工程力学第15章答案

第十五章压杆稳定a所示的坐标系及挠曲线形状，推导出15-1在§15-2中对两端铰支细长压杆，按图了欧拉公式n2EIl2试问如分别取图b,c,d所示的坐标系及挠曲线形状时,挠曲线微分方程及所得到的Fcr公式与图a情况下得到的结果是否相同?思考15-1图15-2欧拉公式在什么范围内适用？如果把中长杆误认为细长杆应用欧拉公式计算其临界力，会导至什么后果？15-3图示8种截面形态的细长压杆，如果各方向的支承条件相同，问压杆失稳时会在哪个方向弯曲？思考题15-3图15-4两根压杆的、长度与杆端的支承条件均相同，横截面面积也相同，但其中一个为圆形截面，另一个为正方形截面，问哪一根杆能够承受的压力较大？15-5若两根压杆的材料相同且柔度相等，这两根压杆的临界应力是否一定相等，临界力是否一定相等？15-6由两个型号相同的不等边角钢组成的中心受压杆件，有下面两种布置，在两端约束条件相同的情况下，哪种布置合理，为什么？(a)(b)思考题15-7图17-7与上题类似由两个型号相同的等边角钢组成的中心受压杆件,案，哪种布置合理，为什么？15-8为什么在选择压杆的截面时，必须采用试算？图中的两种布置方15-1图示各杆的材料和截面均相同，试问哪根杆能够承受的压力最大，哪根最小?Am(b)(c)习题15-1图解：对于材料和截面面积均相同的压杆，柔度越大，临界力FCr越小，因而压杆越容易一》丨失稳，亦即能够承受的压力最小。根据，由于各杆的截面均相同，因此只需比较各i杆的计算长度‘l即可"丨=15=5mJl=0.77=4.9m」丨=0.59=4.5m」丨=22=4mJl=18=8m上、下两段分别计算，临界力应取较小者，而计算长度Jl应取较大者上段」丨=0.55=2.5m下段'=0.75=3.5m经比较可得，杆(f)能够承受的压力最大，杆(e)能够承受的压力最小。15-2图示平面桁架各杆均为细长杆，弹性模量均为E,横截面积均为A，截面惯性矩均为I。(1)如图a所示;如图b所示;若在点A与C上作用一对向外的拉力若在点A与C上作用一对向内的压力试求结构达到临界状态时的最小荷载•⑻FN4Fn1(d)习题15-2FN2解：(1)取节点A为研究对象，其受力图如(c)所示，列出平衡方程Fn1cos450Fn4COs45°-F=0FN1sin45°-FN4sin45°=0解得FN1二FN4(拉)再取节点B为研究对象，其受力图如(d)所示，列出平衡方程FN2sin450-FN1sin45。=0FN5〜FN1cos450「FN4cos450=0解得Fn1=Fn2=2二f（拉）FN5=■-2FN1-F（压）杆5的临界压力为h2EIFN5,cr=2（层）二2EI-2a2结构的临界荷载取决于杆5的临界压力，其值为Fcr=Fn5,cr-二2ei2a2(2)用同样的方法可以求得42Fn1二Fn2二Fn3二Fn4F2Fn5-■■-2Fni=F（拉）杆1—4的临界压力为结构的临界荷载取决于杆Fn1,cr=Ela21—杆4的临界压力，其值为N1,cr..2二2El2a15-3如图所示的压杆，由100X100X1等边角钢制成，材料为Q235钢，试求该压杆的临界力。解：首先计算压杆的柔度扎=1由于压杆失稳时将绕yo轴转动，因此式中的i应取对yo轴的惯性半径，即iy°=1.96cmr0.70.2=42.861.9610可见此压杆属于小柔度杆，不能使用欧拉公式计算临界力。现采用抛物线型经验公式计算临界应力X0yo习题15-3图V35十。如g丿1‘42.86'、、123丿」222.7MPa由此可得压杆的临界力643Fcr=；：sA=222.710619.26110=428.9103N=428.9kN15-4—矩形截面木质压杆，在xz平面内为两端固定，在xy平面内为下端固定上端自由。已知l=4m,b=120mm，h=200mm，木材的弹性模量E=10GPa,^=59。问当压力F逐渐增大时，压杆将在哪个平面内失稳，并计算压杆的临界力。解：由于压杆在xy平面与xz平面内的支承情况不同，因此压杆在两个平面内的柔度也不同，压杆在柔度大的平面内失稳(1)压杆若在xz平面内失稳Iyhb3/12iy〔bhb120=34.6mm一12一120.54iy34.610"-57.8习题15-4图⑵压杆若在xy平面内失稳bh3/12hbh12,12200:57.7mmiz57.7103=138.6由于’z*'y，因此当压力F逐渐增大时，压杆将在xy平面内失稳，压杆的临界力为FcrEI二210109120200310,2/122z=123103N=123kN15-5图示结构中BC为圆截面杆，其直径d=80mm,AC为边长a=70mm的正方形截面杆。已知该结构的约束情况为A端固定，B、C为球铰。两杆材料均为Q235钢，弹性模nst=2.5,试求所能承量E=210GPa,可各自独立弯曲而互不影响。若结构的稳定安全系数受的许用压力。解：可分别计算BC杆和CA杆的许用压力，两者较小值即为结构所能承受的许用压力。两杆材料均为Q235钢，两杆的轴力均为F(1)BC杆为两端铰支的圆截面压杆，截面的惯性半径为iBC「丘\Abc■d4/64，二d2/480=20mm其柔度为习题15-5图120.02=100=■■■■■FbC,cr=二ElbcJ-BClBC22210109；0.。84/64=104210312N=1042kN型^417kN由此可得nst2.5icAIcaa4/12[Aca「a2a二.12=70:20.2mm12其柔度为.^caIca0.73'CA—=104，■-piCA0.0202(2)CA杆为一端固定一端铰支的正方形截面压杆，截面的惯性半径为因此可以用欧拉公式计算临界力2294兀EIca江汇210心0X0.07/123FcA,crC22940.410N(AcaIca)(0.7汉3)940.4kNFcacr9404由此可得F叱二一二376kNnst2.5因此〔F〉376kN15-6柱的下端固定，上端铰支，柱长1=6m，柱由两根28a号槽钢组成，［司=160MPa。.当两槽钢的腹板固结在一起而形成工字形截面时，试求柱的许用荷载［F］;.若支承、长度及槽钢型号均不改变，如何提高柱的许用荷载，试求许用荷载的最大值。习题15-6图AbcIbc'BC=iBC因此可以用欧拉公式计算临界力F0习题15-8图习题15-7图15-7图示结构由两个圆截面杆组成，已知二杆的直径及所用的材料均相同，且二杆均为大柔度肝。试问：当F从零开开始逐渐增大时，哪个杆首先失稳？45°15-8图示托架中AB杆的直径d=40mm，长度1=800mm,两端可视为铰支，材料为Q235钢，g=240MPa。(1)试求托架的临界荷载；(2)若已知F=70kN,AB杆的稳定安全系数规定为2,而CD梁确保安全，试问此托架是否安全？15-9图示三角架中，BC为圆截面杆，材料为Q235钢，已知F=12kN,a=1m,d=40mm，材料的许用应力［(r］=170MPa,试校核BC杆的稳定。从BC杆的稳定考虑，求此三角架所能承受的最大安全荷载。■*-1.5mp习题15-9图习题15-10图15-10图示结构中AD为铸铁圆杆，直径d1=60mm,许用压应力［oc］=120MPa,BC杆为Q235钢圆杆，直径d2=10mm,［司=160MPa,试求许用分布荷载［q］。习题15-11图习题15-1215-11图示结构的CD梁上作用有均布荷载q=50kN/m，撑杆AB为圆截面木杆，两端铰支，木材的许用压应力［礙］=11MPa,试求撑杆AB所需的直径d。15-12图示结构中三杆均为16Mn钢圆杆，直径均为d,弹性模量为E,丄=26。因d变形微小，故可认为压杆受力达到Fcr后，其承载能力不能再提高。试求结构所受荷载F的极限值Fmax。15-13图示结构中CF为铸铁圆杆，直径di=100mm,许用压应力［%］=120MPa,BE为Q235钢圆杆，直径d2=50mm,［可=160MPa,横梁ABCD可视为刚体，试求结构的许用荷载［F］。已知E铁=120GPa,E钢=200GPa。FDI■a习题15-14图习题15-13图15-14一支由4根80mmx80mmx6mm等边角钢组成，如图所示。支柱的两端为铰支，柱长l=6m，承受压力450kN，材料为Q235钢，强度许用应力［o］=160MPa,试求支柱截面边长a的尺寸。15-15钢屋架如图所示，上部各结点处荷载均为F=30kN，屋架的上弦杆用两个等边角钢组成，连接两角钢的铆钉孔直径d=23mm,材料的许用应力［司=160MPa，试选择CD杆的截面。FFF6A习题15-15图习题15-16图15-16图示结构中的AB梁用16号工字钢制成，CD杆为圆钢，直径d=60mm,已知材料的弹性模量E=205GPa,屈服极限（j=275MPa,中柔度杆的临界应力祈=338-1.21X,入p=90,入=50,强度安全系数n=2,稳定安全系数nst=3，试求荷载F的容许值。15-1图f所示杆的临界力最大，因而能够承受的压力最大,因而能够承受的压力最小。15-2⑴豊-⑵汽aEI15-3Fcr=2180kN14-4压杆将在xy平面内失稳，Fcr=213kN15-5[F]=378kN15-6(1)489kN(2)1190kN15-7AC杆先失稳15-8(1)109kN(2)不安全15-9(1)BC杆满足稳定条件(2)[F]=51.8kN15-10[q]=5.59kN/m15-11d=180mm15-12n3Ed464l2<2丿15-13[F]=180kN15-14a=192mm15-152L75X75X515-16[F]=51.5kN图e所示杆的临界力最小,