高等量子力学习题

吉林大学物理学院理论物理中心 - 1 - 2007-11 高等量子力学习题 † 量子力学中的对称性 1、 试证明：若体系在线性变换 Qˆ下保持不变，则必有 0]ˆ,ˆ[ =QH 。这里 Hˆ 为体系的哈密 顿算符，变换 Qˆ不显含时间，且存在逆变换 1ˆ −Q 。进一步证明，若 Qˆ为幺正的，则体系 可能有相应的守恒量存在。 2、 令坐标系 xyzO − 绕 z轴转 θd 角，试写出几何转动算符 )( θdR ze G 的矩阵表示。 3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴 nG转 θd 角，在此转动下， 态函数由 ),,( zyxψ 变为 ),,(),()',','( zyxdnUzyx ψθψ G= 。试导出转动算符 ),( θdnU G 的表达式，并由此说明，若体系在转动 ),( θdnU G 下保持不变，则体系的轨道角动量为 守恒量。 4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋 1=S 。 5、 证明宇称算符的厄米性和幺正性，并证明宇称算符为实算符。 6、 试证明幺正算符U 与复数共轭算符K的乘积为反幺正算符。 7、 试证明自旋不为零的粒子的时间反演算符可表为 KeT y Si π=−= 。 8、 试讨论由时间反演不变性引起的 Kramers 简并。 † 角动量理论 1、 角动量算符可以从两个方面来定义，一种是按矢量算符三个分量所满足的对易关系定 义，另一种是按坐标系转动时，态函数的变换规律来定义，试证明这两种定义是等价的。 2、 试证明任意个相互独立的角动量算符之和仍是角动量算符。 3、 定义角动量升降算符 yx JiJJ ˆˆˆ ±=± ，试利用升降算符讨论，对给定的角量子数 j，相应 的磁量子数m的取值范围。 4、 给出角量子数 1=j 情况下，角动量平方算符及角动量各分量的矩阵表示。 5、 设总角动量算符 21 JJJ GGG += ， 1J G 、 2J G 相应的角量子数分别为 1j 和 2j ，试讨论总角动量 量子数 j的取值情况。 6、 利用已知的 C-G 系数的对称性关系，证明以下三个关系式： 吉林大学物理学院理论物理中心 - 2 - 2007-11 11 3322 22 22 1133 11 11 2233 2233 2211 112 12)1( 12 12)1( 12 12)1( 3 2 3 1 3 mj mjmj mj mj mjmj mj mj mjmj mjmj mjmj C j j C j j C j jC − + − − − − + + +−= + +−= + +−= 7、 已知在 3sˆ 表象中， ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= 01 10 21ˆ =s ， ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= 0 0 2 ˆ2 i i s = ，问在 1ˆs 表象中 2sˆ 的矩阵表示是怎 样的？ 8、 已知 ∑ >>>= 11 33 2211 2211 ||| mm mj mjmj mjmjCjm ，其中 mmjjjmmj ''|'' δδ>=< ， 1111 ''1111 |'' mmjjmjmj δδ>=< ， 2222 ''2222 |'' mmjjmjmj δδ>=< 。 试证明： ∑ >>=> jm mj mjmj jmCmjmj ||| 33 22112211 9、 两个全同粒子处于中心外力场中，单粒子能级为 nljE ，试证明：无论这两个粒子是玻色 子还是费米子，当它们处于同一个单粒子能级时，体系的总角动量量子数 J必为偶数。 † D 函数 1、 设坐标系 xyzO − 绕空间任意轴 nG转 ndθ 角，到达 ''' zyxO − 。在该转动下角动量算符 J G 的本征函数 )(τψ jm 变为 )()'( τψτψ θ jmJnd i jm ne GG = ⋅−= 。试证 )'(τψ jm 是 2J G 和 'ˆ zJ 的共同本 征函数，这里 'ˆ zJ 为 J G 在 'z 轴上的投影。 2、 证明转动算符 Jndi ne GG = ⋅− θ 可表为 zyzn JiJiJiJndi eeee ˆˆˆ γβαθ === GG = −−−⋅− = ，其中α 、β 、γ 为欧拉角。 3、 证明 d 函数 >=< − jmejmd yJ i j mm ||')( ˆ ' ββ = 具有如下的对称性： )()()()1()( ''' ' ' ββββ j mmj mmjmmmmjmm dddd −−− =−=−−= 4、 试利用D函数的幺正性，给出 ∑= ' '' )()()'( m jm j mmjm D τψαβγτψ 的逆变换关系式。 5、 对于无穷小转角δϕ，求证： 吉林大学物理学院理论物理中心 - 3 - 2007-11 1' 1''' )1()1()( 2 1 )1()1()( 2 1)1()( − + −−++− +−+−−−= mmyx mmyxmmz j mm mmjjii mmjjiimiD δδϕδϕ δδϕδϕδδϕδϕ 6、 对于自旋为 2/1 和1的态函数，计算相应的D函数的矩阵表示。 7、 证明两个D函数的乘积满足如下关系 ∑ ++++= j j mm mjm mjmj l ll j m j m DCCDD 2121 21 2211 213 2211 2 22 1 11 μμ μμ μμμμ 8、 试利用上题结果及D函数与球谐函数的关系，推导出三个球谐函数的积分公式： 33 2211 3 21112233 0 00 3 21* )12(4 )12)(12()()()( μ μμμμμ πΩθϕθϕθϕ l ll l lllll CCl lldYYY + ++=∫ 9、 试证明 ∑= m lmlm YYI )()( 2211 * ϕθϕθ 是坐标系转动下的不变量，进而证明球谐函数加法定 理： ∑+= m lmlml YYlP )()(12 4)(cos 2211 * ϕθϕθπθ 。 † 不可约张量算符 1、 称按规律 ∑==− ' '' 1 )(ˆ)()'(ˆ)()(ˆ)( m lm l mmlmnlmn TDTdnUTdnU ταβγτθτθ GG 变换的 12 +l 个算符 ),,1,)((ˆ lllmTlm −−= "τ 为 l阶不可约张量算符，试证明这个定义 与不可约张量算符的 Racah 定义是等价的。 2、 设 )(ˆ)(ˆ 21 2211 ττ mlml TT 和 分别为 1l 阶和 2l 阶不可约张量算符，求证由下式定义的算符 )(ˆ 21ττLMT 为 L阶不可约张量算符： ∑= 21 22112211 )(ˆ)(ˆ)(ˆ 2121 mm mlml LM mlmlLM TTCT ττττ 。 3、 微观粒子间的相互作用位能，一般包含张量力项 12ˆ)( SrVT ，其中 12Sˆ 为张量算符，其表 达式可写为 ∑ −−= −⋅= ⋅−⋅⋅= m mm m SY S r rS r rrS 22 2 2 2 1 212 21 12 ˆ)( 2)(6 )())((3ˆ GGG GGGGGG σσσσ 其中 ∑ +−−− +−−− = μ μμμμ m m mm SSCS ˆˆˆ 2 1,12 。试证明 12Sˆ 的这三个定义是等价的。 吉林大学物理学院理论物理中心 - 4 - 2007-11 4、 设 ∑= mM jmLM JM jmLMJM TC JJ )()(ˆ)( τψττΨ ，其中 )(ˆ τLMT 为不可约张量算符， )(τψ jm 为角动 量本征函数。试证如此定义的 )(τΨ JJM 一定是角动量的本征函数。 5、 求约化矩阵元 ?||||' >=< lYl L ， ?||ˆ||' >=< jJj 6、 一阶不可约张量算符在角动量表象中的矩阵元可按以下公式计算 2 1 1 )1( |)ˆ(ˆ|'|ˆ|' = G + >⋅<>=< jj jmTJJjmjmTjm MM ， 称为一阶张量投影定理，试证明这一定理，进而证明这一定理的另一表达式 2 1 1 )1( |)ˆ(||ˆ|'|ˆ|' = G + >⋅><<>=< jj jmTJjmjmJjmjmTjm MM 7、 试利用投影定理计算微观粒子的磁矩（即磁矩在 >jm| 态上的平均值），磁矩算符为 )(0 SgLg SL GGG += μμ ，其中 0μ 为微观粒子的玻尔磁子。 † 多个角动量耦合 1、 试证明三个 C-G 系数乘积的求和公式 ∑ = 1232 232311331212 2323 3322 1212 2211 );( 2312321 mmm jm mjmj jm mjmj mj mjmj mj mjmj CjjjjjjUCCC 。 2、 试证明两个 Racah 系数乘积的求和公式 ∑ ++++++−= 23 312312321 );();()1();( 312313223123211231213 j jjjjjjj jjjjjjUjjjjjjUjjjjjjU 3、 试计算矩阵元 >⋅< 2121 |)2(ˆ)1(ˆ|'' jjmjTTjjmj LL 和 >< 2121 |)1(ˆ|'''' jjmjTjjmj LM 4、 试证明一个角量子数为零的 j−9 符号可化简为 ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ++ −= ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +++ 2434 342 32 243 3443 22 )12)(12( )1( 0 342432 jjj jjj jjjjj jjj jj jjjj † 二次量子化方法 1、 给定算符 aanaa ++ =ˆ，， ，且满足 1},{ =+aa ， 022 == +aa ，试证：1） nn ˆˆ 2 = ； nˆ 的本征值只能取 1 和 0。2）在 nˆ对角化表象中，给出 aa ，+ 和 nˆ的矩阵表示。 2、 设 0}ˆ,{}ˆ,ˆ{1}ˆ,ˆ{ === +++ aaaaaa ， ，令 aan ˆˆˆ += ，证明 吉林大学物理学院理论物理中心 - 5 - 2007-11 >−>= >+−>=+ 1||ˆ 1|1|ˆ nnna nnna 3、 令 ααα aan ˆˆˆ += ，证明无论对玻色子还是费米子，均有 ααα ααα aan aan ˆ]ˆ,ˆ[ ˆ]ˆ,ˆ[ −= = ++ 其中α 为量子态标记。 4、 考虑一玻色子体系，其哈密顿量具有如下形式 ∑∑ ≠= += NN VTH )(,1 2 1 βαβα αβ α α 其中 2 2 2 αα ∇−= m T = 为单粒子动能算符， |)(| βααβ rrVV GG −= 为两粒子相互作用能。选取 箱归一化的动量本征函数 rpi p eLr GG =G G ⋅−= 2/3)(ψ 作为单粒子波函数。试证明，哈密顿量H 在二次量子化表象中可写成如下形式 ikmlkk pppp lmki ilpp k k aaaappLaa m pH GGGGGG GG G ++−+ ∑∑ −+= )(212 3 2 ν ， 式中 qdeqVp qpi GGG GG⋅−∫= |)(|)(ν ，第二项求和是在条件 kiml pppp GGGG +=+ 限制下作出的。 5、 某费米子体系的每个单粒子能级都是二重简并的，属于单粒子能级 με 的两个简并态用 νν、 标记，相应的产生、消灭算符记为 νννν aaaa 、、、 ++ 。定义 +++ = ννν aaS ， νννν aaSS == ++ )( ， ννννν aaaan ++ +=ˆ )( νν SS + 是能级 με 上产生（消灭）一对粒子的算符， νnˆ 是能级上的粒子数算符。证明 μνννμ δ)ˆ1(],[ nSS −=+ ， μνννμ δ++ = SSn 2],ˆ[ ， μνννμ δSSn 2],ˆ[ −= 。 6、 证明由表达式 吉林大学物理学院理论物理中心 - 6 - 2007-11 >>= ++ 0|)()( !! 1| 21 21 21 21 """ nn aa nn nn ， 和 12 )()(|0 !! 1| 12 21 21 nn aa nn nn """ <=< 定义的多粒子体系的基矢（对费米子和玻色子同样适用）满足对称化要求，即它是交换 算符 ijPˆ 的本征态矢，相应的本征值对玻色子为+1，对费米子为-1。 7、 均匀外场ε 中质量为m，所带电荷为 e− ，频率为ω的一维谐振子体系。引入玻色子 算符 ,2/)ˆˆ(ˆ ωω =mpixma += ωω =mpixma 2/)ˆˆ(ˆ −=+ ， 试证明可将哈密顿量表成 )ˆˆ() 2 1ˆˆ(ˆ aaaaH +++= ++ λω= ， 并将其对角化。式中 ωελ me 2 == 。 † 相对论量子力学 1、 已知 μμ αα =+ ， μνμννμ δαααα 2=+ ，试在 βα =4 为对角的表象中建立 μα 的矩阵表 示。 2、 对于自由电子，证明 |)|/( ppee GGGGG =⋅σ 是守恒量，并求出其本征值。 3、 试证明矢量算符 eeO GGGGG ⋅−+= ΣβΣβ )1( 满足角动量算符的对易关系，而且与自由电子的哈密顿量对易。进而求出 iOˆ 的本征值。 4、 中微子是自旋为 1/2，静质量为 0 的基本粒子。试仿照建立自由电子 Dirac 方程的方法， 建立中微子的相对论性波动方程。［参见曾谨言《量子力学》（卷 II）］ 5、 求狄拉克粒子在深为 0V 、宽为a的一维方势阱中的能级。 6、 设在 0=t 时，电子的归一化态矢量为 =G /11)0,( pze d c b a V x ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =ψ ， 其中 dcba ,,, 与 tx,G 无关，而且满足 吉林大学物理学院理论物理中心 - 7 - 2007-11 1|||||||| 2222 =+++ dcba 。 试求出电子处于态： 0>E ，自旋向上； 0>E ，自旋向下； 0= dtdsttsksF |),(| 定义的算符是线性厄米算符，其中核 ),( tsk 是实函数。 2、 设λ是一个小参量，算符 Aˆ存在逆算符，求证 1 1 1 1 2 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( )A B A A BA A BA BAλ λ λ− − − − − − −− = + + +" † 角动量理论 10、 已知在 2Lˆ 、 zLˆ 表象中， 1=l 时， xLˆ 和 yLˆ 的矩阵表示分别为 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 010 101 010 2 ˆ = xL ， ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 00 0 00 2 ˆ i ii i Ly = ， a) 求 xLˆ 、 yLˆ 的本征值和本征函数； b) 求在 )(11 θϕY 态上测量 xLˆ 能得到哪些值？相应的测量几率是多大？ 11、 已知位置空间中绕 y轴转π 角的转动 ),2( πC 映射到电子的自旋态空间有转动算 吉林大学物理学院理论物理中心 - 8 - 2007-11 符 ˆ ( , ) y i S yU e e ππ −= =G ， 证明：（１） yy ieU σπ GG −=),( （２） ˆ ˆˆ ˆy y i iS S x xe S e S π π− = −= = 12、 定义角动量升降算符 yx JiJJ ˆˆˆ ±=± ，试利用升降算符讨论，对给定的角量子数 j， 相应的磁量子数m的取值范围。 13、 两个全同粒子处于中心外力场中，单粒子能级为 nljE ，试证明：无论这两个粒子是 玻色子还是费米子，当它们处于同一个单粒子能级时，体系的总角动量量子数 J必为偶 数。 I Hartree-Fock 近似 1、简述处理多电子原子问题的 Hartree 方法的物理依据，根据变分原理导出 Hartree 单电子方程，并阐述自洽求解这一方程的方法。 2、证明在 Hartree 方法中 2 2 , ( ) 1 1| ( ) | | ( ) | 2 i ji i j k i k ji i j i j ij H d d r r r ε τ τ ψ ψ ≠ < >= −∑ ∑ ∫∫ G G 说明此式的物理意义。 3、考虑 N个全同费米子构成的体系，计及波函数的交换反对称性，导出单粒子 能量本征方程（Fock 方程） 2 2 ( ) ' ( , ') ( ') ( ) 2 i i i i r d U r r r rψ τ ψ εψμ− ∇ + =∫= G G G G G 其中 ( , ') ( ') " ( , ") ( ", ") ( , ') ( ', )U r r r r d V r r r r V r r r rδ τ ρ ρ= − −∫G G G G G G G G G G G G 这里 *( ', ) ( ') ( )j j j r r r rρ ψ ψ=∑G G G G II 量子力学中的相位 1、设体系哈密顿量 ( )H t 显含时间，且瞬时本征方程成立， ( ) ( ) ( ) ( )n n nH t t E t tψ ψ= ， 而瞬时本征函数 ( )n tψ 仍构成正交归一完备基，即有 ( ) | ( )m n mnt tψ ψ δ< >= ， t时刻态函数可展开为 吉林大学物理学院理论物理中心 - 9 - 2007-11 ( )( ) ( ) ( ) ni tn n n t c t t e θψΨ =∑ 这里 0 1( ) ( ') ' t n nt E t dtθ ≡ − ∫= ，称为动力学相因子。试导出上面展开式中系数 ( )nc t 所满足的运动方程。 2、承 1 题。若 ( )H t 随时间极缓慢地变化，解出 ( )nc t ，由此证明绝热定理：如果 初始时刻体系处于哈密顿量 (0)H 的第 n个本征态上，则 0t > 时刻，体系将始 终处于瞬时哈密顿量 ( )H t 的第 n个本征态上。 3、承 2 题。若 ( )H t 随时间的变化不可忽略，仍假定初始时刻体系处于哈密顿量 (0)H 的第 n个本征态上，求 0t > 时刻，体系跃迁到 ( )H t 第m个本征态上的 几率，准确到一级近似。 4、承 2 题。 ( )nc t 中包含一个相因子 ( )n tγ ，称为几何相因子（Berry 相）。设哈密 顿量 ( )H t 通过包含 N 个分量 1 2( ), ( ), , ( )NR t R t R t" 的参量 ( )R t G 随时间缓慢地作 周期变化，周期为τ ，导出 ( )nγ τ 在参数空间R G中的积分表达式，并讨论其物 理意义。 5、承 4 题。若参数空间RG为三维的， 1 2 3( , , )R R R R= G ，利用 Stokes 定理将 ( )n tγ 表 示成空间RG中的面积分的形式。 6、电子处在磁场BG中，且位于坐标系原点，磁场大小恒为 0B ，而其方向以角速 度ω在与 z轴成α 角的锥面上绕 z轴旋进。只考虑自旋自由度，求解电子瞬 时哈密顿量的本征问题。 7、承 6 题。设初始时刻电子处于自旋向上（相对于 (0)BG ）的态上，求 0t > 时刻 电子自旋反转（即相对于 ( )B tG 向下）的几率。并针对以下两种极端情况进行 讨论：1）磁场强度 0B 足够大，而旋进角速度ω足够缓慢；2）磁场强度较小， 而旋进角速度足够快。 8、承 7 题。考虑情况 1），若磁场BG旋转了一个周期，计算此时的动力学相因子 和几何相因子。 9、δ 位阱 ( ) ( )V x xαδ= − 存在唯一的束缚态，计算当α 缓慢地由 1α 增加到 2α 时， 几何相因子的变化。如果这种增加以恒定速率进行，动力学相因子如何变化？ 吉林大学物理学院理论物理中心 - 10 - 2007-11 04 高等量子力学习题 一、试证明幺正算符U 与复数共轭算符K的乘积为反幺正算符。 二、已知在 3sˆ 表象中， ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= 01 10 21ˆ =s ， ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= 0 0 2 ˆ2 i i s = ，求在 2sˆ 表象中 1ˆs 的矩阵表示。 三、试证明在空间旋转变换下 ∑= m lmlm YYI )()( 2211 * ϕθϕθ 保持不变。 四、试利用一阶张量投影定理计算电子磁矩在 >jm| 态上的平均值。电子的磁矩算符为 )(0 SgLg SL GGG += μμ ， 其中 0μ 为电子的玻尔磁子； 21 == SL gg ， 分别为电子的轨道和自旋朗德因子。 五、试导出约化矩阵元 >< JjjTJjj L 2121 ||)1(ˆ||'' 的表达式。 六、设两个独立的谐振子组成一个体系，以 21 nn、 分别表示二者的量子数，以 2211 ˆˆˆˆ aaaa 、、、 ++ 分别表示二者的产生消灭算符，粒子数表象中的归一化本征态记为 >21| nn 。令 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= 2 1 ˆ ˆ a a a ，定义算符 aaJ σGG += 2 1 ，其中σG为泡利矩阵。 １）写出 J G 的各个分量的表达式。 ２）证明如此定义的 J G 满足角动量算符的全部代数性质。 ３）求出 zJJ ˆˆ 2、 的本征值。 七、写出相对论性狄拉克方程中，算符αG和β 所满足的代数关系。αG和β 的矩阵表示不是 唯一的，在韦尔（Weyl）表象中，取 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= 0 0 I Iβ ，其中 I 为二阶单位矩阵，试导出在 这一表象中αG的矩阵表示。 八、求狄拉克粒子在深为 0V 、宽为a的一维方势阱中的能级。 九、试在薛定谔图象下计算一维自由粒子的传播子 )'',""( txtxK 。 吉林大学物理学院理论物理中心 - 11 - 2007-11 05 高等量子力学习题 一、试证复数共轭算符K为反幺正算符，并求解其本征问题。 二、设 )(ˆ)(ˆ 21 2211 ττ mlml TT 和 分别为 1l 阶和 2l 阶不可约张量算符，求证由下式定义的算符 )(ˆ 21ττLMT 为 L阶不可约张量算符： ∑= 21 22112211 )(ˆ)(ˆ)(ˆ 2121 mm mlml LM mlmlLM TTCT ττττ 。 三、对一个由两个自旋 1/2 粒子组成的体系，定义算符 )(, 3 1))(( 21212 21 12 rrrr rrS GGGGG GGGG −=⋅−⋅⋅= σσσσ 证明： 1） 12S 与算符 2S G 对易，这里 )( 2 21 σσ GG=G +=S ； 2） 对 0=S ，有 12212 2SS = ，而 1=S 时， 12212 3 2 9 8 SS −= 3） 00012 =χS ，这里 )|||(|2 1 212100 >+>−−>−>+=χ ，其中 >+| 与 >−| 为 zσ 的 分别对应于本征值1与 1− 的本征态。 四、令 ααα aan ˆˆˆ += ，其中α 为量子态标记，证明无论对玻色子还是费米子，均有 ααα ααα aan aan ˆ]ˆ,ˆ[ ˆ]ˆ,ˆ[ −= = ++ 五、中微子是自旋为 1/2，静质量为 0 的基本粒子。试建立中微子的相对论性波动方程并讨 论其守恒量。 六、（１、２任选其一） 1 设 ),( ABP 表示粒子从点源 A出发，在 B点被探测到的几率，试针对此几率简述路 径积分的基本思想和 Feynman 的基本假定。 2 试采用 Feynman 的多边折线道

方案

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计算一维自由粒子的传播子 )'',""( txtxK ，计算 中，取 2/)/2( NN miC −= επ= 。 附：积分公式 2 2 2 1 2 1 2exp ( ) ( ) exp ( )x x x x dx x x π αβα β α β α β +∞ −∞ ⎡ ⎤−⎡ ⎤− + − = −⎢ ⎥⎣ ⎦ + +⎣ ⎦∫