同济版线性代数笔记

第一章行列式二阶行列式：如下所示1112112212212122aaaaaaaa=−（1）数ija称为行列式的元素或元，其第一个下标i称为行标；第二个下标j称为列标；位于第i行第j列的元素称为行列式的(,)ij元。例：求解二元线性方程组1212321221xxxx−=⎧⎫⎨⎬+=⎩⎭解：12321223127,14,21211121DDD−−======−得111427DxD===，223DxD==−三阶行列式：如下所示111213212223112233122331132132112332313233122133132231aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa⎛⎞⎜⎟=++−⎜⎟⎜⎟⎝⎠−−（2）排列（全排列）：把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列。例如n=3，则这3个元素的排列的种数为123,132,213,231,321,312，共六种，即种数为33216P=××=种。对于n个元素，则其排列的种数为(1)321!nPnnn=×−××=LL逆序数：对于n个不同的元素，先假设各元素之间有一个次序（例如n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），很显然，n个不同的元素排列顺序肯定不止一种，当这些元素的排列中某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说它有一个逆序。排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。不失一般性，设n个元素为1至n这n个自然数，规定由小到大为标准次序，设12npppL为这n个自然数的一个排列，考虑元素ip，如果比ip大的且排在ip前面的元素有it个，就说ip这个元素的逆序数是it（因为按照标准排序从小到大，即在ip之前本该没有数大于ip，但现在有it个，所以说有it个元素相对于ip与标准顺序不同，即有it个逆序数），如果每个元素都有相应的逆序数（如果没有的话，则其逆序数为零），则全体元素的逆序数之总和为121nniittttt==+++=∑L，例如排列32514的逆序数为0+1+0+3+1=5个n阶行列式：我们观察三阶行列式可以发现，其等号右边的每一项都是三个元素的乘积，且这三个元素都位于不同的行、不同的列，因而等号右边任一项除正负号以外可以写成123123pppaaa。这里的第一个下标（行标）排成标准次序123，而第二个下标（列标）排成123ppp，它是1,2,3三个数的某个排列，共3!6=种，对应三阶行列式等号右边的6项。而这六项前面有的是正号有的是负号，这和123ppp的逆序数有关，如果逆序数为偶数则为正，逆序数为奇数则为负，设t为列标排列的逆序数，则正负号表示为(1)t−。依次类推，对于n阶行列式，共有2n个数，排成n行n列，其计算如下1211121212221212(1)nnntppnpnnnnaaaaaaaaaaaa⎛⎞⎜⎟⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑LLLMMML（3）其中的12npppL为自然数1,2,,nL的一个排列，t为这个排列的逆序数。上式共有n!项。行列式简记作det()ija。特殊行列式：（1）对角阵，如下所示11(1)2221212;(1)nnnnnnrrrrrrrrrrrr−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟==−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠LLON（2）三角形行列式：主对角线以下（上）的元素都为0的行列式叫做上（下）三角形行列式。它的值与对角行列式一样。对换：在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种手续叫做对换。将相邻两个元素对换叫做相邻对换。对换具有如下性质：（1）一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。因而奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数。（标准排列逆序数为0）。（2）因为行列式的结果有行和列两个序列组成，所以每次对换后，其行与列的逆序数都会变化，经验证，两者的逆序数变化之和为偶数，即不改变行列式奇偶性，因而结果的正负号也不改变，因而整个行列式也不改变。即行列式可以表示成如下两种方式'12121112121222121212(1)(1)nnnnttppnppppnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa⎛⎞⎜⎟⎜⎟=−=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑∑LLLLMMML上式中的t是列标排列的逆序数；t'是行标排列的逆序数。转置行列式：D的转置行列式记作DT，如下所示111211121121222122221212nnnnTnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaDDaaaaaa=⇒=LLLLMMMMMML行列式性质：行列式具有如下的一些性质：（1）行列式与它的转置行列式相等。（2）互换行列式的两行（列），行列式变号（因为只对换了行或列，互换一次是奇数次）。（3）如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零。（4）行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式。（5）行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。（6）行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。（7）若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则行列式可以写成相应的两个行列式之和，例如第i列的元素都是两数之和，则有''1112111111211111211''2122222122222212222''121212()()()iininininiininnnninnnnnininnnnninnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaaaaaaa++==++LLLLLLLLLLLLMMMMMMMMMMMMLLLLLL（8）把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数，然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。如下所示111111111112122221222211()()()ijnijjnijnijjnnninjnnnninjnjnnaaaaaakaaaaaaaaakaaaaaaaaakaaa++=+LLLLLLLLLLLLMMMMMMMMLLLLLL例：计算行列式3112513420111533D−−−=−−−解1221411312131215340846;502110211513301627ccrrrr−−−−−−↔⇒−−+⇒−−−−−−2332424313121312131202110211021154;8400081008460081045016270010150002rrrrrrrr−−−−−−↔⇒+−⇒+⇒=−−−−−−例：一种特殊行列式关系如下所示，如果有以下的行列式11111111111211111111110,det(),det()kknkkkijijknkkknnnnnknnnaaaabaaaDDaDbccbbaabbccbb=====LMMLLLMMMMLLLLMMMMLL则12DDD=例：特殊2n阶行列式2()nnababDadbccdcd==−ONNO余子式：在n阶行列式中，把（i，j）元ija所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做（i，j）元ija的余子式，记作ijM；另外有(1)ijijijAM+=−叫做（i，j）元ija的代数余子式。关于余子式引出的定理有（1）一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j）元ija外都为零，那么这行列式等于ija与它的代数余子式的乘积，即ijijDaA=。（2）行列式按行（列）展开法则：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即1122(1,2,,)iiiiininDaAaAaAin=+++=LL或1122(1,2,,)jjjjnjnjDaAaAaAjn=+++=LL（3）行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即11220,()ijijinjnaAaAaAij+++=≠L或11220,()ijijninjaAaAaAij+++=≠L由上面的定理2和定理3总结出代数余子式的重要性质如下：1,0,nkikjijkDijaADijδ==⎧⎫==⎨⎬≠⎩⎭∑或1,0,nikjkijkDijaADijδ==⎧⎫==⎨⎬≠⎩⎭∑其中1,0,ijijijδ=⎧⎫=⎨⎬≠⎩⎭例：331343311251115115134111312;(1)11112011001055015335530Dcccc+−−−−−−=−+⇒=−−−−−−−−−−132151162620(1)4055550rr+−+⇒−=−=−−−−范德蒙德行列式：如下所示1221321111112111()()()()nnnnijnijnnnnxxxDxxxxxxxxxxx−≥≥≥−−−==−−−=−∏LLLMMML范德蒙德行列式的证明这里就不作细述，值得注意的是，计算n阶行列式，常要使用数学归纳法。数学归纳法的主要步骤是：导出递推公式及检验n=1时结论成立。克拉默法则：含有n个未知数12,,,nxxxL的n个线性方程的方程组如下11112211211222221122nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb+++=⎧⎫⎪⎪+++=⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪+++=⎩⎭LLLLLLL（4）如果上面的线性方程组的系数行列式不等于零，即11110nnnnaaDaa=≠LMML那么方程组（4）有唯一解1212,,,nnDDDxxxDDD===L，其中(1,2,)jDjn=L是把系数行列式D中的第j列的元素用方程组右边的常数项代替后所得到的n阶行列式，即111,111,111,1,1jjnjnnjnnjnnaabaaDaabaa−+−+=LLMMMMMLL关于克拉默法则具有以下的一些定理：（1）如果线性方程组（4）的系数行列式0D≠，则方程组（4）一定有解，且解是唯一的；反过来也成立。（2）如果线性方程组（4）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。（3）齐次线性方程组：如果方程组（4）右边的常数项12,,,nbbbL全为零时，则称线性方程组（4）为齐次线性方程组；如果12,,,nbbbL不全为零时，则称其为非齐次线性方程组。对于齐次线性方程组，120nxxx====L一定是它的解，这个解叫做齐次线性方程组的零解；如果存在一组不全为零的数是齐次线性方程组的解，则称它为齐次线性方程组的非零解；齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解。（5）如果齐次线性方程组的系数行列式0D≠，则齐次线性方程组没有非零解。因为由上面的第一条克拉默定理知道，当0D≠时，线性方程组的解是唯一的，而120nxxx====L必是齐次线性方程组的解，因而不存在其他的解了，包括非零解。（6）如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零。第二章矩阵及其运算2,1矩阵：由mn×个数ija（1,2,,;1,2,,imjn==LL）排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称mn×矩阵。其外面总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，如下111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠LLMMML元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵（注意，与行列式的区别，行列式是一个数）。n阶矩阵A也记作An.只有一行的矩阵称为行矩阵，又称行向量；只有一列的矩阵称为列矩阵，又称列向量。两个矩阵的行数与列数都相同时，称它们是同型矩阵。元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O。2.2，线性变换：n个变量12,,,nxxxL与m个变量12,,,myyyL之间的关系式11111221221122221122nnnnmmmmmnyaxaxaxyaxaxaxyaxaxax=+++⎧⎫⎪⎪=+++⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪=+++⎩⎭LLLLLLL上面方程组表示一个从变量12,,,nxxxL到变量12,,,myyyL的线性变换。上面方程组的系数所构成的矩阵称为系数矩阵。2.3，单位矩阵：如下的线性变换对应的系数矩阵就是单位矩阵1122nnyxyxyx=⎧⎫⎪⎪=⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪=⎩⎭LLLL111OEO⎛⎞⎜⎟⎜⎟⇒⇒⇒=⎜⎟⎜⎟⎝⎠O系数矩阵2.4，对角矩阵：如下的线性变换对应的系数矩阵就是对角矩阵111222nnnyxyxyxλλλ=⎧⎫⎪⎪=⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪=⎩⎭LLLL12nOOλλλ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⇒⇒⇒Λ=⎜⎟⎜⎟⎝⎠O系数矩阵对角阵也记作12=diag(,,,)nλλλΛL2.5，矩阵的加法：设两个mn×矩阵ij()Aa=和ij(b)B=，那么矩阵A与B的和记作A+B，如下所示111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababABababab+++⎛⎞⎜⎟+++⎜⎟+=⎜⎟⎜⎟+++⎝⎠LLMMML设矩阵ij()Aa=，则A的负矩阵ij(a)A−=−2.6，数与矩阵相乘：数λ与矩阵A的乘积记作Aλ或Aλ，规定如下111212122212nnmmmnaaaaaaAAaaaλλλλλλλλλλλ⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠LLMMML2,7，矩阵与矩阵相乘：矩阵相乘具有很实用的功能，如下两个方程组11111221111122133221122222112222333311322,xbtbtyaxaxaxxbtbtyaxaxaxxbtbt=+⎧⎫=++⎧⎫⎪⎪=+⎨⎬⎨⎬=++⎩⎭⎪⎪=+⎩⎭上面两个方程组的系数提取出系数矩阵，通过系数矩阵的相乘，可以直接用t表示y，矩阵相乘的规则如下所示：111211121311111221133111121222133221222122232111222123312112222223323132bbaaaababababababbbaaaababababababbb⎛⎞++++⎛⎞⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟++++⎝⎠⎝⎠⎜⎟⎝⎠上面的矩阵相乘可以直接转换成方程组，如下所示111111221133111112122213322221112221233112112222223322()()()()yabababtabababtyabababtabababt=+++++⎧⎫⎨⎬=+++++⎩⎭由上面可推知：设ij()Aa=是一个ms×矩阵，ij()Bb=是一个sn×矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个mn×矩阵ij()Cc=，其中11221sijijijissjikkjkcabababab==+++=∑L由上面可知，AB=C的（i，j）元ijc就是A的第i行与B的第j列的乘积。注意的是，左矩阵的列数必须等于右矩阵的行数。通常情况下，ABBA≠，如果它们相等，则A，B必然是方阵（但并不是方阵都相等），且称此时的方阵A与B是可交换的。矩阵的乘法虽然不满足交换律，但满足结合律和分配律，如下所示（1）(AB)C=A(BC)（2）()()()ABABABλλλ==（3）A(B+C)=AB+AC值得注意的是，对于单位矩阵E，有EAAEA==单位矩阵乘以一个数得到的矩阵称为纯量阵，如下所示Eλλλλ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠O纯量阵有如下特性：()()nnnnnEAAAEλλλ==。即纯量阵与任何同阶方阵都是可交换的。对于方阵，其可进行矩阵的幂计算，即，121111,,,KKAAAAAAAA+===L。很显然，只有方阵才有幂计算。幂计算具有如下属性：,()klklklklAAAAA+==但值得注意的是，一般来说()kkkABAB≠，只有当A与B可交换时，两个才相等。2.8，转置矩阵：把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，称之为A的转置矩阵，记作TA，转置矩阵满足下述的运算规律：（1）()TTAA=（2）()TTTABAB+=+（3）()TTAAλλ=（4）()TTTABBA=2.9，对称矩阵（对称阵）：设A为n阶方阵，如果满足TAA=，即ijjiaa=，则A称为对称矩阵。其特点是所有元素以对角线为对称轴对应相等。2,10，方阵的行列式：由n阶方阵A的元素所构成的行列式，称为方阵A的行列式，记作|A|或detA。其具有如下的性质：（1）TAA=（2）nAAλλ=（3）ABAB=（4）ABBA=2.11，伴随矩阵（伴随阵）：行列式A的各元素的代数余子式ijA所构成的如下矩阵称为矩阵A的伴随矩阵。1121112222*12nnnnnnAAAAAAAAAA⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠LLMMML伴随矩阵具有如下性质：**AAAAAE==，其证明如下设ij()Aa=，*ij()AAb=，则iji1i1i2i2injnij+++=baAaAaAAδ=L（代数余子式的性质，其中1,0,ijijijδ=⎧⎫=⎨⎬≠⎩⎭）。因而()*ijij()==AAAAAEδδ=2,12，共轭矩阵：当ij()Aa=为复矩阵时，用ija−表示ija的共轭复数，则ij()Aa=称为A的共轭矩阵。共轭矩阵具有如下性质（1）+ABAB=+（2）=AAλλ（3）ABAB=2.13，逆矩阵：对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使ABBAE==，则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，简称逆阵。A的逆阵是唯一的，因为若B，C都是A的逆阵，则有()()BBEBACBACECC=====。A的逆阵记作1AB−=。逆矩阵具有如下的性质：（1）若逆矩阵A可逆，则0A≠，因为11||10AAEAA−−===≠（2）A的逆阵为1*1AAA−=，其中*A为矩阵A的伴随矩阵。证明如下：由伴随矩阵的性质有：**1AAAEAAEA=⇒=，而1AAE−=，所以1*1AAA−=由上式可知，A有逆阵的条件是0A≠。我们对于A有如下的定义：当A=0时，A称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。由逆阵的性质可知，A是可逆矩阵的充分必要条件是0A≠，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。（3）若ABE=（或ABE≠），则1BA−=，证：111()()BEBAABAABAE−−−====对于方阵的逆阵满足下述运算规律：（1）若A可逆，则1A−也可逆，且11()AA−−=（2）若A可逆，0λ≠，则Aλ也可逆，且111()AAλλ−−=（3）若A，B为同阶矩阵且均可逆，且AB亦可逆，且111()ABBA−−−=（4）若A可逆，则TA亦可逆，且11()()TTAA−−=当A可逆时，还可定义01,()nnAEAA−−==，若,nm为整数，则有nmnmAAA+=，()nmnmAA=例：设1231321221,,205334331ABC⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠，求矩阵X，使其满足AXBC=析：若11,AB−−存在，则有111111AAXBBACBXACB−−−−−−=⇒=，这里演练一下求解1A−的过程。很容易求得20A=≠，因而1A−存在，再计算A的余子式，有1112132122233132332,3,2,6,6,2,4,5,2MMMMMMMMM====−=−=−=−=−=−得112131*1*122232132333132264135365322222111MMMAMMMAAAMMM−−⎛⎞−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=−−=−−⇒==−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎝⎠⎝⎠−⎝⎠同理很容易求出111213110452104BXACB−−−−⎛⎞−⎛⎞⎜⎟=⇒==−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎜⎟−⎝⎠2.34，矩阵多项式：设01()mmxaaxaxϕ=+++L为x的m次多项式，同样地，若A为n阶矩阵，则01()mmAaEaAaAϕ=+++L称为矩阵A的m次多项式。（1）如果1APP−=Λ，其中Λ是对角阵，则1nnAPP−=Λ，从而11110101()()mmmmAaEaAaAPaEPPaPPaPPPϕϕ−−−−=+++=+Λ++Λ=ΛLL（2）如果对角阵12(,,,)mdiagλλλΛ=L，则12(,,,)nnnnmdiagλλλΛ=L，从而120101112211()1()()()mmnmmmmnnaEaaaaaλλϕλϕλλϕλλϕλλ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟Λ=+Λ++Λ=++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟+=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠LLOOOO例：设111102111P−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，123⎛⎞⎜⎟Λ=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，APP=Λ，求32()23AAAAϕ=+−。析：11,()()APPAPPϕϕ−−=Λ=Λ，而32(1)121310ϕ=+×−×=，(2)10ϕ=，(3)0ϕ−=，因为(1,2,3)diagΛ=−，所以()(0,10,0)diagϕΛ=。故而1*11101011()()1021050001110101APPPPϕϕ−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=Λ==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠2.35，分块矩阵：对于大矩阵，可以用若干条纵线和横线将其分成许多个小矩阵，每个小矩阵称为大矩阵子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似，分别如下：（1）设矩阵A与B的行数相同、列数相同，采用相同的分块法，即1111rssrAAAAA⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠LMML，1111rssrBBBBA⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠LMML其中ijA与ijB的行数相同、列数相同，那么11111111rrsssrsrABABABABAB++⎛⎞⎜⎟+=⎜⎟⎜⎟++⎝⎠LMML（2）设1111rssrAAAAA⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠LMML，λ为数，那么1111rssrAAAAAλλλλλ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠LMML（3）设A为ml×矩阵，B为ln×矩阵，分块成1111rssrAAAAA⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠LMML，1111rssrBBBBA⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠LMML，那么1111rssrCCABCC⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠LMML其中tijikkjk=1=CAB∑LL（i=1,,s;j=1,,r）（4）设1111rssrAAAaa⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠LMML，则1111TTsTTTrsrAAAAA⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠LMML（5）设A为n阶矩阵，若A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即12sAOAAOA⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠O，其中iA都是方阵，那么称A为分块对角矩阵。分块对角矩阵的行列式具有以下性质：12sAAAA=L。若0A≠，111121sAOAAOA−−−−⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠O例：设1000101001001201,1210104111011120AB⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠，求AB把A，B分块成如下110000100012101101EAAE⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎛⎞⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠−⎜⎟⎜⎟⎝⎠MMLLLLLMM，1121221010120110411120BEBBB⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎛⎞⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠MMLLLLLMM则111112122111211221010120124331131EOBEBEABAEBBABBAB⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟===⎜⎟⎜⎟⎜⎟++⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠MMLLMLLMM2.36，矩阵的行向量与列向量表示：mn×矩阵A有m行，若第i行记作12(,,,)Tiiiinaaaα=L，则矩阵A便可记为12TTTmAααα⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠M，同样，mn×矩阵A有n列，若第j列记作12jjjmjaaaa⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠M，则12(,,,)nAaaa=L，因而对于矩阵()ijmsAa×=，()ijsnBb×=的乘积()ijmnABCc×==，便有1111212212221212(,,,)TTTTnTTTTnnTTTTmmmmnbbbbbbABbbbbbbαααααααααααα⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⋅⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠LLLMMMML，很显然，对于对角阵Λ有，11112222TTTTmmnTTmmmmAλαλαλαλαλαλα×⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟Λ==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠OMM12121122(,,,)(,,,)nnnnnAaaaaaaλλλλλλ⎛⎞⎜⎟⎜⎟Λ==⎜⎟⎜⎟⎝⎠LLO这里值得提一下的是，矩阵0A=的充要条件是方阵0TAA=，这个经常用于推理。2.37，解向量：对于线性方程组11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb+++=⎧⎫⎪⎪+++=⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪+++=⎩⎭LLLLLLLLL记ij()Aa=，12nxxxx⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠M，12mbbbb⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠M，11121121222212nnmmmnmaaabaaabBaaab⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠LLMMMML，其中A称为系数矩阵，x称为未知数向量，b称为常数项向量，B称为增广矩阵。可记为()BAb=M或12(,)(,,,,)nBAbaaab==L，因而上面的方程组可记作Ax=b是以向量x为未知元，它的解称为方程组的解向量。对于克拉默法则，它的唯一解也可以表示为如下形式jj11j22jj11==+++nnxDDDL（bAbAbA）其证明可由如下步骤得出：1**11AxbxAbxAbAbAD−=⇒=⇒==第三章矩阵的初等变换与线性方程组3.1，初等行变换：对于一个方程组，其求解通常只涉及系数之间的加减乘除，而与未知数本身无关，因而总结出初等变换的方法，下面是初等行变换。（1）对调两行（对调i，j两行，记作ijrr↔）。（2）以数0k≠乘某一行中的所有元素。（3）把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去。如果把上面定义中的“行”换成“列”，则为初等列变换，行与列变换统称为初等变换。如果矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价。记作~rAB；同理有列等价或等价。矩阵之间的等价关系具有如下性质：（1）反身性：A~A；（2）对称性：若A~B，则B~A；（3）传递性：若A~B，B~C，则A~C。例：求解线性方程组123412341234123422244622436979xxxxxxxxxxxxxxxx−−+=⎧⎫⎪⎪+−+=⎪⎪⎨⎬−+−=⎪⎪⎪⎪+−+=⎩⎭析：上面方程组的增广矩阵为2111211214(,)4622436979BAb−−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟==⎜⎟−−⎜⎟−⎝⎠123;2rrr↔÷⇒111214211122311236979B−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟=⎜⎟−−⎜⎟−⎝⎠233141;23rrrrr−−−⇒；r211214022200553603343B−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟=⎜⎟−−−⎜⎟−−⎝⎠232422;5;3rrrrr÷+−⇒311214011100002600013B−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠3443;2rrrr↔−⇒411214011100001300000B−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟⎝⎠1223;rrrr−−⇒510104011030001300000B−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟⎝⎠上面的B5对应方程组为13234433xxxxx−=⎧⎫⎪⎪−=⎨⎬⎪⎪=−⎩⎭，取3x为自由未知数，并令3xc=，则有123441431310303xcxcxcxcx+⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟===+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠上面的矩阵45,BB都称为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元。5B还称为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0。对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵，且一个矩阵的行最简形矩阵是惟一确定的，非零行的行数也是惟一确定的。对行最简形矩阵再施以初等列变换，可变成一种形状更简单的矩阵，称为标准形，如下所示510104011030001300000B−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟⎝⎠344125123;;433ccccccccc↔++⇒−−+10000010000010000000F⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠标准形的特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素全为零。对于mn×矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形：mn000rEF×⎛⎞=⎜⎟⎝⎠关于初等变换的基本定理有：（1）设A与B为mn×矩阵，那么：Ⅰ、~rAB的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P，使得PAB=Ⅱ、~cAB的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q，使得AQ=B；Ⅲ、A~B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PAQ=B注：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。三种初等变换对应有三种初等矩阵，如下（1）把单位阵中第i，j两行对调（或第i，j两列对调），在单位阵中，第i行与第i列是同等的，因为单位矩阵是斜角为1的矩阵。得到初等矩阵如下11011(,)11011Eij⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠OLMMOMO用m阶初等矩阵(,)mEij左乘矩阵ijmn()Aa×=，其结果相当于对调矩阵A的i与j行（ijrr↔）；类似地，以n阶初等矩阵(,)nEij右乘矩阵A，其结果相当于对调矩阵A的i和j列（ijcc↔）（2）以数0k≠乘单位阵的第i行（或第i列），得初等矩阵11(())11Eikk⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠OO以(())mEik左乘矩阵A，其结果相当于以数k乘A的第i行（irk×）；以(())nEik右乘矩阵A，其结果相当于以数k乘A的第i列（ick×）。（3）以k乘E的第j行加到第i行上或以k乘E的第i列加到第j列上，得初等矩阵11(())11kEijk⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠OLOMO以(())mEijk左乘矩阵A，其结果相当于把A的第j行乘k加到第i行上（ijrkr+），以(())nEijk右乘矩阵A，其结果相当于把A的第i列乘k加到第j列上（ijckc+）下面是进行初等变换的性质：（1）设A是一个mn×矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。注：初等矩阵的逆阵为：1(,)(,)EijEij−=；11(())(())EikEik−=；1(())(())EijkEijk−=−。（2）方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵12,,lPPPL，使12lAPPP=L推论：方阵A可逆的充分必要条件是~rAE。证：A可逆⇔存在可逆矩阵P，使得PA=E。（参考第9页逆矩阵的概念）⇔~rAE（参考16页关于初等变换的基本定理）16页定理表明，如果~rAB，即A经过一些列初等行变换后得到B，则有可逆矩阵P，使得PA=B，下面是求解这个可逆矩阵P的过程。由于(,)(,)(,)~(,)rPABPABPAEBPAEBPPEP=⎧⎫=⇔⇔=⇔⎨⎬=⎩⎭，因此，求得P的过程，就是将（A，E）进行一系列变换，最终使得A位置处的矩阵变为B，这样E处得出的矩阵自然就是P了。例：设211112462A−−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠的行最简形矩阵为F，求F，并求一个可逆矩阵P，使得PA=F析：很容易求得101011000F−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠，想要求得P，则根据上面的方法，即对（A，E）进行一系列变换，最终得到（F，P），即A变成了F时候，E处自然就是P了。如下所示211100101331(,)1120100113214620010001083AE−−−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=−⇔−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠⎝⎠，从而得到PA=F的可逆矩阵3313211083P−⎛⎞⎜⎟=−−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠注：我们发现上面的（F，P）中的F最后一行全部是零，如果继续作初等行变换31323,,rkrkrrkr×++，则F不变换，但P变换，因而可知本例中的使PA=F的可逆矩阵P不是唯一的。例：设021302230A−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，证明A可逆，并求1A−。析：由17页推导矩阵P的过程可知，其中PA=B，而由可逆矩阵的概念知，存在P使得PA=E，因而这里的B=E，因而如果上例，初等行变换把（A，E）化成（F，P），其中F为A的行最简形，如果F=E，则A可逆（E也是一种行最简形）。又PA=E，因而1PA−=。021100(,)302010230001AE−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠100634010423001946⎛⎞⎜⎟⇔⎜⎟⎜⎟⎝⎠例：求解矩阵方程AX=B，其中213122132A−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，112025B−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠。析：设有可逆矩阵P，使得PA=F为行最简形，则P（A，B）=（PA，PB）=（F，PB）。根据上面两个例子可知，对矩阵（A，B）作初等行变换把A变为F，同时B变为PB，若F=E，则A可逆，又PA=F=E，则1PA−=，从而方程的唯一解1XPBAB−==。3.2，矩阵的秩：在mn×矩阵A中，任取k行与k列（,kmkn≤≤），位于这些行列交叉处的2k个元素而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。mn×矩阵A的k阶子式共有kkmnCC•个。设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)，零矩阵的秩等于0。上面所说的mn×矩阵A的标准形mn000rEF×⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，它的秩R(A)=r。很显然，R(A)就是A的非零子式的最高阶数。因而，若矩阵A中有某个s阶子式不为0，则R≥（A）s；若A中的所有t阶子式全为0，则()RAt<。又{}0()min,RAmn≤≤。由于行列式与其转置行列式相等，因而TA的子式与A的子式行列式对应相等，而秩的概念是其不含有全为零的行或列，即行列式值不为0，又A与TA的行列式值同为零或同时不为零，因而()()TRARA=。对于n阶矩阵A，由于A的n阶子式只有一个A，故当0A≠时()RAn=，当0A=时()RAn<。由可逆矩阵的条件0A≠可知，可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数，因此，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵。定理2：若~AB，则()()RARB=。由于A~B的充要条件是有可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B，因此若有可逆矩阵P，Q使PAQ=B，则()()RARB=。由上面定理，求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵。例，设32050323612015316414A⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟−−⎝⎠，求矩阵A的秩，并求A的一个最高阶非零子式。析：32050323612015316414A⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟−−⎝⎠⇔1641404311012971101612812−−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟−−⎝⎠⇔16414043110004800048−−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠⇔16414043110004800000−−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎝⎠由上面推导可知R(A)=3，因而A的最高阶非零子式为3阶，有上面推导的最后一个矩阵可知，取1,2,3列肯定不符合，我们可以取1,2,4列，当然，还有其他可行的列。选取1,2,4列后，从矩阵A中选取33×矩阵还有4中情况，从中先随便选取一个，取前三行构成的子式3253260205−≠，因此这个子式便是A的一个最高阶非零子式。下面是秩的一些其他性质：（1）{}max(),()(,)()()RARBRABRARB≤≤+，特别地，当B=b为非零列向量时，有()(,)()1RARAbRA≤≤+。（2）()()()RABRARB+≤+（3）{}()min(),()RABRARB≤（4）若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(A)，特殊地，若mnnlABO××=，则()()RARBn+≤对于矩阵的秩等于它的列数，这样的矩阵称为列满秩矩阵。若mnnlABC××=，且R(A)=n，则R(B)=R(C)，其证明如下因R(A)=n，则A的行最简形矩阵为mnnEO×⎛⎞⎜⎟⎝⎠，并有m阶可逆矩阵P，使得PA=mnnEO×⎛⎞⎜⎟⎝⎠。于是=nEBPCPABBOO⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠，由17页的定理2可知，R(C)=R(PC)，因而R(C)=R(B)。特殊地，若C=O，A为列满秩矩阵，则B=O，这一结论通常称为矩阵乘法的消去律。3.3，线性方程组的解：第14页中，方程组写成以向量x为未知元的向量方程Ax=b，其解向量的结果与方程组的解的使用是可以混同的。如果线性方程组有解，则称它是相容的，如果无解，则称其不相容。定理3，n元线性方程组Ax=b（1）无解的充要条件是R(A)<R(A,b)；（2）有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A，b)=n（3）有无限多解的冲要条件是R(A)=R(A，b)<n求解线性方程组的步骤：（1）对于非齐次线性方程组，把它的增广矩阵B化成行阶梯形，从B的行阶梯形可同时看出R(A)和R(B)，若R(A)<R(B)，则方程组无解。（2）若R(A)=R(B)，则进一步把B化成行最简形，而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵A化成行最简形。然后就很容易写出通解了。例：设有线性方程组123123123(1)0(1)3(1)xxxxxxxxxλλλλ+++=⎧⎫⎪⎪+++=⎨⎬⎪⎪+++=⎩⎭，问λ取何值时，此方程组有唯一解、无解和无限多个解？并在无限多解时求其通解。析：其增广矩阵B=(A，b)变换如下11101113111Bλλλλ+⎛⎞⎜⎟=+⎜⎟⎜⎟+⎝⎠1110300(3)(1)(3)λλλλλλλλλ+⎛⎞⎜⎟⇔−−⎜⎟⎜⎟−+++⎝⎠很显然，当03λλ≠∧≠−时，方程组有唯一解；当0λ=时，方程组无解；当3λ=−时，方程组有无限多个解。这时101101120000B−−⎛⎞⎜⎟⇔−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠132312xxxx=−⎧⎫⇔⎨⎬=−⎩⎭，其中3x为自由变量，如下表示1231112()10xxccRx−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=+−∈⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠定理4：n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的冲要条件是R(A)<n。定理5：线性方程组Ax=b有解的冲要条件是R(A)=R(A,b)定理6：矩阵方程AX=B有解的冲要条件是R(A)=R(A,B)定理7：设AB=C，则{}()min(),()RCRARB≤第四章向量组的线性相关性在向量时，列向量用黑体小写字母..,abαβ等，行向量则用,,,TTTTabαβ等表示，如下12naaaa⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠M，12(,,,)Tnaaaa=L值得注意的是，其中行向量符号右上角的T只是作用，说明这是一个行向量。几何中，作为“空间”的元素是点，我们把3维向量的全体所组成的集合叫做三维向量空间，即{}3(,,)|,,TRrxyzxyzR==∈。若干个同维数的列向量或行向量所组成的集合叫做向量组。给定向量组12:,,,mAaaaL，对于任何一组实数12,,,mkkkL，表达式1122mmkakaka+++L称为向量A的一个线性组合。给定向量组12:,,,mAaaaL和向量b，如果存在一数组12,,,mλλλL，使得1122mmbaaaλλλ=+++L，则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组A线性表示。很显然，向量b