三角形证明难题

全等的证明专训1、在Rt△ACB中，AC=BC,点O是斜边AB的中点，，将一个直角的顶点放在点O处，两直角边分别交AC、BC于M、NC（1）求证：CM+CN=ACMNAOB(2)若点M、N分别在AC、CB的延长线上，其它条件不变,问（1）中的结论还是否成立？说明理由。MCBAON2、在△ABC中，AB=AC,AC⊥AB,，过点C做AB的平行线m，取直线BC上一点P，连接AP，过P做AP的垂线，交直线m于点E，再过点P做BC的垂线，交直线AC于点F，点F在线段CA的延长线上时，求证：CF-CE=ACFAmCBPE3、如图1,在四边形ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC,AD=CD,∠C=60°，DH⊥BC于点H,点E是BC上一点，连接AE,将△ABE沿AE翻折，点B落在点F处，射线EF交CD所在直线于点M，（1）若点M在CD边上时求证：FM-DM=CHADMFBEHC4、已知AB=AC,∠BAC=90°，将一,45°角的顶点与点A重合,两边分别为射线AP和射线AQ,过点C作AC的垂线交AQ于N;过点B作AB的垂线交AP于M,连接MN（1）如图1当射线AP和射线AQ在∠BAC内部时，求证BM+CN=MN（2）如图2当射线AP和射线AQ在AB两侧时（1）的结论还是否成立，说明理由。（3）如图3当射线AP和射线AQ在∠BAC外部时（1）的结论还是否成Q立，说明理由。PPNPMBMBMBQACN（图3）A（图1）CA（图2）CN5、已知AB=AC,∠BAC=90°，过点C作AC的垂线交射线AR于点E,将△ACE以AR为轴向上翻折,翻折后点C落在点G处,再过点B作AB的垂线,交射线AG于点D,（1）如图1当射线AR与射线AG都在∠BAC的内部时,求证：AD=BD+CE（2）如图2当射线AR在∠BAC的内部,射线AG在的∠BAC外部时,（1）的结论还是否成立，说明理由。（3）如图3当射线AR与射线AG都在∠BAC的外部时（1）的结论还是否成立，说明理由。REBBDDGDBRCEGAE图3ACR图1A图2CG6、如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且1AE(ABAD),求∠ABC+∠ADC的度数。27、如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．8、如图，已知∠ABC=∠DBE=90°，DB=BE，AB=BC．(1)求证：AD=CE，AD⊥CE(2)若△DBE绕点B旋转到△ABC外部，其他条件不变，则(1)中结论是否仍成立?请证明9．等边△ABC，D为△ABC外一点，∠BDC=120°，BD=DC．∠MDN=60°射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N，①当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系．②当点M、N在边AB、AC上，且DM≠DN时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明．③当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM、NC、MN之间的数量关系．10．如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=ODAEOBCD11、已知，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE=15°，O为BE中点，连接AO，且AO=1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE=CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG．若AG平分∠CAD，求证：AH=AC．12、在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，延长DE交BC于点F，连接DC，BE．（1）如图1，当点B，A，E同一直线上时，且∠ABD=30°，AE=2，求BC的长．（2）如图2，当F是中点时，求证：AE⊥CE．13、已知，如图1在锐角△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，BE与AD交于点F．（1）若BF=5，DC=3，求AB的长；（2）在图1上过点F作BE的垂线，过点A作AB的垂线，两条垂线交于点G，连接BG，得如图2．①求证：∠BGF=45°；②求证：AB=AG+AF．14、△ABC中，点D为BC上一点，E为AC上一点，连接AD，BE，DE，已知BD=DE，AD=DC，∠ADB=∠EDC．（1）如图1，若∠ACB=40°，求∠BAC的度数；（2）如图2，F是BE的中点，过点F作AD的垂线，分别交AD、AC于点G、H．求证：AH=CH．15、在等腰Rt△ABC中AB=AC，∠BAC=90°．点D是CA延长线上一点，连接BD，点E是BD上一点，连接CE交AB于点F，BD=CF．（1）如图1，当点E是BD中点时，若BC=4，求AF的长；（2）在（1）的条件下，如图2，连接AE，求证：DE+EF=AE．16、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，其中∠BAC=90°，D是AC边上的一点，连接BD，过A作AE⊥BD，E为垂足，AF⊥AE，且AF=AE，连接FE并延长，交BC于M点．（1）若FC=5，ED=1，求BD的长；（2）求证：BM=CM．17、如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在线段BC上，且BE=CD，连接AD、AE，过点D作DF⊥AE，垂足为H，交AC于点F，过点E作EG⊥AC，垂足为G．（1）若DH=4，AD=5，HF=1，求AF的长；（2）若∠BAC=90°，求证：AF=2CG．18、如图，在∠ABC=90°，∠DBE=90°，BA=BC，BD=BE，连接AE、CD，AE所在直线交CD于点F，连接BF．（1）连接AD，EC，求证：AD=EC；（2）若BF⊥AF，求证：点F为CD的中点．19、如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D是BC边上的任意一点，作CE⊥AD交AD的延长线于点E，BF⊥AD于点F．（1）若∠ACE=75°，BF=3．求S．△ABC（2）求证：AE=CE+2EF．20、如图1，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接DA，BE．（1）若∠DAC=90°，求∠CBE的度数．（2）如图2，连接BD、AE，若点M是BD的中点，连接CM，求证：AE=2CM．21、已知两个等腰Rt△ABC，Rt△CEF有公共顶点C，∠ABC﹣∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，连接CM，若CB=1，CE=2，求CM的长．（2）如图2，连接MB，ME，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．22、如图，等腰直角△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，点M在AD上，连接BM，过点C作CN⊥BM于点E，交AB于N，交BD于F，连接DE，AE．（1）若∠BCN=30°，EN=2，求AN的长；（2）若DE⊥AE于E，DG⊥DE交CN于G，求证：CE=AE．23、在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，E为边AC上一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE=15°，O为BE中点，连接AO，且AO=1，求BC的长；（2）如图2，D为AB上一点，且满足AE=AD，过点A作AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M，求证：BG=AF+FG．24、△ABC为等边三角形，以AB边为腰作等腰Rt△ABD．AC与BD交于点E，连CD．（1）如图1，若BD=2，求AE的长；（2）如图2，F为线段EC上一点．连接DF并以DF为斜边作等腰直角三角形DFG，连接BF、AG，M为BF的中点，适接MG．求证：AM⊥MG．25、在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是边BC上任意一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E．（1）如图1，若∠BAD=15°，且CE=1，求线段BD的长；（2）如图2，过点C作CF⊥CE，且CF=CE，连接FE并延长交AB于点M，连接BF，求证：AM=BM．26、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AH⊥BC于点H，过点C作CD⊥AC，连接AD，点M为AC上一点，且AM=CD，连接BM交AH于点N，交AD于点E．（1）若AB=3，AD=，求△BMC的面积；（2）点E为AD的中点时，求证：AD=．27、如图，等腰直角三角形△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是AC边上一点，∠CBD=30°，点E是BD边上一点，且CE=AB．（1）如图①，若AB=2，求S△CBE（2）如图②，过点E作EQ⊥BD交BC于点Q，求证：AC=BD+2EQ．28、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD．连接AC、BD，AC⊥DC．过点B作BE⊥AC，分别交AC、AD于点E、F．点G为BD中点，连接CG．（1）求证：△ABE≌△DAC；（2）根据题中所给条件，猜想：CE与CG的数量关系，并请说明理由．29、如图，△ABD是等腰直角三角形，点C是BD延长线上一点，F在AC上，AD=AF，E为△ADC内一点，连接AE，BE，AE平分∠CAD，AE⊥BE．（1）若∠EBD=15°，求∠ADF；（2）求证：BE﹣AE=DF．30、如图，等腰Rt△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD，EB⊥BC，Rt△EDF中，∠EDF=90°，B、C、F在一条直线上，（1）若ED=4，求S．△EDF（2）若∠2=2∠1，求证：HF=HE+HD．31、在Rt△ABC中，∠BCA=90°，G为AB的中点，过点G作DG⊥AB交AC于点D．（1）如图1，连接CG，若CG=，BC=3，求DG的长；（2）如图2，过点D作DE⊥BD，连接AE，以点E为直角顶点，AE为直角边向外作等腰直角三角形AEF，使得点F刚好落在BD的延长线上，求证：BC=DE+DF．32、如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，D、E为直线BC上两点且满足BD=CE，连接AD，过点C作CF⊥AD交AB于点G，垂足为F，连接EG，（1）若AC=6，CE=2，求CF的长；（2）求证：EG+CG=AD．33、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，取边BC上一点D，连接AD．E是AD延长线上一点．连结BE并延长．交AC延长线于点G．（1）如图1，若BE⊥AE，∠DAB=15°，BD=1，求BG的长；（2）如图2．连结EC，过点A作AF⊥EC交EC延长线于点F，且∠FAC=∠BAE，求证：GE+DE=CE．34、如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为AC上一点，连接BD，过C点作BD的垂线交BD的延长线于点E，连接AE，过点A作AF⊥AE交BD于点F，连接CF．（1）若CE=2，AE=，求BC的长；（2）若点D为AC的中点，求证：CF=2CD．35、如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，连结BE．（1）若AF是△ABE的中线，求证：∠DBF=∠DAF；（2）若AF是△ABE的中线，且AF=5，AE=6，连结DF，求DF的长；（3）若AF是△ABE的高，延长AF交BC于点G．如图2，若点E是AC边的中点，连结EG，求证：AG+EG=BE．36、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，在Rt△DBE中，∠DBE=90°，AB=DB，∠BAC=∠BDE．（1）如图1，AB=4，BE=，求AC的长；（2）如图2，连接CD，连接AE交BD于F，点F恰好是AE的中点，求证：CD=2BF．37、如图，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．（1）若AD=3，BE=4，求EF的长；（2）求证：CE=EF．38、已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°．其中B、E、D共线且DE交AC于F．（1）如图1，若E为BD的中点，且AD=1，求∠BDC的度数和BC的长；（2）如图2，在AB上取一点G，使BG+AB=BC，连接EG．若E为BF的中点，求证：EG∥AD．39、如图，已知等边△ABC中，D为边AC上一点．（1）以BD为边作等边△BDE，连接CE，求证：AD=CE；（2）如果以BD为斜边作Rt△BDE，且∠BDE=30°，连接CE并延长，与AB的延长线交于F点，求证：AD=BF．40、在△ABC中，点D是BC的上一点，点E是△ABC外一点，且∠AEB=90°，过点C作CF⊥AF，垂足为F，连接DE，DF．（1）如图1，点D在AE上，D是BC中点，∠BAE=30°，∠CAE=45°，AB=2，求AC的长；（2）如图2，点D不在AE上，连接AD，延长CF至点G，连接GD且GD=AD．若BC平分∠ABE，∠G=∠DAB，求证：DE=DF．41、如图，已知，等腰直角△ABC、等腰直角△DBF有共同的顶点B，其中∠ACB=∠DBF=90°，CA=CB，2DB=2BF=AB．（1）如图1，点F落在线段BC上，连接AD交BC于点M，且AB=2时，求MB的长．（2）如图2，点E为CB的中点，连接AE，当D点在线段AE上时，连接CF交AE于G，求证：2GE=CG．42、已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．（1）如图1所示，若AB=8，CD=2，求OH的长．（2）将△COD绕点O旋转一定的角度到图2，求证：OH=AD且OH⊥AD．43、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°．∠CAB=30°，分别以AB、AC为边，向Rt△ABC外作等边△ABD和等边△ACE．（1）如图1，连接BE、CD，若BC=2，求BE的长；（2）如图2，连接DE交AB于点F，作BH⊥AD于H，连接FH，求证：BH=2FH．44、如图，已知等腰Rt△ABC，∠ACB=90°，CA=CB，以BC为边向外作等边△CBD，连接AD，过点C作∠ACB的角平分线与AD交于点E，连接BE．（1）若AE=2，求CE的长度；（2）以AB为边向下作△AFB，∠AFB=60°，连接FE，求证：FA+FB=FE．45、如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC、∠ACB的角平分线AF、CG交于点H，AF、CG分别交BC、AB于点F和点G，延长AC至点D，CD=BG，连接DG交BC于点E．（1）若AG=2，求BG的长；（2）求证：AC﹣AH=2CE．46、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E是AC上一点，连接BE．（1）如图1，若AB=4，BE=5，求AE的长；（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF=DF时，求证：DC=BC．47、在△ABM中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．（1）如图1，若AB=3，BC=5，求AC的长；（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．48、如图，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，其中∠ACB=∠BDE=90°，AC=BC，BD=ED，连接AE，点F是AE的中点，连接DF．（1）如图1，若B、C、D共线，且AC=CD=2，求BF的长度；（2）如图2，若A、C、F、E共线，连接CD，求证：DC=DF．49、如图，在△ABC中，AB=AC，点D是△ABC内一点，AD=BD，且AD⊥BD，连接CD．过点C作CE⊥BC交AD的延长线于点E，连接BE．过点D作DF⊥CD交BC于点F．（1）若BD=DE=，CE=，求BC的长；（2）若BD=DE，求证：BF=CF．50、△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，∠ACB=90°，（1）如图1，点M是BA延长线上一点，连结CM，K是AC上一点，BK延长线交CM于N，∠MBN=∠MCA=15°，BK=8求CM的长度．（2）如图2，直线l经过点C，AF⊥l于点F，BE⊥l于点E，点D是AB的中点，连接ED．求证：AF=BE+DE．51、在等腰Rt△ABC中∠ABC=90°，AB=BC，在等腰Rt△BDE中∠BDE=90°，BD=DE，连接AD，点F是AD的中点．（1）如图1，当点E和点F重合时，若BD=，求CD的长；（2）如图2，当点F恰好在BE上，AB=AD时，求证：BD=CD．52、如图，Rt△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰Rt△ABE、Rt△ACD，点M是BC的中点，连接MD、ME．（1）若AB=8，AC=4，求DE的长；（2）求证：AB﹣AC=2DM．53、在△ABC中，∠B=45°，∠BAC=75°．点M是BA延长线上一点，连接CM，将射线CM绕C点顺时针旋转60°得到射线CN，作∠MCN的平分线交BA于点P，连接NP，且∠CPN=∠CPM，连接BN．过点M作CA的垂线，垂足为Q点．（1）如图1，已知AC=4，求BC的长度；（2）如图2，当点N在AB上时，求证：BN=MQ；（3）当点N在∠ACB的角平分线上时，直接写出的值．54、如图，△ABC中，∠ACB=45°，AD⊥BC于点D，过点C作CM⊥AB交AD于点E，且点E为AD的中点，连接MD，过点D作ND⊥MD交CM于点N．（1）若AC=2，求CE的长；（2）猜想：△DMN是否是等腰直角三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由（3）求证：NE=ME+AM．55、如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D．若∠ABC=90°，过点B作BE⊥AC于点E，BE与AD相交于点F．（1）当AD=6，BF=时，求线段AB的长度；（2在线段AF上取点G，使FG=DF，连接BG．过点F作FH⊥AD交BG于点H，连接DH交BE于点I．求证：DI=HI+HB．56、如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AC上一点，连接BD，过点C作CE⊥BD于点E，点F是AB垂直平分线上一点，连接BF、EF．（1）若AD=6，tan∠BCE=，求AB的长；（2）如图1，当点F在AC边上时，求证：CE﹣BE=EF；（3）如图2，若∠BDC=75°，当∠AFB=30°时，直接写出（）2的值．57、如图，在△ABC中，AB=AC，D为线段BC的延长线上一点，且DB=DA，BE⊥AD于点E，取BE的中点F，连接AF．（1）若BE=2，AE=，求AF的长；（2）若∠BAC=∠DAF，求证：2AF=AD；（3）请直接写出线段AD、BE、AE的数量关系．