高三数学专项训练：立体几何解答题(二)

高三数学专项训练：立体几何解答题（二）1．如图，三棱柱中，平面，，,点在线段上，且，．（Ⅰ）求证：直线与平面不平行；（Ⅱ）设平面与平面所成的锐二面角为，若，求的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设平面平面，求直线与所成的角的余弦值．2．三棱锥中,是的中点,SHAPE\*MERGEFORMAT（I）求证：；（II）若，且二面角为,求与面所成角的正弦值。3．如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，.（I）求证：平面平面；（II）求二面角的余弦值．4．已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是正三角形，侧面ABB1A1是菱形，且，M是A1B1的中点，（1）求证：平面ABC；（2）求二面角A1—BB​1—C的余弦值。5．在四棱锥中，平面，底面为矩形，.SHAPE\*MERGEFORMAT（Ⅰ）当时，求证：；（Ⅱ）若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值.6．如图，直三棱柱中，，分别为的中点，，二面角的大小为.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求与平面所成的角的大小.7．如图，在矩形ABCD中AB=1,BC=,点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，点E为PA的中点。（Ⅰ）求证：PC//平面BED；（Ⅱ）求直线BD与平面PAB所成的角的大小.8．如图，在正三棱柱中，是的中点，是线段上的动点，且(1)若，求证：；(2)求二面角的余弦值；(3)若直线与平面所成角的大小为，求的最大值.9．（本小题满分12分）如图三棱柱中，底面侧面为等边三角形，且AB=BC，三棱锥的体积为（I）求证：；（II）求直线与平面BAA1所成角的正弦值.10．如图，在多面体ABCDEF中，ABCD为菱形，ABC=60，EC面ABCD，FA面ABCD，G为BF的中点，若EG//面ABCD(I)求证：EG面ABF(Ⅱ)若AF=AB，求二面角B—EF—D的余弦值11．如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，CE∥AB。（Ⅰ）求证：CE⊥平面PAD；（Ⅱ）若PA＝AB＝1，AD＝3，且CD与平面PAD所成的角为45°，求二面角B—PE—A的正切值。12．如图，一张平行四边形的硬纸片中，，。沿它的对角线把△折起，使点到达平面外点的位置。（Ⅰ）△折起的过程中，判断平面与平面的位置关系，并给出证明；（Ⅱ）当△为等腰三角形，求此时二面角的大小。13．如图，已知正三棱柱的各条棱长都为a，P为上的点。（1）试确定的值，使得PC⊥AB；（2）若，求二面角P—AC—B的大小；（3）在（2）的条件下，求到平面PAC的距离。14．如图，斜三棱柱，已知侧面与底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠，=2，若二面角为30°.（Ⅰ）证明；（Ⅱ）求与平面所成角的正切值；（Ⅲ）在平面内找一点P，使三棱锥为正三棱锥，并求P到平面距离.15．在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V；（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；（Ⅲ）求证CE∥平面PAB．16．如图，在中，为边上高，，，沿将翻折，使得，得到几何体。（1）求证：；（2）求与平面成角的正切值。17．如图，正四棱柱中，，点在上．（1）证明：平面；（2）求二面角的大小．18．如图，三棱锥中，底面，，，点、分别是、的中点.（1）求证：⊥平面；（2）求二面角的余弦值。19．(本小题满分14分）如图，已知⊙O所在的平面，是⊙O的直径，，C是⊙O上一点，且，与⊙O所在的平面成角，是中点．F为PB中点．(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求证：；（Ⅲ）求三棱锥B-PAC的体积．20．如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正力形，∠PAD=900，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点。（1）求证：PB∥平面EFG；（2）求异面直线EG与BD所成的角；21．如图，圆锥中，、为底面圆的两条直径，，且，，为的中点.（1）求圆锥的面积；（2）求异面直线与所成角的正切值.23．已知菱形ABCD的边长为2，对角线与交于点，且，M为BC的中点.将此菱形沿对角线BD折成二面角.（I）求证：面面；（II）若二面角为时，求直线与面所成角的余弦值.24．如图，已知三棱锥A—BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形。（Ⅰ）求证：DM∥平面APC；（Ⅱ）若BC=4，AB=20，求三棱锥D—BCM的体积。25.如图,正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为6,动点M在棱A1B1上.(1)当M为A1B1的中点时,求CM与平面DC1所成角的正弦值;(2)当A1M＝A1B1时,求点C到平面D1DM的距离.26．.如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都是2,D是侧棱CC1上任意一点,E是A1B1的中点.(1)求证:A1B1//平面ABD.(2)求证:(3)求三棱锥C-ABE的体积.27．如图，已知平行四边形和矩形所在的平面互相垂直，，是线段的中点.（1）求证：；（2）求二面角的大小；（3）设点为一动点，若点从出发，沿棱按照的路线运动到点，求这一过程中形成的三棱锥的体积的最小值.28．如图，正方体的棱长为2，E为AB的中点．(Ⅰ)求证：(Ⅱ)求异面直线BD1与CE所成角的余弦值；（Ⅲ）求点B到平面的距离.29．已知：如图，长方体ABCD—中，AB=BC=4，，E为的中点，为下底面正方形的中心.求：（I）二面角C—AB—的正切值；（II）异面直线AB与所成角的正切值；（III）三棱锥——ABE的体积.30．如图，三棱锥P—ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB。（1）求证：AB⊥平面PCB；（2）求二面角C—PA—B的大小的余弦值。31．如图所示，平面ABC，CE//PA，PA=2CE=2。（1）求证：平面平面APB；（2）求二面角A—BE—P的正弦值。32．已知ABCD是矩形，，E、F分别是线段AB、BC的中点，面ABCD.（1）证明：PF⊥FD；（2）在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD.33．如图，在长方体中，点在棱的延长线上，且．SHAPE\*MERGEFORMAT(Ⅰ)求证：//平面 ；(Ⅱ)求证：平面平面；（Ⅲ）求四面体的体积．34．如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，M为PC上一点，且PA//平面BDM，（1）求证：M为PC的中点；（2）求证：面ADM⊥面PBC。35.如图：已知正方体ABCD—A1B1C1D1，过BD1的平面分别交棱AA1和棱CC1于E、F两点。（1）求证：A1E=CF；（2）若E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点，求证：平面EBFD1⊥平面BB1D1。36．如图所示，已知矩形ABCD中，AB=，AD=1，将△ABD沿BD折起，使点A在平面BCD内的射影落在DC上（1）求证：平面ADC⊥平面BCD；（2）求点C到平面ABD的距离；（3）若E为BD中点，求二面角B—AD—E的大小。37．已知在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点。（1）求证：AF//平面PEC；（2）求PC与平面ABCD所成的角的大小；（3）求二面角P—EC—D的大小。38．如图，在正方体中，分别是的中点．SHAPE\*MERGEFORMAT（1）证明；（2）求与所成的角；（3）证明面面；（4）的体积39．如图，已知是正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直于底面），它的底面边长和侧棱长都是．为侧棱的中点，为底面一边的中点．（1）求异面直线与所成的角；（2）求证：；（3）求直线到平面的距离．40．如图，平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，AC＝2，BC＝AA'＝A'C＝2，∠ABC＝90°，点O是点A'在底面ABCD上的射影，且点O恰好落在AC上.（1）求侧棱AA'与底面ABCD所成角的大小；（2）求侧面A'ADD'底面ABCD所成二面角的正切值；（3）求四棱锥C－A'ADD'的体积.41．如图，在四棱锥中，，，底面是菱形，且，为的中点．（1）求四棱锥的体积；（2）证明：平面；（3）侧棱上是否存在点，使得平面？并证明你的结论．42．如图，DC⊥平面ABC，EB//DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE、AB的中点。（I）证明：PQ//平面ACD；（II）求异面直线AE与BC所成角的余弦值；（III）求平面ACD与平面ABE所成锐二面角的大小。43．如图，正方体的棱长是2，（1）求正方体的外接球的表面积；（2）求44．在直三棱柱中，，直线与平面成角；（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正弦值.w.w.^w.k.&s.5*u.c.#om45．如图，在四棱锥中，底面为菱形，,,,为的中点，为的中点（1）证明：直线；（2）求异面直线与所成角的大小；（3）求点到平面的距离.46．四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是边长为2的正三角形，且侧面PAD与底面ABCD垂直，E为PD的中点。（1）求证：PB//面ACE；（2）求二面角E—AC—D的大小。47．在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，，、分别为、的中点，（1）证明：；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面的距离．48．已知四棱锥的三视图如下图所示，其中主视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形.是侧棱上的动点．（1）求证：（2）若五点在同一球面上，求该球的体积.49．直四棱柱中，底面是边长为的正方形，侧棱长为4。（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离d；（3）求三棱锥的体积V。参考1．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）　．（Ⅲ）直线与所成的角的余弦值为．【解析】(I)本小题易用空间向量法解决，易求出平面ABC的法向量，然后证明向量DE与平面ABC的法向量的数量积不等于零即可.（2）先求出平面的一个法向量，然后，可以求出此直棱柱的高.(3)先找出平面平面与平面的交线．在平面内，分别延长，交于点，连结，则直线为平面与平面的交线.然后求出的坐标，再根据,求出直线与所成的角的余弦值.依题意，可建立如图所示的空间直角坐标系，设，则．2分（Ⅰ）证明：由平面可知为平面的一个法向量．∴　．∴　直线与平面不平行．4分（Ⅱ）设平面的法向量为，则，取，则，故．6分∴，7分解得．∴　．（Ⅲ）在平面内，分别延长，交于点，连结，则直线为平面与平面的交线．∵　，，∴　．∴　，∴　．11分由（Ⅱ）知，，故，∴　．∴　直线与所成的角的余弦值为2．（I）见解析；（II）。【解析】本试题主要是考查了立体几何总空间中的线线垂直的证明以及线面角的求解的综合运用。（1）对于线线的垂直的证明，主要利用线面垂直的性质定理得到，先分先要证明的线和平面，然后找突破口进而求证。（2）而对于线面角的求解问题，既可以采用向量法，也可以采用得到斜线和斜线在平面内的射影，借助于线面角的定义作出角，分析求解。解：（I）如图取的中点，连，∵为中点，为中点，∴.∴.∵∴又，∴…………4分∵，∴…………6分（II）由（I）知,。…………8分,为等腰直角三角形，，…………10分又由(1)知就是与面所成角，…………12分在中，，.即直线与面所成角的正弦值为…………14分3．（I）证明：见解析（II）二面角的余弦值为【解析】本试题主要考查了面面垂直和二面角的求解的综合运用。（1）根据已知条件找到线面垂直，然后利用面面垂直的判定定理得到其证明。（2）合理的建立空间直角坐标系，然后表示出点的坐标和向量的坐标，借助于平面的法向量，得到向量的夹角，从而得到二面角的平面角的大小。（I）证明：取的中点，连接为等腰直角三角形……………………………………2分又是等边三角形，又，…………………………4分，又平面平面;……………………………………6分（II）以中点为坐标原点，以所在直线为轴,所在直线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，则……………………8分设平面的法向量，即，解得，设平面的法向量，即，解得，…………………………………………………………10分所以二面角的余弦值为…………………………12分4．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）。【解析】本试题抓哟是考查了面面垂直和二面角求解的综合运用。（1）对于线面垂直的证明，一般利用线线垂直，通过判定定理得到线面垂直的证明，关键是（2）建立合理的空间直角坐标系，然后表示出平面的法向量，以及借助与向量与向量的夹角表示出二面角的平面角的求解的运算。（Ⅰ）∵侧面是菱形且∴为正三角形又∵点为的中点∴∵∥∴由已知∴平面（4分）（Ⅱ）（法一）连接，作于，连接由（Ⅰ）知面，∴又∴面∴∴为所求二面角的平面角（8分）设菱形边长为2，则在中，由知：在中，∴即二面角的余弦值为（12分）（法二）如图建立空间直角坐标系SHAPE\*MERGEFORMAT设菱形边长为2得，，则，，设面的法向量，由,得，令，得（8分）设面的法向量，由，得,令，得（10分）得.又二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为（12分）5．(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)。【解析】本试题主要是考查了空间立体几何中线线垂直和二面角的求解的综合运用。（1）因为线线垂直的证明关键是找到线面垂直，利用线面垂直的性质定理得到线线垂直。（2）建立合理的空间直角坐标系，表示出平面的法向量，利用法向量的夹角来表示二面角的平面角的大小。解：(Ⅰ)当时，底面为正方形，又因为,面…………………………2分又面…………………………3分SHAPE\*MERGEFORMAT(Ⅱ)因为两两垂直，分别以它们所在直线为轴、轴、轴建立坐标系，如图所示，则…………………4分设，则要使，只要所以，即………6分由此可知时，存在点使得当且仅当，即时，边上有且只有一个点，使得由此可知…………………………8分设面的法向量则即解得…………………………10分取平面的法向量则的大小与二面角的大小相等所以因此二面角的余弦值为…………………………12分6．(1)见解析；（2）.【解析】本试题主要是考查了线面角的求解，以及线面平行的判定定理的运用。（1）利用线面平行的判定定理，先确定线线平行，然后利用定理得到。（（2）建立空间直角坐标系，然后表示出点的坐标，利用法向量和斜向量来得到线面角的求解的综合运用。7．解(1)设AC与BD交于O，连EO，则6分(2)先证AD平面PAB,则是PB与平面PAB所成的角……9分在中，tan故……12分【解析】略8．解析：（1）证明：取中点，连接,则有平行且相等所以四边形是平行四边形，……………..2分……………..3分(2)设中点为，连接则即为所求二面角的平面角又易得…………………………………..5分由余弦定理得……………………………..7分另法：以轴，在面内以过点且垂直于的射线为轴建系如图，设，则…………………………..5分设是平面的一个法向量，则令……………………..7分设二面角的大小为，又平面的法向量……………………..8分（3）…………………..10分令.…………………………………………..12分【解析】略9．【解析】略10．解:(Ⅰ)取AB的中点M，连结GM,MC，G为BF的中点,所以GM//FA,又EC面ABCD,FA面ABCD,∵CE//AF,∴CE//GM,………………2分∵面CEGM面ABCD=CM,EG//面ABCD,∴EG//CM,………………4分∵在正三角形ABC中，CMAB,又AFCM∴EGAB,EGAF,∴EG面ABF.…………………6分（Ⅱ）建立如图所示的坐标系,设AB=2,则B（）E(0,1,1)F（0，-1，2）=(0，-2,1),=(,-1，-1),=(,1，1),………………8分设平面BEF的法向量=（）则令，则,∴=（）…………………10分同理，可求平面DEF的法向量=（-）设所求二面角的平面角为，则=.…………………12分【解析】略11．DE=CE=AB=1，AE=2，（6分）连PE，BE法一：以A为原点O，AD为OX轴，AB为OY轴，AP为OZ轴建立空间直角坐标系A（0，0,0），B（0,1,0）E（2,0,0）由（I）知AB为平面PAE的法向量且设平面PBE的法向量为由得解之，得取（8分）设所求二面角的平面角为，则（12分）法二：作于H，连BH，由（I）知平面AHB为所求二面角的平面角（10分）在中，由，得（12分）【解析】略12．（Ⅰ）平面平面…………1分证明：因为，，所以，。因为折叠过程中，，所以，又，故平面。又平面，所以平面平面。…………5分（Ⅱ）解法一：如图，延长到，使，连结，。…………6分因为，，，，所以为正方形，。由于，都与平面垂直，所以，可知。因此只有时，△为等腰三角形。………………8分在△中，，又，所以△为等边三角形，。………………10分由（Ⅰ）可知，，所以为二面角的平面角，即二面角的大为。…………12解法二：以为坐标原点，射线，分别为轴正半轴和轴正半轴，建立如图的空间直角坐标系，则，，。………………6分由（Ⅰ）可设点的坐标为，其中，则有。①因为△为等腰三角形，所以或。………………8分若，则有。则此得，，不合题意。若，则有。②联立①和②得，。故点的坐标为。由于，，所以与夹角的大小等于二面角的大小。又，，所以，即二面角的大小为。【解析】略13．解：以A为原点，AB为x轴，过A点与AB垂直的直线为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系A—xyz，如图所示，则B（a，0，0），A1（0，0，a），C（，，0），设P（x，0，z）（1）由，得即，∴P为A1B的中点即时，PC⊥AB.……………………3分（2）当时，由，得（x，0，z－a）即设平面PAC的一个法向量则，即即取，则∴又平面ABC的一个法向量为∴∴二面角P—AC—B的大小为180°－120°=60°………………7分（3）设C1到平面PAC的距离为d则即C1到平面PAC的距离为.……………………10分【解析】略14．(Ⅰ)略(Ⅱ)（Ⅲ）【解析】（1）　面面，因为面面＝，，所以面．（2）取中点，连接，在中，是正三角形，，又面且面，，即即为二面角的平面角为30°，面，，在　中，，又面，即与面所成的线面角，在中，　（3）在上取点，使，则因为是的中线，是的重心，在中，过作//交于，面，//面，即点在平面上的射影是的中心，该点即为所求，且，．15．(Ⅰ)(Ⅱ)略【解析】解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝2，AD＝4．∴SABCD＝．………………3分则V＝．………………4分（Ⅱ）∵PA＝CA，F为PC的中点，∴AF⊥PC．………………6分∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．∵E为PD中点，F为PC中点，∴EF∥CD．则EF⊥PC．………8分∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．……9分（Ⅲ）证法一：取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA．∵EM平面PAB，PA平面PAB，∴EM∥平面PAB．………11分在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．∵MC平面PAB，AB平面PAB，∴MC∥平面PAB．………13分∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面PAB．∵EC平面EMC，∴EC∥平面PAB．………14分证法二：延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，∴C为ND的中点．……11分∵E为PD中点，∴EC∥PN．……13分∵EC平面PAB，PN平面PAB，∴EC∥平面PAB．………14分16．(Ⅰ)略(Ⅱ)【解析】（1）证明面面……6分（2）面是与平面所成角。在中，……12分17．解法一：，　依题设知，．（Ⅰ）连结交于点，则．由三垂线定理知，．3分在平面内，连结交于点，SHAPE\*MERGEFORMAT由于，故，，与互余．于是．与平面内两条相交直线都垂直，所以平面．6分（Ⅱ）作，垂足为，连结．由三垂线定理知，故是二面角的平面角．8分，，．，．又，．．SHAPE\*MERGEFORMAT所以二面角的大小为．12分解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系．依题设，．，．3分（Ⅰ）因为，，故，．又，所以平面．6分（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则，．故，．令，则，，．9分等于二面角的平面角，．所以二面角的大小为．【解析】同答案18．(Ⅰ)略(Ⅱ)【解析】：方法（一）(Ⅰ)由已知可得为等腰直角三角形，则．由平面，平面，则．又，，则平面，由平面，得．由中位线定理得，，于是，又，所以平面．(Ⅱ)已证明平面，又平面，则．已证明，又，则平面．因为平面，平面，所以，．由二面角的定义，得为二面角的平面角．设，可求得，，在中，可求得，在中，可求得，在中，由余弦定理得，．则为所求．方法（二）如图建立空间直角坐标系，设，可求出以下各点的坐标：A（2，2，0），B（0，0，0），C（2，0，0），P（0，0，2），E（1，0，1），F（1，1，1）(Ⅰ)，，有，，于是，，又，则平面．(Ⅱ)，有，，于是，，由二面角定义，向量与的夹角为所求．，所以为所求．19．(Ⅰ)略(Ⅱ)略（Ⅲ）【解析】(Ⅰ)证明：在三角形PBC中，是中点．F为PB中点所以EF//BC，所以……4分(Ⅱ)……（1）又是⊙O的直径，所以（2）7分由（1）（2）得…8分因EF//BC，所以……9分（Ⅲ）因⊙O所在的平面，AC是PC在面ABC内的射影，即为PC与面ABC所成角，，PA=AC在中，是中点，12分…14分20．见解析【解析】解法一：（1）证明：取AB中点H，连结GH，HE，∵E，F，G分别是线段PA、PD、CD的中点，∴GH//AD//EF，∴E，F，G，H四点共面。又H为AB中点，∴EH//PB。又面EFG，平面EFG，∴PB//面EFG。6分（2）解：取BC的中点M，连结GM、AM、EM，则GM//BD，∴∠EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角。在Rt△MAE中，，同理，又，∴在△MGE中，故异面直线EG与BD所成的角为。12分解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则，，，，，，，。（1）证明：∵，，，设，即解得。∴，又∵与不共线，∴、与共面。∵平面EFG，∴PB//平面EFG。6分（2）解：∵，，∴。故异面直线EG与BD所成的角为。12分21．（1）见解析（2）【解析】（1），，，.（2），为异面直线与所成角.,,.在中，，，，异面直线与所成角的正切值为.22．（1）60°【解析】（I）连结BC1、AD1、AC，则在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB、A1B1、C1D1所以四边形ABC1D1为平行四边形，从而AD1//BC1.又M、N分别为BB1，B1C1的中点，，进而MN//AD1.从而∠AD1C为异面直线MN与CD1所成的角.………………4分令正方体棱长为a，则AD1=D1C=AC=.即△AD1C为正三角形所以，即异面直线MN和CD1所成的角为60°……6分（II）证明:∵BB1//DD1BB1=DD1∴四边形BB1D1D是平行四边形∴BD//B1D1……8分又E、F分别是棱、AB和AD的中点.∴EF//BD∴EF//B1D1……10分EF平面B1CD1B1D1平面B1CD1∴EF//平面B1CD1……12分23．(Ⅰ)见解析(Ⅱ)【解析】：（I）……6分（II）菱形沿对角线BD折成二面角后，，是二面角的平面角，即……8分作，连接，由是直线AM与面AOC所成的角……10分在中，，在中，，，直线AM与面AOC所成角的余弦值是……14分24．(Ⅰ)见解析(Ⅱ)【解析】（I）由已知得，是ABP的中位线…4分（III）由题意可知，，是三棱锥D—BCM的高，…………12分25．(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】(1)在平面A1C1内过点M作MN∥B1C1,交D1C1于N,则MN⊥平面DC1,连NC.则∠MCN为CM与平面DC1所成角　…………6分∵MN=B1C1=6,MC==9∴sin∠MCN==,即所求正弦值为.……8分(2)连C1M,作C1H⊥D1M于点H,∵DD1⊥平面A1C1∴D1D⊥C1H∴C1H⊥平面D1DM,C1H为C1到平面D1DM的距离又CC1∥D1D，D1D平面D1DM，∴CC1∥面D1DM，则C到平面D1DM的距离为C1H∵C1H·D1M=S△=18,而D1M==∴C1H=∴C到平面D1DM的距离为…………………………………………12分　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　14分　　　　　　　　　　　　　14分26．(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析（Ⅲ）【解析】（1）证明：在正三棱柱ABC-A1B1C1中,∵A1B1//AB,AB在平面ABD内,A1B1不在平面ABD内,∴A1B1//平面ABD.………………………………………5分(2)证明：取AB中点F,连接EF,CF,则CF(AB,EF(AB……………………8分∵∴……………………9分∴…………10分(3)解：14分27．(Ⅰ)见解析(Ⅱ)（Ⅲ）【解析】法一：（1）易求，从而，由三垂线定理知：.（2）法一：易求由勾股定理知，设点在面内的射影为，过作于，连结，则为二面角的平面角.在中由面积法易求，由体积法求得点到面的距离是，所以，所以求二面角的大小为.法二：易求由勾股定理知，过作于，又过作交于，连结.则易证为二面角的平面角.在中由面积法易求，从而于是，所以，在中由余弦定理求得.再在中由余弦定理求得.最后在中由余弦定理求得，所以求二面角的大小为.…………8分（3）设AC与BD交于O，则OF//CM，所以CM//平面FBD，当P点在M或C时，三棱锥P—BFD的体积的最小..………………13分解法二：空间向量解法，略.[来源:Zxxk.28．(Ⅰ)见解析(Ⅱ)（Ⅲ）【解析】法一：（1）连接BD，由已知有得…………1分又由ABCD是正方形，得：……2分∵与相交，∴……3分（2）延长DC至G，使CG=EB，,连结BG、D1G，∵CG∥EB，∴四边形EBGC是平行四边形.∴BG∥EC.∴就是异面直线BD1与CE所成角…………………………5分在中，…………………6分异面直线与CE所成角的余弦值是………8分（3）∵∴又∵∴点E到的距离，有：，…………11分又由，设点B到平面的距离为，则，有，，所以点B到平面的距离为…14分解法二：（1）见解法一…3分（2）以D为原点，DA、DC、为轴建立空间直角坐标系，则有B（2，2，0）、（0，0，2）、E（2，1，0）、C（0，2，0）、（2，0，2）∴（-2，-2，2），（2，-1，0）………5分……7分即余弦值是8分（3）设平面的法向量为，有：，，…8分由：（0，1，-2），（2，-1，0）………9分可得：，令，得………11分由（0，1，0）有：点B到平面的距离为…14分29．（1）4（2）（3）16【解析】（Ⅰ）取上底面的中心，作于，连和．由长方体的性质，得平面，由三垂线定理，得则为二面角的平面角．在中，（Ⅱ）取的中点G，连和．易证明，则为所求．．在中，（Ⅲ）连，，由易证明平面．∴30．（1）见解析（2）【解析】（1）解：∵PC⊥平面ABC，AB平面ABC，∴PC⊥AB。∵CD⊥平面PAB，AB平面PAB，∴CD⊥AB。又PC∩CD＝C，∴AB⊥平面PCB。（2）解法一：取AB的中点E，连结CE、DE。∵PC＝AC＝2，∴CE⊥PA，CE＝∵CD⊥平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得DE⊥PA。∴∠CED为二面角C—PA—B的平面角。由（1）AB⊥平面PCB，∴AB⊥BC，又∵AB＝BC，AC＝2，求得BC＝（2）解法二：∵AB⊥BC，AB⊥平面PBC，过点B作直线l∥PA，则l⊥AB，l⊥BC，以BC、BA、l所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系（如图）。…………6分设平面PAB的法向量为得…………8分设平面PAC的法向量为，解得…………10分…………11分…………12分（2）解法三：∵CD⊥平面PAB，∴是平面PAB的一个法向量。取AC中点F，∵AB＝BC＝，∴BF⊥AC，又PC⊥平面ABC，有平面PAC⊥平面ABC，∴BF⊥平面PAC，∴是平面PAC的一个法向量。…………7分…………9分…………10分31．(Ⅰ)见解析(Ⅱ)【解析】（1）取AB，PB的中点G，F连接CG，GF，FE，则GF//PA，且又CE//PA，，所以CE//GF，且CE=GF，所以四边形GFEC是平行四边形，所以EF//CG。,又AC=BC，AG=GB，所以，又PA面ABC，得CGPA，，所以，CG面PAB，因此，EF面PAB，又面EPB，所以平面EPB平面APB。（2）在平面PAB内过点Ａ作ＡＢPB于点H，因为平面EPB平面APB，又平面EPB平面APB=PB，所以AH平面EPB，取EB的中点M，连接AM，MH，因为AB=AE=，所以AMEB，故由三垂线定理的逆定理可知，HMEB，因此为二面角A—BE—P的平面角。在，PA=2，所以在中，AB=BE=EA=，所以因此，二面角A—BE—P的正弦值为32．(Ⅰ)见解析(Ⅱ)【解析】(1)证明：连结AF，∵在矩形ABCD中，，F是线段BC的中点，∴AF⊥FD.又∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥FD.∴平面PAF⊥FD.∴PF⊥FD.　……5分(2)过E作EH∥FD交AD于H，则EH∥平面PFD且.再过H作HG∥DP交PA于G，则HG∥平面PFD且.∴平面EHG∥平面PFD.∴EG∥平面PFD.从而满足的点G为所找.……12分33．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）证明：连四边形是平行四边形……2分则又平面，平面//平面   ………5分SHAPE\*MERGEFORMAT（Ⅱ） 由已知得则…6分由长方体的特征可知：平面而平面，则………9分平面又平面平面平面10分（Ⅲ）四面体D1B1AC的体积EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3………14分34．(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析【解析】（1）：连接AC，AC与BD交于G，则面PAC∩面BDM=MG，由PA//平面BDM，可得PA//MG……3分∵底面ABCD为菱形，∴G为AC的中点，∴MG为△PAC的中位线。因此M为PC的中点。……5分（2）取AD中点O，连结PO，BO。∵△PAD是正三角形，∴PO⊥AD，又因为平面PAD⊥平面ABCD，所以，PO⊥平面ABCD，…7分∵底面ABCD是菱形且∠BAD=60°，△ABD是正三角形，∴AD⊥OB。∴OA，OB，OP两两垂直，建立空间直角坐标系…7分………………9分……11分∴DM⊥平面PBC，又DM平面ADM，∴ADM⊥面PBC…12分注：其他方法参照给分。35．(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析【解析】（1）由题知，平面EBFD1与平面BCC1B1交于BF、与平面ADD1A交于ED1…………1分又平面BCC1B1//平面ADD1A1∴D1E//BF…………2分同理BE//D1F………………3分∴四边形EBFD1为平行四边形∴D1E=BF……4分∵A1D1==CB，D1E=BF，∠D1A1E=∠BCF=90°∴≌Rt△CBF∴A1E=CF………………6分（2）∵四边形EBFD1是平行四边形。AE=A1E，FC=FC1，∴Rt△EAB≌Rt△FCB，∴BE=BF，故四边形EBFD1为菱形。………………8分连结EF、BD1、A1C1。∵四边形EBFD1为菱形，∴EF⊥BD1，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，有B1D1⊥A1C1，B1D⊥A1A∴B1D1⊥平面A1ACC1。………………10分又EF平面A1ACC1，∴EF⊥B1D1。又B1D1∩BD1=D1，∴EF⊥平面BB1D1。又EF平面EBFD1，故平面EBFD1⊥平面BB1D1。………………12分36．【解析】37．【解析】38．（1）证明见解析（2）直线与所成角为直角（3）证明见解析（4）1【解析】（1）∵是正方体，∴面．又，∴．（2）取中点，连结，．因为是的中点，所以、平行且相等，又、平行且相等，所以、平行且相等，故是平行四边形，．设与相交于点，则是与所成的角，因为是的中点，所以≌，，从而，即直线与所成角为直角．（3）由(1)知，由(Ⅱ)知，又，所以⊥面．又因为，所以面面．（4）连结，，∵，∴，∵，面积．又，∴．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m39．（1）（2）证明见解析（3）【解析】（1）取中点，连结，，，．则．∴与所成的角即为与所成的角，∵是正三棱柱，且各棱长均为，∴，，∴△为正三角形，故，即异面直线与所成的角为．（2）由（1）知，．（3），∴点到平面的距离，即为直线到平面的距离，由（2）易证：平面平面，且交线为，过作于点，则为点到平面的距离，由（1）知，△为正三角形且边长为，∴，所以直线到平面的距离为．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m40．（1）