2021届四川八市广元高三理科数学第二次诊断性试卷及答案

书数学!理工类"试题答案第!页!共"页"高!"#$级第二次诊断性考试数学!理工类"参考答案评分说明!!"本解答给出了一种或几种解法供参考!如果考生的解法与本解答不同!可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则"#"对计算题!当考生的解答在某一步出现错误时!如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度!可视影响的程度决定后继部分的给分!但不得超过该部分正确解答应得分数的一半#如果后继部分的解答有较严重的错误!就不再给分"$"解答右端所注分数!表示考生正确做到这一步应得的累加分数"%"只给整数分"选择题和填空题不给中间分"一"选择题#&'分$!!答案(!因为")#"*%###!$%$)#"*#$#$#$%所以"%$)#"*%##$#$!命题意图&本小题主要考查一元二次不等式和绝对值不等式的解法%并集运算等基础知识'考查运算求解能力!#!答案+"因为$,%-#*-)!$,%-"!#,-".)#,!!-.%所以其虚部是!!.!命题意图&本小题主要考查两个复数的除法运算%复数的虚部的概念等基础知识'考查运算求解能力!$!答案/"由012!,!"&)!.%!为锐角%得2-3!,!"&)槡#&.%则012!*!"&)012!,!&*!"$)012!,!"&012!$,2-3!,!"&2-3!$)!.4!#,槡#&.4槡$#)槡!,&#!'!命题意图&本小题主要考查同角三角函数关系%两角差的余弦公式%三角函数求值等基础知识'考查运算求解能力及应用意识'考查化归与转化等数学思想!%!答案+!槡#,%!"#.的展开式中#的项为&%.!槡#"%(%#).%#%则.%)!.%故%)$!命题意图&本小题主要考查二项式展开式及其系数等基础知识'考查运算求解能力'考查化归与转化数学思想!.!答案5"根据正方体性质%有"$!&平面"!$'!于是"!'&"$!%其余不正确!命题意图&本小题考查空间直线)平面的位置关系等基本知识'考查推理论证)空间想象等数学能力'考查数形结合等数学思想!数学!理工类"试题答案第#!页!共"页"&!答案+!当(为奇数时%(,#*%()#%数列#%#(*!$是首项为!%公差为#的等差数列'当(为偶数时%(,#*%()'%数列#%#($是首项为#%公差为'的等差数列%即常数列!则)!'')!%!,%$,*,%66",!%#,%%,*,%!''").',.'4%6#4#,.'4#)#&''!命题意图&本小题主要考查等差数列的基本量%前(项和%通项公式等基础知识'考查运算求解能力和应用意识%考查分类讨论等数学思想!7!答案5"易得直线"$的方程为*)##*#%设"!#!%*!"%$!##%*#"%由*)##*#%*#)%'()#消去*有##*$#,!)'%从而#!,##)$%""$")#!,##,#).!故选5"命题意图&本小题主要考查直线与抛物线的位置关系%抛物线方程和几何性质等基础知识'考查运算求解等数学能力'考查化归与转化%数形结合等数学思想!8!答案("由+!*#")+!#"可知+!#"是偶函数%排除/'当#*'时%+!#")9#*:3#*#%则+,!#")9#*!#%可知+,!#"在!'%,;"上单调递增%且+,!"!#)9!#*#$'%+,!")9*!*'%则存在#'+!#%!"!%使得+,!#'")'%当'$#$#'时%+,!#"$'%+!#"单调递减'当#*#'时%+,!#"*'%+!#"单调递增%且#'是+!#"在!'%,;"上唯一极小值点%故选("命题意图&本小题考查函数图象和性质)函数的导数及应用等基础知识'考查推理论证能力)创新意识'考查数形结合等数学思想!6!答案/!,"$&的面积)!#-#2-3-"&$#!#-#%当仅当-"&$)6'<时+),成立%此时点&到直线.的距离为/!&%."槡).!设.&*)0#,#%则"#0,!"0#槡,!槡).%解得0)#%所以方程为*)##,#!命题意图&本小题主要考查直线方程)圆的方程等基本知识'考查运算求解等数学能力'考查数形结合)化归与转化等数学思想!!'!答案+!!记抽到自己准备的书的学生数为1%则1可能值为'%!%#%!2!1)'")&!$4$"%%)6#%%2!1)!")&!%4#"%%)8#%%2!1)#")&#%4!"%%)&#%%2!1)%")!"%%)!#%%则31)'46#%,!48#%,#4&#%,%4!#%)!!命题意图&本小题主要考查概率)离散型随机变量分布列和期望等基础知识'考查运算求解能力)应用意识和创新意识'考查化归与转化)概率统计等数学思想!数学!理工类"试题答案第$!页!共"页"!!!答案/!设""4!")5%则""4#")5,#%)"$4#"%从而"$4!")5,%%%进而"$"")%%!过4#作4#6&"$)6%则""6")#%!在=>,4!4#6中%"4#6")#72-3$'<)7%"4!6")#7012"槡)$7)""4#"'在=>,"4#6中%!槡$7"#*7#)!#%"#%即#7#)%%#%所以8槡)#!命题意图&本小题主要考查双曲线标准方程和几何性质%直线与双曲线的位置关系等基础知识'考查运算求解能力与应用意识'考查化归与转化%数形结合等数学思想!!#!答案5"原不等式化为#,9#.%#,:3%#%即9#,:39#.%#,:3%#%令+!#")#,:3#!#*'"%知+!#"在!'%,;"上单调递增%原不等式转化为+!9#".+!%#"%所以9#.%#%即%#9##%设9!#")9##%则9,!#")9#!#*!"##%当'$#$!时%9,!#"$'%9!#"单调递减'当#*!时%9,!#"*'%9!#"单调递增%故当#)!时9!#"取得最小值9!")9%所以%的最大值为9!命题意图&本小题主要考查函数的性质)不等式等基础知识'考查抽象概括)运算求解等数学能力'考查化归与转化等数学思想!二"填空题#'分$!$!答案*!!由题意%有5!45#槡,$)012#!$)*!#%可解得5)*!满足答案!命题意图&本小题主要考查向量夹角)数量积运算的等基础知识'考查运算求解等数学能力!!%!答案!#7!设等比数列#%($的公比为:%由%!,%!:)6&%%!:#)!&'()%有&:#*:*!)'%解得:)!#%:)*!$!舍去"%所以%!)&%%所以)7)&%!*!"!#7"!*!#)!#8!*!!"!#8)!#7!命题意图&本小题主要考查等比数列的基本量%通项公式及前(项和公式等基础知识'考查运算求解能力及应用意识%考查方程等数学思想!!.!答案!%!#!!第一空$分%第二空#分"函数+!#")"!2-3##,012##",;槡)#"2-3##,!!"%,;!"*'%#*'"!因为函数+!#"的最大值为$%最小值为*!%所以槡#",;)$%槡*#",;)*!'()%解得"槡)#%;)!'()!因为函数+!#"图象的相邻两条对称轴之间的距离为#!%所以函数+!#"的最小正周期为%!%所以#)#!%!)!#!数学!理工类"试题答案第%!页!共"页"命题意图&本小题主要考查三角函数的图象及其性质%最值问题%最小正周期等基础知识'考查运算求解能力及应用意识'考查化归与转化%数形结合等数学思想!!&!答案!&!设圆锥的底面圆半径为-%高为<%则<*!"$%#,-#)!"$%#%即-#)$#<*<#%从而=)!$!-#<)!$!$#<#*;?08@?!!5@A/5"!*@A1*"08@?!!5@A/5"#?7'%#?.$2!?&&7%>?1*A>;/5?!#?#.A!?&&7B%?.2%?7.%所以%*关于5的回归方程为>*)!?&75,%?7.!&分……………………………………………!#"第!'天接种人数>*的预报值>*)!?&74!',%?7.)#!?%.%即#!%.人!8分……………当5)!#时%>*的预报值>*)!?&74!#,%?7.)#%?76'当5)!$时%>*的预报值>*)!?&74!$,%?7.)#&?%&*#.!故预计从第!$天开始%接种人数会突破#.''人!!#分………………………………………命题意图&本小题主要考查回归方程)统计案例等基本知识'考查抽象概括)数据处理等能力和应用意识'考查统计思想!!8!解析&!"法一&因为#;*7)#%012&%由正弦定理得#2-3$*2-3&)#2-3"012&%#分…………………………………………………又2-3$)2-3-!*!",&".)2-3!",&"%所以#!2-3"012&,012"2-3&"*2-3&)#2-3"012&%所以#012"2-3&*2-3&)'!%分…………………………………………………………………因为'$&$!%所以2-3&3'%所以012")!#!因为"+!'%!"%所以%")!$!&分…………………………………………………………………………………法二&因为#;*7)#%012&%由余弦定理得#;*7)#%(%#,;#*7##%;%#分……………………………………………………数学!理工类"试题答案第&!页!共"页"整理得;#,7#*%#);7%所以012");#,7#*%##;7)!#!%分………………………………………………………………又'$"$!%所以")!$!&分……………………………………………………………………!#"由!"得")!$%根据题意得'$&$!#%!$,&*!#'()%%解得!&$&$!#!8分………………………………………………在,"$&中%由正弦定理得72-3&);2-3$%所以;)72-3$2-3&)#2-3&,!!"$2-3&)2-3&槡,$012&2-3&)!,槡$>@3&!!'分……………………………因为!&$&$!#%所以>@3&+槡$$%,;!"%所以槡$>@3&+!'%$"%所以!,槡$>@3&+!%"!故;的取值范围为!%"!!#分…………………………………………………………………命题意图&本小题主要考查正弦定理%余弦定理%两角和正弦公式%正切函数的取值范围等基础知识'考查运算求解能力及应用意识'考查化归与转化%方程等数学思想!!6!解析&!"因为"44面&C3%"45面"C34%面&C36面"C34)C3%所以"44C3!#分………………………………………………………………………………在线段3C上取点D%使得3D)#%从而CD)!)"4%又"44CD%所以"CD4是平行四边形!所以4D)"C)$%又34槡)!$%于是34#)3D#,4D#%即4D&3D%所以"C&3C!%分………………………………………………………………………………因为"$&C是正方形%则"C&C&%而C&6C3)C%所以"C&平面&C3!.分………………………………………………………………………!#"因为&3槡)$#%C3)C&)$%即&3#)C3#,C&#%所以C3&C&%从而C"%C&%C3两两相互垂直!数学!理工类"试题答案第'!页!共"页"以C为原点建立如图所示空间直角坐标系C*#*E%则$!$%$%'"%3!'%'%$"%4!$%'%!"%&!'%$%'"%78$3)!*$%*$%$"%78$4)!'%*$%!"%78$&)!*$%'%'"!7分……设平面$34的法向量为!)!#!%*!%E!"%由*$#!*$*!,$E!)'%*$*!,E!)''()%可取!)!#%!%$"!6分………………设平面$&3的法向量为")!##%*#%E#"%由*$##*$*#,$E#)'%$##)''()%可取")!'%*!%*!"!!'分………………………………………所以012/"%!0)*!*$槡!%(槡#)*槡#77%所以二面角"*$3*&余弦值为*槡#77!!#分…………………………………………………命题意图&本小题主要考查空间直线与平面的位置关系%直线与平面平行和垂直)二面角等基础知识'考查空间想象能力)运算求解能力)推理论证能力和创新意识'考查数形结合)化归与转化等数学思想!#'!解析&!"当;)!时%+!#")9#*%#%则+,!#")9#*%%若%#'%+,!#"*'%+!#"单调递增%不合题意!若%*'%由+,!#")'得#):3%!'$#$:3%时%+,!#"$'%+!#"单调递减'#*:3%时%+,!#"*'%+!#"单调递增%此时%所以+!#"的极小值为+!:3%")9:3%*%:3%)%*%:3%%+!#"有两个零点%则%*%:3%$'%即:3%*!%所以%*9%故%的取值范围是!9%,;"!%分………………………………………………………………!#"由题+,!#")9#*%%若%$'%+,!#"*'%+!#"单调递增%当#7*;时%+!#"7*;%此时存在#'%使得+!#'"$'%不符合题意!若%)'%由+!#".'%知!*;.'%即;#!%满足;*%#$7%!&分………………………………若%*'%由+,!#")'得#):3%%当#$:3%时%+,!#"$'%当#*:3%时%+,!#"*'%则+!#"在#):3%时极小值%也即为最小值%则有+!#"A-3)+!:3%")%*%:3%*;,!.'%所以;#%*%:3%,!%则;*%##*%#,%*%:3%,!!8分………………………………………令F!%")*%#,%*%:3%,!!%*'"%则F,!%")*#%*:3%%数学!理工类"试题答案第(!页!共"页"可知F,!%"单调递减%由于F,!"!$)*#$*:3!$)*#$,:3$*'%F,!"!#)*!,:3#$'%故存在%'+!$%!"!#%使得F,!%'")'%即有:3%')*#%'!!'分………………………………当'$%$%'时%F,!%"*'%F!%"单调递增'当%*%'时%F,!%"$'%F!%"单调递减!所以%当%)%'时%F!%"取得最大值!F!%"A@B)F!%'")*%#',%'*%':3%',!)*%#',%',#%#',!)%#',%',!%由于F!%'")%#',%',!在%'+!$%!"!#单调递增%故F!%'"$F!"!#)7%!所以%;*%#$7%!!#分……………………………………………………………………………命题意图&本小题主要考查导数的几何意义)导数及其应用)函数极值与最值点等基础知识'考查推理论证)运算求解等数学能力和创新意识'考查分类与整合)函数与方程及数形结合等数学思想!#!!解析&!"设"!#'%*'"%则$!*#'%**'"%由题意得焦点为4!*%#槡*!%'"!所以%784"(784$)!#',%#槡*!%*'"(!*#',%#槡*!%**'")*#'#**'#,%#*!%当784"(784$)'时%有##',*#')%#*!!#分………………………………………………………联立*)0#%##%#,*#)!'()%得##')%#0#%#,!%*#')0#%#0#%#,!%从而%#0#%#,!,0#%#0#%#,!)%#*!!将0)槡$$代入%得%%#%#,$)%#*!%所以%#)$!%*!"%故%槡)$!%分………………………………………………………………!#"由!"知%4!槡*#%'"%椭圆&&##$,*#)!!设"C&#)#'槡,#*'*槡*#%代入椭圆&&##,$*#)$%得$,!#'槡,#"#*-.#'*#*槡##!#'槡,#"*'**!)'!而##',$*#')$%即!槡.,###'"*#槡*##!#'槡,#"*'***#')'%从而*C)**'槡.,###'!&分…………………………………………………………………………同理$3&#)#'槡*#*'*槡*#%*3)*'槡.*###'!从而*3,*C*3**C)槡###'.!8分………………………………………………………………………数学!理工类"试题答案第)!页!共"页"于是0C3)*3**C#3*#C)*3**C#'槡*#*'*3*#'槡,#*'*C)!#'*'*槡#*'(*3,*C*3**C).(*'#').0!所以直线C3&***C).*'#'!#*#C"!!'分………………………………………………………令*)'%得#)#C*#'.*'*C)#'槡,#*'*C*#'.*'*C槡*#!将*C)**'槡.,###'代入得#)*&.槡#%所以C3经过定点*&.槡#%!"'!!#分……………………………………………………………命题意图&本小题主要考查椭圆的定义)标准方程及其几何意义)直线与椭圆的位置关系等基础知识'考查推理论证)运算求解等数学能力和创新意识'考查化归与转化等数学思想!选考题#!'分$##!解析&!"将曲线&!的参数方程化为普通方程%得!#*#"#,*#)$#!#分…………………………………………………………………………曲线&#的极坐标方程为$2-3#"*%012")'%有$#2-3#"*%$012")'%由#)$012"*)$2-3'()"得曲线&#的直角坐标方程为*#)%#!.分………………………………………!#"法一&将#)#,槡##5%*)槡##'()5!5为参数"代入曲线&#的方程得%槡##!"5#)%#,槡##!"5%即5#槡*%#5*!&)'!&分…………………………………………………………………………由于%)!槡*%#"#*%4!*!&")6&*'%故可设5!%5#是方程5#槡*%#5*!&)'的两个不同的实根%所以5!槡槡)##,#&%5#槡槡)##*#&%7分………………………………………………………由5的几何意义得%"2G")"5!","5#")5!*5#槡)%&!8分……………………………………同理将#)#,槡##5%*)槡##'()5!5为参数"代入曲线&!的方程得%5#)$#%解得两根为5$)槡&#%5%)*槡&#!数学!理工类"试题答案第"!页!共"页"所以"'H")"5$","5%")5$*5%槡)&!6分………………………………………………………故"2'","HG")"2G"*"'H"槡槡槡)%&*&)$&!!'分……………………………………法二&直线.的普通方程为*)#*#%将直线.与曲线&#的方程联立%得*)#*#%*#)%#'()%消去*%整理得##*8#,%)'!设2!#!%*!"%G!##%*#"%则#!,##)8%#!##)%!7分…………………………………………所以"2G"槡)#"#!*##"槡)#48#槡槡*%4%)%&!8分………………………………………而曲线&!是以!#%'"为圆心%槡&#为半径的圆%显然点&!!#%'"在直线.&*)#*#上%所以"'H")#4槡&#槡)&!6分……………………………………………………………………故"2'","HG")"2G"*"'H"槡槡槡)%&*&)$&!!'分……………………………………命题意图&本小题主要考查直线)圆的参数方程与普通方程互化%抛物线的极坐标方程与直角坐标方程互化%直线与圆%直线与抛物线的位置关系等基础知识'考查运算求解)逻辑推理等数学能力'考查数形结合等数学思想!#$!解析&!"当5)!时%+!#")"#,#"*"#*!"%则+!#"*#等价于"#,#"*"#*!"*#即#$*#%*#*#,#*!*#'()%或*####!%#,#,#*!*#'()%或#*!%#,#*#,!*#'()%$分…………………………解得#*!#%故原不等式的解集为##*#$!#!.分…………………………………………………………!#"由+!#")"#,#"*"#*5"#"!#,#"*!#*5")"5,#"!所以+!#"的最大值为"5,#"!7分………………………………………………………………所以对于任意实数#%不等式+!#"#5#,#5恒成立等价于"5,#"#5#,#5恒成立!8分……即*5#*#5#5,##5#,#5%解得5#*#或5.!!6分…………………………………………故5的取值范围为!*;%*#.%-!%,;"!!'分………………………………………………命题意图&本小题主要考查求解绝对值不等式)讨论含参不等式成立问题等知识'考查运算求解)推理论证能力'考查化归与转化等数学思想!