小学数学竞赛：加乘原理之数字问题(一).教师版解题技巧 培优 易错 难

复习乘法原理和加法原理；培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力．让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法解决问题．在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分步．并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合．一、加乘原理概念生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的．那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决．还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法．要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决．二、加乘原理应用应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：(1)加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和．⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积．⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理,综合分析，正确作出分类和分步．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互．不．影．响．的独．立．步．骤．来完成，这几步是完成这件任务缺．一．不．可．的．，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”．例1】由数字1，2，3可以组成多少个没有重复数字的数？考点】加乘原理之综合运用【难度】2星【题型】解答解析】因为有1，2，3共3个数字，因此组成的数有3类：组成一位数；组成二位数；组成三位数．它们的和就是问题所求．1组成一位数：有3个；⑵组成二位数：由于数字可以重复使用，组成二位数分两步完成；第一步排十位数，有3种方法；第二步排个位数也有3种方法，因此由乘法原理，有3x2=6个；⑶组成三位数：与组成二位数道理相同，有3x2=6个三位数；所以，根据加法原理，一共可组成3+6+6=15个数.答案】15【例2】用数字1,2,3可以组成6个没有重复数字的三位数，这6个数的和是。考点】加乘原理之综合运用【难度】2星【题型】填空关键词】希望杯,4年级,1试解析】（1+2+3）x2x111=1332.答案】1332巩固】由数字0,3,6组成的所有三位数的和是。考点】加乘原理之综合运用【难度】2星【题型】填空关键词】希望杯,四年级,二试,第6题解析】由数字0,3,6组成的所有三位数有306,360,603,630,它们的和为：306+360+603+630=1899。答案】1899例3】由数字0,1,3,9可以组成多少个无重复数字的自然数？考点】加乘原理之综合运用【难度】2星【题型】解答解析】满足条件的数可以分为4类：一位、二位、三位、四位数．第一类,组成0和一位数,有4个（0不是一位数,最小的一位数是1）；第二类，组成二位数，有3x3=9个；第三类，组成三位数，有3x3x2=18个；第四类，组成四位数，有3x3x2x1=18个.由加法原理，一共可以组成4+9+18+18二49个数.答案】49例4】用数字0，1，2，3，4可以组成多少个小于1000的自然数？考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】小于1000的自然数有三类.第一类是0和一位数，有5个；第二类是两位数，有4x5=20个；第三类是三位数，有4x5x5=100个，共有5+20+100=125个.答案】125例5】用数码0，1，2，3，4，可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数？考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】分为三类，一位数时，0和一位数共有5个；二位数时，为4x4=16个，三位数时，为：4x4x3=48个，由加法原理，一共可以组成5+16+48=69个小于1000的没有重复数字的自然数.答案】69【例6】用0〜9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数.考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答解析】无重复数字的四位数的千位、百位、十位、个位的限制条件：千位上不能排0，或说千位上只能排1〜9这九个数字中的一个.而且其他位置上数码都不相同，下面分别介绍三种解法.（方法一）分两步完成：第一步：从1〜9这九个数中任选一个占据千位，有9种方法；第二步：从余下的9个数（包括数字0）中任选3个占据百位、十位、个位，百位有9种.十位有8种，个位有7种方法；由乘法原理，共有满足条件的四位数9x9x8x7=4536个.（方法二）组成的四位数分为两类：第一类：不含0的四位数有9x8x7x6=3024个；第二类：含0的四位数的组成分为两步：第一步让0占一个位有3种占法，（让0占位只能在百、十、个位上，所以有3种）第二步让其余9个数占位有9x8x7种占法•所以含0的四位数有3x9x8x7=1512个.由加法原理，共有满足条件的四位数3024+1512=4536个.答案】4536巩固】用0，1，2，3四个数码可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】分为两类：个位数字为0的有3X2=6个，个位数字为2的有2X2=4个，由加法原理，一共有：6+4=10个没有重复数字的四位偶数.答案】10例7】在2000到2999这1000个自然数中，有多少个千位、百位、十位、个位数字中恰有两个相同的数？考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答解析】若相同的数是2，则另一个2可以出现在个、十、百位中的任一个位置上，剩下的两个位置分别有9个和8个数可选，有3x9x8=216（个）若相同的数是1,有3x8=24（个）同理，相同的数是0,3,4，5，6，7，8，9时，各有24个，所以，符合题意的数共有216+9x24=432（个）.答案】432例8】在1000至1999这些自然数中个位数大于百位数的有多少个?考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】（方法一）解决计数问题常用分类讨论的方法.设在1000至1999这些自然数中满足条件的数为1abc（其中c>a）；（1）当a=0时，c可取1〜9中的任一个数字，b可取0〜9中的任一个数字，于是一共有9x10=90个.（2）当a=1时，c可取2〜9中的任一个数字，b仍可取0〜9中的任一个数字，于是一共有8x10=80个.（3）类似地，当a依次取2，3，4，5，6，7，8时分别有70，60，50，40,30，20，10个符合条件的自然数.所以，符合条件的自然数有90+80+70+L+20+10=450个.（方法二）1000至1999这1000个自然数中，每10个中有一个个位数等于百位数，共有100个；剩余的数中，根据对称性，个位数大于百位数的和百位数大于个位数的一样多，所以总数为（1000-100）一2=450个.答案】450例9】某人忘记了自己的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9．为确保打开保险柜至少要试多少次？考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答解析】四个非0数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六种．第一种中，只要考虑6的位置即可，6可以随意选择四个位置，其余位置方1，共有4种选择．第二种中，先考虑放2,有4种选择，再考虑5的位置，有3种选择，剩下的位置放1,共有4x3=12种选择，同理，第三、第四、第五种都有12种选择，最后一种与第一种相似，3的位置有四种选择，其余位置放2，共有4种选择.由加法原理，一共可以组成4+12+12+12+12+4=56个不同的四位数，即为确保打开保险柜至少要试56次．答案】56【例10】将1到35这35个自然数连续地写在一起，够成了一个大数：1234567891011333435，则这个大数的位数是。考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】填空关键词】希望杯，4年级，1试解析】这个数的位数与数码的总共个数有关系，从1到9都是一位数，则共有9个数码，从10到35全市两位数，则共有26x2=52（个）数码，那么位数就共有9+52=61（位）答案】61例11】如图，《希望杯数学能力教程（四年级.》一书有160页，在它的页码中，数字“2”共出现考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】填空关键词】希望杯，4年级，1试解析】十位上是2的有20个（含有22和122.，个位上是2的有14个（除了22和122.，所以共有34个数。答案】34个【例12】按照中国篮球职业联赛组委会的规定，各队队员的号码可以选择的范围是0一55号，但选择两位数的号码时，每位数字均不能超过5.那么，可供每支球队选择的号码共()个.(A)34(B)35(C)40(D)56考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】选择关键词】华杯赛，初赛，第3题解析】根据题意，可供选择的号码可以分为一位数和两位数两大类，其中一位数可以为0~9，有10种选择；两位数的十位可以为广5，个位可以为0~5，根据乘法原理，两位数号码有5>6=30种选择。所以可供选择的号码共有10+30=40种。【答案】C种例13】从1到100的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个?考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答解析】从1到100的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数．一位数中，不含4的有8个，它们是1、2、3、5、6、7、8、9；两位数中，不含4的可以这样考虑：十位上，不含4的有1、2、3、5、6、7、8、9这八种情况．个位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有8972个数不含4．三位数只有100．所以一共有889181个不含4的自然数．答案】81巩固】从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个?考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答解析】从1到500的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数．一位数中，不含4的有8个，它们是1、2、3、5、6、7、8、9；两位数中，不含4的可以这样考虑：十位上，不含4的有1、2、3、5、6、7、8、9这八种情况．个位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有8刈=72个数不含4.三位数中，小于500并且不含数字4的可以这样考虑：百位上，不含4的有1、2、3、这三种情况．十位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，个位上，不含4的也有九种情况.要确定一个三位数，可以先取百位数，再取十位数，最后取个位数，应用乘法原理，这时共有399243个三位数.由于500也是一个不含4的三位数.所以，1一500中，不含4的三位数共有3991244个.所以一共有8893991324个不含4的自然数.答案】324巩固】从1到300的所有自然数中，不含有数字2的自然数有多少个?考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答解析】从1到300的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数.一位数中，不含2的有8个，它们是1、3、4、5、6、7、8、9；两位数中，不含2的可以这样考虑：十位上，不含2的有1、3、4、5、6、7、8、9这八种情况.个位上，不含2的有0、1、3、4、5、6、7、8、9这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有8972个数不含2；三位数中，除去300外，百位数只有1一种取法，十位与个位均有0，1，3，4，5，6，7，8，9九种取法，根据乘法原理，不含数字2的三位数有：19981个，还要加上300；根据加法原理，从1到300的所有自然数中，不含有数字2的自然数一共有87282162个.答案】162【例14】将各位数字的和是10的不同的三位数按从大到小的顺序排列，第10个数是。【考点】加法原理之分类枚举【难度】3星【题型】填空关键词】希望杯，4年级，1试解析】百位是9的有2个，百位是8的有3个，百位是7的有4个，这一共是9个，接下来应该是百位是6的，其中最大的是640，所以第10个数是640。答案】640例15】把所有不含重复数字的四位偶数从小到大排成一列，则从前往后数第364个数是多少？考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】填空关键词】学而思杯，5年级，第9题【解析】1打头的数中，个位有5种取法，剩下的两位分别有8种取法和7种取法，总共有5x8x7=280个数。364-280=84，所以第364个数是2打头的第84个数。2打头的数中，百位是奇数时，个位有4种取法，十位有7种取法，总共有28个数；百位是偶数时，个位有3种取法，十位有7种取法，总共有21个数。前两位是20，21，23，24的分别有21，28，28，21个，84-21-28-28=7，所以2打头的第84个数是24打头的第7个数。列举可得前7个数是2406，2408，2410，2416，2418，2430，2436，所以是2436。答案】2436例16】由数字1，2，3，4组成的所有四位数中（数字不重复使用），从小到大排列，第7个数是考点】加乘原理之综合运用【难度】4星【题型】填空关键词】学而思杯，3年级，第2题解析】1开头的数有6个，所以第7个数应该是2开头的最小的数，那么应该是2134答案】2134巩固】由1，2，3，4，5五个数字组成的不同的五位数有120个，将他们从大到小排列起来，第95个数是。考点】加乘原理之综合运用【难度】4星【题型】填空关键词】希望杯,4年级,1试解析】1打头的有24个，2打头24个，3打头24个，4打头24个，正好96个，第96个数是45321，第95个是45312。答案】45312例17】由数字0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列，2008排在第个．考点】加乘原理之综合运用【难度】4星【题型】解答关键词】第二届，华杯赛【解析】比2008小的4位数有2000和2002，比2008小的3位数有2x3x3=18（种）比2008小的2位数有2x3=6（种）比2008小的1位数有2（种）所以2008排在第2+18+6+2+1二29（个）.答案】29例18】从分别写有2、4、6、8的四张卡片中任取两张，做两个一位数乘法.如果其中的6可以看成9，那么共有多少种不同的乘积？考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答解析】取2有8、12、16、18四种，取4增加24、32、36三种，取6增加48、72两种，一共有9种答案】9种【巩固】有七张卡片：1、1、叵、［3、19、［9、［9，从中任取3张可排列成三位数。若其中卡片［9旋转后可看作0，贝Q排成的偶数有个。考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】填空关键词】希望杯，五年级，一试，第19题解析】当个位是2时，有15种，当个位是6时有23种，一共有15+23=38种答案】38种例19】自然数8336，8545，8782有一些共同特征，每个数都是以8开头的四位数，且每个数中恰好有两个数字相同．这样的数共有多少个？考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】两个相同的数字是8时,另一个8有3个位置可选，其余两个位置有9x8=72种填法，有3x9x8=216个数；两个相同的数字不是8时，相同的数字有9种选法，不同的数字有8种选法，并有3个位置可放，有9x8x3=216个数.由加法原理，共有3x9x8+9x8x3=432个数.答案】432巩固】在1000到1999这1000个自然数中，有多少个千位、百位、十位、个位数字中恰有两个相同的数？考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答解析】若相同的数是1，则另一个1可以出现在个、十、百位中的任一个位置上，剩下的两个位置分别有9个和8个数可选，有3x9x8=216个；若相同的数是2,有3x8=24个；同理，相同的数是0,3,4,5,6，7，8，9时，各有24个，所以，符合题意的数共有216+9x24=432个答案】432【例20】如果一个三位数ABC满足A>B,B