度量空间的列紧性与紧性

度量空间的列紧性与紧性i=j1.4.1度量空间的紧性Compactness在微积分中，闭区间上的连续函数具有最大值、最小值、一致连续等，这些性质的成立基于一个重要的事实：R的紧性，即有界数列必有收敛子列.但这一事实在度量空间中却未必成立.例1.4.1设X=L2［一兀，兀］=｛fl(L)』兀If(x)|2dx<8｝，对于f,gGX，定义_兀d(f,g)=(』"If(x)-g(x)I2dx)2，-K令｛f&(x)｝=｛sinnx｝，那么｛fn(x)｝是有界的发散点列.由于所以｛f(x)｝为有界点列.对于任意的n,mgN，有n因此｛f(x)｝不是基本列，当然不是收敛列.口定义1.4.1列紧集、紧集与紧空间Sequentialiycompactset,Compactset9Compactspace设X是度量空间，AuX.如果A中任何点列都有收敛于X的子列，则称A为列紧集(或致密集、或相对紧集);如果A是列紧集，也是闭集，则称A为紧集；如果X本身是列紧集(必是闭集)，则称X为紧空间.注1:若A是X的列紧集，｛X｝uA且xTx(n-s)，那么xgA?若A是X的紧集，xgA?.nn0001.4.1设(X,d)是度量空间，下列各命成立：X的任何有限集必是紧集；列紧集的子集是列紧集；列紧集必是有界集，反之不真.证明(1)、(2)易证.下面仅证(3).假设AuX是列紧集，但A无界.取xgA固定，则存在xgA，使得d(x,x)>1.对于x,x，必存在xgA，1212123使得d(x,x)>1、d(x,x)>1.由于A是无界集，可依此类推得到X的点列｛X｝满足：只要i壬J，就有d(x,x)>1.显1323nij然点列｛Xn｝无收敛子列，从而A不是列紧集导致矛盾，故A是有界集.反过来，A是有界集，A未必列紧.反例：空间X=L2［-k,K］上的闭球B=0(0/板)有界，而不是列紧集(见例1.1).口注2：R中的开区间(0,1)是列紧集，却不是紧集.(由于R中的有界数列必有收敛子列，所以(0,1)中的数列必有收敛子列，但(0,1)不是闭集，故列紧不紧.)注3：自然数N=｛1,2,,n,｝不是列紧集.(N无界)推论1.4.1(1)紧空间是有界空间；(2)紧空间是完备空间.证明(1)若X为紧空间，..那么.X本身为列紧集，而列紧集有界，故X为有界空间.(2)若X为紧空间，即它的任何点列有收敛子列，从而知X中的基本列有收敛子列，根据基本列的性质(若基本列含有收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到子列的极限)，可得X中的基本列收敛，因此X为完备的空间.口关于n维殴氏空间Rn中的列紧集、紧集的特性有如下定理.定理1.4.2设AuRn，Rn是n维殴氏空间，那么A是列紧集当且仅当A是有界集；A是紧集当且仅当A是有界闭集.证明(1)必要性显然成立；利用闭球套定理可以证明：如果A是有界的无限集，则A具有极限点，从而可证充分性.(2)由(1)易得.口注4：由于R中的非空紧集A就是有界闭集，定义A上的连续函数具有最大与最小值，这一事实在度量(距离)空间中依然成立.首先连续映射将紧集映射为紧集.引理1.4.1设f是从度量空间(X,d)到(匕p)上的连续映射(称为算子)，A是X中的紧集，那么f(A)是丫中的紧集.证明设E=f(A),首先证明E是V中的列紧集V｛>｝uE,3｛x｝uA，使得>=f(x),n=1,2,.由于A是紧集，所以点列｛x｝存在收敛的子列｛x｝，且nnnnnn,klimj=limf(x)=f(x)eE.kT8nkkT8nk°即｛>｝有收敛于E的子列｛j｝，因此E为Y中的列紧集.再证E是闭集.设｛j｝Ue，存在收敛的子列(xn｝，xnxntx0eA，又知f是X上的连续映射，于是ynt*(nT8)，根据A的紧性和连续映射f可得，对应的点列｛七｝(七=f(x“))—txeA.从y=limy=limy=limf(x)=f(x)eE，0n,nn0nT8kT8kkT8k即E是闭集.口定理1.4.3最值定理设A是度量空间X中的紧集，f是定义在X上的实值连续函数(泛函)，即f:XtR,那么f在A上取得最大值与最小值.证明设E=f(A)，由上述引理知E是R中的紧集.所以E是R中的有界集，于是上、下确界存在，设M=sup｛f(x)IxeA｝，m=inf｛f(x)IxeA｝.下证M是f在A上取得的最大值，同理可证m是f在A上取得的最小值.由确界性的定义知，Vn，^x“eA，使得f(x)〉M-1，即可得M-1表

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