2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)

2013年上海市普通高等学校春季招生考试 数 学 试 卷 1. 填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分 1．函数 的定义域是 2．方程 的解是 3．抛物线 的准线方程是 4．函数 的最小正周期是 5．已知向量 ， 。若 ，则实数 6．函数 的最大值是 7．复数 （ 是虚数单位）的模是 8．在 中，角 所对边长分别为 ，若 ，则 9．在如图所示的正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为 10．从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为 （结果用数值示）。 11．若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前 项和 。 12．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为 ，所以36的所有正约数之和为 参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为 二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分 13．展开式为 的行列式是（ ） （A） (B) (C) (D) 14．设 为函数 的反函数，下列结论正确的是（ ） (A) (B) (C) (D) 15．直线 的一个方向向量是（ ） (A) (B) (C) (D) 16．函数 的大致图像是（ ） 17．如果 ，那么下列不等式成立的是（ ） (A) (B) (C) (D) 18．若复数 满足 ，则 在复数平面上对应的点 （ ） (A) 关于 轴对称 (B)关于 轴对称 (C) 关于原点对称 (D)关于直线 对称 19． 的二项展开式中的一项是（ ） （A） （B） （C） （D） 20．既是偶函数又在区间 上单调递减的函数是（ ） （A） （B） （C） （D） 21．若两个球的表面积之比为 ，则这两个球的体积之比为（ ） （A） （B） （C） （D） 22．设全集 ，下列集合运算结果为 的是（ ） （A） （B） （C） （D） 23．已知 ，“ ”是“函数 的图像恒在 轴上方”的（ ） （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件 24．已知 为平面内两定点，过该平面内动点 作直线 的垂线，垂足为 .若 ，其中 为常数，则动点 的轨迹不可能是（ ） （A）圆 （B） 椭圆 （C） 抛物线 （D）双曲线 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤 25．（本题满分7分） 如图，在正三棱锥 中， ，异面直线 与 所成角的大小为 ，求该三棱柱的体积。 26．（本题满分7分） 如图，某校有一块形如直角三角形 的空地，其中 为直角， 长 米， 长 米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且 为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积。 27．（本题满分8分） 已知数列 的前 项和为 ，数列 满足 ，求 。 28．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分9分 已知椭圆 的两个焦点分别为 、 ，短轴的两个端点分别为 （1）若 为等边三角形，求椭圆 的方程; （2）若椭圆 的短轴长为 ，过点 的直线 与椭圆 相交于 两点，且 ，求直线 的方程。 29．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 已知抛物线 的焦点为 。 （1）点 满足 。当点 在抛物线 上运动时，求动点 的轨迹方程； （2）在 轴上是否存在点 ，使得点 关于直线 的对称点在抛物线 上？如果存在，求所有满足条件的点 的坐标；如果不存在，请说明理由。 30．（本题满分13分）本题共有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分9分 在平面直角坐标系 中，点 在 轴正半轴上，点 在 轴上，其横坐标为 ，且 是首项为1、公比为2的等比数列，记 ， 。 （1）若 ，求点 的坐标； （2）若点 的坐标为 ，求 的最大值及相应 的值。 31．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分 已知真命题：“函数 的图像关于点 成中心对称图形”的充要条件为“函数 是奇函数”。[来源:学§科§网Z§X§X§K] （1）将函数 的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数 图像对称中心的坐标； （2）求函数 图像对称中心的坐标； （3）已知命题：“函数 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数 是偶函数”。判断该命题的真假。如果是真命题，请给予；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）。 2013年上海市普通高等学校春季招生考试 数 学 试 卷 参考答案 一．（第1至12题）每一题正确的给3分，否则一律得0分 1． 2．3 3． 4． 5． 6． 5 7． 8． 7 9． 10． 11． 12． 4836 二．（第13至24题）每一题正确的给3分，否则一律得0分 13．B 14．B 15．D 16．A 17．D 18．A 19．C 20．B 21．C 22．A 23．D 24．C 三．（第25至31题） 25．[解]因为 . 所以 为异面直线 与 .所成的角，即 = 。 在Rt 中， , 从而 , 因此该三棱柱的体积为 . 26．[解]如图，设矩形为 , 长为 米，其中 ， 健身房占地面积为 平方米。因为 ∽ ， 以 ， ,求得 ， 从而 EMBED Equation.DSMT4 ， 当且仅当 时，等号成立。 答：该健身房的最大占地面积为500平方米。 27．[解]当 时， 。 且 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 。 因为 ，所以数列 是首项为1、公比为 的无穷等比数列。 故 EMBED Equation.DSMT4 。 28．[解]（1）设椭圆 的方程为 。 根据题意知 ， 解得 ， 故椭圆 的方程为 。 （2）容易求得椭圆 的方程为 。 当直线 的斜率不存在时，其方程为 ，不符合题意； 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 。 由 得 。 设 ，则 因为 ，所以 ,即 ， 解得 ，即 。 故直线 的方程为 或 。 29．（1）设动点 的坐标为 ，点 的坐标为 ,则 , 因为 的坐标为 ，所以 ， 由 得 。 即 解得 代入 ，得到动点 的轨迹方程为 。 （2）设点 的坐标为 .点 关于直线 的对称点为 ， 则 解得 若 在 上，将 的坐标代入 ，得 ，即 或 。 所以存在满足题意的点 ，其坐标为 和 。 30．[解]（1）设 ，根据题意， 。由 ，知 ， 而 ， 所以 ，解得 或 。 故点 的坐标为 或 。 （2）由题意，点 的坐标为 ， 。 。 因为 ，所以 ， 当且仅当 ，即 时等号成立。 易知 在 上为增函数， 因此，当 时， 最大，其最大值为 。 31．（1）平移后图像对应的函数解析式为 ， 整理得 ， 由于函数 是奇函数， 由题设真命题知，函数 图像对称中心的坐标是 。 （2）设 的对称中心为 ，由题设知函数 是奇函数。 设 则 ，即 。 由不等式 的解集关于原点对称，得 。 此时 。 任取 ，由 ，得 ， 所以函数 图像对称中心的坐标是 。 （3）此命题是假命题。 举反例说明：函数 的图像关于直线 成轴对称图像，但是对任意实数 和 ，函数 ，即 总不是偶函数。 修改后的真命题： “函数 的图像关于直线 成轴对称图像”的充要条件是“函数 是偶函数”。 B A C D A1 B1 C1 D1 D y x 0 C y x 0 A B y x 0 y x 0 B C A C1 A1 B1 C B A P2 0 x y A P1 P3 P4 E P F C B A _1234568017.unknown _1234568081.unknown _1234568113.unknown _1234568145.unknown _1234568161.unknown _1234568177.unknown _1234568185.unknown _1234568189.unknown _1234568191.unknown _1234568193.unknown _1234568194.unknown _1234568195.unknown _1234568192.unknown _1234568190.unknown _1234568187.unknown _1234568188.unknown _1234568186.unknown _1234568181.unknown _1234568183.unknown _1234568184.unknown _1234568182.unknown _1234568179.unknown _1234568180.unknown _1234568178.unknown _1234568169.unknown _1234568173.unknown _1234568175.unknown _1234568176.unknown _1234568174.unknown _1234568171.unknown _1234568172.unknown _1234568170.unknown _1234568165.unknown _1234568167.unknown _1234568168.unknown _1234568166.unknown _1234568163.unknown _1234568164.unknown _1234568162.unknown _1234568153.unknown _1234568157.unknown _1234568159.unknown _1234568160.unknown _1234568158.unknown _1234568155.unknown _1234568156.unknown _1234568154.unknown _1234568149.unknown _1234568151.unknown _1234568152.unknown _1234568150.unknown _1234568147.unknown _1234568148.unknown _1234568146.unknown _1234568129.unknown _1234568137.unknown _1234568141.unknown _1234568143.unknown _1234568144.unknown _1234568142.unknown _1234568139.unknown _1234568140.unknown _1234568138.unknown _1234568133.unknown _1234568135.unknown _1234568136.unknown _1234568134.unknown _1234568131.unknown _1234568132.unknown _1234568130.unknown _1234568121.unknown _1234568125.unknown _1234568127.unknown _1234568128.unknown _1234568126.unknown _1234568123.unknown _1234568124.unknown _1234568122.unknown _1234568117.unknown _1234568119.unknown _1234568120.unknown _1234568118.unknown _1234568115.unknown _1234568116.unknown _1234568114.unknown _1234568097.unknown _1234568105.unknown _1234568109.unknown _1234568111.unknown _1234568112.unknown _1234568110.unknown _1234568107.unknown _1234568108.unknown _1234568106.unknown _1234568101.unknown _1234568103.unknown _1234568104.unknown _1234568102.unknown _1234568099.unknown _1234568100.unknown _1234568098.unknown _1234568089.unknown _1234568093.unknown _1234568095.unknown _1234568096.unknown _1234568094.unknown _1234568091.unknown _1234568092.unknown _1234568090.unknown _1234568085.unknown _1234568087.unknown _1234568088.unknown _1234568086.unknown _1234568083.unknown _1234568084.unknown _1234568082.unknown _1234568049.unknown _1234568065.unknown _1234568073.unknown _1234568077.unknown _1234568079.unknown _1234568080.unknown _1234568078.unknown _1234568075.unknown _1234568076.unknown _1234568074.unknown _1234568069.unknown _1234568071.unknown _1234568072.unknown _1234568070.unknown _1234568067.unknown _1234568068.unknown _1234568066.unknown _1234568057.unknown _1234568061.unknown _1234568063.unknown _1234568064.unknown _1234568062.unknown _1234568059.unknown _1234568060.unknown _1234568058.unknown _1234568053.unknown _1234568055.unknown _1234568056.unknown _1234568054.unknown _1234568051.unknown _1234568052.unknown _1234568050.unknown _1234568033.unknown _1234568041.unknown _1234568045.unknown _1234568047.unknown _1234568048.unknown _1234568046.unknown _1234568043.unknown _1234568044.unknown _1234568042.unknown _1234568037.unknown _1234568039.unknown _1234568040.unknown _1234568038.unknown _1234568035.unknown _1234568036.unknown _1234568034.unknown _1234568025.unknown _1234568029.unknown _1234568031.unknown _1234568032.unknown _1234568030.unknown _1234568027.unknown _1234568028.unknown _1234568026.unknown _1234568021.unknown _1234568023.unknown _1234568024.unknown _1234568022.unknown _1234568019.unknown _1234568020.unknown _1234568018.unknown _1234567953.unknown _1234567985.unknown _1234568001.unknown _1234568009.unknown _1234568013.unknown _1234568015.unknown _1234568016.unknown _1234568014.unknown _1234568011.unknown _1234568012.unknown _1234568010.unknown _1234568005.unknown _1234568007.unknown _1234568008.unknown _1234568006.unknown _1234568003.unknown _1234568004.unknown _1234568002.unknown _1234567993.unknown _1234567997.unknown _1234567999.unknown _1234568000.unknown _1234567998.unknown _1234567995.unknown _1234567996.unknown _1234567994.unknown _1234567989.unknown _1234567991.unknown _1234567992.unknown _1234567990.unknown _1234567987.unknown _1234567988.unknown _1234567986.unknown _1234567969.unknown _1234567977.unknown _1234567981.unknown _1234567983.unknown _1234567984.unknown _1234567982.unknown _1234567979.unknown _1234567980.unknown _1234567978.unknown _1234567973.unknown _1234567975.unknown _1234567976.unknown _1234567974.unknown _1234567971.unknown _1234567972.unknown _1234567970.unknown _1234567961.unknown _1234567965.unknown _1234567967.unknown _1234567968.unknown _1234567966.unknown _1234567963.unknown _1234567964.unknown _1234567962.unknown _1234567957.unknown _1234567959.unknown _1234567960.unknown _1234567958.unknown _1234567955.unknown _1234567956.unknown _1234567954.unknown _1234567921.unknown _1234567937.unknown _1234567945.unknown _1234567949.unknown _1234567951.unknown _1234567952.unknown _1234567950.unknown _1234567947.unknown _1234567948.unknown _1234567946.unknown _1234567941.unknown _1234567943.unknown _1234567944.unknown _1234567942.unknown _1234567939.unknown _1234567940.unknown _1234567938.unknown _1234567929.unknown _1234567933.unknown _1234567935.unknown _1234567936.unknown _1234567934.unknown _1234567931.unknown _1234567932.unknown _1234567930.unknown _1234567925.unknown _1234567927.unknown _1234567928.unknown _1234567926.unknown _1234567923.unknown _1234567924.unknown _1234567922.unknown _1234567905.unknown _1234567913.unknown _1234567917.unknown _1234567919.unknown _1234567920.unknown _1234567918.unknown _1234567915.unknown _1234567916.unknown _1234567914.unknown _1234567909.unknown _1234567911.unknown _1234567912.unknown _1234567910.unknown _1234567907.unknown _1234567908.unknown _1234567906.unknown _1234567897.unknown _1234567901.unknown _1234567903.unknown _1234567904.unknown _1234567902.unknown _1234567899.unknown _1234567900.unknown _1234567898.unknown _1234567893.unknown _1234567895.unknown _1234567896.unknown _1234567894.unknown _1234567891.unknown _1234567892.unknown _1234567890.unknown