汕头市第八青教师基本功比赛笔试初中数学

日期完成，如果第二组单独做，超过规定日期4天才能完成，如果两组合做3天后剩下的工程由第二组单独做，正好在规定日期内完成，问规定日期是多少天？四、解答题（本题共3小题，每题9分，共27分）19.在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球，其上面分别标注数字1、2、3、，现从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的横坐标；将球放回袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的纵坐标．（1）用列法或树状图法写出点M坐标的所有可能的结果；（2）求点M落在圆x2y213的内部的概率。20．已知：如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连结EF，将△FOE绕点O逆时针旋转α角（0°<α<90°）得到△F'OE'（如图2），连结AE′,BF′.（1）填空：当α＝_______时，△AOE′是直角三角形，当α＝_______时，四边形E′OBF′为梯形；（2）猜想AE′与BF'的关系，请给予证明；121.如图，P是抛物线yx24上位于第一象限内的一个动点，PC//x轴交抛物线于点C，2分别过点P、C作x轴的垂线PA,CB，A、B是垂足，设P点的横坐标为m，（1）用m表示矩形PABC的周长L，并求L的最大值；（2）设抛物线的顶点为D，当矩形PABC的周长最大时，请在x轴上求一点M，使得|MD-MC|最大。yDCPxBOA第21题图五、解答题（本题共3小题，每题12分，共36分）22.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，D是BC弧的中点，在AC延长线上有一点E，满足AD2＝AB·AE，连接DE，DB，（1）证明DE是⊙O的切线；（2）若∠BAC=60°，AB和AE的长是方程x214x360的两个实数根，求四边形ABDE的面积。EDCBOA第22题图23.如图，△POA,△PAA,△PAA……△PAA都是等腰直角三角形，顶点11212323nn1n4P,P,P……P都在函数y(x0)的图像上，斜边OA,AA,AA……AA都在x轴123nx11223n1n上，Y64P12P2P3PnOAAAAnX152310第23题图-2（1）求点A，A，A的坐标；123-4（2）猜想A点的坐标为________n（3）设△POA,△PAA,△PAA……△PAA的面积分别是S,S,S,求11212323nn1n12nSSS的值1210024.如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x2与x轴相交于点B，连结OA，抛物线yx2从点O沿OA方向平移，与直线x2交于点P，顶点M到A点时停止移动．（1）设抛物线顶点M的横坐标为m,求当m为何值时，线段PB最短；（2）当线段PB最短时，相应的抛物线的对称轴上存在点G，使得△GPM是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点G的坐标；（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在异于点P的点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．.yAPMBOxx2（第题）24参考一、选择题题号12345678答案DCBBCDDA二、填空题9.aabx10x110．解不等式组得，因为原不等式组无解，所以必有a≤1．xa0xa11．∵a2b2abab1，又ab1，则ab1ab1a0∴，解得.故a2008b200802008120081．ab1b112、设菱形ABCD的边长为x，则AB＝BC＝x，AD又EC＝2，所以BE＝x－2，因为AE⊥BC于E，所以在Rt△ABE中，Px24x24cosB，又cosB，于是，解得x＝10，即AB＝10．x5x5BEC所以易求BE＝8，AE＝6，当EP⊥AB时，PE取得最小值．11故由三角形面积有：AB·PE＝BE·AE，求得PE的最小值为4.8．2213、y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，此函数的大致图象如图①所示，因些函数y＝|x2－4x＋3|的图象如图②所示，而当b取遍所有实数时，y＝b表示所有与y轴垂直的直线，结合①②，易知b的取值范围为0＜b≤1．yyM/(2,1)y=1O13O·x13xM(2,-1)图①图②三．解答题43214.解：原式=4(1)()()1(2)2…………(4分)（对一项得1分）342=411(1)2…………………………………………(6分)=-3………………………………………………（7分）15.解：去分母得：x21x175x…………………………………(1分)整理得：x26x70…………………………………(2分)解得：x1,x7…………………………………(4分)12检验：∵x1时，最简公分母(x1)(x1)0，)∴x1是增根，舍去)∵x7时，(x1)(x1)0，…………………………………(6分∴原方程的解是x7…………………………………(7分)(53)2(53)22(53)16.解∵a+b=8，(53)(53)535353ab=×=1,………………………(2分)5353∴a3b3367=(ab)(a2abb2)367……………………(4分)=8[(ab)23ab]367…………………(5分)=8(823)567……………………(6分)=12111…………………………………(7分)17.解：设CE＝xm，则由题意可知BE＝xm，AE＝(x＋100)m．……(1分)CEx在Rt△AEC中，tan∠CAE＝，即tan30°＝AEx100x3∴，………………(3分)x1003解得x＝50＋503……………………(4分)经检验，x＝50＋503是方程的解……………(5分)50＋503≈50+50×1.732＝136.6∴CD＝CE＋ED≈136.6＋1.5＝138.1≈138(m)………(6分)答：该建筑物的高度约为138m．……………………(7分)18.解：设规定日期是x天，………………………………（1分）3x根据题意得1……………（３分）xx4解这个方程得：x12………………（5分）经检验：x12是原方程的解，……………（6分）答：规定日期是12天…………………………（7分）19.解：（1）方法一：树状图法：第一次123………（3分）第二次123123123方法二：列表如下：1231(1，1)(1，2)(1，3)2(2，1)(2，2)(2，3)3(3，1)(3，2)(3，3)∴点M坐标的所有可能的结果有九个：(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(3，1)、(3，2)、(3，3)．…………………………………(4分)（2）.上述9个点中，共有6个点满足x2y213，它们是(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(3，1).……………………(7分)62∴P（M在圆x2y213内）=……………………(9分)9320.（1）.30°，45°……………………(2分)（每空1分）（2）AE′=BF'，AE′⊥BF'，……………………(3分)证明如下：∵O为正方形ABCD的中心，∴OA=OB，G∵OF＝2OA，OE＝2OD，∴OE=OF由旋转的性质，OE′=OF'，∠E'OF'90∴∠E'OAAOF'F'OBAOF'90∴E'OAF'OB∴AOE'BOF'∴AE′=BF'……………………(6分)延长E′A交OF′和BF′分别为G，H考虑△E′GO和△F′GH，∵AOE'BOF'∴AE'OBF'O,即GE'OGF'H,又∵E'GOF'GH(对顶角相等)∴F'HG180(F'GHGF'H)=180°(E'GO+GE'O)=E'OG=90°∴AE′⊥BF'∴猜想AE′=BF'，AE′⊥BF'正确……………………(9分)21.解：（1）由抛物线的对称性知PC=AB=2OA=2m，1PA=CB=m2421∴L4m2(m24)m24m8……………………(2分)21令x240得，x222∵位于第一象限内，∴0m22，∴Lm24m8，（0m22）……………………(3分)由L(m2)212知，当m=2时，L取最大12.……………………(4分)（2）由（1）知，当L最大时，P点坐标为（2,2）∴C点坐标为（-2,2），……………………(5分)∵D（0，4），∴CD=22，连结CD,MD,MC,如图，由三角形的边的关系，|MD-MC|CD22，当且仅当M在射线DC上时取“=”，即当M为直线DC与x轴的交点时，|MD-MC|最大，……………………(7分)设直线DC的解析式为y=kx+b，把C,D两点的坐标代入得：yk0b4解得：k=1,b=4,D2kb2∴直线DC的解析式为y=x+4，……………………(8分)令y=0得，x=-4CP∴所求点M为（-4,0）……………………(9分)BAMO1x22．证明：（1）连接OD,EDH∵D是BC弧的中点，C∴∠BAD＝∠DAE.，OD⊥BCBADABG∵AD2＝AB·AE，∴OAEAD∴△ABD∽△ADE，……………………(2分)A∴∠ADB＝∠E.又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠E，∴BC∥DE，……………………(4分)∵OD⊥BC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线……………………(6分)（2）∵AB和AE的长是方程x214x360的两个根，由韦达定理：AB+AE=14，AB·AE=36∵AD2＝AB·AE，∴AD2=6，AD=6……………………(8分)作DG⊥AE于G，DH⊥AB交AB的延长线于H，∵∠BAC=60°，D是BC弧的中点,∴∠BAD＝∠DAC=30°1∴DG=DH=AD=3……………………(10分)211∴四边形ABDE的面积=SSABDHAEDGABDADE221(ABAE)321143212……………………(12分)23.解：（1）设A(a,0)，A(a,0)，A(a,0)，112233∵△POA是等腰直角三角形，1111∴P(a,a)，12121114∵P(a,a)在函数y的图像上，12121x11∴aa4，解得a4，21211∵a0，∴a4，∴A(4,0)……………………(2分)111∵AAaaa4，△PAA是等腰直角三角形，12212212a4a44∴P(42,2)，∵P在函数y(x0)的图像上，2222xa4a4∴(42)24，a232，222∵a0，∴a42，∴A(42,0)……………………(4分)222类似地，∵AAaaa42，可得23323a42a42(423)34，a43，A(43,0)2233∴点A，A，A的坐标分别为：A(4,0)，A(42,0)，A(43,0)……………………(6分)123123（2）A(4n,0)……………………(8分)n111（3）∵S(AAAA)(4n4n1)2n2n1n2n1n4∴S2(nn1)……………………(10分)nSSS=2(10213210099)12100=210020……………………(12分).24．解：（1）设OA所在直线的函数解析式为ykx，∵A（2，4），∴2k4,k2,∴OA所在直线的函数解析式为y2x.…………………………………（1分）设顶点M的坐标为(m,2m).（0≤m≤2）∴抛物线函数解析式为y(xm)22m.∴当x2时，y(2m)22mm22m4（0≤m≤2）.∴点P的坐标是（2，m22m4）.…………………………………（2分）PB=m22m4=(m1)23，又∵0≤m≤2，∴当m1时，PB最短.………………（3分）（2）符合条件的点G的坐标为：（1,3）或（1,4）或（1,2+2)或（1,2-2)yD……………………(7分)A（3）当线段PB最短时，此时抛物线的解析式为yx122.P假设在抛物线上存在点Q，使SSQMAPMAME设点Q的坐标为（x，x22x3）.……………（8分）Bx①当点Q落在直线OA的下方时，过P作直线PC//AO，Ox2C交y轴于点C，∵PB3，AB4，∴AP1，∴OC1，∴C点的坐标是（0，1）.∵点P的坐标是（2，3），∴直线PC的函数解析式为y2x1.∵SS，∴点Q落在直线y2x1上.QMAPMA∴x22x3=2x1.解得x2,x2，即点Q（2，3）.12∴点Q与点P重合.∴此时抛物线上不存在点Q，使△QMA与△APM的面积相等.……………………(10分)②当点Q落在直线OA的上方时，作点P关于点A的对称称点D，过D作直线DE//AO，交y轴于点E，∵AP1，∴EODA1，∴E、D的坐标分别是（0，1），（2，5），∴直线DE函数解析式为y2x1.∵SS，∴点Q落在直线y2x1上.QMAPMA∴x22x3=2x1.解得：x22，x22.12代入y2x1，得y522，y522.12∴此时抛物线上存在点Q22,522，Q22,52212使△QMA与△PMA的面积相等.综上所述，抛物线上存在点Q22,522，Q22,52212使△QMA与△PMA的面积相等.……………………(12分)