第25届全国部分地区大学生物理竞赛试题

考 场 姓 名 准 考 证 号 所 在 学 校 ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** *密 ** ** ** ** ** ** ** ** ** 封 ** ** ** ** ** ** ** ** ** *线 ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** 考生类别 第 25届全国部分地区大学生物理竞赛试卷 北京物理学会编印 2008.12.14 北京物理学会对本试卷享有版权，未经允许，不得翻印出版或发生商业行为，违者必究。 一 二 题号 1 ~ 12 13 14 15 16 分数 阅卷人 三 题号 17 18 19 总分 分数 阅卷人 答题说明：前 16 题是必做题，满分是 100 分；文管组和农林医组只做必做题；非物理 B 组限做 17 题，满分 110 分；非物理 A组限做 17、18 题，满分 120 分；物理组限做 17、19 题，满分 120 分。请同学们自觉填上与准考证上一致的考生类别，若两者不符，按废卷处 理，请各组考生按上述要求做题，多做者不加分，少做者按扣分。 一、填空题（必做，共 12 题，每题 2空，每空 2分，共 48 分） 1. 沿x轴运动的质点，速度υ = αx，α > 0。t = 0时刻，质点位于x0 > 0处，而后的运动过程中， 质点加速度与所到位置x之间的数关系为a = ，加速度与时刻t之间的函数 关系为a = 。 2. 质量可忽略的圆台形薄壁容器内，盛满均匀液体。 容器按图 1 所示方式平放在水平地面上时，因液 体重力而使容器底面所受压强记为P1，地面给容 器底板向上的支持力记为N1；容器按图 2所示方式放置时，相应的力学参数记为P2、N2。 那么，必定有P1 P2，N1 N2。（分别选填“小于”、“等于”或“大于”。） 图 1 图 2 B A 3. 在一车厢内，有图示的水平桌面、质量分别为mA和mB的物块A和 B、轻绳和质量可忽略的滑轮装置。（1）设系统处处无摩擦，车 厢具有竖直向上的匀加速度a0，则物块B相对车厢竖直向下的加 速度a = 。（2）设B与水平桌子侧面间的摩擦因 1 数µ ≥ mA / mB，系统其余部位均无摩擦，今使车厢具有水平朝右的匀加速度a0，则a0取值 范围为 时，能使物块B相对车厢不动。 4. 三个质量同为m，电量同为q > 0的小球 1、2、3，用长 度同为l的轻绝缘线连成等边三角形后，静放在光滑水平 面上，如图所示。将球 1、2 间的轻线剪断，三个小球 开始运动。球 3在运动过程中，相对其初始位置位移 的最大值lmax = ，运动的最大速度值υmax = 。 l l l 1 2 3 5. 振动频率为ν0的声波波源S静止于水平地面某处，骑车者 B与S相距L。t = 0开始，B沿着垂直于此时B、S连线方 向以水平匀速度υ运动，如图所示。已知声波在 空气中的传播速度u > υ，则而后t时刻B的接收频率ν (t) = ，从t = 0到t时刻 期间，B接收到的振动次数N (t) = 。 υ L B S 6. 四个恒温热源的温度之间关系为T1 = αT2 = α2T3 = α3T4，其 中常数α > 1。工作于其中两个任选热源之间的可逆卡诺 热机的循环效率最大可取值ηmax = 。由这四 个热源共同参与的某个可逆循环如图所示，图中每一条 实线或为T1、T2、T3、T4等温线，或为绝热线，中间两 条实线与其间辅助虚线同属一条绝热线。此循环过程效率η = 。 7. 热力学第二定律的开尔文述为： ； 热力学第二定律的克劳修斯表述为： 。 R2 Q R3 R1 r q T3 T2 T1 T4 V P O 8. 如图所示，带电量为Q，半径为R1的导体球外，同心地放置 一个内半径为R2、外半径为R3本不带电的导体球壳，两者 间有一个电量为q、与球心相距r（R2 > r > R1）的固定点电 荷。静电平衡后，导体球电势U球 = ， 导体球壳电势U壳 = 。 2 图 1 B A 图 2 B A 考 场 姓 名 准 考 证 号 所 在 学 校 ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** *密 ** ** ** ** ** ** ** ** ** 封 ** ** ** ** ** ** ** ** ** *线 ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** 9. 图 1 所示的电阻丝网络，每一小段电阻同为r， 两个端点A、B间等效电阻R1 = 。若 在图 1网络中再引入 3段斜电阻丝，每一段电阻 也为r，如图 2 所示，此时A、B间等效电阻R2 = 。 10. 对于波长为λ的线偏振光，用主折射率为no和ne 的负晶体制成的四分之一波片，其最小厚度为d0 = 。将其厚度增加一倍，波 长为λ的线偏振光通过这一新波片后将成为 偏振光。（填：“线”、“圆”或“椭圆”。） 11. 核潜艇中U238核的半衰期为 4.5×109年，衰变中有 0.7%的概率成为U234核，同时放出一 个高能光子，这些光子中的 93%被潜艇钢板吸收。1981年，前苏联编号U137的核潜艇 透射到艇外的高能光子被距核源（处理为点状）1.5m处的探测仪测得。仪器正入射面积 为 22cm2，效率为 0.25%（每 400个入射光子可产生一个脉冲讯号），每小时测得 125个 讯号。据上所述，可知U238核的平均寿命τ = 年（ln2=0.693），该核潜艇中U238 的质量m = kg（给出 2位数字）。 12. 惯性系S、S' 间的相对运动关系如图所示，相对 速度大小为υ。一块匀质平板开始时静止地放在 S' 系的x'y' 平面上，S' 系测得其质量面密度（单位 面积质量）为σ0，S系测得其质量面密度便为 σ1 = σ0。若平板相对S' 系沿x' 轴正方向以匀速度υ运动，S系测得其质量面密 度则为σ2 = σ0。 υ O' O S系 S'系 x x' y'y 二、计算题（必做，共 4题，每题 13分，共 52分） y y O 屏幕 L 挡板 a a ν a O' ν 13. （13 分）频率为ν的单色平行光正入射到挡板 上，挡板上有四个相同的小圆孔以相同的间距 a排列在一直线上。挡板前方相距L >> d处有一 平行放置的屏幕，挡板中心O'与屏幕中心O的 位置如图所示，屏幕上过O点放置的y坐标轴与 四孔连线平行。 3 （1）写出（不必推导）两个相邻小圆孔出射光到图中 y坐标点的光程差 δ； （2）求出两个相邻小圆孔出射光到y轴上距O点最近暗点处的光程差δ1； （3）算出y轴上中央亮纹的线宽∆l0； （4）若小圆孔的直径为d < a，人站在屏幕位置观看这些小圆孔，试问a至少取何值时，人 眼方能分辨出是四个小圆孔？ 4 考 场 姓 名 准 考 证 号 所 在 学 校 ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** *密 ** ** ** ** ** ** ** ** ** 封 ** ** ** ** ** ** ** ** ** *线 ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** 14. （13 分）面积为S的平行板电容器，正、负极板上电 荷面密度分别为σ、-σ，板间场强大小E = σ / ε0，负极 板上电场强度大小为ES = σ / 2ε0。 （1）固定正极板，用图示方向外力F = σS·ES作用于负 极板，使其缓慢外移∆l距离，试求该力作功量A。 （2）A为外界通过力 作功方式输入的能量，可以理解这一能量全部转化为平行板电容 器内新建场区（体积为S·∆l，场强大小也为E F K = σ / ε0的匀场强区）的电场能量。假设 匀强场区中场能密度（单位体积内的电场能量）ωe为常量，试导出ωe ~ E关系式，关 系式中不出现S、σ、ES、F、∆l等量。 （3）假设（2）问所得ωe ~ E关系式适用于任何真空中的电场，试求电量为Q、半径为R的 均匀带电球面在球面上的电场强度大小ER。 E K S -σ F K sE K sE K σ （固定） 5 15. （13分）长 L的均匀软绳静止对称地挂在光滑固定的 细钉上，如图 1所示。后因扰动，软绳朝右侧滑下， 某时刻左侧绳段长度记为 x，如图 2所示。 （1）x（x < L/2）达何值时，细钉为软绳提供的向上支 持力N恰好为零？ （2）N恰好为零时，突然将细钉撤去，再经过多长时间 t，软绳恰好处于伸直状态？ x 图 1 2 L L - x 图 2 2 L 6 考 场 姓 名 准 考 证 号 所 在 学 校 ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** *密 ** ** ** ** ** ** ** ** ** 封 ** ** ** ** ** ** ** ** ** *线 ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** 16. （13分）在两端绝热封顶，半径R2 = 7.5cm的长容器筒内，同轴地固定着半径R1 = 5 cm 的长铀棒，两者之间夹着一层空气。铀因裂变在单位时间、单位体积内产生的热量为 ρQ = 5.5×103 W/(m3·s)，热导率为Ku = 46W/(m·K)，空气的热导率为KA = 8.61×10-3 W/(m·K)。设整个装置与周围环境间已处于热平衡状态，筒壁与环境温度同为T2=300K。 （1）计算单位时间内、单位长度铀棒因裂变产生的热量 Q； （2）计算铀棒外表面温度T1；（ln1.5 = 0.405） （3）计算铀棒中央轴处温度T0； （4）计算筒内R1处空气密度ρ1与R2处空气密度ρ2间的比值γ。 7 三．计算题（每题 10分。文管组和农林医组不做；非物理 B组限做第 17题；非物理 A组 限做第 17、18题；物理组限做第 17、19题） 17. （10分，文管组和农林医组不做，其他组必做） 半径同为R，质量分别为m1 = m和 2 3 2 m = m的两个 匀质圆盘，边缘部位分别用长R和 2R的轻杆固定 地连接后，挂在高度差为R的两块天花板下，可以 无摩擦地左右摆动。开始时两个摆盘静止在 图示位置，质量为m1的摆盘自由释放后，将以ω0角速度与质量为m2的静止摆盘发生弹性 碰撞。试求碰后瞬间，两个摆盘的右向摆动角速度ω1和ω2（均带正负号）。 R m1 m2 R R R 2R 8 考 场 姓 名 准 考 证 号 所 在 学 校 ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** *密 ** ** ** ** ** ** ** ** ** 封 ** ** ** ** ** ** ** ** ** *线 ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** 18. （10分，非物理 A组必做，其他组不做）如图所示， 半径 R 的圆柱形大区域内，划出一个半径为 R/2 且 与大区域边界相切的小圆柱形区域，在余下的区域 内有变化的匀强磁场，磁感应强度 B K 平行于圆柱的 中央轴，且垂直于图平面朝外， B K 随 t 的变化率 K=dB/dt是正的常量。图中 O、O'分别为大、小圆的 圆心，N为两圆切点。一个质量为m、电量q > 0的粒子P，从O点进入小圆区域，初速大 小为υ0，方向角θ如图所示。为使P能相切地经上半圆OMN中的某一点，而后又从N点离 开小圆区域，试问υ0、θ各取何值？ θ υ0 R M O B K ~t P O' N 9 19. （10 分，物理组必做，其他组不做）长l、电阻R 的匀质金属细杆，其A端约束在竖直光滑金属导轨 上运动，B端约束在水平光滑金属导轨上运动，导 轨电阻可忽略。设空间有图示方向的水平匀强磁场 B K ，开始时细杆方位角φ = 0，从静止状态自由释放 后，方位角达到 φ 时，A端朝下速度大小记为υA。 （1）试求细杆内从A端到B端的电动势εAB； （2）导出安培力提供的负功率大小的计算式，进而验证此负功率大小恰好等于细杆电阻 消耗的电功率大小； （3）计算 φ = 45˚时，细杆旋转角加速度β（本问中不可出现υA）。 φ B K l B O A υA 10 一． 1. 2xα ； 2 0e tx αα 2. 等于 ；等于 3. ( )B 0 A B a + m g m m + ； B0 B A a + m g m mµ≥ 4. 4 3 l ； 06 q mlπε 5. 02 2 2(1 ) t v u L t υ υ υ− + ； 2 2 2 0( ) L t Lt v u υ+ −− 6. 3 11 α− ； 2 11 α− 7. 不可能从单一热源吸取热量，使之完全变化有用的功而不产生其它影响； 不可能把热量从低温物体转移到高温物体，而不产生其它影响 8. 0 1 2 3 1 ( ) 4 Q q Q q Q q R r R Rπε + ++ − + ； 0 34 Q q Rπε + 9. 153 209 r ； 2 3 r 10. o e4( )n n λ − ；线 11. 96.49 10× ；30 12. 2 1 2(1 )c υ −− ； 2 2 2 2 (1 ) (1 ) β β + − 1 二．13. 1 (1) a sin a (3 ) (2) 1 3 2 4 y O 2 (3 ) 4 (3) (2) ( ) a y L c v y y c L δ θ λδ λδ δ = ≈ = 1 1 1 1 分 第 、小圆孔出射光相消处，也是第 、小圆孔出射光相消处， 即为 轴上距 点最近暗点，故应有 2 = 即 = = 分4 第 小问暗点坐标 取正 满足下述关系式： = 1 1 min (3 ) a 2 a (4) 1.22 1.22 a a 1.22 (4 ) v cLy v cLl y v c d vd cLl vd λθ θ = ∆ = = ∆ = = = ⋅∆ = 0 4 得 分4 故中央亮纹线宽为 2 圆孔衍射爱里斑半角宽为 故可分辨四个小孔的最小 值应为 分 2 二．14. 2 S 0 2 0 2 e 0 1(1) , , 2 2 1 (3 ) 2 1(2) (2 ) (3) A F l E S l A ES l A S l A E S l A E S l σσ σ ε ε ω ε = ∆ = ∆ = ∆ = ∆ = ⋅ ∆ ∆ 或 或 或 分 = = 分2 用外力缓慢朝里推移球面电荷，参考题解图，有 2 R R R R 2 2 0 R d ( d ) / , 4 , d d d d d d d (4 ) d (d 4 d 4 d d s s F s E Q S S R r A F r E s r E s r QE r QA V R r E R QE r A σ σ π σ σ π πε = = = = = ⋅ = = = = = = ∫∫ ∫∫ , 设位移量为d 则作功 分 外界输入能量即为 ，全部转化为新建场区 ， 场能， 即有 ) 2 2 2 e 0 2 0 R 2 0 1 dd 4 d 8 (4 ) 8 Q rV E R r R QE R ω ε π πε πε = ⋅ = = 2 得 分 σds dF K RE K R dr 14题解图 3 二．15. 2 2 (1) 1 2 ( ) 2 2 1 2 ( 2 ) 2 2 2 2 M L x LM Mg x L g L x L L x x M gP M L x L L L υ υ υ − = − ⇒ = − − −= = − 软绳质量记为 ，参考题解图1，由能量守恒得 此时软绳向下动量为 （ ） （ ） 2 2 0 0 0 (3 ) d( ) d d 2 2 d 1 (2 2) (3 ) 4 (2) 1 2 1( 2 ) (1 ) 2 2 x t P MgN Mg Mg L x t L N x x x L x x g L x gL L υ υ υ = − = − = − − = = − = = − = 分 由质点系动量定理，注意 得 （ ） 恰好为零时，对应的 便为 分 时，有 分 取初速方向竖直向下，大小为 的 0 ζ 0 ζ ζ 0 S S 2 S 3 ( ) gL L x M M L L L x υ υ υ ζ υ ζ ζ ζυ υ υ υζ = = −⎡ ⎤ = ⇒ =⎢ ⎥ −⎣ ⎦ 0 0 0 自由落体参考系 ， 系中软绳右侧绳段 初速为零，左侧绳段竖直向上初速为 初态如题解图2所示。 解法1：动量法 系中左侧绳段无论剩余多少，向上速度 不变，右侧绳段增长 时， 向上速度记为 ，过程态如题解图 所示，有 ( )+ + 0 ζ 0 (3 )L x L x υ υ υζ −− = −0 0 得左、右速度差为 分+ 4 0 0 ζ 0 2 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 d 1 ( 2 2( ) 2( ) 2d 2 2 14 9 2 (3 ) 4 t x t L xt t L x L x x L xt x x L x L x L x L x x Lt L x g ζ υ υ υζ ζυ ζ υ −= − = − − −= = =− − − − −= =− ∫ ∫ 0 0 00 0 时间内左侧向右侧输运绳段 d )d d + 得积分式： + d + 解得 分 解 2 2 0 0 0 C C B 4CB 2 S B C (3 ) B C S L Lx x L x L t υ υ υ −= = 0 0 法2：质心法 参见题解图2，初态软绳质心 在 端下方，可以算得间距 +2 系中此时 端上行速度为 ，质心 上行速度可算得为 分 此后 、 在 系中一直作匀速直线运动，经时间，两者间距增为 * * 0 0 C 0 CB 2 2CB CB 14 9 2 (3 ) 4 L L x x Lt L x gυ υ υ = −− −= = =− −0 0 （ ） 即得 分 υζ (L – x0)+ζ 15题解图 3 S系 x0-ζ υ0 υ υ 15题解图 1 L/2 - x x L/2 L/2 - x L – x0 15题解图 2 S系 B x0 C υ0 5 二．16. 1 2 2 3 2 Q 1 A A (1) 5.5 10 (0.05) 43.2J (1 ) (2) d d d d T R T R Q R r Q TK r Q r Q r QT K r K ρ π π π π π = ⋅ = × × × = ⋅ ⇒ = =∫ ∫0 1 分 热平衡时，通过半径为 的单位长度空气柱面向外输送热量为 ，有 - 2 = - 2 2 2 A 1 2 1 2 3 A 1 1 2 Q u ln 43.2 7.5 ln 300 ln 624K (3 ) 8.61 10 5 (3) d d d R R RQT T K R r R Tr K r r T π π ρ π π ρ −= + = + =× × < ⋅ ⇒ = 得 分2 2 取 的单位长度铀柱面，热平衡时有 =- 2 - 2 1Q Q 210 u u 2 3 Q 1 2 0 1 u 0 1 d 5.5 10 624 (0.05) 624.07K 4 46 624K (3 ) (4) , : T R T r r R K K R T T K T T P P nkT n ρ ρ − = ×= + = + × =× ⇒ ≈ = = ∫ ∫1 2 4 得 4 分 空气层各处压强 相同，由 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0.481 (3 ) n r T r r T r T T ρ ργ ρ = ⇒ = = = = 分子数密度 得 常量 常量 因此 分 6 三．17. 1 1 1 1 1 0 1 0 2 1 1 1 C1 1 1 0 (1) O ( ) ( ) 2 2 2 ( ) (2 ) ( O ) 3 (3 2 ) (3 N N t N t N t m R m R mR N t R N t R Rm R I Rm ω ω ω ω ω ω ω ∆ ∆ − ∆ = ⋅ − ⋅ = − ∆ ⋅ − ∆ ⋅ = ⋅ + − 1参考题解图，碰撞过程中悬挂点 提供的水平右向力记为 平均值， 两摆盘间水平碰撞力大小记为 平均值，碰撞时间记为 。 摆1的动量方程： 分 角动量方程以 为参考点： 摆1： C1 0 2 2 2 2 2 C1 1 2 2 2 2 1 1 1 0 2 2 2 2 1 1 2 2 2 ) (2 ) 3 (1 ) 1 1 , (3 ) 133 ( ) 57 3 1 1 R I N t R I I m R I m R m R N t R N t R m R N t R mR I I ω ω ω ω ω ω ω ⋅ + ∆ ⋅ = = = + ⋅ ∆ ⋅ − ∆ ⋅ = − ∆ ⋅ = + = 分 摆2： 分 2 2 可简化为 2 4 能量方程： 2 2 2 1 0 2 2 1 1 1 1 1 2 1 0 2 0 1 (2 ) 1 (2 ) 11 36 (3 ) 65 65 I I m R m R N t m N t m ω ω ω ω ω ω ω = + ⋅ ∆ ∆ = − = − 分2 2 上述四个动力学方程，含四个未知量： / 、 / 、 和 ，可解得 ， 分 ω0 ω1 ω2 N1 N N O1 O2 2R R m2 R m1 R 17题解图 7 三．18. A 1 1 1 d ( ) d 2 ( ) A 1 d 1 ( 2 d 2 r E BE r r t R B r R B BE r k t = × = − = × + − KK KK K K K K K KK K 同步变化的圆柱形匀强磁场区域如题解图所示，圆内 处感应电场 可表述为 2 本题所给磁场区域，可处理为全 圆柱形 磁场区域与 小圆柱形 磁场 区域的叠合。小圆孔区域中任意点 处的感应电场场强便为 2 0 O 2 0 d 1 d) (4 ) d 2 d 2 P d 1a (2 ) 4 d 4 sin 2 / a (1 ) B Br k r k E t t r R qE R BE KR m t R υ θ ′× = × = = = = = = K KK K KK K 分 结论：如题解图2所示， 小圆孔区域内为匀强磁场区。将小圆孔匀强磁场 区放大如题解图3所示， 作类斜抛运动，有 ， 分 ٛ 水平”射程： 分 2 20 2 2 sin / 2a (1 ) 2 sin2 sin 2sin cos sin tan 2 arctan 2( 63.4 ) R υ θ θ θ θ θ θ θ θ θ = = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = ° 射高： 分 得： ： 2 2 0 0 0 (1 ) a / sin , sin 2 5 5 (1 ) 4 R KqR m υ υ θ θ υ = = ⇒ = 分 ： 分 B K ~t ( )E r K K rK 18题解图 1 B K ~t 1r K 2r K O O' 0r K 18题解图 2 k K E K O′ O N 2 R 2 R m,q>0 a a P O' O N 18题解图 3 8 三．19. 2 2 ABOA A A (1) ABOA 1 1 ( cos ) ( sin ) sin 2 2 4 d 1 dcos 2 d 2 d ( sin ) sin B l l Bl Bl t t l l φ φ φ ε φ ω ω υυ φ ω ω φ Φ = − ⋅ = − Φ Φ= − = ⋅ = = ⇒ = 取 回路，垂直图平面向里的磁通量 即有 ， 由刚体平面平行运动知识，可以导得 即有 AB ABOA A AB AB A 2 2 AB A x 1 cos 2 sin (1.5 ) 2 cos 2(2) A B 2 sin AB cos 2 , 2 sin Bl BlI R R F e B lF Fe F I Bl R F ε ε υ φ φ ε φυ φ φυ φ = = = = = = = = − K K K K 分 到 的电流 杆所受安培力 ，其正方向的方向矢量 如题解图所示，有 y AB d d AB d cos , sin AB d d d d d d d d d d d d l l l F F F l F F e I B l e l F P F I B le l m l φ φ υ υ υ λ λ = − = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = K K K K K KK K K KK 杆中 段所受安培力为 段的速度记为 ，则 提供的功率为 引入质量线密度常量 ， 段质量 ，则有 AB d F AB d0 d C0 C F AB C AB C C 1 d (d ) AB 1d d : d : l l ll l l P I Be m F P P I Be m m l m m mP I Be lI Be F υλ υλ λυ υ υ υ υ υλ = ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ =⎧⋅ = ⎨⎩ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ∫ ∫ ∫ KK K KK K K K KK K KK K 安培力 为 杆提供的总功率为 细杆质量 因 细杆质心速度 便得 即安培力提供的功率等 B A C A A C 1 1 cos 2 2 sin 1 ( 0) 2 i j φυ υ υ φυ υ υ υ υ υ ⎧ = =⎪⎪+ ⎨⎪ = − >⎪⎩ K KK cx cx cy cy 效于安培力全部作用于质心 处，为质心运动提供的功率。 因 = 注意 9 2 F x y A A2 2 2 2 2 F A 2 2 2 2 2 2 I AB A 2 1 cos 1 cos 2( sin ) 2 sin 2 sin cos 2 (6 ) 4 sin cos 2 (0.5 ) 4 sin P F F F F B lP R B lP I R R φ φυ υ υ φ υφ φ φυ φ φυ φ = + = − − = − ⇒ − = = = cx cy 得 分 又，细杆电阻消耗的电功率为 分 F I 2 2 2 k m 2 2 k (3) 1 1 2 6 d d 1 d 1d d d 3 d 3 P P E I ml t t t E ml t ml t φ ω ω φ φ φ ωω β φ − = = = → + → + = = 即 角位置时，细杆动能 时间间隔对应 ，有 重力势能减少 ( )P I I I k P I 2 k P d d 1 cos sin d 2 2 d d 45 0 d d d 1 45 d d d sin d 3 2 l lE mg mg W P t P E E W lE E ml mg φ φ φ φ φ β φ φ ⎡ ⎤− = − =⎢ ⎥⎣ ⎦ = = ° = = − − = ° = − ⇒ = 量 电阻上消耗能量 ， 时 由功能关系 时，得 φ 3 3 2 sin (2 ) 2 4 g g l l β φ⇒ = = 分 φ φ eK IAB CυK IAB BυK AυK dl K dF K F K y A φ B K C B O 19题解图 x 10