(完整)同济版高等数学下册练习题(附答案)

、选择题:第八章测验题1、若a，b为共线的单位向量，则它们的数量积ab().(A)1；(B)-1；(C)0；(D)cos(a,b).(C)(2,3,4);(D)(2,1,4).9、已知球面经过(0,3,1)且与xoy面交成圆周x216，则此球面的方程是().向量ab与二向量a及b的位置关系是().(B)共线；共面；(C)垂直；(D)斜交.3、设向量Q与三轴正向夹角依次为,，当(A)x22y2z6z160；(B)x22y2z16z0；2226z160；(C)xyz(D)x22y2z6z160.10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是().cos0时，有((A)(C)xoy面;xoz面;(B)5、)2(A)(B)2(C)6、设平面方程为Bx平面().(D)yoz面;xoz面(D)Cz(A)平行于X轴；；(B)平行于222,22,(A)xyz1；(B)xy4z；22222y2“xyz“(C)x2z21；(D)1.49160，且B,C,D(C)经过y轴；(D)经过y轴.7、设直线方程为AxB1yC1ZD1B2yD20A1,B1,C1,D1,B2,D20，则直线().(A)过原点；(B)平行于x轴；(C)平行于y轴；(D)平行于x轴.2x8曲面zxyyz5x0与直线1节0的交点是().(A)(1,2,3),(2,1,4)；(B)(1,2,3)；、已知向量a,b的夹角等于一，且a2,b5，求3(a2b)(a3b)三、求向量a{4,3,4}在向量b{2,2,1}上的投影.四、设平行四边形二边为向量a{1,3,1};b{2,1,3}b2,1,3，求其面积.五、已知a,b,为两非零不共线向量，求证：(ab)(ab)2(ab).六、一动点与点M(1,0,0)的距离是它到平面x4的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz面的交线方程.x3t七、求直线L:y12t在三个坐标面上及平面z58txy3z80上的投影方程.八、求通过直线乂上且垂直于平面2323x2yz50的平面方程213九、求点(1,4,3)并与下面两直线2x4yz1L1:L2:yx3y5z方程•2xyz2十、求通过;一平面x3yz10和xyz3平面xy2z0的平面方程•十^一、在平i面xyz10内，过直线yz10与平面的交点,x2z0直.4tt都垂直的直线2t0的交点，且平行于求作一直线，使它通且与已知直线垂3'y-X(A)0；(B)1；(C)2;(D)e.4、函数f(x,y)在点(Xo,yo)处连续，且两个偏导数fx(Xo,yo),fy(Xo,yo)存在是f(x,y)在该点可微的().充分条件，但不是必要条件；必要条件，但不是充分条件；充分必要条件；既不是充分条件，也不是必要条件5、设f(x,y)22122(xy)sin二2，xy0xyc22c0,xy0则在原点(0,0)处f(x,y)().十二、判断下列两直线(A)偏导数不存在；(B)不可微；(C)偏导数存在且连续；(D)可微,xy1z2口十亠」十十rL2:，是否在同一平面上,134上求交点，不在同一平面上求两直线间的距离6、设zf(x,v),vv(x,y)其中f,v具有二阶连续偏导在同平面2数•则一|().y第九章测验题、选择题：1、二元函数zlnx42—2arcsiny12x2的疋义域y是()•224；/224；(A)1xy(B)1xy(C)12x2y4；2(D)1x2y4.2、设f(xyX)(xy)2,则f(x,y)()•(A)2fvf2v2；(B)丄-2v2；vyyvyvy2f/V、2f2vc2fvf2v(C)2(—)22；(D)22vyvyvyvy7、曲面xyza(a0)的切平面与二.个坐标面所围成的四面体的体积V=().33(A)1a；(B)3a3；(C)号a3；(D)6a3.8、二元函数z3(xy)x3y3的极值点是()(A)(1,2)；(B)(1.-2)；(C)(-1,2)；(D)(-1,-1).9、函数usinxsinysinz满足xyz(x0,y20,z0)的条件极值是().TOC\o"1-5"\h\z2.1.2x2(A)x(y-)；(B)-(1y)；HYPERLINK\l"bookmark82"yy(A)1；(B)0；(C)土；(D)I1、zInyx10、设函数uu(x,y),vv(x,y)在点(x,y)的某邻域内可微分，则在点(x,y)处有grad(uv)().gradugradv;ugradvvgradu;ugradv;vgradu.二、讨论函数z：打的连续性，并指出间断点类型xy三、求下列函数的一阶偏导数：222九、在第一卦限内作椭球面笃占$1的切平面a2b2c2该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小，求这切平面的切点，并求此最小体积.第十章测验题-、选择题：TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark210"11x1、0dx0f(x,y)dy=()1x111x0dy0f(x,y)dx；(B)°dy0f(x,y)dx；1111y(C)0dy0f(x,y)dx；(D)°dy°f(x,y)dx.2、设D为x2y2a2,当a()时，2、uf(x,xy,xyz),z(x,y)；3、f(x,y)四、设uf(x,z),而z(x,y)是由方程zxy(z)所确的函数，求du.五、设z(u,x,y),uxey,其中f具有连续的二阶偏导数，求a2x2y2dxdyD(A)1；(B)3、当D是()围成的区域时二重积分Ddxdy1.(A)x轴,y轴及2xy20;(B)x-,y1;23(C)x轴，y轴及x4,y3;(D)xy1,xy1;六、设xeucosv,yeusinv,zuv,试求一和二xydxexydxdy的值为().其中区域D七、设x轴正向到方向|的转角为，求函数22f(x,y)xxyy在点(1,1)沿方向I的方向导数,并分别确定转角，使这导数有(1)最大值；(2)最小值；⑶0x1,1y0.11(A)-;(B)e;(C);(D)1.ee2225、设I(xy)dxdy,其中D由xD等于零围成，则I=().2y1的交线上与2a2(A)0d0ardr八、求平面x-1和柱面x2TOC\o"1-5"\h\z345xoy平面距离最短的点.HYPERLINK\l"bookmark198"2a2(B)0d0rrdr2(C)0\2dro2(D)oadr2a4.6、设是由三个坐标面与平面x2yz=1所围成的空间区域，则xdxdydz=().(A)148(B)148(C)124；(D)1247、设2是锥面—2~c22x2”ab0,b0，c0)与平面x0，y0，zc所围成的空间区域在第一卦限的部分则xy-j=dxdydz=().1(A)一a2b%/c；(B)丄a2b2寸J36361(C)——b2c2右；(D)丄cVXF3636&计算1zdv，其中为z22xy2,z1围成的立体，则正确的解法为()和().211(A)Id0rdr0zdz；0211(B)Id0rdr0zdz；r211(C)Id0dz0rdr；r12z(D)Idz0d0zrdr.09、曲面zJx2y2包含在圆柱2xy22x内部的那部分面积s().賦；(B)逅；罷；(D)2血10、由直线xy2，x2,y2所围成的质量分布均匀(设面密度为)的平面薄板，关于x轴的转动惯量(A)3；(B)5；(C)4；(D)6.二、计算下列二重积分：221、(xy)d,其中D是闭区域：D0ysinx,0x.2、arctg—d，其中D是由直线y0及圆周Dxx2y24,x2y21,yx所围成的在第一象限内的闭区域.23、(y3x6y9)d，其中D是闭区D222域:xyRHYPERLINK\l"bookmark111"4、x2y22d，其中D:x2y23.D三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序：12y33y1、0dy0f(x,y)dx1dy0f(x,y)dx；111x22、0dx_f(x,y)dy；a3、0d0f(rcos,rsin)rdr.11y四、将三次积分dxdyf(x,y,z)dz改换积分次序为0xxxyz.五、计算下列三重积分：1、ycos(xz)dxdydz,:抛物柱面y、、x及平面yo，zo，xz-所围成的区域.2、(y2z2)dv,其中是由xoy平面上曲线2y2x绕x轴旋转而成的曲面与平面x5所围成的闭区域.3、222zln(xyz1)222.xyz1dv,其中是由球面Ix=().x2y2z21所围成的闭区域1Xyz六、求平面1被三坐标面所割出的有限部分abc的面积.6、若为z2(x2y2)在xoy面上方部分的曲面则ds等于().七、设f(x)在［0,1］上连续，试证:f(x)f(y)f(z)dxdydz3f(x)dx]2(A)0drdr;(B)02brdr;2(C)0d22014rrdr・(B)2Dxy第十一章测验题一、选择题：3设L为xx0,0y，则4ds的值为().2L(A)4x。，(B)6,(C)6x).7、若为球面x2y2z2R2的外侧，则x2y2zdxdy等于().x2y\R2x2y2dxdy;Dxy2ydxdy;(C)0.设L为直线yy上从点A(0,y°)到点B(3,y°)的有&曲面积分z2dxdy在数值上等于().(B)(x2y2)dxdy(x2y2)dxdy；向直线段则2dy=().(A)6;(B)6y。;(C)0.xacost,若L是上半椭圆取顺时针方向，则ybsint,lydxxdy的值为().(A)0;(B)ab;(C)ab.24、设P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D内有一阶连续偏导数，则在D内与LPdxQdy路径无关的条件QP,(x,y)D是()•xy(A)充分条件；(B)必要条件；(C)充要条件.2225、设为球面xyz1,1为其上半球面，则()式正确•zds2zds;1zdxdy2zdxdy;122zdxdy2zdxdy.向量z2i穿过曲面的流量;面密度为z2的曲面的质量;r向量z2k穿过曲面的流量9、设是球面x2y2z2R2的外侧,Dxy是xoy面上的圆域x2y2R2,下述等式正确的是().22°2222‘‘(A)xyzdsxy,Rxydxdy；Dxyxy■p22(C)zdxdy2Rxydxdy.Dxy10、若是空间区域的外面，下述计算中运用奥-高公式正确的是().2(A)°xdydz(z2y)dxdy=(2x2)dxdydz;外侧32°(xyz)dydz2xydzdxzdxdy外侧2z的流量(流向外侧)和沿曲1的环流量(从z轴正向看去=(3x22x21)dxdydz;2bxdydz(z2y)dxdy=(2x1)dxdydz.内侧二、计算下列各题：xtcost,1、求zds,其中为曲线ytsint,(Otto)；zt,xx2、求L(esiny2y)dx(ecosy2)dy,其中L为上半圆周(xa)2y2a2,y0,沿逆时针方向.已知流速函数Vxz2iyx2jzy2k,求流体在单位时间内流过曲面:x2y2z2线L:x2y2z22z,z逆时针方向)•第十二章测验题一、选择题：1、下列级数中，收敛的是().n15n1(C)n1(1)G；(D)(-n14三、计算下列各题：ds一1、求—2一2其中是界于平面z0及zHxyz之间的圆柱面x2y2R2；2222、求(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdy，其中为锥面z、.._x2y2(0zh)的外侧；xdydzydzdxzdxdy其中为曲面Xx2y2z2)3221z区3_(z0)的上侧.TOC\o"1-5"\h\z51691心、1(A)-；(B)一=n1nn1nJn1(C)-3.2；(D)(1)n•n13n2n12、下列级数中，收敛的是().(A)(5)n1；(B)(4)厂；n14n153、下列级数中，收敛的是()(n!)2四、证明：淫」字在整个xoy平面除去y的负半轴及xy(C)2sin-;(D)n1n2nn1n(n2)原点的开区域G内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数五、求均匀曲面z2222xy的重心的坐标•rrrr六、求向量Axiyjzk通过区域：0x10y1,0z1的边界曲面流向外侧的通量•4、部分和数列sn有界是正项级数Un收敛的n1()(A)充分条件；(B)必要条件；(C)充要条件；(D)既非充分又非必要条件•a5、设a为非零常数，则当()时，级数—收敛•n1r(A)r1；(B)r1；七、流体在空间流动，流体的密度处处相同(1)，(C)ra；(D)r1.6、幕级数(1)n1(X2的收敛区间是().n1n(A)(0,2];(B)[0,2);(C)(0,2];(D)[0,2].7、若幕级anxn的收敛半径为R1:0R1n0bnxn的收敛半径为R2:0R2,则幕级数n0(anbn)xn的收敛半径至少为()n0(A)R1R2；(B)R1R2；(C)maxR|,R2；(D)minR,R2.(n!)21n1~2n^三、判别级数2、2nncos—32n12n1(1)nln「1的敛散性•n111四、求极限lim[23498习Ln五、求下列幕级数的收敛区间1、n1n—xn；2、六、求幕级数n七、求数项级数八、试将函数1nTn(2)3].2nnx的和函数•1n(n1)2—的和.n1n!1'展开成x的幕级数.(2x)2九、设f(x)是周期为2的函数，它在［,］上的表达式为8当R0时，级数(1)nk是()n1nf(x)0,x[,0)将f(x)展开成傅立叶级数ex,x[0,)(A)条件收敛；(B)绝对收敛；(C)发散；(D)敛散性与k值无关10xh十、将函数f(x)'分别展开成正弦级数0,hx和余弦级数.卜一、证明：如果f(x)f(x),f(x)以2为周期,9、limun0是级数un收敛的()nn1(A)充分条件；(B)必要条件；(C)充要条件；(D)既非充分又非必要条件10、幕级数n(n1)xn的收敛区间是()n1(A)(1,1]；(B)(1,1]；则f(x)的傅立叶系数a00,a2k0,b2k0(k1,2,L).(C)(1,1]；(D)[1,1].、判别下列级数的收敛性22第八章测验题答案、1、D；2、C;3、C；4、A；5、B；6、B；7、C；8、A；9、D；10、D.二、-103.三、2.四、3.1022y.z1六、33.x0x3tx3tx0七、y12t,y05y12tz0z58tz58t14x11yz260xy3z80八、x8y13z90.x112tz3t十、xy2z40.十2xyz10xyz10十二、直线L1与L2为异面直线,d匕3九、y446t.第九章测验题答案*1、A;2、B;3、B;4、B;5、D;6、C;7、A;8、A;9、D;10、B.二、(1)当xy0时，在点(x,y)函数连续；⑵当xy0时，而(x,y)不是原点时则(x,y)为可去间断点,(0,0)为无穷间断点三、1、zx(lny)xlny1,zy皿Xlnyy2、Uxf1yf2(yzxyzx)f3,Uyxf2(xzxyZy)f33、fx(x,y)2xy3(x20,x222y)2y,xfy(x,y)x2(x22o,xy2)TF2y四、(f1y(z)严(z)y(z)1dy.六、七、zxfl(vcosVcosuzusinv)e,-(ucosvsin,y53f7(1)——(2)(3)•及4444eyfu.五、uuxuxy2yxeeyfuyxeyf：43355^^2vsinv)eu九、切点(_a,_^,"C^'Vmin3.3V3于abc.1、D；2、C；3、A；4、A；5、B；6、A；7、A；8、B,D；9、B；10、C.24032；、1、；2、964_^4亠—253、-R9R；4、—42*23x第十章测验题答案三、1、0dxxf(x,y)dy；21y2272yy22、0dy0f(x,y)dx1dy0f(x,y)dx；aa3、0rdrrf(rcos,rsin)d11z四、0dzzdy0f(x,y,z)dx.x(2,2)五、1、1250;2、;3、0.1623亠1；2.2.22^"2~八、\abbeca.2七、提示：xF(x)°f(t)dt，则F(x)f(x)1且F(t)of(x)dx,F(O)01、八、1(2x)2九、f(x)n((1)n2n十、f(x)6、1、(2第十一章2、C;3、B;8、C;3to)22.2测C；9、验题答案C;5、B;10、B.C；四、五、七、1、u(x,y)3Haretg—1—In(x22、y2)2、,4h;3、0.411r(1)ne1-cosnx—sinnx],0,1,2,L).1cosnh.sinnx,(0,h)…、h2sinnhf(x)cosnx,n1nx[0,h)(h,)(h,)(0,0,旦).232门,0.15六、3.第十二章测验题答案TOC\o"1-5"\h\z一、1、B；2、B；3、C；4、C；5、D；6、C；7、D；8、A；9、B;10、A.二、1、发散；2、收敛.三、条件收敛•L二L丄L四、48.(提示:化成2333n)AA五、1、［-,-)；2、(，2,,2).551六1(—1)ln(1x),x(1,0)(0,1)八、s(x)x0,七、2e.