角速度与欧拉角姿态坐标导数间的关系

角速度与欧拉角姿态坐标导数间的关系本节将介绍定点运动刚体的角速度与姿态坐标导数间的关系。在4.1.3节已经指出，时间t刚体的角速度矢量是平均角速度矢量的极限。后者的定义式(4.1-12)描述了在非常小的时间间隔内，由时刻t连体基绕一次转动矢量转过一次转动角到达时刻的连体基的变化过程。根据4.1.2节关于描述姿态的欧拉角的定义，上述过程也可以认为连体基先绕基矢量转过有限角，再绕基的基矢量转过有限角，最后绕基的基矢量转过有限角，到达时刻的连体基。故平均速度的定义式(4.1-12)可表为代入绝对角速度的定义式(4.1-13)(4.1-35)由定轴转动的角速度的定义式(3.3-2)和图4-4所示，基相对于基、基相对于基和基相对于基的角速度矢量分别为，，(4.1-36)故由角速度叠加原理式(4.1-33)也可得到上式。由式(4.1-36)，式(4.1-35)也可表为(4.1-37)基矢量、和在各自连体基的坐标阵分别为，，(4.1-38)由式(1.3-13)与(1.1-18)，和在连体基上的坐标阵为，将式(4.1-38)和式(4.1-3)与(4.1-4)代入上式，有，(4.1-39)刚体定点运动的欧拉运动学方程令角速度矢量在连体基的坐标阵记为(4.1-40)考虑到式(4.1-38)至(4.1-40)，经整理，矢量式(4.1-37)在连体基的坐标式可表为(4.1-41)上式给出了角速度矢量在连体基的坐标阵与欧拉姿态坐标及其导数间的关系。由上式可解得(4.1-42)这是以欧拉姿态坐标为变量的一阶微分方程，称为刚体定点运动的欧拉运动学方程。在方程中，角速度矢量在连体基的三个坐标为方程的参变量。当它们的时间历程给定后，通过对方程组(4.1-42)进行积分，可得到欧拉姿态坐标的时间历程。由式(4.1-42)可知，章动角不能为零。上述的推导过程同样可在参考基上进行。将角速度矢量在连体基的坐标阵记为(4.1-43)角速度矢量在连体基的坐标阵与欧拉姿态坐标及其导数间的关系为(4.1-44)相应的运动学方程为