......................................21.2.1应用确界原理...........................................21.2.2应用区间套定理.........................................31.2.3应用致密性定理证明.....................................41.2.4应用柯西收敛准则证明...................................62介值定理的应用....................................................72.1利用介值定理判断方程根的存在性..............................72.2介值定理在解不等式中的应用..................................92.3介值定理在证明等式中的应用.................................112.4介值定理在实际问题中的应用.................................133介值定理的推广...................................................153.1一元函数介值定理的推广.....................................153.1.1推广介值定理的内容....................................153.1.2推广的介值定理的一个应用..............................163.2二元函数的介值定理........................................193.2.1二元函数介值性定理的内容..............................193.2.2二元函数介值定理的应用................................20参考文献...........................................................22致谢.............................................................22