23
第二章 变化电场中的电介质
2-1 什么是瞬时极化、缓慢极化?它们所对应的微观机制代表什么?
极化对电场响应的各种情况分别对何种极化有贡献?
答案略
2-2 何 谓 缓 慢 极 化 电 流 ? 研 究 它 有 何 意 义 ? 在 实 验 中 如 何 区 分 自 由
电荷、束缚电荷随产生的传到电流?
答案略
2-3 何谓时域响应、频域响应?两者的关系如何?对材料研究而言,
时域、频域的分析各由什么优缺点?
答案略
2-4 已知某材料的极化弛豫函数
/1)( tetf ,同时材料有自由电荷传
导,其电导率为 ,求该材料的介质损耗角正切 tg 。
解 :由弛豫函数
/1)( tetf 可知 德拜模型
极化损耗 Ptg ,漏导损耗 Gtg
如果交变电场的频率为 ;
则 Ptg = 22
)(
s
s
Gtg = )
1
1
(
22
0
s
该材料的介质损耗正切为: tg = Ptg + Gtg
2-5 在一平板介质(厚度为 d,面积为 S)上加一恒定电压 V,得
到通过介质的总电流为 VteI ,已知介质的光频介电常数为
,求单位体积内的介质损耗、自由电子的电导损耗、极化
弛豫与时间的关系。若施加频率为 的交变电场,其值又为多
24
少?并求出介质极化弛豫函数 f( t)。
解 :在电场的作用下(恒场)介质中的功率损耗即为介质
损耗
电功 dttVIVdqdA )(
)1()()(
0 0
Vt
t t
Vt eVtVdtedttVIA
VtIVeV
t
A
W Vt )(
单位体积中的介电损耗 : )(
1 VtVeV
dsds
W
w
自由电子电导损耗 :
ds
V
w
1
极化弛豫损耗 : Vte
ds
V
w
电导率 :
d
sV
R
V
I
s
d
R
0, ,
电流 : VteI
其中 RI 为传导电流
Vtr eI
为极化电流
另一方面
dt
dP
s
dt
sd
dt
dQ
I rrrr
)(
/00)( tsr e
E
dt
dP
故 Vttsr ee
E
I
/00)(
有 dsV
d
V
E
V
s
2
0)(,,
1
2
0sV
d
s
因而,加交变电场 w 时 :
221
)(
s
r
极化损耗 :
221 1
)(
sr
25
电导损耗 :
sV
d
r
00
2
单位体积中的极化损耗功率 :
)1(2
)(
2
1
222
22
02
10
d
V
EW srr
单位体积中的电导损耗功率 :
ds
V
WG
Gr WWW
弛豫函数 : Vtt Veef
/1
2-6 若介质极化弛豫函数
/1)( tetf ,电导率为 ,其上施加电场
E(t)=0 (t<0);
E(t)=at (t>0 , a 为常数 )
求通过介质的电流密度。
解 :已知 :
/1 tef
t
s dxxExtfTETD
0
00 )()()()()(
t
xt
s xdxet
0
/)(
00
1
)(
)()( /00
ts ett
)1()( /00
ts et
j(t)= tetE
dt
tdD t
s
/
00 )()(
)(
2-7 求德拜弛豫方程中 吸收峰的半高宽? 吸收峰高为多少?出
现在什么频率点上? 吸收峰中(以半高宽为范围) 的变化
为多少?占 总变化量的百分之几?
解 : 令 0
d
d r 可得
1
m )(
2
1
ma x s
半高
22ma x 1
)(
)(
4
1
2
1
)(
s
s
可以解得 )32(
1
,32
半高宽 3
2
)]32(32[
1
26
由于
221
)(
s
在 吸收峰的半高宽范围, 的变化
)]32(
1
[)]32(
1
[
22 )32(1
)(
)32(1
)(
ss
)(866.0 s
的总变化量 s)()0((
占总变化量的百分数 86.6%
2- 8 试对德拜方程加以变化,说明如何通过 )( , )( 的测量,
最后确定弛豫时间。
解 :在 极大值处
1
m
)(
2
1
s )(
2
1
ma x s
测量 ~ 曲线测 )(
2
1
s 时,对应 m 求
m
1
测量 ~ 曲线测 )(
2
1
m a x s 时对应 m 求弛豫时间 :
m
1
另
221
1
s
r ,
221
s
所以 )(
rr ,
)(
r
r , 且 时, sr
所以 时 ,很大,
)(
s
r 可以求的
2- 9 已知一极性电介质具有单弛豫时间,为了确定这一弛豫时间
,对其 在一定的频率范围内进行测量(在一定的温度下)
,结果表明 所对应的频率远高于所用的频率,证明得到的
地变化满足形式
27
ffMl )( 22 其中
l
M
2
2
4
若介质具有明显的直流电导,若介质没有明显的直流电导,
与 f 的变化关系记成对数形式更有用,为什么?
解 :已知 lM 222 4/ , f 2
1 , 22
22
1
1
1
)1()(
1
)(
)( 22
22
s
s
)41()(2 222 ffs
)/1()(2 22 lfMfs
ffMl
l
s )()(
2 22
令 ls )(2
即 fMfl )()( 2
如果介质有明显的直流电导
0
221
)(
)(
s
当 1 时 ,漏导损耗
1
~ 可以用 fln~ 或者 ln~ 作图
2-10 一个以极性电介质(单弛豫)制作的电容器,在上施加一正弦
交变电压,试写出热损耗对频率的函数。并证明在 极大值对
应的频率下损耗为其极大值得一半。试问能否用上面的结果作
实际测量,以确定弛豫时间 ?
解:单位体积中的介质损耗功率 2
22
2
022 )
)1(2
)(
( EgEEw s
g 为电容器中的介质在交变电场下的等效电导率,
为介质电导率
E 为宏观平均电场强度的有效值
当 0 的时候, 2m i n Ew
当 的时候 , 20
2
0max )(
2
1
)](
2
1
[ EEw ss
28
ma x 时,
1
m , )(
2
1
max sr 高频下由于漏导很小
20 )](
4
1
[ Ew s
20 )(
4
1
Es
ma x
2
1
w
不能确定弛豫时间 因为忽略了介质中的漏导损耗
2- 11 已知电介质静态介电常数 5.4s ,折射率 48.1n ,温度
Ct o251 时,极化弛豫时间常数 s
3
1 1060.1
, Ct o1252 时
s62 105.6
。
( 1)分别求出温度 1t 、 2t 下 max
" )( r 的极值频率 1mf , 2mf 以及
ma x)( tg 的极值频率 1mf , 2mf .
(2)分别求出在以上极值频率下 r , max
"
r , )( tg , r , r
, max)( tg 。
( 3)分别求出 HzHzC 60 10,50,25 时的 r , r , tg 。
( 4)从这些结果可以得出什么结论?
( 5)求该电介质极化粒子的活化能 U(设该电介质为单弛
弛豫时间)。
解 : 5.4s ,n = 1.48 , ,2.2
2 n f 2
( 1) 625
106.1
11
3
1
1
m , Hzfm 100
2
625
1
5
6
2
2 105.1
105.6
11
m , Hzfm
4
5
1 103.3
2
105.1
ma x)( tg 时的 ,
sm
1
1
894
2.2
5.4
106.1
11
3
1
1
sm , HZfm 1421
5
6
2
2 101.2
2.2
5.4
105.6
11
sm HZfm
4
2 103.3
29
( 2)在极值频率下 : m
35.3)2.25.4(
2
1
)(
2
1
sr
15.1)2.25.4(
2
1
)(
2
1
max sr
34.0
35.3
15.1max
s
s
r
tg
m
96.2
2.25.4
2.25.422
s
s
r
07.12.25.4
2.25.4
2.25.4
s
s
s
r
37.0
2.25.42
2.25.4
2
s
stg
( 3) CT o25 , HZf 501 ,
3
1 106.1
, 3142 11 f
5.011
04.4
25.01
2.25.4
2.2
1
)(
)(
221
sr
92.0
25.01
5.0*)2.25.4(
1
)(
)(
221
sr
23.0
04.4
92.0
)(
)(
)(
1
1
1
r
rtg
Hzf 62 10 ,
6
22 1028.62 f ,
3
21 10
5.4
101
2.25.4
2.2
1
)(
)(
6222
sr
3
6
3
222
103.2
101
10*)2.25.4(
1
)(
)(
sr
4
3
2
2
2 105
5.4
103.2
)(
)(
)(
r
rtg
( 4)温度越高,极化弛豫时间越小, m a xr 极值频率越大
30
ma x)( tg 的频率 m 大于 m a xr 频率 m
(5) kTue /
02
1
1/
0
1
2
1 kTu
e
, 2/
0
2
2
1 kTu
e
1
01 2lnln
kT
u
;
2
02 2lnln
kT
u
ev
TT
TkT
u 56.0
)ln(ln
21
2121
该极化粒子的极化能 U 为 0.56ev
2- 12 某极性电介质 10s , 5.2 ,在某一温度下 s
310 ,求其
分别在频率为 HzHzf 100,50 交变电压作用下,电容器消耗的
全部有功、无功电能中有多少被转化为热量。
解 : 由 5028.61 ,
310 , 314.01 , 28.62
14.2
1
)(
)(
221
sr 33.9)( 2 r
17.1
1
)(
)(
221
sr 68.2)( 2 r
%3.22
33.933.914.214.2
14.2
22
1
rr
r
814.0
22
1
rr
r
, 399.0
22
2
rr
r
697.0
22
2
rr
r
2- 13 已知某极性液体电介质 5s , 5.2 ,在频率为 Hzf
610
下温度 Ct o1001 处出现 m a x)( tg ,其粘度为 sPa 06.0 ,试求
其分子半径 a。
解 :
KT
a
KT
a
KT
33 4
2
8
2
31
sm
1
, 71025.2
1
sm
3303 108.1536
4
m
KT
a
, ma 10105.11
2-14 在讨论介质弛豫时,介质中有效电场和宏观平均电场的不一致
结果有什么影响?对什么结果没有影响?
解 :若有效电场 eE 与宏观平均 E 一致 稳态时
剩余跃迁粒子书 eE
KT
nq
n
12
弛豫极化强度 er E
KT
nq
P
12
22
弛豫时间 KTue /
02
1
如果 eE 随时间变化 与 E 不一致,稳态时
eE
KT
nq
n
12
E
KT
nq
EP sr
9
)2)(2(
12
)1(
22
0
Es
3
2
2
2s
e
对 n 没有影响,对 有影响
2- 15 何谓电介质测量中的弥散区?弥散区的出现说明了什么?若
某介质有明显的两个弥散区,则又说明了什么?
解 :在
1
附近的频率范围,介电常数发生剧烈的变化 ,
由 s ; 出现极大值 这仪频率称为弥散区;
弥散区的出现证明了极化机制中出现弛豫过程,造成极化
能量损耗;
出现两个弥散区,该电介质存在着弛豫时间不同的两种驰
32
豫极化机制。
2- 16 试分别对下面四种弛豫分布计算 ,(在 ,05.0,00 0.5,
1, 10, 100, 点),并对接过进行讨论。
( 1) 单弛豫时间(德拜型)
( 2) cG )(ln 00 053.195.0
0)(ln G 00 95.0,053.1
( 3) cG )(ln 00 111.19.0
0)(ln G 00 9.0,111.1
( 4) cG )(ln 00 29.18.0
0)(ln G 00 8.0,25.1
其中 c 满足 1ln)(ln
0
dG
解: ( 1)单弛豫时间 ,德拜弛豫
221
)(
)(
s
r
221
)(
)(
sr
0 = 0 0.05 0.5 1
)( r = s )(5.0 s
)( r = 0 )(05.0 s )(4.0 s )(5.0 s
0 = 10 100
)( r =
)( r = )(1.0 s 0
可见 )( r 从 s ; )( r 从 00 max
( 2 ) cf )( 当 00 053.195.0 的 时 候 ; 其 它 0)( f
33
)]95.0()053.1([)(
1
)(
)()( 0
1
0
1
0 22
tgtg
cdf
ssr
= A
c
s
)(
0 221
)(
)()(
df
sr
= B
c
s
)(
其中 A 和 B 皆为常数,且 A 和 B 分别为
A = )95.0()053.1( 0
1
0
1 tgtg
B =
0
0
2
0
2
0
2
0
2
0
95.0
053.1
ln
])95.0(1[2
)95.0(
])053.1(1[2
)053.1(
分别代入 0 的值 可以求的 A 和 B 的值,从而求的 , 的值;此处 略
同理 ( 3)( 4)的算法同上 此处略
2- 17 试证明:对单弛豫时间,有关系式
))())((()( 2 S
对非单弛豫时间的情况其关系式为
))())((()( 2 s
证明 : 对于单弛豫时间
))())((()( 2 S
由德拜弛豫方程
221
)(
)(
s ;
221
)(
)(
s
22
22
1
)(
)(
ss ; 221
)(
)(
s
))((
)1(
)(
)(
222
222
2
s
s 证毕
对于非单弛豫时间
0 22 )1(
)(
)()(
df
s ;
0 22 )1(
)(
)()(
df
s
34
]
)1(
)(
1)[(
0 22
df
ss ;
0 22 )1(
)(
)(
df
s
由于对于弛豫时间 )(f 有 1)(
0
df
0 220 22
2
)1(
)(
]
)1(
)(
1[)())())(((
dfdf
ss
=
0 220 22
22
2
)1(
)(
)1(
)(
)(
dfdf
s
0 220 22
22
)1(
)(
)1(
)(
)()(
dfdf
s
比较上面两个式子可以知道 :
))())((()( 2 s
2- 18 试证明:若某介质优两个弛豫时间 21 , ( 21 ),且权重
因子相同,则 * 有关系式为
)(
))((
)(
)(
2
0
021
0
21
0
s
证明 : 由题意可知
)
1
1
1
1
(
2
1
)()(
2
2
22
1
2
s
)
11
(
2
1
)()(
2
2
2
2
2
1
2
1
s
因此 : )
1
1
1
1
(
2
1
)()(
2
2
22
1
2
s
)
1
1
1
1
2)((
2
1
)(
2
2
22
1
2
ss
= )
11
)((
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
s
= )()( 22121 证毕
2-19 Jonscher 给出经验关系
35
nm
A
1
21 )/()/(
)(
其中 ,10 m 10 n ,求其 )( 的极大值 m a x)( ,并说明 1 ,
和 m, 2 和 n分别决定了介质低频端、高频端的形态。其中 Cole
- Cole 图在高低频端与 轴的夹角分别为 mn
2
),1(
2
。
答案略
2-20 某介质的 5.3s , 7.2
2 n , eVU 10 ,在交变电场的频率
710f
Hz,温度 Ct o40 时有个 tg 极大值,求 tg 极大值。当 tg 极大值
移向 Co27 时,求相应的电场频率。
解 : 13.0
7.2*5.32
7.25.3
2
s
stg
sm
1
KTUe /
0
0
2
1
所以
sKTUm e
/
0
02
sKTUef /0 0
1
00
1 ]ln[ln
KT
U
f s
2
00
2 ]ln[ln
KT
U
f s
)
11
(lnln
21
0
12
TTK
U
ff = 14.94
即 Hzef 694..142 103.3
40 Co 的时候, tg 极大值为 0.13 ; tg 极大值移向 27 Co 时,
相应的电场频率为 Hz6103.3
36
2-21 实验测得一种 ZnO 陶瓷的 1300s , 900 ,激活能为 eV3.0 ,
且在 17 oC 时,损耗峰的位置在 Hz510 附近,求
( 1)损耗峰的位置;
( 2)当温度升高到 200 oC 时,损耗峰的位置。
解 200)9001300(
2
1
)(
2
1
max sr
在 maxr 处
1
m
KTU
e
/
0
0
2
1
KTUm ef
/
0
022
1
00
1 lnln
KT
U
f
2
00
2 lnln
KT
U
f
)
11
(lnln
21
0
12
TTK
U
ff
= 16.4
Hzef 74.162 103.1
17 Co 时 损耗峰值为 200 Hz
200 Co 时 损耗峰值为 Hz7103.1
2-22 若某介质有两个分离的德拜弛豫极化过程 A 和 B
( 1)给出 r 和 r 的频率关系;
( 2)作出一定温度下, r 和 r 的频率关系曲线,并给出
r 和 tg 的极值频率;
( 3)作出在一定温度下 r 、 r 温度关系曲线;
( 4)作出 Cole- Cole 图。
37
解 : 此处只给出 r 和 r 的频率关系 作图略
221
)(
)(
A
ns
nA
BA
221
)(
)(
B
n
B
ns
221
)(
)(
A
Ans
A
221
)(
)(
B
Bn
B
和
2-23 一平板电容器,其极板面积 2750cmA ,极板间距离 mmd 1 ,
1.2 ,在阶跃电压作用下电流 ri 按衰减函数
t
etf
1
)( 衰减
( 为弛豫时间),当阶跃电压 VU 150 时, Aei tr
136061020
( 1) 求在 1kHz 交变电压作用下介质的 r 、 r 和 tg 。
( 2) 求 max)( tg 及其极值频率下的 r 、 r 。
( 3) 若电导率 mS /10 9 ,求 1kHz 下计及漏导时候的 r 、 r 和
tg 。
解 :( 1)
/1
0 )(
t
s
r
r eE
dt
dP
j
/1
0
/1
0 )()(
t
s
t
sr e
d
U
AeEAAjIr
= te 136061020
1360
1
; 6/10 1020)(
t
s e
d
U
A
31028.62 f
221
)(
)(
s
r = 2.17
221
)(
)(
s = 0.03
014.0
17.2
03.0
tg
38
(2) 28.0
2
max)(
s
stg
071.0
2
s
s
r
65.2
s
s
s
r
( 3)考虑漏导时
221
)(
)(
s
r = 2.17
32.0
1
)(
)(
0
22
s
]
1
)(
1
][
1
)(
[
22
0
22
s
stg
= 0.15
2-24 有一电容器 pFC 3001 , 005.01 tg ,另一电容器 pFC 602 ,
04.02 tg ,求该二电容器并联时的电容量 C 和 tg 。当 1C 为
pF300 的空气电容器时,求与 2C 串联合并联时的 tg 。
解 :串联时 :
50
1
60
1
300
1111
21
CCC
所以 C = 50 pF
034.0
21
2211
CC
tgCtgC
tg
并联时 : C = C 1 + C 2 = 360pF
)1()1(
)1()1(
1
2
12
2
2
21
2
112
2
2
tgCtgC
tgtgCtgtgC
tg
由于 : 11
2 tg 12
2 tg
034.0
21
2112
CC
tgCtgC
tg
39
当 C 1 为空气的时 00059.1r , 177.300030000059.11 C
串联时
50
1
60
1
177.300
1111
21
CCC
所以 C = 50pF
034.0tg
并联时 : C = C 1 + C 2 = 360.177pF
034.0tg
2-25 对共振吸收 )(* 可按式( 2- 249)表示,试从该式给出以下
参数:
( 1)在吸收区, )( 取极值时对应的频率及其 )( 的对应
的值;
( 2) 0 、 时对应的 )( ;
( 3) )( 对应的吸收峰的位置及高度;
解 :( 1)
22222
0
22
0
0
2
0
)(
1
m
en
r
22222
00
2
0
)(
m
en
r
令 0
r 可知
2/10 )1(
;
2/1
0 )1(
)(
1)(
00
2
0
m
en
r
)(
1)(
00
2
0
m
en
r
( 2) 0
2
00
2
01)0(
m
en
r
1)( r
(3) 令 0
r 可知 0 m
00
2
0
m
en
r
40
2- 26 从图 2- 32 可见,在吸收区出现的 n<1 的区域,对此作如
何解释。
答案略
41
思 考 题
第 二 章
2- 1 具有弛豫极化的电介质,加上电场以后,弛豫极化强度与时间
的关系式如何描述?宏观上表征出来的是一个什么电流?
解: )1( /trmr ePP
宏观上表征出来是一随时间而逐渐衰减的吸收电
流。
2- 2 在交变电场的作用下,实际电介质的介电常数为什么要用复介
电常数来描述。
解:在交变电场的作用下,由于电场的频率不同,介质的种类、
所处的温度不同,介质在电场作用下的介电行为也不同。
当介质中存在弛豫极化时,介质中的电感应强度 D 与电场强度 E
在时间上有一个显著的相位差,D 将滞后于 E。 ED r 的简单表示不
再适用了。并且电容器两个极板的电位于真实的电荷之间产生相位
差,对正弦交变电场来说,电容器的充电电流超前电压的相角小于
2
电容器的计算不能用 0cc r 的简单公式了。
在 D 和 E 之间存在相位差时,D 将滞后于 E,存在一相角 ,就用
复数来描述 D 和 E 的关系:
i
E
D
0
*
2- 3 介质的德拜方程为
i
s
1
,回答下列问题:
( 1) 给出 和 的频率关系式;
( 2) 作出在一定温度下的 和 的频率关系曲线,并给出
和 tg 的极值频率;
( 3) 作出在一定频率下的 和 温度关系曲线。
42
解:( 1)
221
s ,
221
s
( 2)
1
m ,
sm
1
( 3)作图略
2- 4 依德拜理论,具有单一弛豫时间 的极性介质,在交流电场作
用下,求得极化强度:
XEE
i
XX
PPP
1
)( 21
21
式中:
i
XX
X
1
21
21, XX 分别为位移极化和转向极化的极化率。试求复介电常数的表达
式,