为什么一些函数没有初等原函数

为什么一些函数没有初等原函数by唐乾注.我们将一致的在C上考虑这个问题.本文定义的术语不全都是术语,但应用的非标准术语是方便的,为了简化起见也略去了一些标准术语的引用和定义上的细节,对此有额外需求的读者可以参考参考文献.sinx2我们知道很多函数都没有初等原函数,例如老生常谈的和ex,我们也知道他们当然不仅有原函数,而x¡且R上的定积分也能写出一个简单的表达式sinxdx=;xZRx2e¡dx=p:ZR然而原函数却不行,用我们熟知的简单的函数根本无法表示出来,可见初等原函数的初等一词着实是一个非常强烈的要求.初学积分时肯定很多人做过积出他们的努力,随后恐怕也能隐隐觉察出这一点来并听说了这种小道消息后放弃,但是要说明为什么无法做到绝对不是显然或者轻松的,但是也并不是高深莫测的.我们总可以找到一些理由来说明为什么找不到初等原函数:根据传统哲学的观点,大自然是非常奇妙的,整个世界充满了各种复杂多变的因果关系,期望什么对象都能找到一个简单的表达式是一种奢求,所以存在不能写成初等表达式的函数并没什么奇怪的.假如我后面循着这种方式论述下去,那可就真是要命了.这种解释仅仅拍了一个马后炮,既不能对其他的研究作出什么启发性的帮助,也不能对这个问题作出更深刻的洞察.只能让人产生理解感而已,至多算是一种个人感触.唯一可以说是针对这个问题有意义的讨论,就是讨论这件事的证明本身.1定义与铺垫谈论证明之前,在数学上需要做的铺垫就是,如何将这个问题精确的表达清楚?也就是严格的去定义什么叫初等函数.我们可以将其简单的定义为表达式简单的函数,但是那样这个问题将会变成类似于``如何将阿列夫零书写的尽可能好看''一样变成一种数学没有立足之地的问题.如果想要回答这个问题,一定要精确的试图去定义什么叫初等函数.这也是数学地处理其他问题,例如``五次方程根式不可解''等首要做的工作.基本(的)初等函数应该有:常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、双曲三角函数、反三角函数、反双曲三角函数.我们当然还应该去定义:初等函数对四则运算封闭,对复合封闭.这样我们精确的定义好了初等函数的意义,而且囊括了所有我们认为应该是初等函数的函数,至少我就想不到还会不会缺点什么.这样我们就精确的刻画好了我们认为能简单写出来的函数了.在这个基础上我们可以做进一步的简化.注意到我们有指数函数ex和对数函数lnx,那么容易看到f0(x)=lnxxg0(x)=eh0(x)=ax(aC)2ag0(h0(f0(x)))=x所以我们不需要要求幂函数或者方根是基本初等函数,类似的又注意到三角函数等等都能用指数函数复合出来,反三角函数又能用对数函数复合出来,所以我们相信最简单的定义应该是这样的定义1.1:我们定义i.f(x)=c(cC)与f(x)=x为初等函数;2ii.初等函数组成代数上的域(对四则运算封闭);iii.若f为初等函数,则ef与lnf为初等函数;iv.若f是系数是初等函数的多项式的零点,那么f是初等函数;v.只有从以上方式定义出的函数叫做初等函数.换句话说,有理函数集C(x)中的每个函数是初等函数,这里我们记为F0=C(x).这里意味最为深刻的是(iv),看起来似乎是要为这个问题凭空添加难度,因为我们清楚我们只要开根号就算是足够简单了,更别提根据伽罗瓦定理五次以上方程没有通用的根式解,但是讽刺的是这样做反而能降低难度,为了凸显出这一点,我尽量先回避应用这条定义.1如果说f是一个初等函数,那么意味着能够找到一列域的扩张F0F1:::Fn,使得对每个自然数k全文

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