数学建模之预测模型

，确定其待定系 数。设 yt第 t的时间序列的观察值； ˆ ty ： t期的预测值； te ：第 t期的离差；Q：离差平方 和。由二次曲线外推预测法的模型 2ˆˆ ˆ ˆt t ty a bx cx= + + ，可得 2ˆˆ ˆ ˆt t t t t te y y y a bx cx= - = - - - 2 2 2 1 1 ˆˆ ˆ( ) n n t t t t t t Q e y a bx cx = = = = - - -å å 由于 xt 表示时间序列的编号，如同拟合直线方程法一样，当时间序列观察期的项数为 奇数时，令其中间项（ 1 2 n + ）的编号为 0，则 1 0 n t t x = =å ， 3 1 0 n t t x = =å ，…，由最小二乘原 理，可得各参数的值： 4 2 2 1 1 1 1 4 2 2 1 1 ˆ ( ) n n n n t t t t t t t t t n n t t t t x y x x y a n x x = = = = = = - = - å å å å å å ， 1 2 1 ˆ n t t t n t t x y b x = = = å å ， 2 2 1 1 1 4 2 2 1 1 ˆ ( ) n n n t t t t t t t n n t t t t n x y x y c n x x = = = = = - = - å å å å å . 【例 6-3】 某公司 1995～2003年的商品销售收入如表 6-5所示，试预测该公司 2004年的销 售收入。 表 6-5 某公司 1995～2003年商品销售收入数据表 (单位：万元) 年份 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 销售收入 545 641 764 923 1107 1322 1568 1836 2140 解：①绘制散点图如图 6-1所示。 ②根据观察值的散点图的变化趋势确定其属于二次曲线变化趋势后，列表计算二次曲线 -4 -2 0 2 4 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 销 售 额 序 号 图 6-1某公司商品销售收入额散点图 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn 待定参数所需的数据。计算结果如表 6-6所示。 ③计算待定参数，建立预测模型，并计算预测值。 利用 6-6中的有关数据，代入式中，计算得： ˆ 1107.29a = ， ˆ 199.53b = ， ˆ 14.67c = 该例的二次曲线的趋势延伸预测模型为： 2ˆ 1107.29 199.53 14.67t t ty x x= + + . 当 5tx = 时，代入上式得 2004ˆ 1107.29 199.53 5 14.67 25y = + ´ + ´ =2471.89（万元）. 表 6-6某公司商品销售收入及有关数据计算表（单位：万元） 二次曲线外推预测法的特点： 1. 二次曲线方程的二阶差分是一个常数。 2. 二次曲线趋势外推预测法适用于时间序列数据呈抛物线形状上升或下降，且曲线仅 有一个极点（极大值或极小值）的情况下使用。 对于三次曲线法和生长曲线法，分析思路、求解未知参数的方法与此类似，可参看[]， 这里不再赘述。 6.2.4 季节指数预测法 季节变动是指某些经济变量的变化是随时间的推移，季节的不同而呈现出的周期性变 化，每年都会出现相似的周期曲线，进行季节变动趋势预测的目的主要是分析季节变动因素 对于趋势发展的影响，并由此预测未来趋势。 1. 季节指数预测法的概念和特点 季节指数法是根据预测目标各年按季编制的时间序列所显示的季节变动规律性，测定反 映季节变动规律的季节指数，并利用季节指数进行预测的方法。测定季节指数的方法可分为 两类：一类是不考虑长期趋势的影响，直接根据原始时间序列计算季节指数；二是考虑长期 趋势的影响，先将长期趋势的影响消除，再计算季节指数。 如果不考虑长期趋势的影响，就可以用求平均数方法，直接对时间序列中各年同季的实 际值加以平均，再将各年同季的平均数与各年的总平均数进行比较，求出季节指数，最后用 季节指数来计算预测值。 年份 tx 销售额 ty 2tx 4 tx t tx y 2 t tx y ˆty 2ˆ( )t ty y- 1995 -4 545 16 256 -2180 8720 543.89 1.23 1996 -3 641 9 81 -1923 5769 640.73 0.07 1997 -2 764 4 16 -1528 3056 766.91 8.47 1998 -1 923 1 1 -923 923 922.43 0.32 1999 0 1107 0 0 0 0 1107.29 0.08 2000 1 1322 1 1 1322 1322 1321.49 0.26 2001 2 1568 4 16 3136 6272 1565.03 8.82 2002 3 1836 9 81 5508 16524 1837.91 3.65 2003 4 2140 16 256 8560 34240 2140.13 0.02 å 0 10846 60 708 11972 76826 22.92 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn 季节指数是一种以相对数表示的季节变动衡量指标。根据一年或两年的历史数据计算而 得的季节变动指标往往含有很大的随机波动因素，所以在实际预测中通常需要根据三年以上 的分季（月）历史数据来计算季节指数。 季节指数的计算公式为（以季度计算为例）： 所有年的季平均值 各年同季的季平均值 季节指数＝ 即： YYr ii /= ， 式中： i：季节序数，i = 1、2、3、4； ri：某季的季节指数； iY ：各年同季的季平均值， å = = n i ii nYY 1 / ，Yi为各季的实际值，n为年数； Y ：所有年的季平均值， å = = n i i nYY 1 / . 季节指数应化为百分数，全年 4 个季度的季节指数之和为 400%，季节指数平均数为 100%。如果计算时由于四舍五入引起的误差，使季节指数之和不等于 400%时，需用比例法 将其调整为 400%。季节变动表现为各季的季节指数围绕着 100%上下波动，表明各季平均 值与全年平均数的相对关系。如某种商品第一季度的季节指数为 132%，这表明该商品第一 季度的销售量通常高于年平均数 32%，属旺季；如第三季度的季节指数为 75%，则表明该 商品第三季度的销售量通常低于年平均数 25%，属淡季。 如果是用月份来计算季节指数，全年 12个月的季节指数之和为 1200%，每个月的季节 指数平均数为 100%。 2. 利用季节指数进行预测 当测定出预测变量的季节指数后，便可以利用它和有关历史资料进行预测。根据历史资 料的不同，具体的预测方法也有一定的差异，下面分别介绍。 （1）已知年度预测值，求季（月）度的预测值。 当预测者掌握预测变量的年度预测值（也可以表现为年度计划值）时，可以通过下列步 骤求各季（月）度的预测值： 首先，计算出预测年度的季（月）度的平均值，计算公式表示为： 季度平均值＝年度预测值/4 月度平均值=年预测值/12 然后，计算各季（月）度的预测值，计算公式为： 某季（月）度预测值＝该季（月）度季节指数×季（月）度平均值 （2）已知本年某季（月）度的实际值，预测未来某季（月）度的值进而求得全年总值。 以季度预测为例，可用通过下列公式进行预测： 某季预测值＝已知季实际值×（预测季度的季节指数/已知季度的季节指数）. 【例 6-4】某地区棉衣、毛衣、皮衣 1998～2001年各季销售额资料如表 6-7的２～5栏， 试预测 2002年各季销售额。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn 表 6-7 某地区棉衣、毛衣、皮衣 1998～2001年各季销售额 各季销售额 季别 1998 1999 2000 2001 季均销售 ty 季节比率 ft（%） 预测值 tyˆ 第一季 148 138 150 145 145.25 127.27 147.00 第二季 62 64 58 66 62.50 54.77 63.26 第三季 76 80 72 78 76.50 67.03 77.42 第四季 164 172 180 173 172.25 150.93 174.32 解：（1）计算各年同季季平均销售额资料于表第 6栏。如第一季为： 25.145 4 145150138148 = +++ （万元） （2）计算所有年所有季的季平均销售额 125.114 4 2.1725.765.6225.145 = +++ （万元） （3）计算各季节比率于表第 7栏。如第二季为： %76.54125.114/5.622 ==f （4）预测年的季趋势值： 5.115 4 1737866145ˆ =+++=tX （万元） （5）2002年各季预测值 tyˆ 于表第 8栏。如第三季为： 42.776703.05.115ˆ3 =´=y （万元）。 其他的时间序列预测方法还有很多，在预测时，根据预测对象的数据资料特点选取合适 的预测模型，才能达到预测的目的。更多的时间序列预测方法可参看文献[]。 6.3 灰色预测模型 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。客观世界在不断发展变化 的同时，往往通过事物之间及因素之间相互制约、相互联系而构成一个整体，我们称之为系 统。若一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全充分的，则称之为白色系统； 若一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测研 究，则称之是黑色系统；灰色系统则是指系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息是未 知的，系统内各因素间有不确定的关系。 灰色预测是指利用 GM 模型对系统行为特征的发展变化规律进行估计预测，同时也可 以对行为特征的异常情况发生的时刻进行估计计算，以及对在特定时区内发生事件的未来时 间分布情况作出研究等等。这些工作实质上是将“随机过程”当作“灰色过程”，“随机变量” 当作“灰变量”，并主要以灰色系统理论中的 GM(1,1)模型来进行处理。 灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据 进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分 方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。灰色预测在工业、农业、商业等经济领域， 以及环境、社会和军事等领域中都有广泛的应用。 灰色预测方法常见类型有灰色时间序列预测，畸变预测，系统预测和拓扑预测。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn 6.3.1 灰色预测的相关概念 1. 生成列 为了弱化原始时间序列的随机性，在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行 数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。灰色系统常用的数据处理方式有累加 和累减两种。累加是将原始序列通过累加得到生成列,累减是将原始序列前后两个数据相减 得到累减生成列。 记原始时间序列为： )}(,),3(),2(),1({ )0()0()0()0()0( nXXXXX K= ，则其生成列为： )}(,),3(),2(),1({ )1()1()1()1()1( nXXXXX K= ，上标 1表示一次累加，同理，可作 m次累 加： å = -= k i mm iXkX 1 )1()( )()( 。 累减是累加的逆运算，累减可将累加生成列还原为非生成列，在建模中获得增量信息。 一次累减的公式为： )1()()( )0()0()1( --= kXkXkX 。对非负数据，累加次数越多则随机 性弱化越多，累加次数足够大后，可认为时间序列已由随机序列变为非随机序列。一般随机 序列的多次累加序列，大多可用指数曲线逼近。 2. 关联度 关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方法，在计算关联度之前需先计算关联系 数。设 },,1),({)}(,),3(),2(),1({ )0()0()0()0()0()0( nkkXnXXXXX LK === ， },,1),(ˆ{)}(ˆ,),3(ˆ),2(ˆ),1(ˆ{ˆ )0()0()0()0()0()0( nkkXnXXXXX LK === ， 则比较数列 )0(Xˆ 对参考数列 )0(X 的关联系数定义为： )()(ˆmaxmax)()(ˆ )()(ˆmaxmax)()(ˆminmin )( )0()0()0()0( )0()0()0()0( kXkXkXkX kXkXkXkX k k kk -+- -+- = r r h 式中： )()(ˆ )0()0( kXkX - 为第 k个点 )0(Xˆ 和 )0(X 的绝对误差； )(ˆ)(ˆminmin )0()0( kXkX - 为两级最小差； )(ˆ)(ˆmaxmax )0()0( kXkX - 为两级最大差； ρ称为分辨率，0<ρ<1,一般取 ρ=0.5；ρ越大, 分辨率越小；ρ越小, 分辨率越大。对单位不 一致，初值不同的序列，在计算相关系数前应首先进行初始化，即将该序列所有数据分别除 以第一个数据。 )0(X 和 )0(Xˆ 的关联度定义为 å = = n k k n r 1 )(1 h 。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn 设 )}(,),3(),2(),1({ )0()0()0()0()0( nXXXXX K= ， minXXXXX iiiii ,,1)},(,),3(),2(),1({ )()()()()( LK == ， 则比较数列 )(iX 对参考数列 )0(X 的关联系数定义为： )(iX 对 )0(X 的关联度为 å = = n k ii kn r 1 )(1 h 。 【例 6-5】设工业、农业、运输业、商业各部门的行为数据如下： 工业： )9.41,3.42,4.43,8.45(1 =X 农业： )9.44,9.43,6.41,1.39(2 =X 运输业： )5.3,5.3,3.3,4.3(3 =X 商业： )7.4,4.5,8.6,7.6(4 =X 参考序列分别为 X1, X2，被比较序列为 X3, X4，试求其关联度。 解：以 X1考序列求关联度。 第一步：初始化，即将该序列所有数据分别除以第一个数 据。得到： )7.0,805.0,0149.1,1(' )0294.1,0294.1,97.0,1(' )1483.1,1227.1,063.1,1(' )9138.0,9235.0,9475.0,1(' 4 3 2 1 = = = = X X X X 第二步：求序列差 )2335.0,1992.0,1155.0,0('' 122 =-=D XX )1146.0,1059.0,0225.0,0('' 133 =-=D XX )2148.0,1185.0,0674.0,0('' 144 =-=D XX 第三步：求两极差 2335.0)(maxmax =D= kM i 0)(minmin =D= km i 第四步：计算关联系数取 ρ=0.5，有： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 min min max max ( ) max max i i i k i k i i i i k X k X k X k X k k X k X k X k X k r h r - + - = - + - PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn .4,3,2, 11675.0)( 11675.0)(1 =+D = i k k i ih 从而： 1)1(12 =h 503.0)2(12 =h 3695.0)3(12 =h 3333.0)4(12 =h 1)1(13 =h 8384.0)2(13 =h 5244.0)3(13 =h 504.0)4(13 =h 1)1(14 =h 634.0)2(14 =h 4963.0)3(14 =h 352.0)4(14 =h 第五步：求关联度 计算结果表明，运输业和工业的关联程度大于农业、商业和工业的关联程度。X2 考序 列时，计算类似，这里略去。 6.3.2 GM(1,1)预测模型 1.GM(1,1)模型 设时间序列 )}(,),2(),1({ )0()0()0()0( nXXXX K= 有 n个观察值，通过累加生成新序列 )}(,),2(),1({ )1()1()1()1( nXXXX K= ，则 GM（1，1）模型相应的微分方程为： 其中：a称为发展灰数；μ称为内生控制灰数. 设aˆ 为待估参数向量， ÷÷ ø ö çç è æ = m a a ˆ ,用最小二乘法求解。可得： ( ) nTT YBBB 1ˆ -=a ，其中 ú ú ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ê ê ë é +-- +- +- = 1 ))()1(( 2 1 1 ))3()2(( 2 1 1 ))2()1(( 2 1 )1()1( )1()1( )1()1( nXnX XX XX B MM ， ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ = )( )3( )2( )0( )0( )0( nX X X Yn M 求解微分方程，即可得 GM(1,1)预测模型： ( ) 551.0 4 1 4 1 1212 == å =k kr h ( ) 717.0 4 1 4 1 1313 == å =k kr h ( ) 621.0 4 1 4 1 1414 == å =k kr h ( ) ( ) m=+ 1 1 d d aX t X PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn .,,2,1,0,)1()1(ˆ )0()1( nk a e a XkX ak K=+úû ù êë é -=+ - mm 2. 模型检验 灰色预测模型的检验一般有残差检验、关联度检验和后验差检验。 （1）残差检验 按预测模型计算 )(ˆ )1( iX ，并将 )(ˆ )1( iX 累减生成 )(ˆ )0( iX ，然后计算原始序列 )()0( iX 与 )(ˆ )0( iX 的绝对误差序列及相对误差序列。 )1(ˆ)(ˆ)(ˆ )1()1()0( --= iXiXiX )(ˆ)()( )0()0()0( iXiXi -=D ni iX ii ,,2,1%,100 )( )()( )0( )0( K=´ D =f . （2）关联度检验 根据前面所述关联度的计算方法算出 )(ˆ )0( iX 与原始序列 )()0( iX 的关联系数，然后计算 出关联度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于 0.6便满意了。 （3）后验差检验 a.计算原始序列标准差: [ ] 1 )( 2)0()0( 1 - - = å n XiX S b.计算绝对误差序列的标准差： [ ] 1 )( 2)0()0( 2 - D-D = å n i S c.计算方差比： 2 1 S SC = d.计算小误差概率： ( )1)0()0( 6745.0)( SiPP 评价

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