北京市朝阳区2020~2021学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷

北京市朝阳区2020~2021学年度第一学期期末质量检测高三年级试卷2021．1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目的一项。（1）已知全集，集合，则=（A）（B）（C）（D）（2）已知向量，，且，则（A）（B）（C）（D）（3）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（A）（B）（C）（D）（4）已知等比数列的各项均为正数，且，则（A）（B）（C）（D）（5）设抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，是上一点．若，则（A）（B）（C）（D）（6）已知函数，给出下列四个结论：①函数是周期为的偶函数；②函数在区间上单调递减；③函数在区间上的最小值为；④将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象与的图象重合．其中，所有正确结论的序号是（A）①③（B）②③（C）①④（D）②④（7）已知定义在上的奇函数满足，且，当时，．设，，，则的大小关系为（A）（B）（C）（D）（8）已知圆，直线，则“与相交”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）已知双曲线（，）的左焦点为，右顶点为，过作的一条渐近线的垂线，为垂足．若，则的离心率为（A）（B）（C）（D）（10）在平面直角坐标系中，已知直线（）与曲线从左至右依次交于，，三点．若直线：（）上存在点满足，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）设．若复数为纯虚数，则________，________．（12）在的展开式中，常数项是________．（用数字作答）（13）在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．根据《周髀算经》记载，西周数学家商高就发现勾股定理的一个特例：若勾为三，股为四，则弦为五．一般地，像这样能够成为一个直角三角形三条边长的正整数组称为勾股数组．若从，，，，，，，，，这些勾股数组中随机抽取1组，则被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的概率为________．（14）若函数为偶函数，则常数的一个取值为________．（15）设函数的定义域为，若对任意，存在，使得，则称函数具有性质，给出下列四个结论：①函数不具有性质；②函数具有性质；③若函数，具有性质，则；④若函数具有性质，则．其中，正确结论的序号是________．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）在中，，，且，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。（17）（本小题13分）某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品．该公司将收集到的数据按照[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分组，绘制成评分频率分布直方图如下：A地区用户满意程度评分频率分布直方图B地区用户满意程度评分频率分布直方图（Ⅰ）从A地区抽取的400名用户中随机选取一名，求这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率；（Ⅱ）从B地区抽取的100名用户中随机选取两名，记这两名用户的评分不低于80分的个数为，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为，B地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及A，B两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小．（结论不要求证明）（18）（本小题14分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，，是线段的中点，连结．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．（19）（本小题15分）已知椭圆过点，且的离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线交椭圆于，两点，求的取值范围．（20）（本小题15分）已知函数（）．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若恰有两个零点，求实数的取值范围．（21）（本小题15分）已知无穷数列满足：，（，）．对任意正整数，记，．（Ⅰ）写出，；（Ⅱ）当时，求证：数列是递增数列，且存在正整数，使得；（Ⅲ）求集合．北京市朝阳区2020~2021学年度第一学期期末质量检测高三数学参考答案2021．1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B（2）C（3）A（4）C（5）C（6）D（7）A（8）B（9）B（10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）；（12）（13）（14）（答案不唯一）（15）①③三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：选条件①：．（Ⅰ）在中，因为，所以．因为，且，，，所以．化简得，解得或．当时，，与题意矛盾．所以，所以．9分（Ⅱ）因为，，所以．所以．13分选条件②：．（Ⅰ）在中，因为，所以由得．因为，且，，，所以．解得．9分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以．因为，，所以．所以．13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）由题知A地区共抽取400名用户，其中有240名用户对该公司产品的评分不低于60分，所以从A地区抽取的400名用户中随机选取一名，这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率是．3分（Ⅱ）由题可知的可能取值为0，1，2．；；．所以的分布列如下：所以的数学期望．10分（Ⅲ）．13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）因为四边形为菱形，所以．又因为，为的中点，所以．又因为平面平面，平面平面，所以平面．因为平面，所以．4分（Ⅱ）连结．因为，为的中点，所以．由（Ⅰ）可知平面，所以，．设，则．如图，建立空间直角坐标系．所以．所以，．因为平面，所以是平面的一个法向量．设平面的法向量为，则即所以令，则，．于是．所以．由题知，二面角为钝角，所以其余弦值为．9分（Ⅲ）当点是线段的中点时，平面．理由如下：因为点平面，所以在线段上存在点使得平面等价于．假设线段上存在点使得平面．设，则．所以．由，得．所以当点是线段的中点时，平面，且．14分（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题意得解得所以椭圆的方程为．5分（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线：与椭圆交于，两点，所以，所以．当直线的斜率存在时，设其方程为，由得．且．设，则，．所以．令，则，所以．当，即时，取最大值．综上所述，的取值范围是．15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）当时，，，所以，．所以曲线在点处的切线方程为，即．3分（Ⅱ）因为，定义域为，所以．①当时，与在上的变化情况如下：最大值所以在内单调递增，在内单调递减．②当时，与在上的变化情况如下：极大值极小值所以在，内单调递增，在内单调递减．③当时，，所以在上单调递增．④当时，与在上的变化情况如下：极大值极小值所以在，内单调递增，在内单调递减．9分（III）由（II）可知：①当时，在内单调递增，在内单调递减，当时，取得最大值．（i）当时，，所以在上至多有一个零点，不符合题意．（ii）当时，．因为，，在内单调递减，所以在内有唯一零点．因为，所以且．因为，，且在内单调递增，所以在内有唯一零点．所以当时，恰有两个零点．②当时，在，内单调递增，在内单调递减，因为当时，取得极大值，所以在上至多有一个零点，不符合题意．③当时，在上单调递增，所以在上至多有一个零点，不符合题意．④当时，在，内单调递增，在内单调递减．因为当时，取得极大值，所以在上至多有一个零点，不符合题意．综上所述，实数的取值范围是．15分（21）（共15分）解：（Ⅰ），．4分（Ⅱ）当时，对任意，都有，所以．所以数列是递增数列．7分因为，所以．令，则，所以．所以存在正整数，使得．9分（III）由题意得，对任意，都有且．由（Ⅱ）可得，当时，存在正整数，使得，所以．所以若，则．又因为，所以若，则．所以若，则，即．下面证明．①当时，对任意，都有．下证对任意，．假设存在正整数，使得．令集合，则非空集合存在最小数．因为，所以．因为，所以．所以，与矛盾．所以对任意，．所以当时，．②当时，．下证对任意，．假设存在正整数，使得．令集合，则非空集合存在最小数．因为，所以，所以．因为，所以．，且，所以，与矛盾．所以当时，．所以当时，对任意，都有．所以，即．因为，且，所以．15分高三数学试卷第1页（共14页）