理论力学第18章 拉格朗日方程

第18章拉格朗日方程 作为力学系统的运动规律，动力学普遍方程还需要设法甩开有很大任意性的虚位移。当然，我们可以在各个实际问题中具体进行这项工作。但是，有没有可能一劳永逸地把虚位移甩掉，得出某种一般的动力学方程？这种可能性确实存在。在完整约束的情况下，这样得出的动力学方程叫做拉格朗日方程。 　本章由达朗贝尔－拉格朗日原理推导了拉格朗日方程。拉格朗日方程是一种“最小方程数”的建模方法，而且使用中操作规范，因而在中经常使用。18.1广义坐标形式的动力学普遍方程(18-1)(18-2)如果系统是定常的，则可以选择广义坐标使函数显含时间。(18-3)(18-4)(18-5)(18-6)(18-7)(a)借助两个恒等式(17-24)和(17-25)可将上式写成如果利用系统动能表达式则等式(b)可以写成(18-8)(b)(c)(d)(18-9)广义坐标形式的动力学普遍方程(18-10)定理广义坐标形式的达朗贝尔－拉格朗日原理对理想双面约束的系统，在给定时刻的所有可能运动中，只有真实运动使主动力对应的广义力和惯性力对应的广义力在广义虚位移上的虚功之和等于零。将式(18-8)代入式(18-7)可得惯性力虚功表达式18.2第二类拉格朗日方程18.2.1拉格朗日方程具有理想双面约束的完整系统(18-11)方程(18-11)称为第二类拉格朗日方程，简称拉格朗日方程，这是关于个函数的个二阶微分方程。这个方程组的阶数，这是所研究系统的运动微分方程的最小可能阶数，因为的初始值可以任意选取。18.2.2用广义速度表示的动能(18-12)为了得到拉格朗日方程，必须将系统的动能表示成广义坐标、广义速度和时间的函数，必须求出广义力，并且要像式(16-11)那样将和时间求导。可以发现，拉格朗日方程的形式不依赖于广义坐标的选择，选取其广义坐标只会改变函数和的形式不会改变，这就是说拉格朗日方程具有不变性。对广义坐标、广义速度，而方程(16-11)，，(18-13)(18-14a)，，　　(18-14b)（i）对于完整系统其中是和的函数。有　(18-15a)，，　　(18-15b)其中　（ii）对于定常系统，　　(18-16)即定常系统的动能是广义速度的二次型，并且式(18-16)中的系数不显含时间。有，由式(18-13)可知，　（iii）对于定常完整系统，　　(18-17)其中。18.2.3广义力的计算　　　　　（18-18)(18-19)具体计算主动力的广义力时，可采用以下两种方法：方法一：对所有的广义坐标给出正向等时变分，计算所有主动力所作的虚功。前的系数就是待求的广义力。根据式(18-18)，方法二：取一组特定的广义坐标的变分，即其余变分均等于零，然后计算所有主动力所作的虚功，则广义力为(18-20)不为零以外，18.3拉格朗日函数18.3.1有势力情况下的拉格朗日方程　　　　　　　　　　(a)令，那么上面方程写成(18-21)(b)其中势能。函数称为拉格朗日函数。方程(18-21)适用于理想双面约束的完整有势系统。仅用拉格朗日函数就可以表示的动力系统称为拉格朗日系统。(18-22a)，，　　　　(18-22b)　　　　(18-23)可将拉格朗日函数称为质点系的特征函数。，，由于函数完全确定质点系的运动规律，因此，(18-24a)有势力的广义力。(18-24b)广义动量。试求下面在均匀重力场（重力加速度为）中各系统的拉格朗日函数。　　习题１平面双摆（图18-1）。图18-1平面双摆，。，习题2质量为的平面摆，其悬挂点(质量为水平直线运动（图18-2）。)可以沿着。　解：设质点的坐标为，绳与竖直方向夹角为，则有图18-2平面摆习题3设有一平面摆，其悬挂点：a.沿着竖直圆以定常圆频率b.按规律水平振动；竖直振动。运动（图18-３）；c.按规律，。。图18-3悬挂点作圆周运动的平面摆解：a.质点的坐标为：这里略去了仅仅依赖于时间的项，它可以写成对时间的全导数。b.质点的坐标为：，拉格朗日函数(略去全导数)为。c.类似地，可得：。习题4在图18-4所示的力学系统中，质点沿着竖直轴运动，整个系统以常角速度绕该轴转动。图18-4解：设线段与竖直方向夹角为，系统绕竖直轴转动的角度为，则。对于每个质点的微小位移有。拉格朗日函数为18.3.2拉格朗日函数表示的拉格朗日方程(c)(d)(18-25)上式就是用拉格朗日函数表示的拉格朗日方程的普遍形式，适用于理想双面约束的完整系统。18.4拉格朗日方程的初积分拉格朗日方程是一组二阶常微分方程，在一些特殊情况下这个方程组存在初积分。所谓初积分是指满足拉格朗日方程的，联系广义坐标、广义速度、时间设质点系的主动力有势，拉格朗日方程有式(18-21)的形式。讨论以下两种特殊情况下的初积分：及积分常数的关系式。18.4.1广义动量守恒循环坐标（或可忽略坐标）(a)常数(如)(18-26)这叫做广义动量守恒原理。如就归结为本书I册的动量守恒原理。如，则广义动量守恒原理就归结为本书I册的动量矩守恒原理。但是本书I册论述动量守恒原理和动量矩守恒时以牛顿第三定律为先决条件（内力的矢量和为零，内力的力矩和为零），而广义动量守恒原理(18-26)则并不以牛顿第三定律为先决条件。是力学系统的整体平行移动坐标，则广义动量守恒原理是力学系统的整体转动坐标广义动量可以是系统的动量，可以是系统的动量矩，也可以既不是动量也不是动量矩。因此，广义动量守恒，或者表示动量守恒，或者表示动量矩守恒，或者不是上述两种守恒。这里动量矩可以是对固定轴的，也可以是对动轴的。这就是说，广义动量是守恒的，习题５质点在有心力作用下的运动。解：系统的Lagrange函数为　(1)其中为质点的极坐标。为循环坐标，有循环积分，　　　　它代表对过力心的固定轴的动量矩守恒。(2)习题６质量为的平板放在光滑平面上，平板上，半径为的圆盘，圆盘可沿平板作纯滚动（图18-5）。放一质量为　图1８-5解：系统的Lagrange函数为其中为平板速度，为圆盘角速度。由式(1)知，为循环坐标，因此有循环积分，　　　　　　(4)，　　　　(5)(3)积分(4)代表系统对固定轴的动量守恒，而积分(5)代表垂直于所在平面的动轴的动量矩守恒。系统对过接触点习题７Lagrange陀螺如图18-6，陀螺绕定点转动。图1８-6解：Lagrange函数有形式(6)循环积分，　　　　　　(7)，　(8)积分(7)代表系统对动轴(8)代表系统对过固定轴的动量矩守恒。的动量矩守恒，而积分18.4.2广义能量守恒(哈密顿函数守恒原理)(b)(c)(d)定义哈密顿函数(18-27)则(18-27)就是哈密顿函数守恒原理(18-28)常数(如)(e)　这是广义速度的二次齐次多项式。根据齐次函数的欧拉定理，(f)　(e)哈密顿函数这样，在变换式不显含时间的条件下，哈密顿函数就是机械能。(18-29)设系统满足下面条件：i)双面，理想约束的完整定常系统，；ii)系统所有主动力有势，；iii)势能不显含时间，(18-30a)保守系统。对该系统有。满足这些条件的系统称为即保守系统的机械能在运动中保持不变，系统有能量积分(18-30b)如果约束是非定常的，则变换式必然显含时间，即使约束是定常的，也可能由于选择了某些广义坐标，（例如平行移动坐标系），变换式显含时间的情况下，由式(18-15)　　根据齐次函数的欧拉定理，由此，哈密顿函数(18-31)(h)(i)这样，在变换式显含时间的条件下，哈密顿函数并非机械能，只能称之为广义能量。仅用哈密顿函数表示的动力系统称为哈密顿系统。在哈密顿系统中具有广义能量守恒定律。在哈密顿系统中，如果不显含时间，则具有广义能量守恒定律(18-32)其中是任意常数。关系式(18-32)称为雅可比积分。习题８质量为、半径为的圆环在圆心上铰接一长度为、质量亦为的单摆试就以下两种情况讨论拉格朗日方程的初积分：(i)圆环作纯滑动；(ii)圆环作纯滚动。如图示1８-7所示。图1８-7解：此系统为二自由度，以圆环中心的坐标和摆偏角为广义坐标。(i)圆环作纯滑动以过圆环中心的平面为零势能面，系统的拉格朗日函数(9)循环积分，　　　　　(10)其物理意义为沿方向的动量守恒。中不显含时间，且约束为定常，存在能量积分，　(11)(ii)圆环作纯滑动系统的拉格朗日函数(12)循环积分改为，　　　　　(13)，(14)　广义动量守恒，或循环积分，可以是对固定轴的动量守恒，如式(4)和式(10)；可以是对固定轴的动量矩守恒，如式(2)和式(8)；可以是对动轴的动量矩守恒，如式(5)和式(7)；可以不是动量守恒，如式(13)。18.5拉格朗日方程乘子法18.5.1第一类拉格朗日方程(18-33),(18-34a),(18-34b)(18-35)(18-36)引入个未定乘子，(18-37)总共可列出个方程：(18-38)包含个未定乘子的方程组(18-38)称为第一类拉格朗日方程。称为拉格朗日乘子。以外，又增加了，共有个未知变量，因此在具体求解时，还必须补充列出个几何约束方程(17-1)和才能使方程组封闭。未定乘子由于方程中除待定的各质点坐标待定的拉格朗日乘子个不可积线性微分约束方程(17-2)，*18.5.2拉格朗日乘子的物理意义(a)将上式与牛顿第二定律(c)(d)或者写成(b)由此可以看出拉格朗日乘子正比于约束力。这表明在动力学普遍方程中被消去的理想约束力通过拉格朗日乘子又被引回来了。因此利用第一类拉格朗日方程可同时解出系统的约束力。虽然这种方法的未知变量和方程都增多,但由于过程极为程式化,因此在计算机高度发展的今天,第一类拉格朗日方程又重新受到重视,在工程技术中得到实际应用。18.5.3劳思方程在分析实际工程问题时，采用广义坐标代替直角坐标可使未知变量明显减少。对于用广义坐标表示的完整系统，前面导出的拉格朗日方程以十分优美、简明的形式描述系统的运动。但在实际问题中可能出现以下两种情况：（1）非完整系统；（2）带有复杂几何约束的完整系统。前一种情况拉格朗日方程适用。后一种情况由于广义坐标与多余坐标之间复杂的几何关系，以致拉格朗日方程的列写过程非常繁琐。对于这两种情况，均可以利用拉格朗日乘子对拉格朗日方程加以改造，以扩大其适用范围，或简化其列写过程。(18-39)(18-40a),(18-40b)其中(18-41)(18-42)(18-43)以上个方程与个约束条件(18-39)联立，总共个方程，可以确定个坐标和未定乘子。方程(18-43)为劳思（Routh,E.J.,1830-1907）坐标对应的由理想约束力构成的广义力。于1884年导出，称为劳思方程，可看作是拉格朗日方程的扩展。方程右边含拉格朗日乘子的附加项可以理解为与18.6例题编程图1８-8图18-9图18-10图18-11图18-12图18-13图18-14*