勤学早微专题八年级上册(学生版)2020.12.14

微课小专题1导角基本模型(・・)8字模型及应用微课小专题1导角基本模型(・・)8字模型及应用［模型介绍］如图,将线段ABCD的两个端点交叉相连(即连接AD.BC),得到的图形称之为"8字形ABCD”.结论：®ZA+ZB=ZC+ZD;②若NA=NC,则NB=ND.金例讲析［例］如图,NA+NC=56°BE平分NABCDE平分CADC.求NE的度数.1.如图，在四边形ABCD中，点F为CD上一点,NABF=NACD,NBAC=60。，求NBFD的度数.D微课小专题3导角基本模型（三）••线三等角模型及应用微课小专题3导角基本模型（三）••线三等角模型及应用微课小专题2导角基本模型(二)余补角模型及应用［模型介绍］互余模型：如图，在RtZiABC中,NACB=900.(1)如图1,CD±AB于点D,则有:N1=NB.N2=NA;⑵如图2,E为BC延长线上一点,ED_LAB于点D.交AC于点F,则有:N1=N2=ZB.ZA=ZE;(3)如图3,E为CB延长线上一点,NABD=NBED=NC=9(T，则有:N1=/D,N2=NA.互补模型：如图4.在四边形ABCD中点E为BA延长线上一点，若NB+D=180°，则有NDAE=NC金例讲析［例］在4ABC中,两条高BD,CE交于点G.AM.GN分别平分NBAC和NBGC.判断AM与GN的位置关系,并说明理由.1.如图,ACLBE于点C.ED1AB于点D,交AC于点F,交NDAF的平分线于点M,EN平分2DEB,交AB于点N.求证:AM±EN.［模型介绍］顶点在同一条直线上的三个等角所构成的图形我们称之为“一线三等角”，如图L2,N1=/2=N3.金例讲析.［例J如图，在△ABC中,NB=NC=60。，将4ABC沿DE折叠，点A的对应点F落在BC上.求证:NBDF=NCFE.1.如图，在△ABC中,D,E分别为BC.AC上的点,NB=NC=2ADE.BAD=21°,NAED=91°.求NB的度数.微课小专题4求角思想方法（一）转化思想求角度微课小专题4求角思想方法（一）转化思想求角度［方法介绍］转化思想:人们在解决问题时，对未解决的问题作转化放之逐步转化为已解决的问题，达到化繁为简，化难为易，变“正而强攻”为“侧翼进击”的思维方法，就是转化的策略思想金例讲析一、四边形转化为三角形［例］如图,求证:NA+NB+ZD=ZBCD.实战演练二、多边形转化为三角形或四边形.如图，求NA+N_B+NC+/D的度数..如图，求NA+/B+NC+ND+NE+NF+NG的度数.微课小专题5求角思想方法（二）整体思想求角度微课小专题5求角思想方法（二）整体思想求角度［方法介绍］整体思想，即是善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成--个整体，有意识的整体运算，整体处理.金例讲析［例］如图，在4ABC中,NA=60。.D.E,F分别为BC.AB.AC上的点,NBED=NB.NDFC=NC.求NEDF的度数.实战演练1.如图，求N1+N2+N3+N4的度数.2.如图，在4ABC中,NB=33°,将4ABC沿直线EF翻折，点B落在点D的位置，求N1-N2的度数.B-CD微课小专题6求角思想方法（三）方程思想求角度微课小专题6求角思想方法（三）方程思想求角度［方法介绍］通过设未知数建立方程解决问题的思想方法.金例讲析［例］如图，在4ABC中,NA=NB.点D.E分别在AB.BC上,NCDE=NCED,若ZACD=36°，求NBDE的度数.实战演练.如图.AD是AABC的角平分线,NADC=NC=2NB.求NBAC的度数..^AABC中.AD是OABC的角平分线,NC-NB=20°.DE平分NADC,NAED=UO°,求NBAC的度数.微课小专题7求角思想方法（四）分类讨论思想求角度微课小专题7求角思想方法（四）分类讨论思想求角度［方法介绍］当问题情形指代不明确,可能存在多种情况时，按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想.金例讲析［例］在AABC（不是直角三角形）中,NA=50°,AABC的两条高BMCN所在直线相交于点O.求NMON的度数.实战演练1.在AABC中.AD是BC边上的高,NB=40",NCAD=20°，求NBAC的度数.微课小专题8角度关系探究方法(一)特殊到一般微课小专题8角度关系探究方法(一)特殊到一般［方法介绍］从特殊中找规律，得出一般结论.金例讲析［例］在四边形ABCD中,AE平分NBAD,交BC于点E,点F在AE±,ZB=ZC=ZAFD.⑴如图1,当NB=90°时,求证:NAEB=NADC;(2)如图2,当NB=a(O0NB)之间的数量关系.实战演练.如图.AD是4ABC的角平分线,E为BC延长线上的一点,试探究NB,NADCNACE之间的数量关系..如图，在4ABC中,D.E分别为AB.BC上的点,NA=NB.NCDE=NCED.试探究NACD与NBDE之间的数量关系.微课小专题10双角平分线的夹角模型（一）双内角平分线夹角微课小专题10双角平分线的夹角模型（一）双内角平分线夹角［模型介绍］如图，在AABC中，若PB平分NABC,PC平分NACB,则NP=90°+NA,金例讲析［例］如图，在AABC中，ZA=72°,ZABC,ZACB的三等分线交于点Oi,O2j⑴求NBOC的度数；（2）连接OQz，则NBOq的度数为^实战演练lo在平面直角坐标系中，AAOB的顶点A,B分别在x轴，y轴上，点E是4ABC）的两条角平分线的交点，求N_AEB的度数0微课小专题12双角平分线的夹角模型（三）一内一外角平分线夹角微课小专题12双角平分线的夹角模型（三）一内一外角平分线夹角微课小专题11双角平分线的夹角模型（二）双外角平分线夹角［模型介绍］如图，PB平分NDBC,PC平分NECB,则NP=90°--ZAc2金例讲析［例］在平面直角坐标系中，AAOB的顶点A,B分别在x轴，丫轴的正半轴上，NABy与NBAx的平分线相交于点C,求NC的度数。实战演练lo如图，NQBC=1/DBC,ZQCB=1ZBCE,探究NQ与NA的数量关系。33QD.［模型介绍］如图，PB平分/ABC,PC平分AABC的外角NACD,则NP=—NA。2金例讲析［例］在平面直角坐标系中，AAOB的顶点A,B分别在x轴，y轴上，NOAB的平分线与NABy的平分线的反向延长线交于点D,求ND的度数，实战演练lo如图，在四边形MNCB中，BD平分NMBC,且与四边形MNCB的外角NNCE的角平分线交于点D,若NBMN=130°,ZCNM=100,求ND的度数。微课小专题13双角平分线的夹角模型(四)8字形双角平分线夹角微课小专题13双角平分线的夹角模型(四)8字形双角平分线夹角［模型介绍］如图，/ABC和NADC的平分线相交于点P,则NP='(NA+NC),2［方法总结］在

证明

住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问

结论的时候注意体会整体思想，参数思想以及基本模型的应用。金例讲析［例］如图1,线段AB,CD相交于点O,连接AC,DB,。⑴求证:NA+NC=ND+NB;(2)BE平分NABD交CD于点F,CE平分NACD交AB于点G“①如图2,若NA=50°,ZD=40°,求NE的度数；②如图3,CM平分NDCH交EB的延长线于点M,直接写出NM与NA,/D之间的数量关系。微课小专题14双角平分线的夹角模型（五）燕尾形双角平分线夹角微课小专题14双角平分线的夹角模型（五）燕尾形双角平分线夹角［模型介绍］如图，/ABC和NADC的平分线相交于点P,则NP=,（NA+NBCD）,。2［方法总结］在证明结论的时候注意体会整体思想，参数思想以及基本模型的应用。金例讲析翻折后两线交［例］如图，BE_LAC于点E,CF_LAB于点F,交BE于点O,分别以BE,CF为轴向下翻折AB,于点D。o⑴若NA=70°,则NBDC的度数为：⑵试探究ND与NA之间的数量关系。微课小专题15双角平分线的夹角模型（六）隐形双角平分线问题破解法［破解秘笈］根据题目给出的角度及角之间的关系，计算出周边角度，如:邻补角度数，发现角平分线;或者由两条角平分线的交点,判断出它是第三个角的平分线，即解题时要善于发现隐藏的角平分线，从而使问题迎刃而解。金例讲析。［例］如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分/ABC,ZACB=72°,NBAD+NCAD=180°,求NADB的度数。实战演练lo如图，在四边形ABDC中，对角线AD平分NBAC,NACD=138°,ZBCD=42°,试确定NCDA与NCBA之间的数量关系。2o如图，在AABC中，点D是BC上的一点，已知/DAC=30°,ZDAB=75°,CE平分NACB,交AB于点E,连接DE,求NDEC的度数。第十二章全等三角形微课小专题16找全等（一）知二寻一证全等⑴金例讲析［例］如图，AC,BD交于点O,AB=DC,AC=DB0求证:NA=ND0实战演练。lo如图，BD±AC>CE1AB,垂足分别为D,E,BD,CE交于点0,AE=AD。求证:OB=OCA.e/\d微课小专题17找全等(二)知二寻一证全等(2)微课小专题17找全等(二)知二寻一证全等(2)金例讲析［例］如图，D,E分别为AB,AC上的点，BE,CD交于点F,AB=AC,若要补充一个条件，使得4ABE也ZkACD,则下列给出的条件正确的个数有()①AD=AE;②BE=CD:③NB=NC;④NBDF=NCEF;(5)BD=CE;⑥BF=CRAo2个B03个。4个D05个实战演练lo如图，在AABC中，D,E分别为BC,AC上的点，BE,AD交于点F,NABE=NDAC,AE=CD,ZAFE=ZCc求证:△ACDgABAE。微课小专题18找全等（三）全等证角推位置微课小专题18找全等（三）全等证角推位置［方法技巧］证明两直线平行或垂直时，经常将问题转化成证角相等，而证明角相等的问题往往转化成证明两个角所在的三角形全等。金例讲析［例］如图，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=BC,AD是AABC的中线，EB1BC,EB=1aC,AD交CE于点F,2求证:AD_LCE°实战演练1.如图，A,B,C,D四点在同一条直线上，AB=CD,点E,F分别在直线AD的两侧，AE=DF,CE=BF,求证:CE//BF。2o如图，在AABC中，CELAB于点E,AE=CE,D是BC边上一点，AD交CE于点F,且AF=BC0求证:AD_LBCD微课小专题19找全等（四）一次全等创二次【方法技巧】通过第一次全等，为第二次全等创造条件，从而解决问题.金例讲解【例】如图，A8CQ四点在同一条直线上工5二尸，3尸石F=CE,求证归E=CE实战演练.如图，43=5SDJJ?C于点于点尸，AD与C尸相交于点E,连接5E.求证:NA5E=NC3£.如图,A,E,£C四点在一条直线上，AE=CF9过点E,尸分别作。E_L4C;BF_LAC,若A3=CD求证:GE=GE.微课小专题20找全等（五）等量代换证和差微课小专题20找全等（五）等量代换证和差【方法技巧】要证明线段的和、差问题,经常用图中相等的线段来代换,将要证明的问题转化成证明线段相等的问题.目标是要将分散的线段集中到同一条直线上,便于进行线段的和、差运算.金例讲解【例】'如图，点EE分别是aABC的中线CD及其延长线上的点,AE〃3尸.⑴求证:AE=5尸；⑵求证:CE-CA2DE.实战演练L如图，在aABC中4c=3C,高AD,CE交于点F.⑴求证:AE=3E;⑵若A3=CF,求证尸=AC2.如图，AB〃C〃E是AD的中点,直线3E,CD交于点汽⑴求证:A3二D尸；⑵连接CE,若CE±^B+CD=BC.微课小专题21构全等（一）两组等边连共边微课小专题21构全等（一）两组等边连共边【方法技巧】当题中已知两组相等的边时,常连接两点,构造共边的两个三角形全等.从思路上分析,就是“SST构SSS".金例讲解【例】如图，在四边形A3CD中，尸分别为428C上一点.求证：=NCFE.实战演练.如图，AB=AC,BD=CD,DE±AB于点E.DFLAC于点E求证:AEME.如图,NA=ND,NABC=NDEFAB=DE,BF=CE.求证;BC//EF.A微课小专题23构全等（三）中点联想⑵微课小专题PAGE\*MERGEFORMAT#构全等（二）中点联想（1）知中点，倍长中线（Mi制⑼【方法技巧】当题目中已知某线段的中点时，常联想到“胡T掰，'的思路，通过倍长中点处的线段构造全等三角形,从而将题中的已知和未知的条件集中到同一对全等三角形中.基本模型：如图,若，是8c的中点,延长加到点A使内匚岫则△加侬△沏⑹⑨.金例讲解【例】如图，在ZkABC中4OAGCD是aABC的中线.求证:3C・AC<2CD.实战演练1.如图，过△ABC的顶点A作ADL454EL4C,且AD=4B,AE=AC,连接。E,若从“是4ADE的中线，求证:5C=2AM.知中点，两端作垂（弘T【方法技巧】当题目中已知某线段的中点时，常联想到“阳4S'的思路，即过已知中点的线段两端向中点处的线段作垂线（或作一组平行线）,构造全等三角形.基本模型;如图,若一是8c的中点,BDXAM,8，掰（或BD”A6,A,M,。三点共线,则△/四△丽如⑼.金例讲解【例】如图，在△ABC中。为AB延长线上一点方为CB延长线上一点方为CE中点,NA+NADE=180。.求证：AC=OE.实战演练1.如图，在ZkABC中0为C3延长线上一点网）=5C,E为A5上一点，NA=N3ED.求证:ACRE.证中点，两端作垂（阳4s，杂⑷【方法技巧】要证线段的中点，常联想“2A4S,用胃'的思路，即过该线段的两端向要证的中点处的线段作垂线，或在该线段的两端构造一组平行线，从而构造出全等三角形，进而证明中点.基本模型;如图,8c与彳。交于点M,AC=BD,3D±AD9AC±AD^AC//BD）,则△加侬△渤（4S或ASA）,金例讲析【例】如图，RtAAbC中，NAC3=90。。是AC边上一点，CD=C3,过点3作3EL45且连接OE交5C的延长线于点尸，求证：OF=EE实战演练1.如图,在四边形A8CD中，NADC=90%4O=5C4E，BC交CD于点E,交AC于点尸,AE平分NDE艮求证:尸为AC的中点.CAB微课小专题25构全等(五)线段和差联想截长补短(MITSAS)微课小专题25构全等(五)线段和差联想截长补短(MITSAS)【方法技巧】在处理线段的和差问题时,常联想3sgsAC的思路，采取截长补短的方法.截长法就是在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的部分等于另一短线段;补短法是将某短线段延长，使延长的部分等于另一短线段,或是使短线段延长至等于长线段.金例讲析【例】如图，在AnBC中是AABC外一点，NBDC=NBACAE工CD于点E.求证:CD-BD=2DE.实战演练L如图，在四边形A3CD中，ZADC=90%ZBCD=45°,对角线4CJL3。,外角NM43=/DAC.求证:4C-微课小专题26构全等（六）角平分线联想（1）微课小专题26构全等（六）角平分线联想（1）两边作垂（胡―4s，版）【方法技巧】当题中出现角平分线的条件或结论时，常向角的两边作垂线，等同于“2A4S,僦“构全等的思路.基本模型:如图,PA±0AtPB工OB.若N1=Z2,则PA=PB\^〃超则N1=N2.【例】如图，在A43C中4c=8,AC=6Q是A3边上一点，S“cd：S»bcd=3：4.求证:CD平分NACR实战演练1.如图，在四边形A3CD中,对角线AC平分/5。/氏4。=/4。。=90。,若5（7=7,CD=5.求点3到4。的距离.C微课小专题288构全等(八)角平分线联想⑶B微课小专题288构全等(八)角平分线联想⑶B延长垂线段(SATASA)［方法技巧］当图中有垂直于角平分线的垂线段时，常联想到“SA-ASA”的思路，延长垂线段，构造出全等三角形.基本模型:如图.OC平分NAOBdBLOC于点。贝必AOC^/\BOC(ASA)金例讲析［例］如图，在RtdABC中,NR4C=90°,AB=AC.BD是4ABC的角平分线,CE，3。于点E若CE=3^ABCD的面积.实战演练1.如图，在△ABC中,BC>AC,CD平分NACB工OJ_CO于点连接5D求证:S-、bd+Saacd=S△比d微课小专题29模型探究(-)对角互补模型微课小专题29模型探究(-)对角互补模型基本模型:如图，在四边形月8。中,N3AO+N5CD=180。.DE±BC于点E.下列结论:①8。平分NA8C；②AD=CD;®AB+BC=2BE;®BC-AB=2EC若巳知其中一个结论，可推出其余三个结论成立，即“知一推三”金例讲析［例］如图,NABC=90。ADLCOOCD求证:8。平分NABC实战演练1.如图，在四边形A8CO中工8=A。工C平分N3CDAEJ_8c于点E求证:BE+CD=CE.微课小专题30模型探究(二)手拉手模型基本模型:如图＜8=ACHO=AE,N8AC=NOAEjllb8A。也△CAE(SAS).金例讲析［例］如图，A8=AC/D=AE,N3AC=NOA£连接BD.CE交于点。,求证:OA平分NBOE.实战演练1.如图,N8AD=NCAE=90。/8=月。＜E=AQ4F_LC&垂足为点F.(1)求证公ABC^AADE;(2)求证:CO=2BF+DE.微课小专题31模型探究（三）夹半角模型⑴90。夹45。微课小专题31模型探究（三）夹半角模型⑴90。夹45。基本模型:如图,A8=AC,N3AC=90°,ZDAE=45Q,ZABD=ZACE=90°，则有:①OE=8D+C£②AO平分N8QEAE平分ZCED.金例讲析［例］如图，在正方形A8CO中（四边都相等，四个角均为直角），瓦F分别是ABBC边上的点工E+CGEF,求证:NEDF=45”.实战演练1.如佟|,NA3C=90°,/08七=45。48=3。.。月_1八£七。_1_8。,若0,涧”="$心1^£,OE=21,求A。的长.微课小专题33模型探究(五)一线三等角模型⑴三垂直微课小专题33模型探究(五)一线三等角模型⑴三垂直微课小专题32模型探究（四）夹半角模型⑵120。夹60。C基本模型：如图.AB=AC./BAC=120°,ZDAE=60°,ZABD+ZACE=180°,则有:①BD+CE=DE;②AD平分/BDE,AE平分NCED.金例讲析［例］如图,AB=AC,NBAC=12()o,NABC=30。,点D在BC±,ZDAE=ZDCE=60c,求证:DE=BD-CE.实战演练1.如图,AB=AC,NBAC=120°,NABC=30。,点D在BC边上,NDAE=60°，NDCE=1200,若DE=3CE,求证:BD=2CE.基本模型：如图八8二人(2,人8_1_人仁乂4人三点共线，BM_LMN.CN_LMNjUbABM^ACAN(AAS).金例讲析［例］如图，点A(O,5),B(-8,O),AB，ACAB=AC.求点C的坐标,:实战演练1.如图，在aABC中,NBAC=90。,AB=AC,点D、为△ABC外一点,NADB=45°，求证:BD±CD.B微课小专题34模型探究(六)一线三等角模型(2)般情形.微课小专题34模型探究(六)一线三等角模型(2)般情形.基本模型：(1)如图LA.D.E三点共线,AB=AC,NBAC=NBDA=NCEA,则△ABDgZkCAE:(2)如图2.A.E,D三点共线,AB=AC,NBAC=NBDF=NCEF^iJaABD^OCAE.金例讲析［例］如图，在OABC中.AB=36,AC=30,0是OABC内部一点.OB=OC,过点O的直线分别交AB.AC于点DE若ZBOC=ZBDE=ZCED,；RAADE的周长.实战演练1.如图，在△ABC中AB=BC,点F在AC边上,AF='AC,点D.E在BF上,NBEC+NADF=180°,NCEF=NCAB,若Sa3abc=24,求Sacef-Saadf的值微课小专题36等腰三角形的性质(一)方程思想求角度微课小专题36等腰三角形的性质(一)方程思想求角度第十三章轴对称微课小专题35线段的垂直平分线［方法技巧］线段垂直平分线定理（逆定理），实现了线段的位置关系和数量关系之间的相互转化;运用线段垂直平分线定理解题时，别忘了补全基本图（构建到线段两端点的连线段），综合运用时，注意整体思想，方程思想的运用.金例讲析［例］如图CE是aABC的外角平分线,DE是AB的垂直平分线,EFJ_AC;垂足为F,AF=1O.FC=1,求BC的长.实战演练.在ABC中,AB.AC的垂直平分线与BC边分别交于点E,N,且EN=2.BC=7.⑴如图1,当点E在点N的右边时，求三角形AEN的周长；⑵如图2,若ABAC的垂直平分线交于点O,若NBOC=130°，求NEAN的度数.［方法技巧］等腰三角形中运用等边对等角定理，建立角之间的关系，一般来说设小角表示大角，运用三角形的内角和定理列方程.金例讲析［例］如图，在△ABC中,AB=AC,NBAC=100。,BD平分NABC,且BD=AB,连接AD.DC⑴求证:ncad=ndbc：,(2)若E为BC上一点.BE=AD,求NDEC的度数.实战演练1.如佟|,在4ABC中.AB=AC.点D在AC边上.BD=BC,若NABD=45。，求NA的度数.微课小专题37等腰三角形的性质(二)整体思想求角度微课小专题37等腰三角形的性质(二)整体思想求角度【方法技巧】多个未知量的题目里可以设几个参数，运用整体思想以及常见模型(燕尾型，垂直平分线模型等)，求出角的和差.金例讲析【例】如图，点A(0,2),B(0,-2),C为x轴正半轴上一点，以AC为直角边作等腰直角三角形，AC=CD,ZACD=90°,连接BD交x轴于点E,求/DEC的度数.实战演练L如图，在aABC中，AB,AC的垂直平分线相交于点0,若NBAO76。，求N0BC的度数..如图，在aABC中，NBAC=130°,AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,求NDAE的度数.微课小专题38等腰三角形的性质（三）分类讨论思想求边角微课小专题38等腰三角形的性质（三）分类讨论思想求边角【方法技巧】腰和底不明时往往需要分类讨论.分类讨论求边长时，一定别忘记三角形的三边关系.另外无图时可能多解.金例讲析【例】在Z^ABC中，ZB=50°,ZACB=90°,在射线BA上找一点D,使得4ACD为等腰三角形，求NBCD的度数.实战演练.已知等腰三角形的周长为24,其中两边之差为6,求这个等腰三角形的腰长..在aABC中，与NA相邻的外角是130°,要使AABC为等腰三角形，求NB的度数.微课小专题39等腰三角形的性质(四)分类讨论思想定个?微课小专题39等腰三角形的性质(四)分类讨论思想定个?【方法技巧】两定点一动点构成等腰三角形的个数问题，基本方法是“两圆一直线”.金例讲析【例】如图，在aABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°,在直线BC上或AC上取一点P,使APAB为等腰三角形,求符合条件的点P的个数.实战演练1.在平面直角坐标系中，已知点A(2,2),B(4,0),点C在坐标轴上.且满足△ABC为等腰三角形，求满足条件的点C的个数.微课小专题40等腰三角形的性质（五）“三线合一”直接用【方法技巧】已知等腰三角形的三线之一，可以直接运用三线合一性质得出边角关系.金例讲析【例】如图，在RtZkABC中，ZABC=90°,AB=BC,ZC=45°,BO_LAC于点O,点P,D分别在AO和BC上,PB=PD,DE_LAC于点E.求证：PO=EC.实战演练1.如图，在AABC中，ZBAC=90°,E为BC上一点，且AB=AE,ADJ_BC于点D,过点E作EFJ_AE,过点A作AF//BC,求竺心£的值.BD微课小专题PAGE\*MERGEFORMAT#构造“三线合一”解题（一）微课小专题PAGE\*MERGEFORMAT#构造“三线合一”解题（一）作“三线”解决a=2b型问题【方法技巧】一类a=2b型问题，通过作三线运用等腰三角形三线合一来解决.金例讲析【例】如图，AC±CD,AC=CD,点B在CD上，DE_LAB交AB的延长线于点E,若AB=2DE,求/BAC的度数.实战演练L如图，在AABC中，AD平分NBAC交BC于点D,E是AD上一点，且EA=EC,EBJ_AB,求证：AC=2AB.倍长中线构等腰证垂直【方法技巧】等腰十中点证垂直的问题，往往通过倍长中线构等腰，运用等腰三角形三线合一证垂直.金例讲析【例】如图，AB=AC,DODF,NBAONCDF=90°，G为BF的中点.求证：AG±DG,AG=DG.实战演练1.如图，AB=AC,ST=SB,NTSB二NSBC=NBAO90°,M为TC的中点，求证：SM±AM.微课小专题44构等腰技巧(-)角平分线+平行线构等腰微课小专题43构等腰技巧(-)角平分线+垂线构等腰模型：如图，BD平分NABC,E,F分别为BA,BC上一点，EFJ_BD,垂足为0,则BE=BF,E0=0F.金例讲析【例】如图，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,BD平分NABC,点E在AB上，ZEDB=45°,EF±BD,垂足为F,延长EF交BC于点H.(1)求证：BC=BE+HC；(2)求证：NBCF=45°实战演练L如图，在△ABC中，ZB=2ZC,AE平分NBAC交BC于点E,EFJ_AE交AC于点F,求证：NO2NFEC.模型一如图1,作角平分线边的平行线构等腰0C平分NAOB,CD〃OB交0A于点D,则0D=CD.模型二如图2,作角平分线的平行线构等腰已知AD为AABC的外角平分线，则AD〃BCu>AB=AC.金例讲析【例】如图，AB〃CF,E是BC的中点，点D在线段AE上，NEDF=NBAE,求证：AB=DF+CF.实战演练.如图，在aABC中，BI,CI分别平分NABC,ZACF,直线DE经过点I,且DE〃BC,BD=8,CE=5,求DE的长..如图，在四边形ABCD中，AB〃CD,E为BC的中点，AE平分NDAB,若AB=1,CD=1,求AD的长.BE微课小专题45构等腰技巧（三）作腰的平行线构等腰模型：点D为直线AB上一点，AB=AC,过点D作DE〃AC交直线BC于点E.则DE=DB.金例讲析【例】如图，AB=AC,NA=90°,点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BE=CF,EF交直线BC于点D,过点E作EM_LBC,垂足为M.求证:MD=BM+DC.实战演练L如图，AB=AC,CE〃AB,BD〃AC,BD=CE,DE交BC于点F.求证：DF=FE.微课小专题46构等腰技巧（四）倍长中线构等腰B微课小专题46构等腰技巧（四）倍长中线构等腰B模型：如图，D为BC的中点，E为AD上一点，则NBED=NDACOBE=AC延长ED至点H,使得DH=ED,连接CH,易证△BEDgZ\CHD,，NBED=NH,BE=CH.故NBED=NDAC。ZH=ZDAC<=>BE=AC.若AB=3,AC=7,求AF的长.金例讲析【例】如图，AD为△ABC的角平分线，E为BC的中点，EF〃AD交AC于点F,实战演练1.如图，AD是aABC的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F.若EF=AF,BE=7.5,CF=6,求EF的长.微课小专题47构等腰技巧（五）截长补短构等腰微课小专题47构等腰技巧（五）截长补短构等腰模型：如图，D为△ABC的边BC上一点，若要得出AB=AC+CD,可采用直接或间接截长补短法转化为等腰三角形来处理.方法一：（直接截长法）在AB上取一点E,使得BE=CD,连接CE,转化为处理AE=AC问题;方法二：（直接补短法）延长AC至点F,使得CF=CD,连接BF,转化为处理AF=AB问题：方法三：（问接补短法）延长AC至点F,使得AF=AB,连接DF,转化为处理CF=CD问题.金例讲析【例】如图，在△ABE中，ZA=105°,AE的垂直平分线MN交BE于点C,且AB+BC=BE,求NB的度数.实战演练1.如图，点B是x轴上一点，点A在第一象限，OA=AB,P为y轴上一点，/POA=/PBA,ADJ_x轴于点D（1）求证：ZPBA=ZDAB；（2）若点A的纵坐标为4,求OP+PB的值.微课小专题48构等腰技巧（六）二倍角构等腰模型：如图，在△ABC中，ZABC=2ZACB.构等腰法一：延长CB至点E,使BE=AB,连接EA,则NE=1NABC=NACB,AAE=AC；2构等腰法二：作NABC的平分线交AC于点F,则NFBC=1/ABC=NACB,ABF=FC：2构等腰法三：作AC的垂直平分线交BC于点M,连接AM,则AM=MC,ZAMB=2ZACB=ZABC,AAB=AM金例讲析【例】在△ABC中，ZB=2ZC,AD±BC,垂足为D,若BD=1,实战演练1.如图，在△ABC中，ZACB=90°,D为BC上一点，NDABEAEBM..CAB=3,求BC的长.A二BDC"B=45°.求证：DB=2AC.BCD微课小专题49等腰三角形构全等的技巧(-)一线三等角构全等模型：如图，C为BD上一点，AC=EC,NACE=NB=ND,则△ABCgZkCDE./B金例讲析【例】如图，在等边△ABC的三边上分别取点D,E,F,使^DEF为等边三角形.⑴求证：CF=BE：⑵若EC=2BE,求NEFC的度数.2实战演练1.如图，AM〃BN,△ABC是等边三角形，点D在AM上，DC的延长线交BN于点E,NDEBYrA上CDA&EC>0°,求证：BE=AD+CD.Dm\微课小专题51构造等边三角形解题的技巧微课小专题50等腰三角形构全等的技巧（二）等边等角构全等模型：如图，在aABC与ADEF中，AB=DE,ZB=ZE,BOEF.法一：（构直角三角形全等）作AM_LBC,DN1EF,垂足分别为M,N,则aABMgZ\DEN：法二：（构钝角或锐角三角形全等）延长EF至点H,使EH=BC,连接DH,KiJaABC^ADEH.AD金例讲析【例】如图，在四边形ABCD中，ZADB=45,CELAB于点E,NBDC=90。，BD=DC,CE交BD于点F,连接AF.求证：CF=AB+AF.实战演练1.如图，AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=90°,CE/7DB,AE与CD交于点F,・求证：DB=2CF.模型：D是等边△ABC的边AC上一点，连接BD.构等边方法一：过点D作BC的平行线交AB于点E,则4ADE是等边三角形.易证：ZAED=ZABC=ZACB=ZADE=60°,△ADE是等边三角形.构等边方法二：作等边△DBF构造手拉手模型.金例讲析【例】如图，在平而直角坐标系中，点A(2,0),B(5,0),P为线段AB外一点，且PA=2,以PB为边作等边三角形PBM,求线段AM的最大值.实战演练L如佟I,△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，P,Q分别是线段BC,AB上的点，ZPDQ=120°,AC=8,求BP+BQ的值.A微课小专题5230°角的用法一构30的直角三角形【方法技巧】方法一：利用30。角作高构直角三角形方法二：利用15。角作高构直角三角形方法三：利用60。角作高构直角三角形金例讲析【例】在△ABC中，NABC=60。，BA=3,BC=5,点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC,若AE=4,求BD的长.实战演练.如图，在△ABC中，AB=AC=6,NA=30。，求△ABC的面积..在等腰△ABC中，AB=AC=4,NB=15,求△ABC的面积.微课小专题5360。角的用法构等边三角形微课小专题5360。角的用法构等边三角形【方法技巧】利用已有60。角构等边三角形，实现边、角的位置转化，为三角形全等创造条件.金例讲析【例】如图，在△ABC中，NB=60。，D,E分别为AB,AC上的点，AE与CD交于点F,若NFAC=NFCA=30。，求证：AD=CE.实战演练L如图，P是等边△ABC的边AC的中点，E,F分别在AB,BC的延长线上，NE=NF,求证：CF=PC+BE.微课小专题5445°角的用法一一构等腰直角三角形【方法技巧】1.利用45。角的一边作为直角边构等腰直角三角形2利用45。角的一边作为斜边构等腰直角三角形金例讲析【例】如图,在ZkABD中,NADB=45。，ACJ_AB,DCLBD,求证：AB=AC.实战演练1.如图，在△ABC中，ZC=45°,ZB=30°,AC=8,求AB的长.微课小专题55最值问题（一）将军饮马问题模型：（1）如图1,P为直线a上一点，确定点P的位置，使PA+PB的和最小；（2）如图2,A,B分别为OE,OF上的定点，M,N分别为OE,OF上的动点，确定点M,N的位置，使AM+MN+NB的和最小；（3）A为/EOF内一定点，M,N分别为OE,OF上的动点，确定点M,N的位置，使AAMN的周长最小.解：（1）作点A关于直线a的对称点A,连接A,B交直线a于点Pi,根据对称性有PA=PAi,AP尸A：P,PA+PB=PAi十PBNAg,故点P位于A出与直线a的交点时，PA+PB的和最小；（2）作点A关于OE的对称点Ai，作点B关于OF的对称点B"连接A】Bi分别交OE,OF于点M"N1，根据对称性有AM=AiM,BN=B】N,.・,AM+MN+NB=AiM+MN+NBi2AB,则点Mi.Ni即为所求的点；（3）作点A关于0E的对称点Ai，作点A关于OF的对称点A2,连接A1A2，分别交OE,OF于点M1，N，根据对称性有AM=AiM,AN=A2N,AiMi=AMi,A2Ni=AN],/.AM+MN+AN=AiM+MN+A2N^AiA2,则点Mi,Ni即为所求的点.金例讲析【例】如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，求NACP的度数.实战演练1.如图，点P是NAOB内任意一点，OP=6cm,点M和点N分别是射线OB和射线OA上的动点，若△PMN的周长的最小值是6cm,求NAOB的度数.B微课小专题57无刻度直尺作图模型：（1）如图1,AABC的三条中线交于一点O;（2）如图2,利用轴对称变换找等角.点A与A1关于EF对称，则NBPF=NA1PE=zAPE.（3）如图3,利用“三垂直”构全等画高.△ABC2△ABG，B:A,交AB于点E,ACJ_AQ,垂足为M,BC±B)Cj,垂足为N,则nB=nB]，・・.NB]EB=nB|NB=90。.金例讲析【例】在AABC中，AC=BC,用无刻度的直尺作下列各图，不写作法，保留作图痕迹：（1）如图1，D,E分别是AB,AC的中点，试作出aABC的中线BF;<2）如图2,D,E分别是AC,BC上的点，CD=CE,作出AABC的角平分线CF:（3）如图3,ZACB=ZADC=9O°,CD=AD,CA=CB.作出AABC的高CF.实战演练【1.在平面直角坐标系中，点A（0,2）,B（-2,0）,C（1,-2）,用无刻度的直尺作下列各图，不写作法，保留作图痕迹：（1）如图1,AC与直线y=l的交点为D.<2）①作点D关于y轴的对称点E;②在y轴上找一点P,使得napb=naPD：（2）如图2,横纵坐标均为整数的点称为格点，取格点D,使AD_LBC.图1图2微课小专微课小专第十四章整式的乘法与因式分解58整式的乘法（一）嘉的运算正反用【方法技巧】(1)am•anDam+n;(2)(am)n=amn;(3)(ab)mDambm.金例讲析［例1］已知m+4n-3=0,求2m•⑹的值.【例2】已知2ja,32三b,m,n为正整数，求2?m+=的值（用含a,b的式子表示）.实战演练2L计算:(-1.5)2019X(_)202032,若2X8*16n=256,求n的值.微课小专题59整式的乘法(二)待定系数巧确定微课小专题59整式的乘法(二)待定系数巧确定【方法技巧】若(x+p)(x+q)=x2+mx+n,则n[=p+q,n=pq.金例讲析【例11已知(3x-p)(5x+3)=15x2-6x+q,求p+q的值.［例2］已知多项式ax-b与2x?-x+2的乘积展开式中不含z的一次项，且常数项为4,试求a,b的值.实战演练1,已知(x+3)(x+a)=x2-bx-15,求at2,已知代数式(150-3m)x+(100+2m)(100-x)的结果与x的取值无关,求m的值.微课小专题60乘法公式(一)巧用平方差公式微课小专题60乘法公式(一)巧用平方差公式【方法技巧】在公式(a+b)(a-b)=a?上?中，相同项为a,b前的符号相反.金例讲析【例1】填空：(1)(-2x+y)(-2x-y)=一;(2)(—H-"7)(——H—)=7878(-3x2+2y2)()=9x4—4/;(a+b-l)(a-b+1)=()2-()2.【例2】计算：(1)598X602;(2)9X(10+1)(102+l)+1；<3)982.实战演练，L计算:(ab+1)2-(ab-1)2.2.已知M4)2=12,且a-2b=-3,求a+b的值.微课小专题61乘法公式（二）巧用完全平方公式【方法技巧】①在使用公式（a±b）2=a±2ab+b2时，切记不要漏掉2ab;②公式（a-b）?中。b”的“，既可看作减号，也可看作负号.金例讲析【例1】计算：（1）（一2x-y）2；（2）（x-2y+3z）2.【例2】已知(2-a)(3-a)=5,试求(a-2)2+(3-a)?的值,实战演练1.计算：(1)1032;(2)99.82;(3)201M0L2•若x,y满足(x-y)2-2x+2y+l=0,(x+y)2+6x+6y+9=0,求x,y的值.微课小专题62乘法公式（三）巧用配方法【方法技巧】①式子中已含a2,b2,可配±2ab;②当式子中已含±2ab,可配bL金例讲析【例1】如果在多项式4a2+1中添加一个单项式，可使其成为一个完全平方式，那么添单项式可以是—（填一个即可）【例2】（1）当x取何值时，代数式x2-6x+l有最大值或最小值?<2）当x取何值时，代数式-x?+3x+8有最大值或最小值？实战试练，1.若x2—2（m-1）x+16是一个完全平方式，则m的值为一.2,已知实数a,b满足条件;a2+4b2-a+4b+三=0,求一ab的平方根43,若三角形的三边a,b,c满足a2+b2+c2.ab-bc-ac=0,请判断三角形的形状，并说明理由.微课小专63乘法公式（四）a±b,ab,a?士b的互化技巧微课小专63乘法公式（四）a±b,ab,a?士b的互化技巧【方法技巧】①屋+t)2=(a土b)2干2ab;②(a±b)2=(a+b)2±4ab.金例讲析【例1】已知a+b=3,ab=-,求下列式子的值.4(1)a2+b2;(2)(a-b)2;(3)a2-b2;(4)(l-2a)(l-2b).［例2］已知x?+y2=25,x+y=7,求下列各式的值.(1)xy;(2)x-y;(3)(x-3y)(3x-y)实战演练，1•若x,y满足x+2y=2,xy=-1,求下列各式的值.(l)x24-4y2;(2)(x-2y)2;(3)(x-2y)(x2-4y2)2,已知a-c-b=-10,(a-b)c=-12,求(a-b)、小的值.微课小专题64乘法公式(五)x±，型变形技巧X【方法技巧】①人」Jx土耳干2;②/+4=卜2±3]12;@|x+lf-P-lf=4.X-kX)X\)\X)\X)【金例讲析】【例1】已知x+L=3,试求下列各式的值：XTOC\o"1-5"\h\z(1)/+」；(2)xA+X;(3)X-1.JCAX【例2】若/_3x_1=0,试求式子V+L的值.厂【实战演练】O9.已知a>0,“一一=1,求〃+—的值:aa.若x-2=VJ,试求式子（x-L的值.kAJ微课小专题65因式分解（一）十字相乘法【方法技巧】/+(〃+“b+〃q=(x+〃Xx+q)・【金例讲析】【例1】分解因式：(1)X2+9X+8：(2)x2+2a-15；(3)x2-5xy+6y2；(4)x2-6xy-27y2.【例2】分解因式：(1)2x2+7x+6；(2)6x2-7x-3；(3)6x2y2-17^-3.【实战演练】.分解因式：（/一4、丫一2（?一49一15..分解因式：/一2（2〃+1）+1+〃.微课小专题66因式分解(二)分组分解法【方法技巧】根据多项式特点合理分组，分组后能用公式或提公因式继续分解.【金例讲析】【例1】分解因式：(1)2ac+3bc+6a+9b；(2)4a2-9b2-4a+1.【例2】分解因式：(1)x2-2xy+y2-+3y；(2)a1-2a+b2-2b+2ab+\.【实战演练】1.分解因式：帅(M+d2)+cd(a2+b2).2.已知：a+b=4fab=—2,求/++b'的值.微课小专题67因式分解(三)换元法【方法技巧】选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后分解，再回代，这种方法能化繁为简事半功倍.【金例讲析】【例1】分解因式：(1)44—1&/2+81；(2)(a+匕)2+(〃+〃)+1.【例2】用换元法分解因式：(x+lXx+3Xx+5)(x+7)+15.【实战演练】1.(x2+xj-4(x2+x)-l2;2.(x2+8X+7)2+(x2+8x+15)+I6.12.已知：X>0,且X~H——2X+1x—-X的值.第十五章分式微课小专题68分式求值的技巧整体思想【方法技巧】将已知条件（或变形〉，整体代人.【金例讲析】【例1】已知：-+-=5,求2'二5八±2V的值.x+2xy+y【例2】已知：a2-3b2=2ab,求”也的值.a-b【实战演练】.若x+y=-4,xy=-3,求一!一十—!—的值.x+1y+1c廿2x3y片+4『+10冲+6）厂士.若一+—=—5,求一.、….的值.ya2厂+3»微课小专题69分式求值的技巧（二）等比设k【方法技巧】遇到等比式子，通常设比值为k,即:=bdJ【金例讲析】【例1】已知：-=-=求土”二2（•的值2343a-2b+c【例2】已知，=，==-（a,b,c互不相等），求x+y+z的值.a-bb-cc-a解：1S—A=——=——=k,则％=女（4-〃），y=k（b-c）,z,=k（c-a）,/.x+v+z=O.求的值.a-bb-cc-aa-b依照上述方法解答下列问题：已知山=王=山，其中X+y+ZW。求让匚的值.xyz'x+y+z【实战演练】1•已知台1，求日的值..^—=—=—,求上士丝:的值.b+cc+aa+ba+b-3c微课小专题70分式求值的技巧（三）倒数法【方法技巧】分式求值时，采用倒数法.【金例讲析】【例1】已知a,b,c三个数满足上也=3,竺S=4,"i=5,求一——的值.abbeacab+hc+ca【例2】已知“+95,求三"的值.【实战演练】.已知「一=」一=—匚，求二一'二十二的值.x+yy+zz+xxy+yz+zx.已知实数x满足x+」_=9,求J'一的值.x+\x~+5x+5微课小专题71分式混合运算的技巧微课小专题71分式混合运算的技巧【方法技巧】分式计算时，分式拆分和因式分解是重要工具.【金例讲析】【例1】先化简，再求值:“一33a2-6a--—。-2],其中/+3。-1=0・【例2】1]]x-1(x-lX-v-2)(x-2Xa-3)【实战演练】L先化简，再求值:占卜/益淇中心满足内+…=°.II2x2,计算，+，+/_x-1x+1厂+1微课小专题72分式方程的解法技巧微课小专题72分式方程的解法技巧【方法技巧】分离变量法和裂项法是解分式方程的常用技巧..【金例讲析】【例1】解方程:x+2x+4_x+6x+Sx+\x+3x+5x+1【例2】解方程:111,1■一一+-+...+=।—x(x-l)(x-lX-v-2)(x-2019X^-2020)x【实战演练】1,解方程:x'+x-3,2x—4x+l—+1=—；r+x—2r+2x+l2.计算111x33x51120+.・・+=—5x7⑵］一1"2〃+1)41【实战演练】1.若x+y=-4,xy=-3求」一+上的值.x+1y+\2.若幺+2=-5,求4'二+1。,+6厂的值yx2厂+3»微课小专题73分式方程的解的讨论微课小专题73分式方程的解的讨论［方法技巧］根据方程根（增根）的定义，讨论分式方程中待定系数值（或范围）.金例讲析［例1］关于x的分式方程_:+==1的解为正数，求a的取值范围.x-22-x［例2］当m为何值时，解分式方程三金=上_会出现增根?x-33T实战演练、1,关于x的分式方程2+」_=0解为x=4.求常数a的值.xx-a2,若关于x的方程」-+=半二无解，求m的值.x-4x+4x-16微课小专题74分式方程的应用（一）行程问微课小专题74分式方程的应用（一）行程问［方法技巧］路程、速度、时间三者关系中，根据其一列方程.金例讲析［例］某校组织学生去9km外的郊区游玩，一部分学生骑自行车先走，半小时后，其他学生乘公共汽车出发，结果他们同时到达，己知公共汽车的速度是自行车速度的3倍,求自行车的速度和公共汽车的速度分别是多少？实战演练L元且假期两个小组攀登一座h米高的山，第二组的攀登速度是第一组的a倍.⑴若h=450,a=L2,两个小组同时开始攀登，结果第二组比第一组早15min到达顶峰，求两个小组的攀登速度；（2）若第二组比第一组晚出发30min,结果两组同时到达顶峰,求第二组的平均攀登速度比第一组快多少（用含a.h的代数式表示）？微课小专题75分式方程的应用(二)工程问题微课小专题75分式方程的应用(二)工程问题［方法技巧］工程问题审清题意，找到等量关系.金例讲析［例］在我市“青山绿水”行动中,某社区

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对面积为360013的区域进行绿化经投标由甲、乙两个工程队来完成.已知甲队每天能完成绿化的而积是乙队每天能完成绿化而积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600m2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天.(1)求甲、乙两工程队每天各能完成多少而积的绿化：(2)若甲队每天绿化费用是1.2万元,乙队每天绿化费用为0.5万元,社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？实战演练1.武深高速公路有200km的路段需要维修，安排甲、乙两个工程队完成.已知甲队每天维修公路的长度是乙队每天维修公路长度的2倍，并且在独立完成长度为48km公路的维修时，甲队比乙队少用6天.(1)求甲、乙两工程队每天维修公路的长度分别是多少？(2)若地方政府需付给甲队的工程费用为每天4万元,付给乙队每天1.2万元，要求不超过20天完成工程，可以安排两个工程队合做，怎么安排所需工程费用最低?最低工程费用是多少万元？微课小专题76分式方程的应用(三)利润问题.微课小专题76分式方程的应用(三)利润问题.［方法技巧］总价=单价x数量，利润=总收入-总支出.金例讲析［例］某商场购进甲，乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元，已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元,且购进的甲、乙两种商品件数相同.(1)求甲、乙两种商品的每件进价；(2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60