武汉大学《数学分析》期末试卷B

考试复习重点资料（最新版）封面第1页资料见第二页1．数学分析期末试卷(B)（闭卷）班级____________姓名____________学号___________成绩_____________一、实数完备性问．（１５分）(1)叙述单调有界定理与区间套定理；(2)用区间套定理证明单调有界定理．［答（１）］单调有界定理：单调有界数列必定存在极限．区间套定理：若],[nnba为一区间套，即满足：①,2,1,],[],[11nbabannnn；②0)(limnnnab，则存在惟一的],[nnba，,2,1n．［证（２）］设nx为递减且有下界M的数列，欲证nx收敛．为此构造区间套如下：令],[],[111xMba；记2111bac，再令;,],[,,],[],[11111122的下界不是若的下界是若nnxccaxcbcba……，用逐次二等分法继续做下去，构造得一区间套],[nnba，使得,2,1,nan恒为nx的下界，而,2,1,nbn不是nx的下界．由区间套定理，],[nnba，,2,1n．下面进一步证明nnxlim．根据区间套定理的推论，KkK当使,,0Ν时，);(],[Ubakk．由于,2,1,kak恒为nx的下界，而,2,1,kbk不是nx的下界，故对上述2K，必有KKbx；且因nx为递减数列，当Kn时满足KKnKbxxa，于是nx);(U，这就证得nnxlim．同理可证nx为递增而有上界的情形，请读者自行写出它的证明．□二、（１０分）(1)写出2R中点集E为开集的定义；(2)用定义证明：若E、2RF都为开集，则并集FEH与交集FEG亦都为开集．［答（１）］所谓2RE是开集，是指E中所有点都是E的内点．即pE，0，满足EpU);(．［证（２）］设E、2RF都为开集，下面证明FEH为开集．为此任取Hp，由FEH，则Ep或Fp．根据开集定义，0，使得EpU);(，或FpU);(，从而HpU);(．这就证得FEH为2R中的一个开集．类似地可证FEG亦为开集，请读者自行写出它的证明．□三、（１０分）已知f在区间I上连续，且为一一映射．证明：f在I上必为严格单调函数．（提示：使用反证法，并借助连续函数的介值性．）［证］倘若f在I上不是严格单调函数，则Ixxx321,,)(321xxx，使得0)()()()(2312xfxfxfxf.，不失一般性，设)()()(132xfxfxf．现任取满足)()(32xfxf，则由连续函数的介值性，),(,),(3221xxxx，使得)()(ff．而这与f在I上为一一映射的假设相矛盾，所以f在I上必为严格单调函数．□Oaxby)(xfy3注意在函数f为连续的前提下，严格单调与一一映射才是等价的；而在一般情形下，一一映射的f不一定是严格单调的．例如右图所示的函数)(xfy，它在],[ba上是一一映射，但却不是严格单调的．四、（１０分）设)(ln)(,43,220yxyxufuyxu．试求)()(0ufuf与．［解］根据向量函数的导数的定义，容易求得：yxyxyyxxyxyyxxyxyyxxuf11lnln)(22222222，41315453)(0uf．□五、（１５分）证明：在n个正数的乘积为定值的条件axxxn21之下，这n个正数的和nxxx21的最小值为nan．并由此结果推出以下不等式：nxxxxxxnnn2121．［证］用Lagrange乘数法，设4)(2121axxxxxxLnn，并令nnnnxnxaxxxaxxxLxxLxxLn2121112,0,01,011.............．由于nxxx21的最大值不存在)(，最小值存在，因此nnanxxx21min；并有nnanxxx21．以axxxn21代入上式，则得所求之不等式nxxxxxxnnn2121．□六、积分问题．（２０分）（１）画出曲线)2(||xxy；并求由该曲线和直线,1x以及x轴所围图形的面积S；（２）设f为连续函数，证明：00)sin(2)sin(xxfxxfxdd．［解（１）］为画出曲线，可先改写其方程为.0,1)1(,0,)1(122xxxxy此曲线和直线,1x以及x轴所围图形如右图所示．其面积计算如下：1yOx215.383434)3()3(d)2(d)2(20321023202012xxxxxxxxxxS［证（２）］作变换xu，把原积分化为.0000d)sin(d)sin()d())sin(()(d)sin(uufuuufuufuxxfx由此移项后即得00)sin(2)sin(xxfxxfxdd．□七、级数问题．（２０分）（１）证明：0!3limnnnnn；（２）证明：11!)1(nnn．提示：利用幂级数11!)1()(nnnxnxS，101!!)1()(nnnnnxnxxS．［证（１）］考察级数113nnnnnnna!．由于)(13e1313)1(3)1(111nnnnnnnaannnnnnn.!.!，故此级数收敛．依据级数收敛的必要条件，便证得0!3limnnnnn．［证（２）］考察幂级数11)1()(nnnxnxS!．由于x01e)1()(xnxxnxxSnnnn!!，6因此1ee0de)0()(0xxxuxuuSxS．从而求得1)1()1(1nSnn!．□