关节镜微创手术与传统切开手术比较

1 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 1 邱启荣 华北电力大学数理系 QQIR@ncepu.edu.cn 第四章 向量组及其线性相关性 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 2 第一节 n维向量组及其线性组合 n一、 维向量的概念 二、 向量组的线性组合 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 3 定义1 . ,,, 21 个分量称为第个数第 个分量，个数称为该向量的维向量，这组称为 所组成的数个有次序的数 iai nnn aaan i n" 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为实数的向量称为实向量， n一、 维向量的概念 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 4 例如 ),,3,2,1( n" ))1(,,32,21( innii ++++ " n维实向量 n维复向量 第1个分量 第n个分量第2个分量 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 5 ),,,( 21 n T aaaa "= ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = na a a a # 2 1 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 等示，如：βα TTTT ba ,,, n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 等表示，如：βα ,,,ba n n维向量的表示 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 6 注意 １．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量； ２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； ３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量. 2 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 7 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 例如 维列向量个有矩阵 mnaijA nm)( ×= ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = aaaa aaaa aaaa A mnmjmm nj nj "" ###### "" "" 21 222221 111211 a1 . ,, , 的列向量组称为矩阵向量组 A"a1 a2 an a2 a j ana1 a2 a j an 向量组与矩阵 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 8 维行向量个又有矩阵类似地 nmijaA nm)(, ×= ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = aaa aaa aaa aaa A mnmm inii n n " #"## " #"## " " 21 21 22221 11211 αT1 αT2 αTi αTm αT1 αT2 αTi αTm 向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．αT1 αT2 αTm Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 9 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵. 矩阵构成一个 组维列向量所组成的向量个 nm nm m × ,,,, 21 ααα " 矩阵构成一个 的向量组 维行向量所组成个 nm nm T m TT × ,,, 21 βββ " ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = T m T T B β β β # 2 1 ),,,( 21 mA ααα "= Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 10 b =+++ xaxaxa nn"2211 线性方程组的向量表示 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+++ =+++ =+++ . , , 2211 22222121 11212111 bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa mnmnmm nn nn " """""""""""""" " " 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应． Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 11 ，，，组实数 ，对于任何一给定向量组 m m kkk A , ,,,: 21 21 " " ααα定义１ . , 21 个线性组合的系数 称为这，， mkkk "，称为向量组的一个 向量 2211 mmkkk ααα +++ " 线性组合 二、 向量组的线性组合 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 12 mmb αλαλαλ "++= 2211 ，使，，一组数 如果存在和向量给定向量组 m m bA λλλ ααα , ,,,,: 21 21 " " . 2211 有解 即线性方程组 bxxx mm =+++ ααα " 的线性组合，这时称是向量组则向量 Ab 向量 能 由向量组 线性表示． b A 3 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 13 .),,( ),( 21 21 的秩，， 的秩等于矩阵，，条件是矩阵 线性表示的充分必要能由向量组向量 bB A Ab m m ααα ααα " " = = 定理1 例4.1.3 设向量 1 2 1 2 (1,1,2,2) , (1,2,3, 4) , (1,1,1,1) , (1, 2, 1, 4) T T T T α α β β = = = = − − − 问： 与 中哪个可以 由线性表示， 哪个不能？ 1β 2β 21,αα Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 14 ( )1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 , , , 2 3 1 1 2 4 1 4 α α β β ⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟= ⎜ ⎟−⎜ ⎟−⎝ ⎠ 1 1 1 1 0 1 0 3 ~ 0 0 1 0 0 0 0 0 ⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠ 1 0 1 4 0 1 0 3 ~ 0 0 1 0 0 0 0 0 ⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 前两列构成的矩阵的秩为2，前 三列构成的矩阵的秩为3，因此 不能用 线性表示。 1β 21 ,αα 2β一、二、四列构成的矩阵的秩为2，因此 可以用 线性表示.21 ,αα Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 15 定义：设有两个向量组： 1 2: , , , mA α α α" 1 2: , , , lB β β β" （1）若B组中每一个向量都可以由向量 组A线性表示，则称向量组B可以由向量 组A线性表示； （2）若向量组A与向量组B可以相互线性 表示，则称向量组A与向量组A等价。 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 16 定理（1）向量组B可以由向量组A线性表 示的充分必要条件是 。( , ) ( )R A B R A= ( , ) ( ) ( )R A B R A R B= = （2）向量组A与向量组A等价的充分必要 条件是 。 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 17 . . 的行向量组等价的行向量组与于是 的行向量组线性表示，的行向量组能由可知， 由初等变换可逆性的行向量组线性表示组能由 的行向量，即的行向量组的线性组合向量都是 的每个行，则经初等行变换变成设矩阵 BA BA A BA BBA .的列向量组等价列向量组与 的，则经初等列变换变成类似，若矩阵 B ABA 向量组等价与矩阵等价有何区别与联系？ Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 18 例4.1.5 向量组 A: TTT aaa )0,4,1,1(,)3,1,2,1(,)2,2,1,1( 321 −=== 证明向量 可由线性表示，并求 出表示式. (1,0,3,1)Tb = 4 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 19 例4.1.6 向量组 ( ) ( ) ( )1 2 3: 1,0, 2 , 1,1,3 , 1, 1, 2T T TA aα α α= = = − + ( ) ( ) ( )1 2 3: 1, 1, 3 , 2,1, 6 , 2,1, 4T T TB a a aα β β= − + = + = + 问(1)当 为何值时，向量组A与B等价？a (2)当 为何值时，向量组A与B不等价？a B中哪个向量不能用向量组A线性表示？并将 可以用向量组A表示的向量表示出来。 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 20 使在数 存量线性表示，即对每个向能由 （和（若记 ,,, ),,2,1( ).,,,),,, 21 2121 mjjj j sm kkk sjbA BbbbBA " " "" = == ααα mmjjjj kkkb ααα +++= "2211 ,),,, 2 1 21 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = mj j j m k k k #" ααα（ Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 21 =),,, 21 sbbb "（ 从而 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ msmm s s m kkk kkk kkk " ### " " " 21 22221 11211 21 ),,, ααα（ . )( 数矩阵称为这一线性表示的系矩阵 ijsm kK =× Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 22 矩阵： 为这一表示的系数的列向量组线性表示，矩阵 的列向量组能由，则矩阵若 BA CBAC nssmnm ××× = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = snss n n sn kkb bbb bbb ccc " ### " " "" 21 22221 11211 2121 ),,,),,, ααα（（ Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 23 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ T s T T msmm s s T m T T aaa aaa aaa β β β γ γ γ # " ### " " # 2 1 21 22221 11211 2 1 ：为这一表示的系数矩阵 的行向量组线性表示的行向量组能由同时， ABC , Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 24 . 价的方程组一定同解 这两个方程组等价，等能相互线性表示，就称 与方程组的解；若方程组的解一定是方程组 线性表示，这时方程组能由方程组称方程组 的线性组合，就的每个方程都是方程组程组 的一个线性组合；若方一个方程就称为方程组 所得到的的各个方程做线性运算对方程组 B ABA AB AB A A 5 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 25 邱启荣 华北电力大学数理系 QQIR@ncepu.edu.cn 第二节向量组的线性相关性 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 26 第二节 向量组的线性相关性 一、向量组的线性相关与线性无关 二、线性相关性的判定 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 27 0 ,,, ,,,,: 2211 21 21 =+++ mm m m kkk kkk A ααα ααα " " " 使全为零的数 如果存在不给定向量组 注意 .0 ,0 ,,,, 1. 2211 1 21 成立 才有时 则只有当线性无关若 =+++ === nn n n αλαλαλ λλ ααα " " " . , 2. 线性相关 性无关就是不是线对于任一向量组 定义1 则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关．A 一、向量组的线性相关与线性无关 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 28 .,0, 0, 3. 线性无关则说若线性相关 则说若时向量组只包含一个向量 αα ααα ≠ = .4. 组是线性相关的包含零向量的任何向量 . ,.5 量共面 向量相关的几何意义是三是两向量共线；三个向 义量对应成比例，几何意充要条件是两向量的分 它线性相关的量组对于含有两个向量的向 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 29 例4.2.2 设向量组 线性无关，且321 ,, aaa 1 1 2 2 2 3 3 3 1, ,b a a b a a b a a= + = + = + 证明 线性无关．1 2 3, ,b b b Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 30 0 ,, 332211 321 =++ bxbxbx xxx 使设有 ,0)()( 133322211 =+++++ αααααα xxx ）（即 ,0)()() 332221131 =+++++ ααα xxxxxx（亦即 线性无关，故有，，因 321 ααα ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =+ =+ .0 ,0 ,0 32 21 31 xx xx xx 证 6 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 31 02 110 011 101 ≠= 列式由于此方程组的系数行 .,, 0 321 321 线性无关 向量组，所以故方程组只有零解 bbb xxx === Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 32 .)( ; ),,,( ,,, 21 21 mAR m A m m = = 必要条件是向量组线性无关的充分于向量个数 的秩小矩阵条件是它所构成的 线性相关的充分必要向量组 ααα ααα " "定理 二、线性相关性的判定 ).,,( . 0 A,0 21 2211 m mm A xxxx A ααα ααα " " = ==+++ 其中有非零解 即 方程组线性相关就是齐次线性向量组 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 33 例4.2.2 设向量组 线性无关，且321 ,, aaa 1 1 2 2 2 3 3 3 1, ,b a a b a a b a a= + = + = + 证明 线性无关．1 2 3, ,b b b 证法2 1 2 3 1 2 3 1 0 1 ( , , ) ( , , ) 1 1 0 0 1 1 b b b a a a ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 34 1 0 1 1 1 0 2 0 0 1 1 = ≠ 由于 因此 1 0 1 1 1 0 0 1 1 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 可逆， 1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , ) 3R b b b R a a a= =从而 故 线性无关．1 2 3, ,b b b Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 35 ，，， ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 7 4 2 5 2 0 1 1 1 321 ααα .21321 的线性相关性，及，，试讨论向量组 ααααα 解 .2 , 21 321 321 即可得出结论）的秩，利用定理，及（ ），，可同时看出矩阵（成行阶梯形矩阵 ），施行初等行变换变，，对矩阵（ αα ααα ααα 已知例 分析 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 36 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 751 421 201 ),,( 321 ααα ~ 23 2 5 rr − ， ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 000 220 201 .,,2),( ,,2),,( 2121 321321 线性无关向量组 线性相关；，向量组可见 αααα αααααα = = R R ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 751 220 201 ~ 12 rr − 13 12~ rr rr − − ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 550 220 201 7 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 37 例4.2.3 当 满足什么条件时，向量组ba, ,)1,,3,2(,)0,3,2,1( 21 TT a== αα 3 4(3,1, , 2) , (0,1, 2,3) T Tbα α= = 线性相关？ Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 38 定理 向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示． mααα ,,, 21 " 2≥m mααα ,,, 21 " 1−m 证明 充分性 设 中有一个向量（比如 ） 能由其余向量线性表示. maaa ,,, 21 " ma 即有 112211 −−+++= mmma αλαλαλ " 故 ( ) 01112211 =−++++ −− mmm aαλαλαλ " 因 这 个数不全为0，( )1,,,, 121 −−mλλλ " m 故 线性相关.mααα ,,, 21 " Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 39 必要性 设 线性相关，mααα ,,, 21 " 则有不全为0的数 使,,,, 21 mkkk " .02211 =+++ mmkkk ααα " 因 中至少有一个不为0，mkkk ,,, 21 " 不妨设 则有,01 ≠k . 1 3 1 3 2 1 2 1 m m k k k k k k αααα ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= " 即 能由其余向量线性表示.1α Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 40 . 性独立） 线个方程）线性无关（或程，就称该方程组（各 方；当方程组中没有多余个方程）是线性相关的 各余的，这时称方程组（合时，这个方程就是多 是其余方程的线性组若方程组中有某个方程 线性相关性在线性方程组中的应用 定理：方程组线性相关 的充分必要 条件是方程组的增广矩阵线性相关 （无关） （无关） Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 41 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+++ =+++ =+ ;32235 ,122 ,5 4321 4321 21 xxxx xxxx xx 例 判别如下方程组的线性相关性 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 21000 130110 80101 ~ 32235 12112 50011 B 解： 由于 ，因此方程组的线性无关的。( ) 3R B = Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 42 . , ,. ,,,: ,,,,(1) 11 21 也线性无关向量组则线性无关量组 若向反言之也线性相关向量组 则线性相关：向量组若 AB B A mm m +ααα ααα " "定理 ）设（2 ),,,2,1(,, ,1 2 1 2 1 mj a a a a b a a a jr rj j j j rj j j j "## = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + α 8 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 43 . ,. ,,,,, ,,. 21 21 性相关 也线则向量组线性相关反言之，若向量组关 也线性无：则向量组线性无关 ：若向量组添上一个分量后得向量即 AB bbbB Ab mm jj "" α ααα . 3 时一定线性相关于向量个数 小当维数维向量组成的向量组，个）（ m nnm ., ,,,,: ,,,,: (4) 1 21 且表示式是唯一的线性表示 必能由向量组向量则线性相关组 而向量线性无关设向量组 A bbB A m m αα ααα " " Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 44 .2 ,,11)()()(2 ,.1)()( ),,,(),,,(1 111 线性相关知向量组根据定理 因此，从而，有 则根据定理线性相关若向量组 ，有记）（ B mARBRmAR AARBR aaaBaaA mmm +<+≤< +≤ == +""证明 . . . :1 关的任何部分组都线性无向量组线性无关，则它 反之，若一个线性相关含有零向量的向量组必 特别地，量组线性相关相关的部分组，则该向 一个向量组若有线性）可推广为结论（说明 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 45 列），只有因但从而有 ，则线性无关若向量组有 ，）记（ mBmBRmBR mARABRAR bbBA mmrmmr ()(.)( )(,).()( ),,,(),(2 1)1(1 ≤≥ =≤ =αα= ×+× "" .B)( 线性无关，因此向量组故 mBR = ., 12 结论也成立个分量维）而言的，若增加多 即维数增加）是对增加一个分量（结论（说明 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 46 .,,, ,)(,.)(),,,( ,,,3 21 21 21 线性相关个向量故 则若，有 构成矩阵维向量个）（ m m mnm m mARmnnAR Anm ααα <<≤ααα =ααα × " " " .)(1 )(.1)( ;)().()( ),,,,,(),,,,()4( 2121 mBRm BRmmBRB mARABRAR bBA mm =+ <≤+< =≤ == ，即有 所以组线性相关，有因 组线性无关，有因有 记 αααααα "" . ),,,( ,)()( 21 一线性表示，且表示式唯组 能由向量有唯一解，即向量 知方程组由 A bbx mBRAR m = == ααα " Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 47 1. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点） 2. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理．（难点） 四、小结 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 48 . , )3( 0 )2( 0 )1( : 两式不一定同时成立或者 线性相关的充要条件是，两个向量 ；线性无关的充要条件是一个向量 ；线性相关的充要条件是一个向量 试证明 αββα βα αα αα kk == ≠ = 思考 9 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 49 证明 （１）、（２）略． （３）充分性 . ,,0,0 ,,,, 即可 令则不妨设得 使存在不全为零的数线性相关 x yk x yxyx yx −=−=≠=+ ∴ βαβα βα∵ 必要性 ., ,0)(1, 线性相关知 由定义则有不妨设 βα βαβα =−+⋅= kk 思考题解答 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 50 邱启荣 华北电力大学数理系 QQIR@ncepu.edu.cn 第三节向量组的秩 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 51 一、最大线性无关向量组 二、矩阵与向量组秩的关系 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 52 ，满足 个向量中能选出，如果在设有向量组 r rAA ααα ,,, 21 " 定义１ 线性无关；）向量组（ rA ααα ,,,:1 210 " 关，个向量的话）都线性相 中有个向量（如果中任意）向量组（ 1 12 + + r ArA . 的秩 称为向量组数最大无关组所含向量个 r; 0 ） （简称的一个向量组 是那末称向量组 A A 最大线性无关向量组 最大 无关组 0. 它的秩为 有最大无关组，规定只含零向量的向量组没 一、最大线性无关向量组 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 53 . 它的行向量组的秩 量组的秩，也等于矩阵的秩等于它的列向 证 .0 ,)(),,,( 21 ≠ == r m D rrARaaaA 阶子式并设，设 " 定理１ 关； 列线性无知所在的由定理根据 rDr 022.4 ≠ .1 1 个列向量都线性相关 中任意阶子式均为零，知中所有又由 + + r ArA 关组，的列向量的一个最大无 列是所在的因此 ArDr . r等于 所以列向量组的秩 ).(ARA的行向量组的秩也等于类似可证 二、矩阵秩与向量组秩的关系 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 54 的秩也记作向量组 maaa ,,, 21 " . 最大无关组行即是行向量组的一个所在的 最大无关组，列即是列向量组的一个所在的 ，则的一个最高阶非零子式是矩阵若 r Dr DAD r rr ;1）最大无关组不唯一（ ),,,( 21 maaaR " 结论 说明 .2 关组是等价的）向量组与它的最大无（ 10 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 55 是线性无关的， 向量组维单位坐标向量构成的因为 neeeE n ,,,: 21 " 解 . 的秩一个最大无关组及 的，求作维向量构成的向量组记全体 n nn R RRn例1 个向量都线性相关，中的任意 知的结论定理又根据 1 )3( 32.4 +n Rn . nRR E nn 的秩等于的一个最大无关组，且是 因此向量组 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 56 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− − −− = 97963 42264 41211 21112 A 设矩阵 例2 .用最大无关组线性表示属最大无关组的列向量 无关组，并把不的列向量组的一个最大求矩阵A Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 57 行阶梯形矩阵施行初等行变换变为对 A解 ，知 3)( =AR A ， ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 00000 31000 01110 41211 初等行变换 ~ .3 个向量组含故列向量组的最大无关 三列，、、元在而三个非零行的非零首 421 .,,, 421 无关组为列向量组的一个最大故 aaa Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 58 线性无关，故知 421421 ,,3),,( aaaaaaR = . ,,, 42153 成行最简形矩阵 再变线性表示，必须将用要把 Aaaaaa =),, 421 aaa（ 事实上 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − 763 264 111 112 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 000 100 110 111 初等行变换 ~ Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 59 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 00000 31000 30110 40101 ~ 初等行变换A ⎩⎨ ⎧ −+= −−= 4215 213 334 , aaaa aaa 即得 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 60 . 的秩的秩不大于向量组量组 线性表示，则向能由向量组设向量组 AB AB . ,,, : ,,: 10 10 sr aaAA bbBB s r ≤ 要证的一个最大无关组为向量组 ，的一个最大无关组为设向量组 " " 证 定理２ . 0 0 组线性表示组能由表示， 组线性组能由组线性表示，组能由因 AA ABBB .00 组线性表示组能由故 AB 使得即存在系数矩阵 ),( ijsr kK = 三、向量组秩的重要结论 11 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 61 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = srs r sr kk kk aabb " ## " "" 1 111 11 ),,(),,( ），有非零解（因 简记为，则方程组如果 rsKR Kx x x Ksr r sr <≤ == ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ > )( )0( 0 1 # 有非零解， 从而方程组 0),,( 1 =Kxaa s" 有非零解，即 0),,( =xbb r" . 0 srsr B ≤> 不能成立，所以线性无关矛盾，因此 组这与 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 62 . rsBA 和的秩依次为与向量组设向量组证 . 等价的向量组的秩相等推论1 ,同时成立与故 srrs ≤≤示， 表两个向量组能相互线性因两个向量组等价，即 .rs =所以 ).()(),()( BRCRARCR BAC nssmnm ≤≤ = ××× ，则设推论2 用其列向量表示为和设矩阵 AC 证 ).,,(),,,( 11 sn aaAccC "" == ，而 )( ijbB = Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 63 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = sns n sn bb bb aacc " ## " "" 1 111 11 ),,(),,( 由 ).()( ARCR ≤因此 ),()(, TTTTT BRCRABC ≤= 由上段证明知因 的列向量组线性表示，的列向量组能由知矩阵 AC ).()( BRCR ≤即 思考 ？有什么异同与推论定理 22 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 64 , rrB 个向量，则它的秩为含设向量组 证 . 3 的一个最大无关组是向量组则向量组 线性表示，能由向量组线性无关，且向量组组 的部分组，若向量是向量组设向量组推论 AB BAB AB . 1 条件 所规定的最大无关组的满足定义所以向量组B ，组的秩组线性表示，故组能由因 rABA ≤ 个向量线性相关，组中任意从而 1+rA Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 65 . , 等价与向量组秩相等，证明向量组 且它们的线性表示能由向量组设向量组 BA AB例3 .线性表示能由向量组只要证明向量组 BA ,,:,,: 1010 rr bbBaaA BAr "" 和的最大无关组依次为 组组和，并设设两个向量组的秩都为 使阶方阵表示，即有 组线性组能由组线性表示，故组能由因 rKr ABAB 00 证一 rrr Kaabb ),,(),,( 11 "" = Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 66 rbbRKR rr =≥ ),,()( 22 1 " ，有推论根据定理 .),,( 10 rbbRB r ="组线性无关，故因 .)()( rKRrKR rr =≤ ，因此但 ,),,(),,( 111 −= rrr r Kbbaa K "" 可逆，并有于是矩阵 .00 组线性表示组能由即 BA . 组线性表示组能由从而 BA 12 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 67 , , 0 个向量 含组的最大无关组故组的秩为又因 rBBrB .),( ,),( 组线性表示 组总能由故组的部分组组是而 BA ABAA 证二 .rBA 的秩都为和设向量组 .),( , 组线性表示能由成的向量组 组合并而组和故组线性表示组能由因 ABA BAAB .),( ,),( rBA ABA 组的秩也为 因此组等价组与所以 .),( ,),( 0 0 组等价组与而 从组的最大无关组组也是因此 BBA BAB Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 68 0 0 0 0 0 0 , . ; ( , ) . A B A B B A A B A B 本例把证明两向量组 与 等价 转换为证明它 们的最大无关组 与 等价 证法一证明 用 线性表示的系数矩阵可逆 证法二实质上是证明 与 都是向量组 的最大无关组 . ,),(),( 0 组等价与 组推知等价与组等价，组与由 B ABBABAA 注意 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 69 , 59 35 46 45 ),(, 13 11 20 32 ),( 2121 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − −= bbaa 已知例4 .),(),( 2121 等价与证明向量组 bbaa Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 70 .),(),(,),(),( ,,2 21212121 YbbaaXaabb YX == 使阶方阵要证存在证明 .X先求 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− −− −− − = 5913 3511 4620 4532 ),,,( 2121 bbaa 最简形矩阵：施行初等行变换变为行阵 对增广矩的方法类似于线性方程组求解 ),,,( , 2121 bbaa Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 71 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − −− −− 5913 4532 4620 3511 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− −− −− − = 5913 3511 4620 4532 ),,,( 2121 bbaa 31 ~ rr ↔ Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 72 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − −− −− 5913 4532 4620 3511 31 ~ rr ↔ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − −− −− 4620 101550 4620 3511 13 2rr + 14 3rr +~ 13 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 73 ~ )2(2 −÷r ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − −− 4620 101550 2310 3511 13 31 2rr rr + ↔ 14 3rr + ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − −− −− 4620 101550 4620 3511 ~ Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 74 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− 0000 0000 2310 3511 ~ )2(2 −÷r ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − −− 4620 101550 2310 3511 23 5rr − 24 2rr − ~ Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 75 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− 0000 0000 2310 3511 23 5rr − 24 2rr − ~ . 0000 0000 2310 1201 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 21 rr − ( )11 −÷r ~ Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 76 =X .,, .,,,01 2121 1 等价与此向量组 因即为所求取可逆知因 bbaa XYXX −=≠= ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 0000 0000 2310 1201 ~),,,( 2121 初等行变换 bbaa 即得 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − − 23 12 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 77 例4.3.4 设4维向量组 ( )Ta 1,1,1,11 +=α ( )Ta 2,2,2,22 +=α ( )Ta 3,3,3,33 +=α ( )Ta+= 4,4,4,44α 问 (1) 为何值时， 线性相关？a 1 2 3 4, , ,α α α α 1 2 3 4, , ,α α α α(2) 当 线性相关时，求其一 个最大线性无关组，并将其余向量用该 最大线性无关组线性表示． Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 78 例4.3.5 已知向量组A与向量组B 1 2 3A (1, 2, 3) , (3,0,1) , (9,6, 7) T T Tα α α= − = = −： 1 2 3B (0,1, 1) , ( , 2,1) , ( ,1,0) T T Ta bβ β β= − = =： 如果向量组A与向量组B秩相等，且 可以 由 线性表示，求 。 3β 321 ,, ααα ba, 14 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 79 １．最大线性无关向量组的概念： 最大性、线性无关性． ２．矩阵的秩与向量组的秩的关系： 矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩 ＝矩阵行向量组的秩 ３．关于向量组秩的一些结论： 一个定理、三个推论． ４．求向量组的秩以及最大无关组的方法： 将向量组中的向量作为列向量构成一个矩 阵，然后进行初等行变换． 四、小结 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 80 邱启荣 华北电力大学数理系 QQIR@ncepu.edu.cn 第四节线性方程组解的结构 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 81 一、齐次线性方程组解的结构 二、基础解系及其求法 三、非齐次线性方程组解的结构 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 82 １．解向量的概念 设有齐次线性方程组 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+++ =+++ =+++ 0 0 0 2211 2222121 1212111 nmnmm nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa " """""""""""" " " （1） 一、齐次线性方程组解的结构 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 83 , aaa aaa aaa A mnmm n n ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = " """" " " 21 22221 11211 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = nx x x x # 2 1 则上述方程组（1）可写成向量方程 .Ax 0= 1212111 nnx,,x,x ξξξ === "若 为方程 的0=Ax 解，则 若记 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 84 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ == 1 21 11 1 n x ξ ξ ξ ξ # 称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解． 15 Made By QQIR第四章 向量 组及其线性相关性 上页 下页 返回 结束 85 ２．齐次线性方程组解的性质 （1）若 为 的解，则21 ξξ == x,x 0=Ax 21 ξξ +=x 0=Ax也是 的解. 证明 ( ) 02121 =+=+∴ ξξξξ AAA 00 21 == ξξ A,A∵ .Axx 的解也是故 021 =+= ξξ Made By QQIR第四章 向量 组