通信原理通信课后问题详解解析汇报

第二章习题习题2.1设随机过程X⑴可以示成:X(t)2cos(2t),式中，是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P(错误！未找到引用源。=0)=0.5,P(=错误！未找到引用源/2)=0.5试求E[X(t)]和Rx(0,1)0解：E[X(t)]=P(错误!未找到引用源。=0)2错误!未找到引用源。+P(错误!未找到引用源。=错误！未找到引用源⑵错误!未找到引用源。cost习题2.2设一个随机过程X⑴可以表示成:X(t)2cos(2t),t判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。解：为功率信号。错误!未找到引用源。错误！未找到引用源。2cos(2j2t文档⑴EXtEx1cos2tx2sin2tPX(f)因为x1ftx2相互独立，所以E又因为EX1EX20,22故EX2tcos22t(2)因为x1和x2服从高斯分布，X布函数pxRxt1,t2P(f)Rx()ej2/j2t(ej2be(f1)(f1)习题2.5习题2.3设有一信号可表示为:X(t)4exp(t),t0,t<0试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。解：它是能量信号。X(t)的傅立叶变换为：X()x(t)ejtdt04etejtdte(1%t则能量谱密度G(f)=错误！未找到引用源。1642f2习题2.4X(t)=错误!未找到引用源。，它是一个随机过程,其中x1和x2是相互统计独立的高斯随机变量,数学期望均为0,方差均为错误!未找到引用源。。试求:⑴E[X(t)],E[错误!未找到引用源。];(2)X(t)的概率分布密度;⑶Rx(t1,t2)cos2tEx1sin2tEx2x1x2Ex1Ex2。2_2x1Ex1,所以_2_2EXiEx2exp2tiXcos2cos222sin22t2是*1和*2的线性组合，所以Xt也服从高斯分布,其概率分t2E(X1cos2t1X2sin23)x1cos2t2X2sin2t2t1cos2t2sin2t〔sin2t2t2t1试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件:2⑶exoaf解：根据功率谱密度P(f)的性质：①P(f)0,非负性；②P(-f)=P(f)，偶函数。可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件，(2)不满足。习题2.6试求X(t)=ACoSt错误!未找到引用源。的自相关函数,解：R(t,t+错误!未找到引用源。)=E[X(t)X(t+)]=EAcos-A2Ecos2A2功率P=R(0)=习题2.7Rxi和Rx2并根据其自相关函数求出其功率：t*Acos(t),、a2cos(21)——cos2R()设X1t和X2t是两个统计独立的平稳随机过程，其自相关函数分别为。试求其乘积x(t)=X1(t)X2(t)的自相关函数。解：错误！未找到引用源。(t,t+错误！未找到引用源。尸E[X(t)X(t+错误！未找到引用源。)]=旦错误!未找到引用文档=EXi(t)X1(t)EX2(t)X2(t)=Rxi()Rx2()引用源。f习题2.9设信号x(t)的傅立叶变换为X(f)=3^一-错误！未找到引用源。。试求此信号的自相关函数错误!f未找到引用源。。PoPx习题2.8设随机过程“t)=m(t)错误！未找到引用源。，其中m(t)是广义平稳随机过程，且其自相关函数为Px(f)104f2,10kHZf10kHZ0,其它解：x(t)的能量谱密度为G(f)=错误!未找到引用源sin⑴试画出自相关函数错误!未找到引用源的曲线；(2)试求出X(t)的功率谱密度错误!未找到引用源。和功率其自相关函数rXG(f)ej2fdf解：(i)Rx习题2.10已知噪声nt的自相关函数Rn1,101010,其它k-ke2,k为常数。0,其它(1)试求其功率谱密度函数Pnf和功率p；⑵画出RnPn的曲线其波形如图(2)因为X(t)广义平稳，所以其功率谱密度视为一个余弦函数与一个三角波的乘积，因此解：(1)Pn(f)到引用源。PRn0⑵错误!未找到引用源PxRx由图2-8可见，Rx的波形可Rn(和Pnklek222k(2f)f的曲线如图2-2所示。Pxd2,方Rx0试求x(t)的功率谱密度px(f)并画出其曲线。解：详见例2-12习题2.12已知一信号x(t)的双边功率谱密度为试求其平均功率。解：P引用源。习题2.13文档Px(f)巳(f)df设输入信号x(t)2-3)上,RC=错误！未找到引用源。。104f2,10kHZf0,其它10kHZH(f)=2j2fC10*1030t/e_4_2___10fdf2*10,t0,t0,将它加到由电阻0试求其输出信号y(t)的能量谱密度。解：高通滤波器的系统函数为H(f)=错误!未找到引用源。输入信号的傅里叶变换为X(f)=错误！未找到引用源输出信号y(t)的能量谱密度为22Gy(f)Y(f)||X(f)H(f)j2fCj2fL1错误!未找到引用源。2f2lc10402,一8-*10错误!未找到3R和电容C组成的高通滤波器(见图1(R—1—)(1—j2fCj2图2-3RC高通滤波习题2.14设有一周期信号x(t)加于一个线性系统的输入端，得到的输出信号为y(t)=dx(t)/dt式中,为常数。试求该线性系统的传输函数H(f).解：输出信号的傅里叶变换为Y(f)=*j2f*X(f)，所以H(f)=Y(f)/X(f)=j2f习题2.15设有一个RC低通滤波器如图n02-7所不。当输入一个均值为0、双边功率谱密度为一02的白噪声输出过程的功率谱密度为错误!未找到引用源。对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关函数为(2)输出亦是高斯过程,错误!未找到引用源。习题2.17若通过图2-7因此2Ro(0)声时,R0()Ro()Cn04LR0(0)时，试求输出功率谱密度和自相关函数。解：参考例2-10P(习题2.16设有一个LC低通滤波器如图2-4所示。若输入信号是一个均值为0、双边功率谱密度为exp(C)Cn04L中的滤波器的是高斯白噪声，当输入一个均值为0、双边功率谱密度为E0的白噪2试求输出噪声的概率密度。解：高斯白噪声通过低通滤波器，输出信号仍然是高斯过程。由Ro(0)n0…错误!未找到引用源。4RC所以输出噪声的概率密度函数习题2.18设随机过程0)1/2、p(解：E[⑴]R(0,1)E[(0)2.15题可知E(y(t))=0,斯白噪声时，试求(1)输出噪声的自相关函数。(2)输出噪声的方差。解：(1)LC低通滤波器的系统函数为习题2.19设Z⑴LC图2-4LC低通滤波器),式中/2)1/2,试求E[(1)]及1/2*2cos(20)1/2*2cos(2(1)]1/2*2cos(0)2cos(2是一个离散随变量，且0)X1cosw0tX2sinw0t是一随机过程,2为0、方差为的正态随机变量，试求:(0,1)/2)1;1/2*cos(/2)2cos(2/2)X,Xc若八1和八2是彼此独立且具有均值文档2一(i)E[Z(t)]、E[Z⑴];(2)Z(t)的一维分布密度函数f(z)；(3)B(ti，t2)和Rd，%)。解：⑴且它们的自相关函数分别为Rx()、Ry()。解：因X(t)与Y(t)是统计独立，故E[XY]E[X]E[Y]Rz()E[Z(t)Z(t)]E[X(t)Y(t)X(t)Y(t)]E[X(t)X(t)]E[Y(t)Y(t)]Rx()Ry()(2)E[Z(t)]E[XiCOSw0tX2sinW0t]cosw0tE[Xi]sinW0tE[X2]因为Xi和X2是彼此独立的正态随机变量，Xi和X2是彼此互不相关，所以E[XiX2]22..2.2.2E[Z(t)]E[Xicosw0tX2sinw0t]cos又E[Xi]0；D(Xi)E[Xi2]22同理E[X2]__2,、.2代入可得E[Z(t)]一一一一2由E[Z(t)]=0；E[Z(t)]2f[Z(t)]可彳导D[Z(t)]21.2w°tE[Xi]Sinw。，_2)tE[X2]习题2.2i若随机过程Z⑴m(t)cos(w0t)，其中m(t)是宽平稳随机过程，且自相关函数Rm()i，i0Rm()i,0i_22E[X2]_22E[Xi]勺0，其它(i)证明Z(t)是宽平稳的；(2)绘出自相关函数Rz()的波形;(3)求功率谱密度PZ(w)及功率S是服从均匀分布的随机变量，它与m(t)彼此统计独立又因为Z(t)是高斯分布i._ZL2纵"二解:(i)z(t)是宽平稳的E[Z(t)]为常数;B(ti,t2)R(ti,t2)E[Z(ti)]E[Z(t2)]R(ti,t2)E[Z(t)]E[m(t)cos(w0tri22十[——cos(w0t20)]E[m(t)]E[cos(w°t)])d]E[Z(t)]0E[(Xicosw0tiX2sinw0ti)(Xicosw0t2X2sinw0t2)]HYPERLINK\l"bookmark153"\o"CurrentDocument"22E[(Xicosw°ticosw0t2X2sinw°tisinw0t2)]22cosw0alt2)cosw0令tit2习题2.20求乘积Z⑴X(t)Y(t)的自相关函数。已知X(t%Y⑴是统计独立的平稳随机过程,Rz(ti，t2)E[Z(ti)Z(t2)]E[m(ti)cos(w°ti)m(tz)cos(w0t2E[m(ti)m(t2)]E[cos(w0ti)cos(w0t2)]E[m(ti)m(t2)]Rm(t2ti)只与ti有关:)]令t2tiE{cos(w0ti)cos[w0(ti)]}文档E{cos(w0t1)[cos(w0tl)cosw0cosw0*E[cos2(w0tl)]sinw0sin(wot1)sinw0}*E[cos(w0t1)sin(w0tl)]12ww0Pz(w)7[Sa(丁2ww0)Sa()]一1一〜，cosw0*E{-[1cos2(w0tlS功率S:RZ(0)1/2)]}1,、cos(w0)2习题2.22已知噪声解：n(t)的自相关函数Rn(a/-exp(2aLa为常数：求Pn(w)和s；…、1，Rz(t1,t2)cos(w0所以2(2)波形略；)*Rm()只与exp(有关，证毕。因为2a-2w1RZ()2cos…()2。2(1Rn(Pz(w)Rz()而Rz()cos(w0),1)cos(w0),00,其它可以对Rm()sin(w/2)2wRm()(1)2()(1)Pm(w)七3所以习题2.23相关函数R()解:P(w)-exp(2R(0)ipn(w)2a2a(t)是一个平稳随机过程，它的自相关函数是周期为R(见第2.4题因为T⑴试求据付氏变换的性质可得2S的周期函数。在区间(-1,1)上，该自⑴的功率谱密度P(w)Sa2(w)(tP(w)2n)所以⑴Pr(w)F(w)(t2n)R()*T(t)Pr(w)F(w)Sa2(-)*_2wn9丁)*n文档C…1,t2\f[0(t)]exp()可得输出噪声分布函数为2Bn0n0习题2.24将一个均值为0,功率谱密度为为叫/2的高斯白噪声加到一个中心角频率为Wc、带宽为b的理想带通滤波器上，如图(1)求滤波器输出噪声的自相关函数；(2)写出输出噪声的一维概率密度函数。解：PO(w)|H(w)2P(w)3H(w)(i)2—G2w0(w)Sa(w°)因为W0，故G2B(W)BSa(B)H(w)G2b(w)*[(wWc)(wWc)]，、，、1，、(WWc)(WWc)—cos(wc)■■1fi(t)f2(t)——Fi(w)*F2(w)由付氏变换的性质2可得Po(w)-n0-H(w)@G2b(w)*[(wWc)(wWc)22R()n°BSa(B)cos(Wc)___2___2E[o(t)]0,R(0)E[0(t)]Bn°.R()E[o(t)]02_,、_所以R(0)R()Bn0又因为输出噪声分布为高斯分布习题2.25设有RC低通滤波器，求当输入均值为0,功率谱密度为n0/2的白噪声时，输出过程的功率谱密度和自相关函数。解:1jwC1H(w)RjwRC1jwCPo(w)(1)P(w)|H(w)2n0*121(wRC)2exp(a)(2)因为Po(w)所以2an0*1—*_22(wRC)1Ro()n04RCexp(RC习题2.26将均彳1为0,功率谱密度为n0/2高斯白噪声加到低通滤波器的输入端,求输出噪声的自相关函数;求输出噪声的方差。解：H(w)RjwL212noRn0RR(w)P(w)H(w)十'一、2Ro()皆exp(二)2R(wL)4LL⑵E[n0(t)]文档2R(0)R()R(0)4L习题2.27设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时为Tb,脉冲幅度取1的概率相等。现假设任一间隔Tb波形取值与任何别的间隔取值统计无关，且过程具有宽平稳性，试证:R(t)(i)自相关函数(2)P(w)功率谱密度(w)0,lI「1||/Tb,||Tb2Tb[Sa(fTb)]2-]解:R()E[(t)(t)]R()E[⑴(t)]①当Tb时，(t)与(t)无关，故R()=0在图示的一个间隔TbTb②当Tb时，因脉冲幅度取1的概率相等，所以在2Tb,该波形取-1-1、11、-11、1-1R()E[(t)1一2二2*-T_TbTb1的概率均为4R(t)故0,lITb||/Tb,Tb(A)波形取-1-1、11时,(2)A(B)在图示的一个间隔Tb波形取-11、1-1时，R()E[(t)(t)]1一*11/4)，其中为时域波形的R()面积。所以2p(w)TbSa文档习题2.28有单个输入、两个输出的线形过滤器，若输入过程，谱密度的表示式。(提示：互功率谱密度与互相关函数为付利叶变换对)(t)是平稳的，求1⑴与2⑴的互功率解:习题2.30若通过题2.8的低通滤波器的随机过程是均值为0,功率谱密度为n0/2的高斯白噪声，试求输出过程的一维概率密度函数。解：i(t)(t)hl()d02(t)(t此()d0R2(ti,ti)E[i(ti)2(ti)]E[n°(t)]0.;n0in0Pc(w)*2R0()exp()2i(wRC)4RCRC又因为输出过程为高斯过程，所以其一维概率密度函数为2n04RCE[(ti0)hi()d(ti0也()d]f[x]hi()h2()R()dd00所jw.Pi2(w)Ri2()eddd[hi()h2()R(Pi2(w)jwjwh()edh()ed00I'jw[R()ed*Hi(w)H2(w)P(w)习题2.29若(t)是平稳随机过程，自相关函数为R(),试求它通过系统后的自相关函数及功率谱密度。解：h(t)(t)(tT)H(w)iejwTH(w)(22coswT)i/22一，、―一―，、FO(w)H(w)P(w)2(icoswT)P(w)FO(w)2P(w)2coswT*P(w)2P(w)(ejwTejwT)P(w)2R()R(T)R(T)