高等数学(上)模拟试卷一
1、 填空题(每空3分,共42分)
1、函数的定义域是 ;
2、设函数在点连续,则 ;
3、曲线在(-1,-4)处的切线方程是 ;
4、已知,则 ;
5、= ;
6、函数的极大点是 ;
7、设,则 ;
8、曲线的拐点是 ;
9、= ;
10、设,且,则= ;
11、,则 , ;
12、= ;
13、设可微,则= 。
2、 计算下列各题(每题5分,共20分)
1、
2、,求;
3、设函数由方程所确定,求;
4、已知,求。
3、 求解下列各题(每题5分,共20分)
1、
2、
3、
4、
4、 求解下列各题(共18分):
1、求证:当时, (本题8分)
2、求由所围成的图形的面积,并求该图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积。(本题10分)
高等数学(上)模拟试卷二
一、填空题(每空3分,共42分)
1、函数的定义域是 ;
2、设函数在点连续,则 ;
3、曲线在处的切线方程是 ;
4、已知,则 ;
5、= ;
6、函数的极大点是 ;
7、设,则 ;
8、曲线的拐点是 ;
9、= ;
10、设,且,则= ;
11、,则 , ;
12、= ;
13、设可微,则= 。
二、计算下列各题(每题5分,共20分)
1、
2、,求;
3、设函数由方程所确定,求;
4、已知,求。
三、求解下列各题(每题5分,共20分)
1、
2、
3、
4、
四、求解下列各题(共18分):
1、求证:当时, (本题8分)
2、求由所围成的图形的面积,并求该图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积。(本题10分)
习题42
1. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数使等式成立(例如:
(1) dxd(ax);
解dxd(ax).
(2) dx d(7x3);
解dx d(7x3).
(3) xdx d(x2);
解xdx d(x2).
(4) xdx d(5x2);
解xdx d(5x2).
(5);
解 .
(6)x3dx d(3x42);
解x3dx d(3x42).
(7)e 2x dx d(e2x);
解e 2x dx d(e2x).
(8);
解 .
(9);
解 .
(10);
解 .
(11);
解 .
(12);
解 .
(13);
解 .
(14).
解 .
2. 求下列不定积分(其中a, b, (, (均为常数):
(1);
解 .
(2);
解 .
(3);
解 .
(4);
解 .
(5);
解 .
(6);
解 .
(7);
解 .
(8);
解 .
(9);
解
.
(10);
解 .
(11);
解 .
(12);
解
(13);
解 .
(14);
解 .
(15);
解 .
(16);
解 .
(17);
解 .
(18);
解
.
(19);
解
.
(20);
解 .
(21);
解
.
(22);
解 .
(23);
解 .
(24);
解 .
(25);
解 .
(26);
解 .
(27);
解 .
(28);
解
.
(29);
解 .
(30);
解 .
(31);
解 .
(32);
解 .
(33);
解
.
(34)(>0);
解 ,
.
(35);
解 .
或 .
(36);
解 .
(37);
解
.
(38);
解 .
(39);
解
.
(40).
解
.
习题51
1. 利用定积分定义计算由抛物线y=x21, 两直线x=a、x=b(b>a)及横轴所围成的图形的面积.
解 第一步: 在区间[a, b]内插入n1个分点(i1, 2, (((, n1), 把区间[a, b]分成n个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: (i1, 2, (((, n).
第二步: 在第i个小区间[xi1, xi] (i1, 2, (((, n)上取右端点, 作和
.
第三步: 令max{(x1, (x2, ((( , (xn}, 取极限得所求面积
.
2. 利用定积分定义计算下列积分:
(1)(a
表示由直线y2x、x轴及直线x1所围成的面积, 显然面积为1.
(2)表示由曲线、x轴及y轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x2(y21的面积的:
.
(3)由于ysin x为奇函数, 在关于原点的对称区间[, ]上与x轴所夹的面积的代数和为零, 即
.
(4) 表示由曲线ycos x与x轴上一段所围成的图形的面积. 因为cos x为偶函数, 所以此图形关于y轴对称. 因此图形面积的一半为, 即
.
4. 水利
中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p(单位面积上的压力大小)是水深h的函数, 且有p9(8h (kN/m2). 若闸门高H3m, 宽L2m, 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P.
解 建立坐标系如图. 用分点(i1, 2, (((, n1)将区间[0, H]分为n分个小区间, 各小区间的长为(i1, 2, (((, n).
在第i个小区间[xi1, xi]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为
(Pi9.8x il((x i .
闸门所受的水压力为
.
将L2, H3代入上式得P88.2(千牛).
5. 证明定积分性质:
(1);
(2).
证明 (1).
(2).
6. 估计下列各积分的值:
(1);
(2);
(3);
(4).
解 (1)因为当1(x(4时, 2(x2(1(17, 所以
,
即 .
(2)因为当时, 1(1(sin2x(2, 所以
,
即 .
(3)先求函数f(x)x arctan x在区间上的最大值M与最小值m.
. 因为当时, f ((x)(0, 所以函数f(x)x arctan x在区间上单调增加. 于是
, .
因此 ,
即 .
(4)先求函数在区间[0, 2]上的最大值M与最小值m.
, 驻点为.
比较f(0)1, f(2)e 2, ,得, Me 2. 于是
,
即 .
7. 设f(x)及g(x)在[a, b]上连续, 证明:
(1)若在[a, b]上f(x)(0, 且, 则在[a, b]上f(x)(0;
(2)若在[a, b]上, f(x)(0, 且f(x)≢0, 则;
(3)若在[a, b]上, f(x)(g(x), 且, 则在[ab]上f(x)(g(x).
证明 (1)假如f(x)≢0, 则必有f(x)(0. 根据f(x)在[a, b]上的连续性, 在[a, b]上存在一点x0, 使f(x0)(0, 且f(x0)为f(x)在[a, b]上的最大值.
再由连续性, 存在[c, d]([a, b], 且x0([c, d], 使当x([c, d]时, . 于是
.
这与条件相矛盾. 因此在[a, b]上f(x)(0.
(2)证法一 因为f(x)在[a, b]上连续, 所以在[a, b]上存在一点x0, 使f(x0)(0, 且f(x0)为f(x)在[a, b]上的最大值.
再由连续性, 存在[c, d]([a, b], 且x0([c, d], 使当x([c, d]时, . 于是
.
证法二 因为f(x)(0, 所以. 假如不成立. 则只有,
根据结论(1), f(x)(0, 矛盾. 因此.
(3)令F(x)g(x)f(x), 则在[a, b]上F(x)(0且
,
由结论(1), 在[a, b]上F(x)(0, 即f(x)(g(x).
4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大:
(1)还是?
(2)还是?
(3)还是?
(4)还是?
(5)还是?
解 (1)因为当0(x(1时, x2(x3, 所以.
又当0(x(1时, x2(x3, 所以.
(2)因为当1(x(2时, x2(x3, 所以.
又因为当1(x(2时, x2(x3, 所以.
(3)因为当1(x(2时, 0(ln x(1, ln x((ln x)2, 所以.
又因为当1(x(2时, 0(ln x(1, ln x((ln x)2, 所以.
(4)因为当0(x(1时, x(ln(1(x), 所以.
又因为当0(x(1时, x(ln(1(x), 所以.
(5)设f(x)ex1x, 则当0(x(1时f ((x)ex1(0, f(x)ex1x是单调增加的. 因此当0(x(1时, f(x)(f(0)0, 即ex(1(x, 所以.
又因为当0(x(1时, ex(1(x, 所以.