晶体的对称性

晶体的对称性重点：1）基本的对称操作；2）宏观对称类型；3）微观对称类型；1.对称的概念2.晶体对称性的判定由于晶体的自限性，使得晶体内部的原子的规则排列反映在晶体的宏观形态上，晶体表现出对称性。对于外表具有很多晶面的晶体，往往不能直接判别它的对称特征，必须经过测角和投影以后，才可对它的对称规律进行分析研究。通过对大量晶体进行测角和投影，归纳成32种典型的宏观对称类型。由于在宏观对称类型，全部对称要素相交于一点(晶体中心)，在进行对称操作时至少有一点不移动，因此称之为点群。该点群中的对称操作中不包括平移。而若对称操作中包括平移，共构成了230中微观的对称类型。所有以上的对称类型都源于以下基本对称操作的组合。3.基本的对称操作1）简单对称操作的变换关系（a）线性变换：和刚体一样，晶格中任何两点间的距离，在操作前后应保持不变，在数学上表示，这些操作就是熟知的线性交换。注意：在讨论晶体问题时，一般应采用斜坐标系，但为方便起见，这里采用直角坐标系，并不会影响结论的正确性。设经过某个操作，把晶体中任一点x变为x´，该操作可以表示为线性变换：x´j=∑ajixi，（i，j=1，2，3）式中x=ix1+jx2+kx3x´=ix1´+jx2´+kx3若采用矩阵表示：x´=Ax其中x’=x=A=x1x3x2θα（x1’,x2’,x3’)（x1,x2,x3)由于操作前后，两点间的距离保持不变，即而所以其中I是单位矩阵，所以得出A为正交矩阵。如令代表矩阵A的行列式，则得到又所以（b）转动x1x3x2θα（x1’,x2’,x3’)（x1,x2,x3)将某一图形绕x1转过θ角，该图形中任一点（x1,x2,x3)变为另一点（x1’,x2’,x3’)，则变换关系如下：x1’=x1x2’=x3’=则正交变换正交矩阵A为（c）中心反演取中心为原点，经过中心反演后，图形中任一点（x1,x2,x3)变为另一点（-x1,-x2,-x3)，则变换关系如下x1’=-x1，x2’=-x2，x3’=-x3则正交变换正交矩阵A为（d）镜像x1x3x2（x1,x2,x3)（x1,x2,-x3)镜像对称操作是将图形的任一点（x1,x2,x3)变为另一点（x1,x2,-x3)，即以x3=0面作为镜面。则变换关系如下：x1’=x1，x2’=x2，x3’=-x3则正交变换正交矩阵A为2）基本的对称操作（a）n度旋转对称轴如果晶体绕某一对称轴旋转θ=2π/n以后自身能重合，则称该轴为n度旋转对称轴。由于晶格周期性的限制，晶体可能的转动讨论如下。由于晶格的对称操作并不涉及到晶格的平移，在操作时应至少保持一点不同，所以采用双转轴来推导晶体的旋转对称轴，存在一定的局限性，应采用单转轴推导。如图A、O、B是某一晶列上相邻的三个格点，周期为a。如果绕过O点垂直于晶列的转轴顺时针转θ角，A转到A1，晶体自身重合，则A1点必为一格点。再绕过O点的转轴逆时针转θ角，晶体恢复到未转动时的状态，但此时B处格点转到B1点，则B1处必为一格点。可以知道AB//A1B1，平行晶列具有相同的周期，则其中n为正整数或零n=2，|cosθ|=1，θ=π，2π；n=1，|cosθ|=1/2，θ=π/3，2π/3，4π/3，5π/3；n=0，|cosθ|=0，θ=π/2，3π/2OBAA1B1θθ晶体中允许的旋转对称轴只能是1，2，3，4，6度轴。综合上述证明得：因为顺时（或逆时）针转动4π/3，3π/2，5π/3分别等价于逆时（或顺时）针转动2π/3，π/2，π/3，所以晶格转动的独立转角为：2π，π，2π/3，π/2，π/3；晶体中不存在5度或6度以上的转轴。上述结果也可以直观的理解为：长方形、正三边形、正方形、正六边形可以在平面内周期性的重复排列，而不留空隙，但正五边形却不能相互紧密排列做重复排列而不留空隙，因此晶体中不存在5度的转轴。对称轴度数的符号表晶体中对称轴的度数常用不同的符号代表，如下表所示（b）n度旋转-反演轴若绕某一固定轴u旋转2π/n角度以后，再经过中心反演（即x→-x，y→-y，z→-z），晶体能够自身重合，则称u为n度旋转-反演轴。这样的对称轴只有1，2，3，4，6度。为了区别于转轴，在轴的度次上加“-”来表示旋转-反演轴。即。正四面体既无四度轴也无对称心，是基本的对称操作。总上所述，晶体的宏观对称性中有以下八种的基本对称操作，即1，2，3，4，6，i，m，。所有点对称操作都可由这8种操作或它们的组合来完成。一个晶体的全部对称操作构成一个群，每个操作都是群的一个元素。对称性不同的晶体属于不同的群。由旋转、中心反演、镜象和旋转--反演点对称操作构成的群，全部对称要素相交于一点(晶体中心)，在进行对称操作时至少有一点不移动，称之为点群。理论证明，所有晶体只有32种点群，即只有32种不同的点对称操作类型。这种对称性在宏观上表现为晶体外形的对称及物理性质在不同方向上的对称性。所以又称宏观对称性。如果考虑平移，多出以下两类微观对称操作类型：n度螺旋轴和滑移反映面。根据晶体的对称性，按有无某种特征对称元素为，将晶体分成7个晶系：　　立方晶系：在立方晶胞4个方向体对角线上均有三重旋转轴(a=b=c,α=β=γ=90)　　六方晶系：有1个六重对称轴(a=b,α=β=90;,γ=120;)　　四方晶系：有1个四重对称轴(a=b,α=β=γ=90;)　　三方晶系：有1个三重对称轴(a=b,α=β=90;,γ=120;)　　正交晶系：有3个互相垂直的二重对称轴或2个互相垂直的对称面(α=β=γ=90;)　　单斜晶系：有1个二重对称轴或对称面(α=γ=90;)　　三斜晶系：没有特征对称元素