相遇问题整理

—行程问题（相遇、流水行船）：相遇问题是行程问题中的一种情况。这类应用题的特点是：两个运动的物体，同时从两地相对而行，越行越近，到一定的时候二者可以相遇。相遇问题的数量关系：速度和X相遇时间二两地路程两地路程三速度和二相遇时间两地路程三相遇时间二速度和解题时，除掌握数量关系外，还要根据题意想象实际情景，画线段图来帮助理解和分析题意，突破题目的难点。流水行船问题船速：船在静水中的速度；水速：水流速度；顺水速度：船顺水航行的实际速度；逆水速度：船逆水航行的实际速度；行船问题中也反映了行程问题的路程、速度与时间的关系。顺水路程二顺水速度X时间逆水路程二逆水速度X时间行船问题中的两个基本关系式：顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速由以上两个基本关系式还可以得到以下两个关系式船速二（顺水速度+逆水速度）三2水速二（顺水速度-逆水速度）三2例1一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20％，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米？解：设原速度是1原吋间=更竿里力口速后吋间=里芈鱼+2Q愿就得出，加速20%后，所用时间缩短到原时间的1十雄％一了这是具体地反映：距离固定，时间与速度成反比.用原速行驶需要"=6（小吋）_4同样道理，车速提高25%，所用时间缩短到原来的陀跖二了换-句话说，缩短瑞现在要充分刑用这代如果一开始就加速25%,可少时间如卜^（分钟）.现在只少了40分钟，72-40=32（分钟）.说明有一段路程未加速而没有少这个32分钟，它应是这段路程所用时间的！因此这段路所用吋间是樂亠!二1旳冷分钟》.真巧真巧，320-160=160（分钟），原速的行程与加速的行程所用时间一样.因此全程长120法|1+|j|=纳冬千氷）..答：甲、乙两地相距270千米.练习：1.一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高20％，可以提前1小时到达。如果按原速行驶一段距离后，再将速度提高30％，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？解：设原速度是1.后来速度为1+20%=1.2速度比值：1+20%6这是具体地反映：距离固定，时间与速度成反比.时间比值：6：5这样可以把原来时间看成6份，后来就是5份，这样就节省1份，节省1个小时。原来时间就是=1X6=6小时。同样道理，车速提高30％，速度比值：1：（1+30%）=1：1.3时间比值：1.3：1这样也节省了0.3份，节省1小时，可以推出行驶一段时间后那段路程的原时间为1.3三0.3=13/3所以前后的时间比值为（6-13/3）：13/3=5：13。所以总共行驶了全程的5/（5+13）=5/182.兄妹两人同时离家去上学。哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米，哥哥到校门时，发现忘带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校多远？：180X22（90-60）=12（分钟）12X60+180=900（米）答：他们家离学校900米。例2甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.答案：第二次相遇两人总共走了3个全程，所以甲一个全程里走了4千米，三个全程里应该走4*3=12千米，通过画图，我们发现甲走了一个全程多了回来那一段，就是距B地的3千米，所以全程是12-3=9千米，所以两次相遇点相距9-（3+4）=2千米。练习：1.甲乙两地的公路长195千米，两辆汽车同时从两地出发，相向而行，甲车每小时行45千米，乙车每小时30千米，途中乙车出现故障，修车用了1小时，两车从出发到相遇经过了几小时？答案3（小时）乙车出故障修车1小时看成是甲车先走1小时解：甲车1小时行的路程=45X1=45千米路程和=195-45=150千米速度和=45+30=75（千米每小时）相遇时间=150-4-75=2（小时）2+1=3（小时）答：两车从出发到相遇经过了3小时。2.从A城到B城，甲汽车用6小时，从B城到A城，乙汽车用4小时。现在甲、乙两车分别从A、B两城同时出发相对而行，相遇时甲汽车行驶了96千米，A、B两城相距多远？答案：240千米速度比：4：6=2：3.路程比：2：3.96一2x（2+3）=240千米例3甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？答案：解：那2分钟是甲和丙相遇，所以距离是（60+75）X2=270米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差所以乙丙相遇时间=270三（67.5-60）=36分钟，所以路程=36X（60+75）=4860米。练习：1.甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲乙两人从A地，丙一人从B地同事相向出发，丙遇到乙后两分钟又遇到甲，AB两地相距多少米？答案：甲丙相矗跨n1〜'—&阖期目固时例全匠=巴円拠崔舍=［乙円画MfH）湍硒册才甲此哺怕当T丙*呼—11甲讷華沟速度亠1*華・那就令—吉在申吞的-【丙蛭+（卬在平沟速度）1丙遇到乙后2分钟再遇到甲，2分钟甲、丙两人的相遇路程二甲乙两人的追及路程=（50+70）X2=240（米），甲乙的追及时间二甲丙的相遇时间=240三（60-50）=24（分）两地距离=甲丙相遇路程=（60+70）X24=3120（米）2.甲乙丙三人的行走速度分别为每分钟80米，60米，50米.甲，乙两人从A地,丙一人从B地相向出发，如果在两地同时而行，乙丙比甲丙迟2分钟相遇.AB两地的距离是多少米？答案：设AB两地的距离是x米x/（60+50）-x/（80+50）=2x/110-x/130=2130x-110x=2860020x=28600x=1430AB两地的距离是1430米如图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端■:,A与C同时出发，绕圆周相向而行。它们第一次相"••.•一遇在离A点8厘米处的B点，第二次相遇在离c点处6厘米的D点，问，这个圆周的长是多少？解：如上图所示，第一次相遇，两只小虫共爬行了半个圆周，其中从A点出发的小虫爬了8厘米，第二次相遇，两只小虫从出发共爬行了1个半圆周，其中从A点出发的应爬行8X3=24（厘米），比半个圆周多6厘米,半个圆周长为8X3—6=18（厘米），一个圆周长就是：（8X3—6）X2=36（厘米）答：这个圆周的长是36厘米。练习：1.某体育场的环形跑道长400m,甲、乙二人在跑道上练习跑步，已知甲的速度为250m/min,乙的速度为290m/min，在两人同时从同一地点同向出发,经过多长时间两人才能再次相遇？答案：乙的速度比甲快，所以再次相遇的时候情况是乙正好比甲多跑一圈，也就是400m,设Xmin后两人再次相遇，列式：乙跑的路程^甲跑的路程=400米290X-250X=400X=10min答：10分钟后两人再次相遇.2.甲乙两人骑自行车从一环形公路的同一地点同时出发，背向行驶，甲行一圈要60分钟，在出发45分钟后两人相遇，甲立即调转车头，与乙再次相遇需要多少分？解：乙的速度対：忘亦丽'相隅时间：L十（存需八=90｛分钟）；答：甲呂再次相遐杀要列分钟.故普案药：90.例5甲乙两人同时从相距1000米的两地相向而行，甲每分钟行120米，乙每分钟行80米。如果有一只狗与甲车同时同向而行，每分钟行500米，遇到乙后，立即回头向甲跑去，遇到甲后又立即回头向乙跑去，这样不断来回，直到两人相遇为止，这时狗共跑了多少米？【答案】2500米。【解析】狗行驶的时间就是甲乙两人的相遇时间，抓住相遇时间=路程和三速度和。解：路程和=1000米速度和=120+80=200（米每分）相遇时间=1000三200=5（分钟）这5分钟狗一直在跑所以狗行驶的路程=500X5=2500米。答：狗共跑了2500米。练习：1.甲乙两辆汽车同时从东站开往西站。甲车每小时比乙车多行12千米。甲车行驶4.5小时到达西站后，没有停留，立即从原路返回，在距西站31.5千米的地方和乙车相遇，甲车每小时行多少千米？答案31.5X2212=5.25（小时）5.25-4.5=0.75（小时）31.520.75=42（千米）答：甲车每小时行42千米。从图上可以看出，两车相遇时，甲车比乙车多行了两个31.5千米，即63千米，由题意可知，甲车每小时比乙车多行12千米，就可求出两车的相遇时间，即63三12=5.25（小时），已知甲车行驶4.5小时到达西站，可求出甲车从西站返回到与乙车相遇共用了5.25-4.5=0.75（小时），共行了31.5千米，进而运用公式“路程2时间=速度”求出甲车每小时行31.520.75=42（千米）。甲乙两人相向而行，甲以每小时8千米的速度由A地出发到B地走了15千米后，乙以每小时10千米的速度由B地出发，结果在两地中点相遇,A、B两地相距多少千米？答案：甲每小时8千米，乙每小时10千米，说明乙比甲每小时多行千米，甲乙两人在两地中点相遇,说明甲乙两人所行路程相同,甲先出发,走了15千米,乙比甲每小时多行2千米,所以乙要用时间15/2=7.5小时才能将所行路程补上,从而A、B两地相距：10*7.5*2=150千米.例6一只轮船的速度是每小时3600米，船在水的流速为30米／分钟的河里航行，从下游的一个港口到上游的某地，再返回到原港口，共用了3小时20分，则这条船从下游港口到上游某地共航行了多少米？【答案】3600米／小时=60米／分钟——静水速度；60+30=90（米／分钟）——顺水速度；60-30=30（米／分钟）——逆水速度；顺水速度：逆水速度=90:30=3:1说明顺水航行的时间与逆水航行的时间比为：1:往返总共用时3小时20分=200分钟那么顺水航行所用的时间为20001^3=50（分钟）全程：（60+30）X50=4500（米）答：这条船从下游港口到上游某地共航行4500米。练习：1•一艘小船在河中航行，第一次顺流航行33千米，逆流航行11千米，共用11小时；第二次用同样的时间，顺流航行了24千米，逆流航行了14千米。求这艘小船的静水速度和水流速度。【答案】两次航行顺流的路程差：33-24=9（千米）；逆流的路程差：14-11=3（千米）；顺流速度：逆流速度=9：3=3：1；顺流航行33千米与逆流航行33三3=11（千米）时间相同则逆流速度：（11+11）三11=2（千米/小时）；顺流速度：2X3=6（千米/小时）；静水速度：（6+2）三2=4千米/小时）；水流速度：（6-2）三2=2（千米/小时）答：小船在静水中的速度为4千米/小时，水流速度为2千米/小时。2.游船顺流而下，每小时前进7公里，逆流而上，每小时前进5公里．两条游船同时从同一个地方出发，一条顺水而下，然后返回；一条逆流而上，然后返回．结果，1小时以后它们同时回到出发点，忽略船头掉头时间．在这1小时内有多少分钟这两条船的前进方向相同？【答案】解：设1小时顺流时间为x分钟，贝逆流时间为（60-x）分钟，故x：（60-x）=5：7．解得x=25，所以60-x=35．35-25=10（分钟）．答：有10分钟这两条船的前进方向相同．课后作业：1、甲、乙两人同时从相距39千米的两地相向而行，甲步行每小时行3千米，乙骑自行车每小时行10千米。多少小时后他们在途中相遇？答案：392(3+10)=3(小时)2、小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？答案：行程问题中的环形相遇问题，抓住相遇时间=路程和2速度和解：路程和400X2速度和(5+3)米每秒相遇时间二(400X2)2(5+3)=100秒3、小明从甲地向乙地走，小强同时从乙地向甲地走，当各自到达终点后，又迅速返回，行走过程中，各自速度不变，两人第一次相遇在距甲地40米处，第二次相遇在距乙地15米处。问甲、乙两地之间相距多少米？【答案】40X3=120(米)120-15=105(米)答：甲、乙两地之间相距105米。4、甲、乙两车的速度比是3:5，两车同时从东、西两站相向而行，在离中点20千米处相遇。相遇后分别按原速继续行驶，当乙车到达东站时，甲车距西站还有多少千米？【答案】64千米速度比3:5，那么时间一定时，路程比是3:5.全长为320x2x(5-3)x(5+3)=160(千米)16“(1-5)二64(千米)5、甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车在离中点32千米处相遇。求东西两地的距离是多少千米？答案弓阴千氷小时匸U乙4E-?fy小时（56+48）X[32X2三（56-48）]口点唔遇处"V-=104X（64三8）:=104X8=832（千米）答：东西两地间的距离是832千米。6、甲车与乙车同时从A、B两地相对开出，经过12小时相遇。相遇后甲车又行了8小时到达B地。乙车还要行多少小时到达A地？【答案】12三8=1.512X1.5=18（小时）18-8=10（小时）答：乙车还要行10小时到达A地。7、甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分钟100米、90米、75米。甲在公路上A处，乙、丙同时在公路上B处，三人同时出发，甲与乙、丙相向而行。甲、乙相遇3分钟后，甲和丙又相遇了。求A、B之间的距离。【答案】6650米8、一列快车从甲站到乙站要5小时，一列慢车从乙站到甲站要8小时，两车同时出发，相遇时离两站中点84千米。求甲乙两站的路程。【答案】728千米速度比：8：5.路程比：8：5.84x2（8-5）x（8+5）=728千米9、一条河上有甲、乙两个码头，甲在乙的上游50千米处。客船和货船分别从甲、乙两码头同时出发向上游行驶，两船的静水速度相同且始终保持不变，客船出发时有一物品从船上落入水中，10分钟后此物品距客船5千米，客船在行驶20千米后折向下游追赶此物，追上时恰好和货船相遇，求水流的速度。【答案】0.1千米船在静水中的速度为每分钟5^10=0.5（千米）。客船、货船与物品从出发到共同相遇所需的时间为50-0.5=100（分钟）。客船掉头时，它与货船相距50千米。随后两船作相向运动，速度之和为船速的2倍，因此从调头到相遇所用的时间为50-（0.5+0.5）=50（分钟）。于是客船逆水行驶20千米所用的时间为100-50=50分钟，从而船的逆水速度是每分钟20-50=0.4（千米），水流速度为每分钟0.5-0.4=0.1（千米）10、一只木船第一次顺流航行56千米，逆流航行20千米，共用去12小时，第二次用同样的时间顺水航行40千米，逆流航行28千米，求船在静水中的速度。【答案】6千米(56-40)m(28-20)=2逆流航行20千米的时间，顺水可航行40千米，所以12小时顺水可航行(56+20x2)千米，顺水速度(56+20x2)m12=8(千米/时)逆水速度:8m2=4(千米/时)船在静水中的速度:(8+4)m2=6(千米/时)