水驱曲线关系式的推导_陈元千

石 油 学 报 1 0 5 5年 4 月 AC T A PE T R O L E I S IN IC A 第 6 卷 第 2 期 水驱曲线关系式的推导 陈 元 千 (石油勘探开发科学研究院 ) 提 要 由累积产水t (W P) 与累积产油且(N p ), 或水油比(W O R )与累积产油皿(N p )在半对数坐 标纸上构成的关系图, 人们叫做水驱曲线 。 对于预测水驱油田的未来开发动态和最终采收率 , 这 是一个很重要的方法。 因此 , 在国内外得到了广泛的应用。 在本文中 , 基于油水两相流动的驱替理论和方法 , 包括巴克莱 · 列弗胃特和韦尔杰分别提出 的驱动前缘方程和平均含水饱和度方程 , 以及艾富罗斯提供的经验方程 , 本文导出了水驱曲线的 不同关系式。 其中包括查宪章命名的甲、 乙和丙型水呕曲线。 前 一J 一舀「J 水驱曲线在国内外得到了广泛的应用 。它不但可以预测水驱油田的未来开发动态 , 而且还 可以侧算水驱油的可采储量和采收率。童宪章将水驱曲线划分为甲型 、乙型和丙型三种形式 , 并作了实际应用 t1, “〕。 在文献〔8 〕中对于水驱曲线的基本关系式 , 曾经进行过近似性的推导 . 本文基于油水两相的驱替理论和实验研究成果 , 即Buc ki e y一Lev er et t (巴克莱 ·利 弗雷’ 特)的水驱油非活塞式理论〔4 〕, w ei ge (韦尔杰)的平均含水饱和度方程〔6 〕, 以及3 o PO C (艾 富罗斯 )的实验理论研究成果 〔6, 7〕, 对于水驱曲线的各种墓本关系式 , 进行了如下较 为完 整 的理论推导 , 从而为它们赋予了物理上的意义 。 一 、 关系式的推导 水驱油田的累积产油量为 : N p = N 。 一 N 。 r ( ! ) 式中的N 。 (地质储量)和N 。 r (剩余地质储量)分别 由下式示 : N 。 = 1 0 0 Fh中(1 一 S w : )Y o / B 。 : N 。 r = 10 0 F h巾(1 一 S , )Y。 / B o ( 2 ) ( 3 ) 将 ( 2 )式和 ( 3 )式代入 ( l )式得 : N p 二 1。。Fh。盗计【(卜 S , ‘)一 (‘一系)会4」 在注水保持地层压力的条件下 , 原油目前体积系数B 。 二 Bo . , 故由 ( 4 )式得 : _ _ _ , 。 , 丫。 I下 。 、洲 。 = IU U r ll 甲甲五— . ) O - 一 0 , l ,0 0 1 岛 ‘ ( 4 ) (吞) 石 油 学 报 第 6 卷 由( 5 )式解得 : S w 二 N , xo o Fh小Yo / B o i + S , : ( 6 ) 将 ( 6 )式等号右端第一项的分子与分母 同乘以 ( 1 一 5 . 、)得 : S , 二 N p (z 一 S , ‘) 100 胜小(1 一 S , . )Y。 / B o . + S 、 ( 7 ) 再将 ( 2 )式代人 ( 7 )式 , 并考虑原始含油饱和度5 0 . = 1 一 s , :得 : S w 二 N , 5 0 。 N o + S , 。 ( 8 ) 如图 l (a) 所示 , 在水驱油的非活塞式 条 件 下 , 论〔‘〕, 可以写出油井见水之前的驱替方程式为 : X = 森一 (会)sw 由 B u e k le y一L ev e rett 的 线 性 驱 替 理 ( 9 ) 注水并 生产井 注水井 生产井 州下z十|stv!l 一 s o r」冬蛇么必孚故如州以瞥 !! 、、 二 )显 }} 、、 呼 于,月 “ 、劝 川关 l! 下、、 l书 }} } ~ 卜汗巡 !l 、 ‘ l丁尽}}夕卜 ”w > 卜 }台w ‘清11 . t l- 一 S o r 0 处绝到 卜 . 交一叫 距离一 ( b 少 图 1 水驱油的非活塞式模式图 (a )见水前 , (b )见水后 如图 l (b) 所示 , 在油井见水之后 , 地层内的平均含水饱和度 , 可 由如下 的 w 日se 方 程 表示〔的 : S , 。 + Q . (1 一 f , 。) (10 ) 式中累积注水量 Q , = S , 二 W . A 小L 一 1 l (〔巫三、_ - -一 ~亘三〕、d s , , 5 . 。 d s , . (1 1) 根据3 O P O C (艾富罗斯 )的实验理论研究表明〔6. 幻 · 时 , 油水两相流动的出口端含油率 , . 因 r 熟表不 : ‘ . = 一到1 2.5 当地下油水粘度 比协 在 l ~ 10 范 围 (12 ) 已知 : f 。。 = 1 林R 一 f, 。 Z 。 = l 一 S o r 一 S , . (1 3 ) (1 4 ) 故得 ; 1 一 , , . = 卯一 ( , 一 S 。 r 一 s , 。) “朴沁 (15 ) 第 2 期 水驱曲线关系式的推导 7 l 对 (is )式微分后得 : d f、 d s w 。 l Q . 15 0 卜. ; (1 一 S o r 一 S , 。) 2 (16 )‘ 将 (1 5 )式和 (16 )式代入 (1 0 )式得 : 言 。 . 1 2 , 。 。 \ 0 份 二 O , e + 一一 1 1 一 O 时 一 O w e . 3 、 I. = 哥s , · + 合(卜 S O r) (17 ) 由 (1 7) 式与 ( 8 )式相等求得出口端含水饱和度 : s w . 二 立 了典鬓一 + s , .、一 生了; 一 s 。 r、 2 、 到 0 1. 2 、 / (18 ) : 甲型水驱曲线关系式的推导 由累积产水量和累积产油量组成的半对数线性关系 , 童 宪章命名为“甲型 ”水驱曲线tl, 2 〕。 该型水驱曲线关系式的推导如下 。 在油水两相渗流的条件下 , 油水两相的相对渗透率比随出口端含水饱和度的变化 , 可由 如下的指数关系式表示〔“〕: K r 。 K r , K o / K K , / K 丛 = n e 一 ms , · K , (1 9 ) 0 , .191,J乙‘”廿76口‘2,10‘O‘,‘22J‘、砚了、了.、矛. 、r、JJ‘矛、‘、r、 在水驱的稳定渗流条件下 , 球o 油水的相渗透率比与油、 水产量之间存在有如 下关系式〔的 : 了丁 = Q o 协。B o Y , Q , 林, B , Y。 将 (20 )式代入 ( 1 9) 式得产水量 : Q w = Q 。 已知油田的累积产水量为 : 竺旦立兰_ 。ms 二 n 协, B , Y。 Q , d t 将 ( 2 1 )式代入 ( 2 2 ) 式得 : W p = 再将 ( 1 7 )式代人 ( 5 )式得 : W一J 协。B 。丫, 即 , B , 丫。 J; Q 。 , m s ”“ N , = 1。。F h。会片s ,一壹(‘一 S 。 ·)一 , , :] 由(2 4) 式对时间t求导数后得产油量 : o一票 = ‘o oFh , Yo 2 d s , .B o . 3 d t 将 (2 5) 式的分子与分母同乘以 ( 1 一 S , , ) 得 : Q o = 1 0 0 Fh 中( l 一 S , : ) Yo / B 。 : ( 1 一 S , 。) 2 3 d s , dt 代 ( 2 )式人 ( 2 6 )式得 : N 。 2 d s , - 一 ( 1 一 S , 、) 3 d t 将 (2 7 )式代人 (2 3 )式得 : 石 油 学 报 第 6 卷 W p N o (1 一 S , : ) 丝迎匕 fs. · 。mS 二ds , . 3 n林, 月 , 丫0 J S 二 (2 8 ) 在 (2 8) 式积分后得 : W p ZN o 林。B oY- m s , 。 m s 一 l e 叮了t凡 3 m n 林, B 一Y。(1 一 S , ; ) ) (2 9 ) 若令 D = 则得 , 再令 : 又得 : W , 二 o (e m s , . ZN 。协。B oY , 3 m 即 , B , 丫。 (l 一 S , : ) m s 一 : 一 e ) (3 0 ) (3 1) c = D e m S二 w p == D e m S ,一 e (3 2 ) (3 3 ) 将 (3 3) 式改写为下式 : W p + e = D e m s 二 再将 (1 8) 式代入 (3 4) 式得 : (3 4 ) w , + 。 二 。e m [叠(一器:一S 。 , · s , 1)一合(卜 s 一)] = 。。卜3鲁票红 十番(3 5 , ! · s 。一 ‘)] (3 5 ) 再令 : E = 单( 3 5 , ! + s一 , ) (3 6 ) 则得 : 卜鲤些迎l + E 门 W , + c = n e L Z刊 , (3 7 ) 对 (3 7) 式取常用对数后得 : 10 9 (W , + C ) = lo g D + 二 Z 3 m s o . 4 . 6 0 6 N 。 N , (3 8 ) 若令 : 则得 : A : = lo gD + E— 丁 一 +3 0 3 E 2 . 3 0 3 (3 9 ) B , 二 一 几 4 3 m s 。 i . 6 0 6N 。 (4 0 ) 10 9 (W p + C ) 二 A l + B , N p (4 1 ) 由 (4 l) 式可以看出 , 累积产水量必须加上一个常数 , ‘ 才能与累积产油量在半对数坐标纸 上成一完整的直线关系。 但是 , 跋着油田的持续生产 , 含水率和累积产水量的连续增加 , 常数 c 的影响逐渐减小 。 因而 , 在油田开发的中、 后期 , 累积产水量和累积产油量在半对数坐标 上便成一条直线关系 (图 2 ) 。 此时即可得到水驱曲线的甲型关系式为 : lo g w 。 = A I + B IN , (4 2 ) 若令 : 日: = B IN 。 二 5 m s 。 , / 弓. 6 0 6 (4 3 ) R 、 “ N r / N 。 (“ ) 第 2 期 水驱曲线关系式的推导 7 3 则得 : 10 名W , = A 、 + p ; R 。 (4 5 ) 2 . 乙型水驱曲线关系式的推导 由水油比和累积产油量组成的半对数线性关系 , 童宪章 命名为“乙型 ”水驱曲线〔l, 幻 。 该型曲线关系式的推导如下 。 将 (2 1) 式改写为下式 : 一 , 。 , Q , _丫V 飞J 上吸 = ~ , 子f 一 = V o 少旦竺丫竺_ _ 。m s-o n卜, B , Y o (4 6 ) 将 (一s )式代入 (4 6 )式得水油比 : w 。 。 = ~琪 ,髦笙李 。m 【雪(一井: 5 0 1 · s , ‘)一 杏(卜 s o r )] 刀卜, 力 , 丫。 协。B oY , n 卜, B , Y。 3 m s 。一 N p ZN o ·警(【3 5 , 元· S 。一 ‘)」 (4 7 )rlj引rŽ e 再将 (36 )式代人 (价 )式得 : V V O R = 协。B o Y , n 协, B , Y。 3少鑫夕仁一 + E ] ( 4 8 )”.引引L e 对 (4 8) 式取常用数后得 : los w oR = los 琪督卜 + 一 二i平 , D , Y o Z E _ - 一 十3 0 3 3 m s 。 :4 . 6 0 6 N (4 9 )N一 ƒ营拱ˆd沐0.: 若令 : 则得 : 若令 : 则得 : A : = 10 9 协。B o y w n p w B , Y o E 3 0 3 B : = 3 m s o , / 4 . 6 0 6 N 。 ( 5 0 ) ( 5 1 ) lo gW O R = A : + B ZN p ( 5 2 ) 几N o 二 3 m s 。 . / 4 . 6 0 6 二N , / N o 入 = R o : ( 5 3 ) ( 5 4 ) lo gW O R = A : + p aR o ( 5 5 ) (5 2) 式便是所要推导的水驱曲线的乙型关 系式。 从该式可以看出 , 水油比与累积产油量 在半对数坐标纸上成一直线 关 系 , 并 且 由 于 B : 二 B : 二 s m s o . / 4 . 6 0 6N 和 日, = p : = s m s o . / 4 . 6 0 6 , 因此 , 甲型和乙型水驱曲线的直 线 是 平行的 (图 2 ) 。 3 . 丙型水驱曲线关系式的推导 童宪章命 名的丙型水驱曲线 , 是一种无量 纲 的 形 式 。 若将 ( 41 ) 式的等号两端各减一项 “lo g N ” , 则 得 : o · 00专 图 2 遗一十寸一护喃尸青卞不针 壳一“· R o ( ,石) 我国某注水开发油田的甲型和乙型水驱 曲线对比图 (引自童宪章专题报告 ) 石 油 学 报 第 6 卷 10 9 (R , + C , ) == A : 夕 + pl R , (5 6 ) 式中 R , = w , / N 。 , c ‘ = C / N 。 , A : , 二 A , 一 lo gN o o 当油田开发进人中、 高含水期时 , C 《的影响可以忽略不计 , 因此由 (5 6) 式得 : lo g R , = A : 尹 + p , R . (5 7 ) 对于甲型水驱曲线 , 若取直线斜率的倒数为B . = 1 / B , , 或是B : = l / B 丁, 则 由(4 2) 式等 号两端各减一项 “log B ‘”得下式 : 一‘TN”BW 。 Lo g 不二O r = A一 lo g B T + 若令 : 则得 : a , = A 一 lo g B T ( 5 8 ) (5 9 ) , 。‘会 =一会 ( 6 0 ) (6 0) 式便是童氏的丙型水驱曲线关系式。 。. 油水相对渗透率比与撰积产油t 的关系式 将 《1 8) 式代入 《19) 式得 : 一 m 岭 ( = n e . - N , 5 0 . K r o K r , · s , , ) 一合(卜 s 一 )1 二 n e 一侣 再将 ( 3 6 )式代入 (6 1 )式得 : 3 m s 。 iN p ZN o ·警(3 5 , , · s一 ‘)1 ( 6 1 ) K , 。 3 m s 。: N p ZN 。 + E J K r , 对 (6 2) 式取常用对数后得 : n 。 一 l ( 6 2 ) 10 8 K r o = lo g n 一 E 3 0 3 3 m s 。一 N p 4 . 6 0 6 N 。 ( 6 3 ) 若令 : 则得 : 式中 A , = 10 s n 一 E / 2 . 3 0 5 B 。= 3 m s o ‘/ 4 . 6 0 6 N o ( 6 4 ) (6 5 ) K r 。 g se 瓦石 = A , 一 B sN , 二 A一 日。R ( 6 6 ) 日, 二 B o N o , R o 二 N , / N 。 。 由 (6 6) 式可以看出 , 油水相对渗透率比与累积产油t 成半对数线性关 系 , 并且几 二 几 = B : , p。 二 p: 二 日: 。 5 . 地层平均含水饱和度与水油比的关系式 由 ( 1 7) 式解得 : 。 3 石 又 , , 0。 二 = — 口 . 一 一 _一 、 1 一 。 . , ,2 2 ( 6 7 ) 将 (6 7 ) 式代人“6 )式得 : 一注活汤 、.声 W O R = 林。B o Y - n 林 , B , Y。 S , 1 , , 。 一— 气 i 一 ‘〕 o r2 ( 6 8 ) 由 (4 0 ) 式得 : m = 4 . 6 0 6 B : N o / 3 5 0 : ( 6 9 ) 第 2 期 水驱曲线关系式的推导 78 由 (3 0) 式得 : n 二 (7 0 ) (6 9 )式代人 (7 0 )式 , 并5 0 。二 n 二 Z N 。林。B oY , 3 D m 协, B w y o (1 一 S , 、) l 一 S , 。得 : 协。B 。Y , 2 . 3 0 3 B 一D 协, B , Y o (7 1 ) 将(6 9 )和 (7 1 )式代入 (6 8 )式得 : W O R = 2 . 3 0 3 B xD e 2 ·黔改 l瓦 一 ; “ 一 阮 , ] (7 2 ) 由 (3 9 )式得 : n = e (2 . 3 0 3 A 一 E ) (7 3 ) 代 (7 3 )式入 (7 2 )式得 : W 。R = 2 . 3。3 B :e { ‘2一‘ 1 一 E ’· ; ’嘿些[瓦 一 ; “ 一 S 二’]} 、7 4 ) 对 (74 )式取常用对数 : 10 gW O R = lo g 2 . 3 0 3 B : + A : - 卫 _ 一 + 「言 1一 {口 份 一 一 L ’ 3 “ 一 “。 r , } (7 5 ) N一“残S 将 (6 9 )式代入 (3 6 )式得 : E = 2 . 3 0 3 B 一N o S 。 : 2 . 3 0 3 【”。一 1 (l 一 S 。 : ) 13 J (7 6 ) 再将 (7 6 )式代入 (7 5 )式得 : ‘。 gw o R = ’。‘2 · 3“3 B ! + A : 一急票一卜、 一 ; (卜 s一 )1 十 .摺黔【瓦 一 ; “ 一 S O r , ] = lo g 2 . 3 0 3 B I + A l + 一瞥代瓦 一 s 一 ) (7 7 ) 由 (7 7) 式解出地层平均饱和度为 : ( , 。g w o R 一 , 。g B I 一 A l 一 。 . 3 6 2 2 ) + S , 1 (7 8 )oI一Ns一玩S , = 若令 A 4 = S叫 - 粼(A l · , 。g B I · 0 · 3 6 2 2) (7 9 ) B ‘ = 5 0 ‘ / B IN o 则得 : 由(8 1) 式可以看出 , S奋= A ‘ + B 一lo gW O R (8 0 ) (8 1) 地层平均含水饱和度与水油比成半对数线性关系。 6 . 油田含水率与累积产油皿的关系式 已知油田含水率与水油比有如下关系式 : f, = W O R l + w o R I + l 1 、V O R (8 2 ) 7启 石 油 学 报 第 6 卷 对 (4 2) 式求导数后得 : W O R = Q , /Q 。 = 2 . 3 0 3 B : W P 再将 (4 2) 式改为指数形式 : w p = 10 (A l + B xN , ) 代 (5 4 )式入 (5 3 )式得 : W o R = 2 . so 3 B 一20 (A 一 + B 一N P) 再代 (8 5 )式入 (5 2 )式得 : (8 3 ) (8 4 ) (8 5 ) l 1 小 1 (8 6 ) 2 . 3 0 3 B 一10 (A : + B 一叹, ) 7 . 测算可采储t 和采收率的关系式 将 (83 )式分别代人 (42 )式和 (45 )式得 : W O R 2 . 3 0 3B - = A l + B IN , (8 7 ) W O R 2 . 3 o 3 B - = A : + p : R 。 (8 8 ) 侣g0O1孟, .占 根据合理经济界限给出最大水油比 (w o R )二 . : 之后 , 从 (8 7) 和 (8 8) 式可以得到确定可 采 储量和采收率的关系式为 : 10 9 (W O R ) . 。 二 一 (A : + 0 . 3 6 2 2 ) N : 二 - -一一一一一瓦一一一一一一 (8 9 ) _ 1。。一理黔竺 一 、‘A 二+ 0 . 3‘, 2 ,_ - -一一一百厂一一一- 一 一 (9 0 ) 二 、 结 论 1 . 本文根据目前水驱油的主要理论和方法 〔4~ 幻 , 除对童宪章所命名的甲、 乙和丙型水 驱 曲线关系式进行了推证外 , 并且还得到了预侧油水相对渗透率比、 地层乎均含水饱和度、 油 田含水率和采收率的关系式 。 这些关系式对于预侧油田的动态都有一定的实际意义。 2 . 在文献 (1, 2〕中 , 童宪章通过大量资料的统计研究工作 , 得到水驱油田的地质储量与甲 型水驱曲线直线斜率的倒数 (B : = 1 / B : )成正比 , 并由下式表示 : N o = 7 . SB r (9 1 ) 由本文的 (4 0 )式、 (5 1 )式和 (6 5 )式得知 : B : = B : 二 B一 = 3 m s o : 4 . 6 0 6 N . 一 B r (9 2 ) 由 (9 2) 式可以看出 , N 。与B : 成正比 , 即为 (9 1) 式的求证。 同时 , 由 (9 1) 和 (9 2) 式的对比 而得 到 : 3 m s 。 , / 4 . 6 0 6 “ 7 . 5 , 或 m s 。, == 1 1 . 5 1 5 。 而s 。一般 为0 . 7 ~ 0 . 8 , 故 m = 14 . 3 9 ‘一 1 6 . 4 5 0 。 绍2 期 水驱曲线关系式的推导 3 . (9 2) 式指出 , 水驱曲线直线斜率的大小 , 即直线的陡 、 缓主要取决于油田地质储量的 大小 。 储量愈大则直线斜率愈小即愈缓 。 而由(3 9) 和 (5 0) 式看出 , 水驱曲线直线 的 截 距 主 要取决于 , 地层油水粘度比 、 地层束缚水和残余油饱和度的大小。 三者愈大则直线的截距愈 大 。 符 号 注 释 F—含油面积 (平方公里) , h , 中—油 层有效厚度和孔隙度 (写) ; B , —地层水体积系数 ;丫。 , 丫, —地面原油和地面水比重 ,林。 , “,—地层原油和地层水粘度 (厘泊 ) , so :—残余油饱和度 (% ) , z—可流动油饱和度 (% ) ;乙 , zl— 出 口端和油水前缘可流动油饱和度(% ) , L , X—油水井之间距离及驱动前缘距离 (米 ) ; A—渗滤截面积 (米名) ,‘ , ‘ .—含水率及出 口端含水率 (% ) , K—绝对渗透率 (达西) , W .—累积注水量 (万吨 ) , A . , Bl —直线的截距和斜率 (立二 l , 2 , 3 , “⋯ ) , B :一水驱曲线直线斜率的 倒 数 (B : 二翻 ;一 三 ‘ . ’~ ~ 一~ 一甲” ”‘ ~ ~ ’ 一 ‘ B t ‘ ’ 日:和氏为 (45 )和 (5 5) 式所示水驱曲线直线的斜率 , R , 和Ro 为采水程度和采油程 度 , 无因 次t , C , D , E , m 和n为不同的常数。 (本文收到日期1 0 . 召年 i 月 2 日) , 考 文 献 〔门 宜宪章: “天然水驭和人工注水油藏的统计规律探讨 , , 石油勘探与开发 , 1 9 7 8年第 6 期 p . 38 〔2 〕宜宪幸 : 油井产伏和油改动态分析, 第四章 , p . 3 , ~ 60 , 石油工业出版社 , 1 98 1 〔8 〕陈元千 . “水驭油田矿场经脸分析式的推导及应用 . , 石油勘探与开发 , 1 9 81 年第 2 期p . 59 〔4 〕B . c kle 了, 5 . E . a o d L . v . r e tt , M . c . : “M e e ha n ls m o f F lu ld D is p la e e m e n t . in S a n d二 , T r a n s . , A IM E (1 9 心2 )1 4 6 , 1 0 7- 1 16 〔6 〕W o lg e , H . J一 “A Slm Pllflo d M e th o d fo r C o m Pu t ln g 0 11 R e e o v e r y b y G a s o r W a te r D rl- v 。, , T r. n : , A IM E (1 9 5 2 )1 95 , 9卜 9 8 〔O〕 3中p o c , 双. A二 “双二盆e a a e B o go- H e中T , a o自 e从 e c 皿 B e a e 了eM e e 皿. a 粗 . 妞 , , T P . B H H H , 一 n . , 1 2 . 1 , 5 8 〔7 〕B o Pa c o 一 , 幻. 11 . : “K r 皿城Po x a 皿一 皿嗽e c盆a 洲 Pa c 一。宫。. 燕e 6 a 公o . a 只a a刀e 对一 皿 n Pa Pe皿a 从a x , 协 , 。c 皿 . H 皿. 甘e中, a B o g o 山(v , e r 中a s o . 习 x n p o 皿 皿双“从o c 了e . )’ , H T C n o 及0 6 从吸e H 。中T 妞 , B H H H , N o . 3 , C . 1 9 . 1 9 5 9 〔白〕C r a ft , B . C . a n d Ha w k互n s , M . F . : A PPI玉e d P e tr o le u m R e s e r v o ir E n g 生n e e r in g , Ch a Pt . r 7 , P. 名6 6 一 1 9 5 9 †‹|||||”||月...l!eses , 白 石 油 学 报 第 6 卷 D E R I V A T I O N O F R E L A T I O N SH IPS O F W A T E R D R I V E C U R V E S C h e n Y u a n q ia n (S e ie 几‘if‘e R e s e a r e 儿 I n 3 t i t u 亡e o l P 己‘r o 才e u 的 E X P工o ra 零10 耳 。玲d D ‘v 心不op 爪e n 全, B e 玄j止件 g ) A b 匀t r a e t P lo t s e o 一飞s t r u e t e d o n s e m ilo g e o o r d i n a t e Pa Pe r fo r e u m u la t iv e w a t e r o u tPu t (W P ) v s e u m u la t iv e 0 11 o u tPu t (N P) , o r e u m u la t iv e w a te r 一 0 11 r a t io (W O R ) v s e u m u - 加t i v e 0 11 o u t p u t (N p ) a r e e a lle d w a t e r d r iv e e u r v e s , a u s e fu l t o o l fo r m a k in g p r e d - i e t io n s o f t h e Pe r fo rm a n e e a n d u lt i m a t e r e e o v e r y fae t o r o f a n 0 11 fi e ld tha t h a s b e e n w i d c ly a d o Pte d . B a s e d o n t h e d is Pla e e m e n t th e o ry fo r tw o 一 Ph a s e flo w , i n e lu d in g th e f r o n ta l - d r iv e e q u a t i o n a n d the a v e r a罗 w a t e r 一s a tu r a t io n e q u a t io n p r o p o s e d r e sp e e t iv e ly by B u e k le y 一L e v e r e tt a n d W e ig e , a ls o th e e m Pi r i e a l e q u a t i o n by I lflo s , se ve r a l d if fe - r e n t r e la t i o n sh i P o 之w a t e r d r iv e e u r v e s , i n e lu d in g tyPe s A , B a n d C a s d e fi n e d b y T o n g X ia n z h a n g , a r e de r iv e d . -