现代控制理论第3版课后习题答案

放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！PAGE\*MERGEFORMAT#现代控制理论参考答案》第一章答案1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：图1-30双输入--双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下：x=x12•Kx=bx2J32KK1K•x=-Px—沪x+X+px3J3J4J5J61111•x=x43•x=-Kx+KX51316KKK•x=-—x-ix+4U6K1K6KPPP所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为10•x1•x2•x3•x4•x5•x6000KK2-P11—1Kp0-K100nJ0100001J0000K―pJ01KK1-—i-Kpx1x2x+x400000K―i-Kpy=10000x3x41-2有电路如图1-28所示。以电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻r2上的电压作为输出量的输出方程。L1L2R1U图1-28电路图解：由图，令i=X,i=x,u=x1122c3输出量y二R2X2Rx+Lx+x=u11113有电路原理可知：Lx2+Rx=x既得22223x=x+Cx123R11=——ix—x+uLiL3L111•R1x=一一^x+xL2L322•11x=一x+xC1C2y=R2x2p-1一R——i0xL11Rx=0一22Lx1123_CCxy=IoR0-1x22x3写成矢量矩阵形式为：L11011-4两输入u1两输出y「y2的系统，其模拟结构图如图1-3。所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。x-0100_x-00_1ix-a-a0-axb02=2162+ix1001x0033x0-a-a—ax0b41—54341—2解：系统的状态空间表达式如下所示：ux1x200_0a6s-1aa43-1s+a100a5-100--1-00-s+a0ab01610s-100aaa0b5432s100--1-00_-as+a0a0010-216-10s—100aaa0b1—5431—2saW(s)=(sI-A)-iB=2ux—10W(s)=C(si-A)-1B=1uy1-5系统的动态特性由下列微分方程描述(2)y+5y+7y+3y=u+3u+2u列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图y，_010_X1x2001+0_3_7_5X31u1x1x2x3x2X3相应的模拟结构图如下：1-6,试求出系统的约旦标准型的实现,并画出相应的模拟结构图(2)已知系统传递函数W(s)=6(s+1)s(s+2)(s+3)2_1016(s+1)_4333解：W(s)==+—++—s(s+2)(s+3)2(s+3)2s+3s+2sX1「-310X20_30X300_2X400010_43131-7给定下列状态空间表达式x1x2x30123110x10x23x301u2y0x101x2x3（1）画出其模拟结构图（2）求系统的传递函数解：s102)W(s)(sIA)2s3011s3|sIA|s(s3)22(s3)(s3)(s2)(s1)(sIA)112(s3)s5s3)fe2)fe1)W(s)ux(qTa)1B1\O_L11/-1丄丿(s3)62)61)s32(s3)s30s(s3)0s1(s1)(s2)s32s3002(s3)s(s3)01s5s1(s1)(s2)21(s3)s2)s1)s(s3)(2s1)(s3)(s3)s(s3)(2s1)(s3)1(s3)=「e-T0"一--1s1-e-t1H=fTeAtdt=fTJ-丿「e-t0_「k0一「1-e-T0-「k0一dt=1-e-t1__0-1_T-1+e-tT__0-1_000e-1x(k)+x(k+1)=k(1-e-1)k(T-1+e-T)-Tk(1-e-T)0当T=1时1—e-1u(k)ke-1由G(T)=eAt和H(T)=fTeAtdtB得:0"-10_「k0-_2_A=B=CT=100-11y(k+1)=[21]x(k)当T=0.1时x(k+1)=e-0.11一e-0.11x(k)+k1-e-0.1k(e-0.1-0.9)0-0.1u(k)y(k+1)=[21]x(k)第三章习题3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？（1）系统如图3.16所示：图3.16系统模拟结构图解：由图可得：x=-ax+u11x=-bx22x=-cx+x+x=x+x-cx321123x=x-dx34y=x状态空间表达式为：由于X、x、X与u无关,234能观的，为不能观系统。•X1•X2=•X3•X4-y=00—a000_X1丁0-b00X02+11-c0X03001-dX40uo]x1因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于y只与X3有关，因而系统为不完全3）系统如下式：解：如状态方程与输出方程所示，A为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b中相对于约旦块的最后一行•X-110_X-2「11X=0-10X+a022•X00-2Xb033u兀素不能为0,故有a丰0,b丰0。要使系统能观，则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0,故有C丰0,d丰0。3-2时不变系统「-31-X+j1_1-311j1-X1-1uy=试用两种方法判别其能控性和能观性。解：方法一：M=IbAB]=1111「-31-「11「「11_A=,B=,C=1-3111-1rankM=1<2,系统不能控。所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。2放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！PAGE\*MERGEFORMAT#CA1-1-24rankN=2,系统能观。方法二：将系统化为约旦标准形。|xi—a=九=—2,九=—412则状态矢量：AP=九P=P=11111AP221-1T-1=11T=1-1T-1AT=-31T1-2-41T-1B=2211j「1「1-11-1CT=200200T-陀中有全为零的行，系统不可控。CT中没有全为0的列，系统可观。3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数a和Biia(1)A=o11,b=a2—1]解：构造能控阵：要使系统完全能控，则a+1丰a，12艮卩a—a+1丰012所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！PAGE\*MERGEFORMAT#构造能观阵：CA要使系统完全能观，则l-a丰—a，即a—a+1丰021123-4设系统的传递函数是y(s)_s+au(s)s3+10s2+27s+18当a取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？当a取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。当a取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。解：(1)方法1:W(s)_凹_u(s)(s+1)(s+3)(s+6)系统能控且能观的条件为W(s)没有零极点对消。因此当a=1，或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。方法2：a-1a—3a-6y(s)s+a106丄—__——丄—u(s)(s丄1)(s丄3)(s丄6)s丄1s丄3s丄6九_—1，1九_—3,2九_—63「-100-丁0—30X丄100-61ua—615-系统能控且能观的条件为矩阵C不存在全为0的列。因此当a=1，或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。2)当a=1，a=3或a=6时，系统可化为能控标准I型-010-x_001x丄0-18—27-101y_la10〕xu3)根据对偶原理，当a=1,a=2或a=4时，系统的能观标准II型为00-18ax=10-27x+101-100y=Io01〕xu3-6已知系统的微分方程为：y+6y+11y+6y=6u试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。解：a=6，a=11，a=6，a=3，b=601230系统的状态空间表达式为传递函数为_010-0_001x+0-6-11-61I600-x_s-10-100-0s-1611s+6ux=001y=W(s)=C(sI-A)-iB=ks3+6s2+11s+6其对偶系统的状态空间表达式为：「00-6-x=10-11x+001-60u01Ly=Io传递函数为W(s)=s3-6s2一11s+63-9已知系统的传递函数为W(s)=斗±|s2+4s+3试求其能控标准型和能观标准型。解:W(s)=s2+6s+8=1+2s+5s2+4s+3s2+4s+3「01-「0_x=x+-3-41系统的能控标准I型为uy=k2L+u「0-3「「5_x=x+1-42能观标准II型为uy=3-10给定下列状态空间方程，=t)11c+uM=bAbA2bL1-2-5-3711试判别其是否变换为能控和能观标准型。「01o-「0「x=-2-30x+1-11-32y=t001]xu「01o-「0「-2-30，b=1-11-32解：A=c=bo1]rankN=3，0-110-1-7系统为不能控系统，不能变换为能控标准型。系统为能观系统，可以变换为能观标准型。1-39「12-「1)A=010,b=00-4313-11试将下列系统按能控性进行分解解：,C=1-11]M=bAbA2b]=-103-409rankM=2<3，系统不是完全能控的。0-10构造奇异变换阵R：R=b=0，R=Ab=0，R=1c123130，其中R是任意的，只要满足R满秩。3c"0-10_"301"001得R-1=-100T130c010即R=c3-121)解："0-32""1"14-2b=R-1b=0001c_0_A=R-1AR试将下列系统按能观性进行结构分解ccc=cR=12-1]c由已知得A=则有N=CCACA221-4124,c=1-11]-11]rankN=2v3，该系统不能观构造非奇异变换矩阵R-1，0有R-10-1-30-1-10-101"010""1"-230x+2-7321ux=R-1ARx+R-1bu=000A~y=cRox=b00]x"100""1"1)A=223,b=2,C=-20123-13试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解12]111解：由已知得M=TAAbAb2=2122620-2rankM=3，则系统能控c-112_N=cA=-125cA2-7411rankN=3,则系统能观所以此系统为能控并且能观系统-3c21226,则T-1=c2-3-2-3「002-10-5,B=T-1b=0c20140则A=c=cT3-14求下列传递函数阵的最小实现。c2=【713解：「1「a=1,B=,A=0011c「10「「11-B=,C=,D=c01c11cws+111-10-10000系统能控不能观(s)=1)「11「「1-「，则R=_01_0_01_取R-1=0「-10-「1「R-1AR=,B=R-1B=000-10c01所以A=「10-「00「C=CR=,D=c01000所以最小实现为A=1,=h1],「「「00「,D=1m00Cm验证：CUi-A=w(s)15设E和E是两个能控且能观的系统121)2)解：1)=—2,b=1,2试分析由E和E所组成的串联系统的能控性和能观性,12试分析由E和E所组成的并联系统的能控性和能观性,12Ei和E2串联当E的输出y是E的输入u时，x11223312_010-O—3—40x+121—20=—2x+2x+xx=u，M=[bAbA2b并写出其传递函数；并写出其传递函数。y=[001]x1—41—413—4-01-E：A=,b=11—3—411C=[21]1W(s)=C(sI—A)-1B=则rankM=2v3，所以系统不完全能控。(s+2)(s+3)(s+4)s2+7s+12当E得输出y是E的输入u时2211-011-u,y=[210]xx=—3—41x+000—21001因为M=[bAbA2b]=01—6|_1—2—4rankM=3则系统能控c-210_因为N=cA=—3—21cA2654rankN=2<3则系统不能观W(s)=C(sI-A)-iB=1s2+7s+12(2)E和E并联120100x=-3-40x+1-00-21M=:AAbAb2u，y=[211]x1-4-2-413-4因为rankM=3，所以系统完全能控c-211_N=cA=-3-2-2cA2654因为rankN=3，所以系统完全能观(s+1)(s+2)(s+3)w(s)=C(sI-A)-1B=现代控制理论第四章习题答案4-1判断下列二次型函数的符号性质：(1)(2)Q(x)=-x2一3x2一11x2+2xx一xx一2xx1v(x)=x2+4x2122+x233-2122x-6xx3-2x113x31223解：（1）由已知得x-3x111Q(x)=—x+x-xx-—x-x-—x-11xx123122312232x|--13-11-1x—[xxx]1-311x123一221x-1-113一2-11-11=2>0，A=1-31-33-11一2A=-1<0,A1212-11-710，A=-14-143-1-3A=1>0,A12-1-3=-16<01因此Q（x）不是正定的2已知二阶系统的状态方程TOC\o"1-5"\h\z'aax=1112x、aa丿2122试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。解：方法（1）：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足A的特征值均具有负实部。即：尢一a11-a21-a12九一a22=X2-(a+a)九+aa-aa112211221221=0有解，且解具有负实部。即：a+a<0且aa>aa112211221221方法（2）：系统的原点平衡状态x=0为大范围渐近稳定，等价于AtP+PA=-Q。e廿人PP取Q=I，令P=1112PP1222则带入AtP+PA=-Q，得到2a2a0一"P---「112111aa+aaP——01211222112_02a1c2a—P—cc—-11222222aii若a122a21a+a11222a120a=4(a+a)(aa-aa)主0，则此方程组有唯一解。即211122112212212a222(a+a1122)|Al_-(aIaI+a2+a22122'a+aa)12222111-(aa+aa)12222111IaI+a2+a21112」-aa1221其中detA=IAI=aa1122要求P正定，则要求A=P111IaI+a2+a2——2122-2(a+a)11221>0(a+a)2+(a-a)2=―H221234——4(a+a)1122因此a+a<0，且detA>011224-3试用lyapunov第二法确定下列系统原点的稳定性/、「-11一(1)x——x⑵x——-11-1解：(1)系统唯一的平衡状态是x——0。选取Lyapunov函数为V(x)——x2+x2>0，则e12V(x)——2xx+2xx1122——2x(-x+2x)+2x(2x-3x)1•1•2212——-2x2+6xx-6x2112233——-2(x-x)2-x2v012222V(x)是负定的。||x||T8，有V(x)T8。即系统在原点处大范围渐近稳定。(2)系统唯一的平衡状态是x——0。选取Lyapunov函数为V(x)——x2+x2>0，则e12V(x)=2xx+2xx1122—2x(—x+x)+2x(—x—x)1*12212——2x2—2x2<012VV(x)是负定的。||x||fg，有V(x)fg。即系统在原点处大范围渐近稳定。4-6设非线性系统状态方程为：x—x12x——a(1+x)2x—x,a>0•2221试确定平衡状态的稳定性。解：若采用克拉索夫斯基法，则依题意有：xf(x)—2—a(1+x)2x—x221J(x)foxt0—11—a—4ax—3ax222—Q(x)—JT(x)+J(x)-0—1-一01一—1—a—4ax—3ax2+—1—a—4ax—3ax21—221—22000—2a—8ax—6ax222很明显，Q(x)的符号无法确定，故改用李雅普诺夫第二法。选取Lyapunov函数为V(x)—x2+x2>0，则12V(x)—2xx+2xx1122—2xx+2x(—x—a(1+x)2x)1•22•122——2a(1+x2)x2<022V(x)是负定的。||x||fg，有V(x)fg。即系统在原点处大范围渐近稳定。4-9设非线性方程：x—x12x——x3—x•212试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。•解：(1)采用克拉索夫斯基法，依题意有：xf(x)=2—x3—x12J(x)foxt—3x2—11v(x)=fT(x)f(x)=Lx2—x3—x12x+2—x3—x12=x2+(—x3—x)2212—>g,有V(x)Tg。—Q(x)二Jt(x)+J(x)-0—3x2一01一1+_1—1_—3x21—101—3x211—3x2—21则Q(x)二1|3x21，根据希尔维斯特判据，有:2A=0,12F-1)2〉°’Q(x)的符号无法判断。33(2)李雅普诺夫方法：选取Lyapunov函数为V(x)=才x4+qx2>0，则(x)=3x3x+3xx1122=3x3x+3x(—x3一x)12212=—3x2<02(x)是负定的。||x||Tg，有V(x)Tg。即系统在原点处大范围渐近稳定。4-12试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数x=-x+2x2xV1112x=-xJ•22解：假设V(x)的梯度为:(ax+axVV=111122(ax+ax211222(VV)1VV\72计算V(x)的导数为:01选择参数，VV=(X)1Ix丿2V(x)=(VV)tx=(ax+axax+ax)111122211222=—ax2—(a+a1111221试选a=a=1,a=a=0，于是得:11221221厂—x+2x2x、112—x丿)2xx一ax2+2ax2x2+2ax3x1222212121112显然满足旋度方程等斗即竺21ax=r=0，表明上述选择的参数是允许的。21则有:P(x)=一(1一2xx)x2一x21212〉0或x1x2<2，则VV(x)是负定的，因此，x1x2<2是珥和，的约束条件。计算得到V(x)为:%(xl=0)x2(x|=xjV(x)=Jxdx+Jxdx112200=—(x2+x2)212V(x)是正定的，因此在1—2X]X2〉0即X1X2<2范围内，xe=0是渐进稳定的。现代控制理论第五章习题答案1已知系统状态方程为:「0-1x+0u111—1x=0110试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为-1，-2，-3。rankM=3，系统能控。解:依题意有:「1—1「0_A=011,b=01011M=bAbA2b=012112系统工=(A,b,C)的特征多项式为:0|XI-A|=（九—1）3-（九—1）+1=X3-3九2+2X+1则将系统写成能控标准I型，则有x=_010-_0_001x+0-1-23_1u。引入状态反馈后，系统的状态方程为：x=（A+bK）x+bu,其中K为1x3矩阵，设K=\kk01k〕，则系统2工=(A,bK,C)的特征多项式为:Kf（九）=det[九I-（A+bK）]=九3+（-3-k亦2+（2-k）X+（1-k）02根据给定的极点值，得到期望特征多项式为f*（九）=（九+1）（九+2）（九+3）=九3+6九2+11九+6比较f(九)与广(九)各对应项系数，可解得：k=-50k=-91k=-9,则有：K=[-5-9-9〕。25-3有系统：-2x=01x+-1」画出模拟结构图。4L若动态性能不满足要求，可否任意配置极点？若指定极点为-3，-3，求状态反馈阵。解(1)系统模拟结构图如下：*题5-3系统模拟结构图(2)系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统工=(A,b,C)完全能控。0对于系统工=(A,b,C)有：0M=\bAb]=01rankM=2，系统能控，故若系统动态性能不满足要求，可任意配置极点。1-1(3)系统工=(A,b,C)的特征多项式为:0|XI-A|=（九+2）（九+1）=X2+3X+2则将系统写成能控标准I型，则有x=■01_「0—x+_-2-3_丄O引入状态反馈后，系统的状态方程为：x=(A+bK)x+bu设K4。％]，则系统为广(A，阪C)的特征多项式为：f(九)=det[九I-(A+bK)]=九2+(3-k)X+(2-k)10根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：f*（九）=G+3）2=九2+6九+9比较f（九）与f*G）各对应项系数，可解得：k=-7k=-3,K=[-7-3]。015-4设系统传递函数为(s-1)(s+2)(s+1)(s-2)(s+3)试问能否利用状态反馈将传递函数变成s-1(s+2)(s+3)若有可能，试求出状态反馈K，并画出系统结构图。解:W(s)=(s-1)(s+2)=s2+s-2(s+1)(s一2)(s+3)s3+2s2一5s一6由于传递函数无零极点对消，因此系统为能控且能观。能控标准I型为■010-_0_x二001__x+0u65-21y=!一2111r令K=tkkk]为状态反馈阵，则闭环系统的特征多项式为012f(九)=det[M-(A+bK]=兀+(2-k)九2+(-5-k)X+(-6+k)210由于状态反馈不改变系统的零点，根据题意，配置极点应为-2，-2，-3，得期望特征多项式为f*（九）二（九+2）（九+3）（九+2）二九3+7九2+16九+12比较f（九）与f*（九）的对应项系数，可得k=—18k=—21k=—5012即K=1—18—21—5〕5-5使判断下列系统通过状态反馈能否镇定。「—1—2—221）A=0—11,b=010—11解：系统的能控阵为：「2—40M=「bAbA2b]=010rankM=3，系统能控。11—5由定理5.2.1可知,米用状态反馈对系统工=(A,b,C)任意配置极点的充要条件是工=(A,b,C)完全能控。00又由于rankM=3，系统工=(A,b,C)能控，可以采用状态反馈将系统的极点配置在根平面的左侧，使闭环系0统镇定。5-7设计一个前馈补偿器，使系统1s+11s(s+1)1一s+21解耦，且解耦后的极点为-1,-1,-2,-2。解：W(s)=W(s)W(s)0dW(s)=W(s)-1W(s)d0W(s)-1=—01s(s+1)s(s+1)(s+2)s-1s(s+1)-1s+21s+1W(s)二W(s)-1W(s)d0「10(s+1)201(s+2)2_-ss(s+2)s+1s+2(s+1)2-(s+2)(s+1)3一1-1一s+2-sss+2-11=-(s+2)s(s+2)s(s+1)s+1_s+1s+1_=s(s+2)s+2-(s+2)s+1-s(s+2)2s(s+1)(s+2)5-10已知系统：「0「「0-x=x+00_1_y=Qo]xu试设计一个状态观测器，使观测器的极点为-r,-2r(r>0)。解：因为N=ccAX-1"01"det=X2，所以有a=0,a=0,L=_0X_10_10_满秩，系统能观，可构造观测器。系统特征多项式为det[XI-a]=所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。0放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！PAGE\*MERGEFORMAT#T-i「0「「10「1001二LN二0110于是X二T-iATx+T-ibu二y=cTx=(0,1)X引入反馈阵G=gi,使得观测器特征多项式：g2f(九)=detpI-(A—Gcj=det-1g1九+g2=X2+g九+g21根据期望极点得期望特征式：f*(X)=(X+r)(X+2r)=X2+3rX+2r2比较f(X)与f*(X)各项系数得g=3r,g=2r2212r2，反变换到x状态下G=TG=「0「2r23r3r10_3r2r2即G=观测器方程为：X=(A-Gc)X+bu+Gy「-3r「「0_3rX+u+-2r20丄2r21(11)—+2(s-3s+1丿1-1s—3s+12-3