【高考数学】圆锥曲线经典习题—抛物线大题合集1

【数学】圆锥曲线经典习题—抛物线大题合集1未命名一、解答题1．已知圆，动圆在轴右侧，与圆相外切且与轴相切（1）求动圆的圆心轨迹的方程；（2）已知点，为圆上一点，为轨迹上一点，求的最小值.【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】（1）设圆心根据动圆与圆（x﹣1）2+y2＝1外切，且与y轴相切．建立关系可得轨迹C的方程（2）利用不等式，将转化为到准线的距离即可求解【详解】（1）设，由题可知，动圆在轴右侧，且与圆相外切，则有：，即解得（2）设，，由（1）可知，点在轨迹上，则可将转化为到准线的距离，所以，的最小值为2.【点睛】本题考查抛物线的定义求轨迹方程，考查抛物线求最值，熟练运用抛物线定义转化是关键，是中档题2．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆．（1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）过底面中心且平行于母线的截平面，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为的抛物线，求圆锥的全面积；（3）过底面点作垂直且于母线的截面，若截面与圆锥侧面的交线是长轴为的椭圆，求椭圆的面积（椭圆号的面积）【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据侧面展开图的特征列方程得出底面半径和母线的关系，从而得出母线和底面所成的角；（2）根据抛物线的一条弦为圆锥底面直径得出底面半径和的关系，从而可得圆锥的面积；（3）根据三角形相似和圆锥的特点得出椭圆的长轴，短轴和底面半径的关系，从而可得长短轴的关系，得出答案.【详解】（1）设圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥侧面展开图的半径为，弧长为，圆锥的侧面展开图是一个半圆，，，圆锥的轴截面为等边三角形，圆锥的母线与底面所成的角为；（2）设抛物线的顶点为，截面，则为的中点，设抛物线方程为，把代入抛物线方程得，，于是母线，又由（1）可知，即，，圆锥的全面积为；（3）设的中点为，则和为椭圆的长轴顶点，取的中点，则为椭圆的中心，连接并延长，交于，过作，交圆锥底面圆周于，则，即，过作交于，由可知，又，为靠近的三等分点，连接，，中，根据余弦定理，，，，中，过点平行于的线段是，，，即，所以椭圆面积【点睛】本题考查了圆锥的结构特征，和圆锥的截面曲线，和立体几何相结合的问题，意在考查空间想象能力，抽象和计算能力，空间想象是本题的关键，本题的难点是第三问的空间想象，中，过点平行于的线段是.3．已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点为坐标原点，准线方程为，直线与抛物线相交于不同的、两点．（1）求抛物线的方程；（2）如果直线过抛物线的焦点，求的值；（3）如果，直线是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．【答案】（1）;（2）∴;（3）．【解析】【试题分析】（1）借助题设与已知条件待定抛物线的参数即可；（2）依据题设条件，建立直线方程与抛物线方程联立方程组，运用向量的坐标形式求解：（3）先假设存在，再运用所学知识分析探求．（1）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为，所以，．∴抛物线的标准方程为．（2）设：，与联立，得，设，，∴，，∴．（3）解：假设直线过定点，设：与联立，得，设，，∴，．由，解得，∴：过定点．点睛：本题的设置旨在考查抛物线的标准方程与直线与抛物线的位置关系等基础知识与基本方法的综合运用．求解第一问时，直接借助题设条件求出参数的值使得问题获解；解答第二问时，将直线方程与抛物线方程联立，借助向量的坐标形式的数量积公式求解，使得问题获解；第三问的求解则借助坐标之间的关系建立方程推得直线过定点，使得问题获解．4．已知点到点的距离与点到直线的距离相等.（1）求点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为曲线，过点且斜率为1的直线与曲线相交于不同的两点，，为坐标原点，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可知点的轨迹是以为焦点的抛物线，即可求解.（2）由点斜式求出直线方程，联立直线与抛物线方程，消元，利用韦达定理即可求得三角形的面积.【详解】解：（1）设，∵动点到点的距离与到定直线的距离相等，∴点到点的距离等于到直线的距离，由抛物线定义得：点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线.设抛物线方程为，可得：，.∴抛物线的方程为，即为点的轨迹方程.（2）由直线的斜率为1，可得直线的方程为，即.与联立，消去，整理得.设，，则，，∴，因此的面积:.【点睛】本题考查抛物线的定义，以及直线与抛物线的综合应用，属于中档题.5．已知动圆与直线相切，且与圆外切.（1）求动圆圆心轨迹的方程；（2）已知过点的直线:与曲线交于，两点，是否存在常数，使得恒为定值？【答案】（1）；（2）存在【解析】【分析】(1)根据两点间距离公式及相切条件,即可求得动圆圆心的轨迹方程.(2)将直线方程与抛物线方程联立,消后可得关于的一元二次方程,示成韦达定理形式.由两点间距离公式,表示出,代入韦达定理形式,即可得的表达式.并用换元法,求得的值即可.【详解】(1)圆化为标准方程为则圆心为,半径为设动圆圆心坐标为,由动圆与直线相切,且与圆外切得则两边平方整理得所以动圆圆心轨迹的方程为(2)由题意可将直线的方程为与抛物线联立消去得则,上式对任意恒为定值,设,整理得由,解得此时∴存在定点,满足题意【点睛】本题考查了轨迹方程的求法,直线与抛物线的位置关系,抛物线中的定值问题解法,化简过程较为繁琐,属于难题.6．已知抛物线，过焦点F的直线l与抛物线分别交于A、B两点，O为坐标原点，且.(1)求抛物线的标准方程；(2)对于抛物线上任一点Q，点P（2t，0）都满足|PQ|≥2|t|，求实数t的取值范围.【答案】(1)；(2)（﹣∞，]【解析】【分析】(1)设出过焦点F的直线l的方程，与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系，结合，可以求出抛物线的标准方程；(2)设出点Q坐标，根据|PQ|≥2|t|，根据点Q横坐标的取值范围，结合不等式的性质可以求出实数t的取值范围.【详解】(1)抛物线的焦点F（，0），设直线l的方程为x＝my，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线方程可得y2﹣2pmy﹣p2＝0，可得，则，由，可得解得p，即抛物线的方程为y2＝x；(2)设点Q的坐标为（x0，y0），有y02＝x0，由|PQ|≥2|t|，即2|t|，整理可得x02﹣4tx0+y02≥0，即x02﹣4tx0+x0≥0，可得x0（x0﹣4t+1）≥0，由x0≥0，可得x0﹣4t+1≥0，即1﹣4t≥0，可得t，则t的取值范围是（﹣∞，].【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了根据向量的数量积求抛物线的标准方程，考查了数学运算能力.7．已知动圆过定点，且在x轴上截得的弦长为4.（1）求动圆圆心M的轨迹方程C；（2）设不与x轴垂直的直线l与轨迹C交手不同两点，.若，求证：直线l过定点.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设动圆圆心为，利用垂径定理列方程即可得轨迹方程；（2）设，将其和轨迹C联立，得到根与系数的关系，代入，可得的关系，代入，即可找到定点．【详解】解：（1）设动圆圆心为，则，化简得；（2）易知直线l的斜率存在，设，则由，得，由韦达定理有：，.从而，即，则则直线，故直线过定点.【点睛】本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线恒过定点问题，考查了学生的运算能力，是中档题．8．已知抛物线的准线方程为，为抛物线的焦点．（I）求抛物线的方程；（II）若P是抛物线C上一点，点A的坐标为（,2），求的最小值．【答案】(I)(II)4【解析】【分析】（Ⅰ）运用抛物线的准线方程，可得p＝1，进而得到抛物线方程；（Ⅱ）过A作AB⊥准线l，垂足为B，运用抛物线的定义和三点共线取得最值，即可得到所求最小值；【详解】(I)∵准线方程x=-,得=1，∴抛物线C的方程为(II)过点P作准线的垂线，垂足为B，则=要使+的最小，则P，A，B三点共线此时+=+=4·【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查三点共线取得最小值，以及直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．9．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为圆的圆心．（1）求抛物线的标准方程和准线方程；（2）若直线为抛物线的切线，证明：圆心到直线的距离恒大于．【答案】（1）抛物线的方程为，准线方程为；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标为，并求出圆的圆心，可得出，求出的值，即可得出抛物线的标准方程和准线方程；（2）将直线的方程与抛物线的方程联立，由得出，然后利用点到直线的距离公式可证明出圆心到直线的距离恒大于.【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，圆的圆心为，可得，即，可得抛物线的方程为，准线方程为；（2）联立，可得，由题意可得，即.圆心到直线的距离为.【点睛】本题考查抛物线标准方程和焦点坐标的计算，同时也考查了直线与抛物线相切以及点到直线距离的计算，考查运算求解能力，属于中等题.10．在平面直角坐标系xOy中，动点E到定点和定直线的距离相等.（1）求动点E的轨迹C的方程；（2）设动直线与曲线C有唯一的公共点P，与直线相交于点Q，若，求证：点M的轨迹恒过定点.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）设出动点E的坐标为（x，y），然后直接利用抛物线的定义求得抛物线方程；（2）联立直线方程和抛物线方程，化为关于y的一元二次方程后由判别式等于0得到k与b的关系，求出Q的坐标，求出切点坐标，再设出M的坐标，然后由证得答案．【详解】（1）解：由抛物线定义可知，动点E的轨迹是以（1，0）为焦点，以x＝﹣1为准线的抛物线，其方程为：y2＝4x；（2）证明：由，消去x得：ky2﹣4y+4b＝0．由题意可知，直线l与抛物线相切，∴△＝16﹣16kb＝0，即b．∴直线l的方程为y＝kx．令x＝﹣1，得y＝﹣k，∴Q（﹣1，﹣k），设切点坐标P（x0，y0），则，解得：P（，），设M（m，0），则（m，）•（m+1，k）＝（m）（m+1）mm22＝（m﹣1）（m﹣2）．当m＝1时，．故点M的轨迹恒过定点（1，0）．【点睛】本题考查了抛物线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，训练了利用向量证明线段的垂直问题，是中档题．11．已知抛物线，焦点到准线的距离为4.（1）求抛物线的方程；（2）若抛物线上存在两点关于直线对称，且两点的横坐标之积为2，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)根据题干得到，进而得到方程；（2）设存在两点分别为，，则根据对称性得到直线的斜率为，代入AB的中点坐标得到，再由两根的和与积得到参数值.【详解】（1）由题意可得抛物线的焦点到准线的距离为，.抛物线方程是.（2）设存在两点分别为，，则直线的斜率，又两点在抛物线上，，.又的中点在直线上，即，.，即.又，，.【点睛】当题目中已知直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，可以设出直线和双曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程中，运用点差法，求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．（2）“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线问题．12．曲线上任意一点到定点的距离比到直线的距离大2.（1）求曲线的方程；（2）过点且斜率为1的直线与曲线交于A、B两点，为坐标原点，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）把已知条件转为曲线上任意一点到定点的距离等于到直线的距离相等，根据抛物线的定义，即可求出曲线的方程；（2）求出过点且斜率为1的直线方程，与抛物线方程联立，消元，得到一元二次方程，结合韦达定理，即可求出结论.【详解】（1）曲线上任意一点到定点的距离比到直线的距离大2.则曲线上任意一点到定点的距离等于到直线的距离，曲线的轨迹就是以为焦点，为准线的抛物线，其方程为；（2）过点且斜率为1的直线方程为，联立，消去，得，设，.【点睛】本题考查抛物线的定义求方程，考查抛物线与直线的位置关系，以及相交弦有关的面积问题，属于中等题.13．已知点F是拋物线C:y2=2px(p>0)的焦点,点M(x0,1)在C上,且|MF|=.(1)求p的值;(2)若直线l经过点Q(3,-1)且与C交于A,B(异于M)两点,证明:直线AM与直线BM的斜率之积为常数.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）抛物线定义知|，则，求得x0=2p，代入抛物线方程，；（2）由（1）得M（1，1），拋物线C：y2=2x，当直线l经过点Q（3，-1）且垂直于x轴时，直线AM的斜率，直线BM的斜率，．当直线l不垂直于x轴时，直线l的方程为y+1=k（x-3），代入抛物线方程，由韦达定理及斜率公式求得，即可证明直线AM与直线BM的斜率之积为常数．【详解】(1)由抛物线定义知|MF|=x0+,则x0+=x0,解得x0=2p,又点M(x0,1)在C上,所以2px0=1,解得x0=1,p=.(2)由(1)得M(1,1),C:y2=x.当直线l经过点Q(3,-1)且垂直于x轴时,不妨设A(3,),B(3,-),则直线AM的斜率kAM=,直线BM的斜率kBM=,所以kAM·kBM=-×=-.当直线l不垂直于x轴时,设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AM的斜率kAM===,同理直线BM的斜率kBM=,∴kAM·kBM=·=.设直线l的斜率为k(显然k≠0且k≠-1),则直线l的方程为y+1=k(x-3).联立消去x,得ky2-y-3k-1=0,所以y1+y2=,y1y2=-=-3-,故kAM·kBM===-.综上,直线AM与直线BM的斜率之积为-.【点睛】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查直线的斜率公式及韦达定理的综合应用，考查计算能力，属于中档题．14．已知抛物线的焦点恰好是椭圆的右焦点.（1）求实数的值及抛物线的准线方程；（2）过点任作两条互相垂直的直线分别交抛物线于、和、点，求两条弦的弦长之和的最小值．【答案】（1），；（2）最小值为【解析】【分析】（1）根据椭圆方程C:求出右焦点,即为抛物线的焦点,根据抛物线的焦点坐标与的关系式即可求出,最后得抛物线的准线方程.（2）根据题意设、的直线方程,将直线代入抛物线中,消得,根据韦达韦达定理求得,同理求得,将+用基本不等式不等式即可求出最小值.【详解】（1）由已知椭圆C整理得,所以焦点F的坐标为,所以所以抛物线E的准线方程为：（2）由题意知两条直线的斜率存在且不为零设直线的斜率为,方程为,则的斜率为,方程为设、,由得因为,所以,,所以同理得,所以当且仅当即时取“等号”,所以两条弦的弦长之和的最小值为【点睛】本题考查抛物线及其标准方程的求法和抛物线的几何性质中的定点定值问题,根据垂直问题设斜率可以减少变量,从而方便求极值.15．已知抛物线的焦点为，其上一点在准线上的射影为，△恰为一个边长为4的等边三角形．（1）求抛物线的方程；（2）若过定点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点）的面积为，求直线的方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】（1）求得抛物线的焦点坐标和准线方程，设准线与轴的交点为，可得，由等边三角形和直角三角形的性质可得，进而得到所求抛物线的方程；（2）设过定点的直线的方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及三角形的面积公式，解方程可得，进而得到所求直线方程．【详解】（1）抛物线的焦点为，，准线方程为，设准线与轴的交点为，可得，△为一个边长为4的等边三角形，可得，，在直角三角形中，，即，则抛物线的方程为；（2）设过定点的直线的方程为，代入抛物线方程，可得，△，设，，，，则，，由，解得，则直线的方程为或．【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查逻辑推理能力和运算求解能力，解题的关键利用割补法将三角形的面积表示出来，再转化成关于的方程，属于中档题．16．已知抛物线的焦点为F，点，点B在抛物线C上，且满足（O为坐标原点）.（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F任作两条相互垂直的直线l与，直线l与抛物线C交于P，Q两点，直线与抛物线C交于M，N两点，的面积记为，的面积记为，求证：为定值.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）先根据条件解得B点坐标，代入抛物线方程解得，即得结果；（2）先设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求得与，最后代入化简得结果.【详解】（1）设因为点B在抛物线C上，（2）由题意得直线l的斜率存在且不为零，设，代入得，所以因此，同理可得因此【点睛】本题考查抛物线方程以及直线与抛物线位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.17．平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，过F的动直线l交于M、N两点.（1）若l垂直于x轴，且线段MN的长为1，求的方程；（2）若，求线段MN的中点P的轨迹方程；（3）求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由题意，（，±）在抛物线上，代入可求出p，问题得一解决，（2）利用点差法和中点坐标公式和点斜式方程即可求出，（3）抛物线Γ：y2＝2px（p＞0），设l：xmy，M（x1，y1），y1＞0，N（x2，y2），y2＜0根据根系数的关系和两角和的正切公式，化简整理即可求出．【详解】解：（1）由题意，（，±）在抛物线上，代入可求出p，∴Γ的方程为y2＝x，（2）抛物线Γ：y2＝4x，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0）∴，∴（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1+x2），∴k，于是l为y﹣y0（x﹣x0），又l过点F（1，0），∴﹣y0（1﹣x0），即y02＝2（x0﹣1），故线段MN的中点P的轨迹方程为y2＝2（x﹣1）（3）抛物线Γ：y2＝2px（p＞0），设l：xmy，M（x1，y1），y1＞0，N（x2，y2），y2＜0，则y2﹣2my﹣p2＝0，∴y1+y2＝2mp，y1y2＝﹣p2，则tan∠MON＝tan（∠MOF+∠NOF），，，，，，故tan∠MON的取值范围是（﹣∞，]【点睛】本题考查抛物线与直线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．18．已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点M是直线y＝x与抛物线E在第一象限内的交点，且|MF|＝5．（1）求抛物E的方程．（2）直线l与抛物线E相交于两点A，B，过点A，B分别作AA1⊥x轴于A1，BB1⊥x轴于B1，原点O到直线l的距离为1．求的最大值．【答案】（1）x2＝4y（2）【解析】【分析】（1）抛物线中到焦点的距离转化为到准线的距离；（2）由题意得直线的斜率存在且不为零，设直线方程，代入抛物线中，由根与系数的关系得到纵坐标的关系，原点到直线的距离得出斜率和截距的关系，求出距离，用纵坐标表示，再由二次函数求出最大值．【详解】解：（1）设，，联立方程组：解得：，抛物线中，准线方程：，到焦点距离等于到准线的距离，，，解得：，所以抛物线方程为：；（2）由题意可得直线的斜率一定存在，设的方程为：，，原点到直线的距离为1得：，，，，，联立方程组：得：，，即且，，，，而，当时最大且为：，即的最大值为：．【点睛】考查抛物线的性质，及直线与抛物线相交的得出坐标的关系，再由二次函数求出最大值．属于中档题．19．设曲线上一点到焦点的距离为3．（1）求曲线C方程；（2）设P，Q为曲线C上不同于原点O的任意两点，且满足以线段PQ为直径的圆过原点O，试问直线PQ是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不恒过定点，说明理由．【答案】（1）（2）直线恒过定点，详见解析【解析】【分析】(1)由抛物线定义得，可解得的值，从而得到抛物线的方程.(2)以为直径的圆过原点，有,设直线的方程为,与曲线C方程联立,得到点的坐标,同理得到点的坐标,写出的方程，从而得到答案.【详解】解：（1）由抛物线定义得，解得，所以曲线C方程为（2）以为直径的圆过原点，设直线的方程为,与曲线C方程联立，得解得（舍去）或，则.又直线的方程为，同理：.又直线斜率存在，的直线方程为即直线恒过定点.【点睛】本题考查根据抛物线的定义求抛物线的方程，求直线过定点问题，属于难题.20．已知动圆C过定点F（2，0），且与直线x=-2相切，圆心C的轨迹为E，（1）求圆心C的轨迹E的方程；（2）若直线l交E与P，Q两点，且线段PQ的中心点坐标（1，1），求|PQ|．【答案】（1）y2=8x（2）【解析】【分析】根据题意，动圆的圆心C到定点F距离等于圆心C到直线的距离，可判断圆心C的轨迹为抛物线，由抛物线定义即可求得E的轨迹方程．设出直线斜率，及P、Q的坐标，根据中点坐标利用点差法求出斜率，可得直线方程，联立抛物线方程，利用弦长公式即可求出．【详解】解：（1）由题设知，点C到点F的距离等于它到直线x=-2的距离，所以点C的轨迹是以F为焦点x=-2为基准线的抛物线，所以所求E的轨迹方程为y2=8x．（2）由题意已知，直线l的斜率显然存在，设直线l的斜率为k，则有，两式作差得即得，因为线段PQ的中点的坐标为（1，1），所以k=4，则直线l的方程为y-1=4（x-1），即y=4x-3，与y2=8x联立得16x2-32x+9=0，得，．【点睛】在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差．求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．将直线代入曲线方程，化为关于（或关于）的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长．21．求以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上且经过点的抛物线的方程.【答案】或【解析】【分析】根据题意，分析可得抛物线的开口向上或向左，据此分2种情况讨论，分别设出抛物线的方程，将M的坐标代入计算可得p的值，综合2种情况即可得答案．【详解】根据题意，要求抛物线经过点，则该抛物线开口向上或向左，若抛物线开口向左，设其方程为，又由其经过点，则有，解可得，此时抛物线的方程为，若抛物线开口向上，设其方程为，由经过点，则有，解可得，此时抛物线的方程为，综上，抛物线的方程为或【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，待定系数法求解析式，属于中档题．22．已知抛物线的焦点为，在抛物线上，且.（1）求抛物线的方程及的值；（2）若过点的直线与相交于两点，为的中点，是坐标原点，且，求直线的方程.【答案】(1)(2)或【解析】【分析】(1)由在抛物线上,利用抛物线的定义求解即可.(2)设直线：联立抛物线方程,再根据转换成,根据弦长公式求解斜率即可.【详解】解：（1），抛物线的方程为：将代入得（2）设，显然直线的斜率存在，设直线：，联立，消去得，，得且，，，，即，是的中点，，，整理得，解得，直线的方程为：或【点睛】本题主要考查了抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系,需要将题目中的面积关系翻译成弦长的关系,再联立方程根据弦长公式进行列式,代入韦达定理再化简求斜率即可.属于中等题型.23．已知抛物线：的焦点为，准线为，是上的动点.（1）当时，求直线的方程；（2）过点作的垂线，垂足为，为坐标原点，直线与的另一个交点为，证明：直线经过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）或；（2）直线恒过点，理由见解析.【解析】【分析】（1）设，利用求出，进而可求出，利用点的坐标求出，用斜截式可写出直线方程；（2）设，则，联立直线与抛物线，求出点坐标，进而写出直线的方程，可得其所过的定点．【详解】（1）设，由得，解得：，所以.所以，所以直线的方程为：或.（2）设，则，直线的方程为：.联立得：，解得.①当时，直线的方程为，②当时，直线方程为：，化简得：，综上①②，可知直线恒过点.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，锻炼了学生计算能力，是基础题．24．已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点的距离减去它到y轴距离的差都是1．(1)求曲线C的方程；(2)直线与C交于A，B两点，若的中点为，求直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设P（x，y）是曲线C上任意一点，由题意知，由此能求出曲线C的方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法能求出l的一般式方程．【详解】本题主要考查曲线与方程、直线与抛物线的位置关系．(1)设点是曲线C上任意一点，那么点满足．化简得曲线C的方程为．(2)显然直线的斜率存在．设直线的方程为，设，，依题意，有所以，因为，所以．因此直线的方程为．【点睛】本题考查曲线方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．25．已知圆C过定点，且与直线相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：()相交于A，B两点．（1）求曲线E的方程；（2）当的面积等于时，求k的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）点C到定点和直线的距离相等,可知点C的轨迹是抛物线,求出方程即可;（2）设直线l与x轴交于点N,可得,设,,可得,然后将直线与抛物线方程联立并消去,结合根与系数关系,可求得,进而可得到的面积表达式,令其等于,可求出k的值．【详解】（1）由题意,点C到定点和直线的距离相等,故点C的轨迹是抛物线,为焦点,为准线,故E的方程为．（2）将直线方程与抛物线方程联立,消去x,整理得.设,,由根与系数关系,.设直线l与x轴交于点N,则．所以.因为,所以.故,解得．【点睛】本题考查了抛物线的定义,考查根与系数关系的应用,考查三角形面积公式的应用,考查学生的计算能力与推理能力,属于基础题.26．已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1（1）求曲线C的方程.（2）是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有?若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)【解析】【详解】解：（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：化简得.(Ⅱ)设过点M（m，0）（m>0）的直线l与曲线C的交点为A，B．设l的方程为x=ty+m，由得，△=16（+m）>0，于是①又．=+1+<0②又，于是不等式②等价于③由①式，不等式③等价于④对任意实数t，的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于，即．由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有，且m的取值范围．27．已知抛物线：上一点到焦点的距离为4，动直线交抛物线于坐标原点O和点A，交抛物线的准线于点B，若动点P满足，动点P的轨迹C的方程为．（1）求出抛物线的标准方程；（2）求动点P的轨迹方程；（3）以下给出曲线C的四个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究：①对称性；②范围；③渐近线；④时，写出由确定的函数的单调区间．【答案】（1）；（2）；（3）见解析．【解析】【分析】(1)根据抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离列式求解即可.(2)求出的坐标,利用动点P满足,求出动点P的轨迹C的方程即可.(3)根据(2)中所得的方程直接得出结论即可.【详解】(1)由题意,,所以所以抛物线的标准方程为(2)设,则与抛物线方程联立,可得,即,与联立,可得.因为,所以,所以,故,.消去可得(3)由,可得①因为,,故关于轴对称；②范围：,则.即又当时,,故,即或.故,③因为分母为,故渐近线④当时,因为,所以由确定的函数为,即,当时,单调递减；当时,单调递增故在上递减,在上递增.综上所述,①关于轴对称②,③渐近线④时,由确定的函数在上递减,在上递增【点睛】本题主要考查了抛物线的定义,直线与抛物线的位置关系与轨迹方程的求解等,属于中等题型.28．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴且焦点到准线的距离为2．（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）若直线与抛物线相交于两点，求弦长.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）根据抛物线定义，得p，代入即可求得抛物线方程。（Ⅱ）联立直线与抛物线方程，化简为关于x的一元二次方程；由抛物线定义或弦长公式即可求得弦长。【详解】（Ⅰ）抛物线的方程为：（Ⅱ）直线过抛物线的焦点，设，联立，消得，或【点睛】本题考查了抛物线的定义及方程求法，弦长公式的用法，属于基础题。29．求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)焦点在坐标轴上，顶点在原点，且过点(－3，2)；(2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点在直线x－2y－4＝0上．【答案】(1)或,(2)或【解析】【分析】（1）先设抛物线方程，再代入点坐标求方程；（2）先求焦点坐标，再写抛物线方程.【详解】（1）因为抛物线焦点在坐标轴上，顶点在原点，所以可设抛物线方程为或因为过点(－3，2)，所以或，即或因此抛物线方程为或（2）因为焦点在直线x－2y－4＝0上又在坐标轴上，所以焦点坐标为或因此对应抛物线方程为或【点睛】本题考查求抛物线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.30．已知抛物线：上一点到其焦点的距离为5.（1）求与的值；（2）设动直线与抛物线相交于，两点，问：在轴上是否存在与的取值无关的定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）,；（2）存在点.【解析】【分析】（1）由抛物线上点的焦半径为可求得，从而再求得；（2）假设设存在点满足条件，令，，条件转化为，即，整理得：，由直线方程与抛物线方程联立后消去（注意讨论的情形），得的方程，由韦达定理得，代入它是与无关的等式，从而可得．【详解】（1）根据抛物线定义，点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得，∴抛物线方程为，点在抛物线上，得，∴.（2）抛物线方程为：，当，直线只与抛物线有一个交点，显然不成立，当时，令，，设存在点满足条件，即：，即，整理得：，，整理得，∴，，∴，∴，解的，因此存在点满足题意.【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式，考查直线与抛物线相交问题．对存在性命题，一般是假设存在，然后根据这个存在性去推导计算，方法是设而不求思想方法．如果能求出定点，说明真正存在，如果求不出说明假设错误，不存在定点满足题意．31．已知抛物线的图象经过点.（1）求抛物线的方程和焦点坐标；（2）直线交抛物线于，不同两点，且，位于轴两侧，过点，分别作抛物线的两条切线交于点，直线，与轴的交点分别记作，．记的面积为，面积为，面积为，试问是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1），焦点坐标为；（2）为定值且定值为1.【解析】【分析】（1）将点代入抛物线方程求出后可得所求的抛物线方程及焦点坐标.（2）设，，利用导数求出切线的斜率后可求切线的方程，求出的坐标后可用表示，化简后可得为定值.【详解】（1）将代入方程有，故，所以抛物线的方程为，焦点坐标为.（2）设，，的中点为.因为抛物线的方程为，故，所以，故直线，同理.令，则.由解得，故.因为，故轴，又，所以.又，故，因为，位于轴两侧，故，所以，即，所以为定值且定值为1.【点睛】本题考查抛物线的标准方程的求法、焦点坐标的计算及定值问题，注意与抛物线切线相关的问题，可利用导数来计算切线的斜率，抛物线中的定值问题可通过设动点的坐标，把目标代数式表示为动点的坐标后再化简可得定值.32．已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1＝0和抛物线E：y2＝2px（p＞0），圆C与抛物线E的准线交于M、N两点，△MNF的面积为p，其中F是E的焦点．（1）求抛物线E的方程；（2）不过原点O的动直线l交该抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB，设点Q为圆C上任意一动点，求当动点Q到直线l的距离最大时直线l的方程．【答案】（1）y2＝4x（2）y＝5x﹣20【解析】【分析】（1）求得圆的圆心和半径，抛物线的焦点和准线方程，由三角形的面积公式和圆的弦长公式，计算可得，可得抛物线的方程；（2）不过原点的动直线的方程设为，，联立抛物线方程，运用韦达定理和两直线垂直的条件，解方程可得，即有动直线恒过定点，结合图象可得直线时，到直线的距离最大，求得直线的斜率，可得所求方程．【详解】解：（1）圆的圆心，半径为1，抛物线的准线方程为，，，由的面积为，可得，即，可得经过圆心，可得．则抛物线的方程为；（2）不过原点的动直线的方程设为，，联立抛物线方程，可得，设，，，，可得，，由可得，即，即，解得，则动直线的方程为，恒过定点，当直线时，到直线的距离最大，由，可得到直线的距离的最大值为，此时直线的斜率为，直线的斜率为5，可得直线的方程为．【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简运算能力和数形结合思想，属于中档题．33．设抛物线的焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线与抛物线交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过点.（1）求抛物线C的方程；（2）设过点的直线分别与抛物线C交于点D，E和点G，H，且，求四边形面积的最小值.【答案】（1）；（2）48.【解析】【分析】（1）根据题意可得：圆的半径，从而求出值，得到抛物线方程；（2）设出和的方程，分别与抛物线联立方程，消去，得到关于的一元二次方程，写出韦达定理，利用弦长公式求出、的长，从而表示出四边形面积，利用二次函数的性质求出最小值。【详解】由于过点作垂直于轴的直线与抛物线交于两点，则，以线段为直径的圆过点，则圆的半径，解得：,故抛物线的方程为.（2）设直线的方程为，联立，消去得：，设点，则，，所以，同理可得：，则四边形的面积：.令，则当，即时，，四边形DGEH面积的最小值为48．【点睛】本题考查抛物线方程的求法以及圆锥曲线中的弦长公式，考查学生设而不求的思想，有一定难度。34．已知，直线：，若动点到点的距离比它到直线的距离小，（1）求动点的轨迹方程；（2）直线过点且与曲线相交不同的两点、，若，求直线的直线方程.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）由题设知：点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，由此能求出的方程；（2）设：，，，由，得，根据抛物线的性质以及韦达定理得到：，解得即可求出直线的方程.【详解】（1）点到点的距离比它到直线：的距离小，点在直线的上方，点到的距离与它到直线：的距离相等，点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，所以的方程为；（2）由题意，设：，，，由得，则，，又，解得，经检验满足题意.即所求的直线方程：.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和圆锥曲线位置关系，考查运算能力和逻辑思维能力，属于中档题.35．已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆：上，则的最小值是__________；此时坐标为________．【答案】6【解析】【分析】由抛物线的定义可知：等于到直线的距离，再由，可确定出的位置，即可求解出的最小值和的坐标.【详解】如图所示，设在直线上的射影点为，因为等于到直线的距离且，所以，所以当三点共线时，有最小值，此时，，所以，所以.故答案为：；.【点睛】本题考查抛物线与圆的综合应用，难度一般.(1)求解抛物线上点到焦点(或准线)距离与到定点的距离之和的最小值时，注意利用抛物线的定义进行转化计算；(2)求解抛物线上点到焦点(或准线)的距离与到圆上点的距离之和的最小值，注意利用利用抛物线的定义并将圆外一点到圆上一点的距离转化为到圆心的距离去完成求解.36．已知是抛物线：的焦点，点在抛物线上，且.（1）求抛物线的标准方程；（2）若、是抛物线上的两个动点，且，为坐标原点，求证：直线过定点.【答案】（1）;（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由,并将点代入抛物线方程中,联立可求出,即可;（2）设,,由,可得,结合两点都在抛物线上,可求得的值.设直线的方程为,与抛物线方程联立,可得到,从而可求出参数的值,代入直线的方程可知直线恒过定点.【详解】（1）由题意得,,解得,因为点在抛物线上,则,解得,又,所以,即拋物线的标准方程为.（2）设,,因为,所以,即得,因为点、在抛物线上,所以,,代入得,因为,则,设直线的方程为,联立,得,则,所以,所以直线的方程为，过定点.【点睛】本题考查了抛物线的方程,考查了抛物线的焦半径的应用,考查了韦达定理的应用,考查直线恒过定点问题,考查了学生的推理能力与计算求解能力,属于中档题.37．已知抛物线：的焦点为，且抛物线与直线的一个交点是.（1）求抛物线的方程；（2）若直线：与抛物线交于，两点，且（为坐标原点），求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意得到，计算得到答案.（2）设，，联立方程利用韦达定理得到，，根据计算得到答案.【详解】（1）由题意可得，解得，.故抛物线的方程是.（2）设，，联立，整理得，则，，从而.因为，所以，又，所以.【点睛】本题考查了抛物线方程，韦达定理的应用是解题的关键，意在考查学生的计算能力.38．在平面直角坐标系中，曲线上的动点到点的距离减去到直线的距离等于1.(1)求曲线的方程；(2)若直线与曲线交于，两点，求证：直线与直线的倾斜角互补.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用抛物线定义“到定点距离等2于到定直线距离的点的轨迹”求动点的轨迹；（2）设直线与抛物线方程联立化为，．由于，利用根与系数的关系与斜率可得：直线与直线的斜率之和0，即可证明【详解】（1）曲线上的动点到点的距离减去到直线的距离等于1，所以动点到直线的距离与它到点的距离相等，故所求轨迹为：以原点为顶点,开口向右的抛物线；（2）证明：设.联立，得，（）∴，,，∴直线线与直线的斜率之和：因为∴直线与直线的斜率之和为，∴直线与直线的倾斜角互补.【点睛】本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．39．已知平面上两定点M（0，﹣2）、N（0，2），P为一动点，满足•||•||（I）求动点P的轨迹C的方程；（II）若A、B是轨迹C上的两不同动点，且λ.分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设其交点Q，证明为定值.【答案】（I）x2＝8y（II）见解析【解析】【分析】（I）先设P（x，y），求动点P的轨迹C的方程，即寻找x，y之间的关系，结合向量的坐标运算即可得到．（II）先设出A，B两点的坐标，利用向量关系及向量运算法则，用A，B的坐标表示出，最后看其是不是定值即可．【详解】（I）设P（x，y）.由已知（x，y+2），（0，4），（﹣x，2﹣y），•4y+8.||•||＝4∵•||•||∴4y+8＝4整理，得x2＝8y即动点P的轨迹C为抛物线，其方程为x2＝8y.（II）由已知N（0，2）.即得（﹣x1，2﹣y1）＝λ（x2，y2﹣2）设A（x1，y1），B（x2，y2）.由λ即得（﹣x1，2﹣y1）＝λ（x2，y2﹣2），∴﹣x1＝λx2…（1），2﹣y1＝λ（y2﹣2）…（2）将（1）式两边平方并把x12＝8y1，x22＝8y2代入得y1＝y2解得y1＝2λ，y2，且有x1x2＝﹣λx22＝﹣8λy2＝﹣16.抛物线方程为y＝，求导得y′x.所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是yx1（x﹣x1）+y1，yx2（x﹣x2）+y2，即yx1xx12，yx2xx22解出两条切线的交点Q的坐标为（，）＝（，﹣2）所以•（，﹣4）•（x2﹣x1，y1﹣y2）（x22﹣x12）﹣4（x22x12）＝0所以为定值，其值为0.【点睛】求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．40．若椭圆的焦点在x轴上，离心率为，依次连接的四个顶点所得四边形的面积为40.（1）试求的标准方程；（2）若曲线M上任意一点到的右焦点的距离与它到直线的距离相等，直线经过的下顶点和右顶点，，直线与曲线M相交于点P、Q（点P在第一象限内，点Q在第四象限内），设的下顶点是B，上顶点是D，且，求直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)根据条件列出关于的等式构建方程组求解出，即可求解出椭圆的标准方程；(2)根据抛物线的定义可求的轨迹方程，利用直线联立的轨迹方程得到韦达定理形式，再根据三角形的面积比求解出直线的方程.【详解】（1）由题意可知：解得，∴所求的标准方程是；（2）由（1）可知的右焦点是，下顶点，上顶点，右顶点是又由抛物线定义可知：曲线M是一条抛物线，M的焦点是∴M的方程是，又，∴，∴，设直线的方程为则联立方程组：，消去得：，且，所以，所以，所以由韦达定理得：，又由可得，即：∴联立方程组：，解得：，或又∵点P在第一象限内，点Q在第四象限内，∴不合，舍去∴所求直线的方程为，即：.【点睛】本题考查圆锥曲线的综合应用，着重考查了直线与椭圆、抛物线的位置关系，难度较难.圆锥曲线中的面积比、长度比等，注意将其转化为坐标的形式，合理运用韦达定理解决问题.41．已知动圆过定点，在轴截得的弦长为2．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）若为轨迹上一动点，过点作圆的两条切线分别交轴于，两点，求面积的最小值，并求出此时点的坐标．【答案】（1）；（2）2，．【解析】【分析】（1）设，根据，弦长，所以，利用相等，转化成关于的方程；（2）设过点且与圆相切的直线的方程为，首先表示纵截距，然后利用直线与圆相切，有，表示为关于的二次方程，并且，，最后再表示面积，再求最值.【详解】（1）设，根据弦长，解得：，，整理为：,的轨迹方程为．（2）设过点且与圆相切的直线的方程为，令，得，∴切线与轴的交点为，而，整理得，，∴．设两切线斜率为，，则，∴，∵，∴，则．令，则，而，当且仅当，即时，“＝”成立．此时，∴的最小值为2，．【点睛】本题考查轨迹法求抛物线方程，以及直线，圆，抛物线三者的综合性问题，考查了转化与化归和计算，变形，化简能力，属于难题，本题第二问的关键是设直线，利用相切，有，表示为关于的二次方程，这样是求面积，化简面积的基础.42．在直角坐标系中，动圆与圆外切，且圆与直线相切，记动圆圆心的轨迹为曲线．（1）求曲线的轨迹方程；（2）直线与抛物线交于两个不同的点，若，求实数的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）设，利用两圆外切和圆与直线相切可构造出关于和的方程，消去即可得到所求轨迹方程；（2）直线与抛物线方程联立，根据确定范围，将利用韦达定理的形式表示出来，从而构造关于的方程，解方程求得的取值.【详解】（1）设，圆的半径为动圆与圆外切…①又动圆与直线相切…②由①②消去整理可得：曲线的轨迹方程为（2）由联立得：则，解得：设，，，即又，满足，符合题意实数的值为【点睛】本题考查动点轨迹的求解、直线与抛物线综合应用问题，涉及到垂直关系的坐标表示等知识；关键是能够通过直线与抛物线方程联立，得到韦达定理的形式，利用韦达定理表示出已知中的垂直关系，从而构造出方程求得结果.43．已知抛物线的方程，焦点为，已知点在上，且点到点的距离比它到轴的距离大1.（1）试求出抛物线的方程；（2）若抛物线上存在两动点（在对称轴两侧），满足（为坐标原点），过点作直线交于两点，若，线段上是否存在定点，使得恒成立？若存在，请求出的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，且坐标为【解析】【分析】（1）由到点的距离比它到轴的距离大1，结合抛物线定义可得，从而可得结果；（2）设，结合，可得直线，直线，与联立，利用弦长公式求得若点存在，设点坐标为，可得，时，，从而可得结果.【详解】（1）因为到点的距离比它到轴的距离大1，由题意和抛物线定义，，所以抛物线的方程为，（2）由题意，，设由，得，直线，整理可得，直线①若斜率存在，设斜率为，与联立得，，若点存在，设点坐标为，，时，，解得或（不是定点，舍去）则点为经检验，此点满足，所以在线段上，②若斜率不存在，则，此时点满足题意，综合上述，定点为.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.44．（2013•浙江）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．【答案】（1）x2=4y（2）当t=﹣时，|MN|的最小值是【解析】（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1由消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，从而有|x1﹣x2|==4由解得点M的横坐标为xM===，同理可得点N的横坐标为xN=所以|MN|=|xM﹣xN|=|﹣|=8||=令4k﹣3=t，t不为0，则k=当t＞0时，|MN|=2＞2当t＜0时，|MN|=2=2≥综上所述，当t=﹣时，|MN|的最小值是45．已知抛物线上一点到其焦点的距离为.（1）求与的值；（2）若斜率为的直线与抛物线交于、两点，点为抛物线上一点，其横坐标为1，记直线的斜率为，直线的斜率为，试问：是否为定值？并证明你的结论.【答案】（1），；（2）为定值，证明见解析【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可得，解出将代入到抛物线方程即可得的值；（2）设直线的方程为，设，，联立直线与抛物线运用韦达定理可得，根据斜率的定义化简可得，进而可得结果.【详解】（1）根据抛物线定义，点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得，∴抛物线方程为，点在抛物线上，得，∴。（2）设直线的方程为，设，，消元化简得，当即即时，直线与抛物线有两交点，∴。点坐标为(1，1)，，，∴，，∴，所以为定值。【点睛】本题考查了抛物线的求法，考查两直线的斜率之和是否为定值的判断与求法，根的判别式、韦达定理，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．46．已知抛物线过点，直线与抛物线C相交于不同两点A、B.（1）求实数m的取值范围；（2）若AB中点的横坐标为1，求以AB为直径的圆的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）代入可得，求得抛物线方程，联立直线方程，应用韦达定理，判别式大于0，解不等式可得所求范围；（2）设，应用韦达定理和中点坐标公式，可得，求得圆心，由弦长公式可得|AB|，求得半径，即可得到所求圆的方程．【详解】解：（1）由题意代入可得，所以抛物线方程为.联立,消去x得，因为相交于A、B两点，则有：,解得.（2）设，所以由得满足，所以直线，从而中点为圆心，而为直径，则,所以以AB为直径的圆的方程为：.【点睛】本题考查抛物线的方程和应用，考查直线方程和抛物线方程联立，应用韦达定理和中点坐标公式，以及弦长公式，考查圆的方程的求法，化简运算能力，属于基础题．47．