光学_郭永康_例题解答

光学例题解答与讨论 1． 一个直径为 200mm 的玻璃球，折射率为 1.53，球内有两个小气泡，从球外看其中 一个恰好在球心。 从最近的方位去看另一个气泡，它位于球表面和球心的中间。 求两 气泡的实际位置。 （解题思路） 玻璃球内部的气泡作为实物经单球面折射成像。 由于人眼的瞳孔直径很 小，约 2—3 毫米，且是从离气泡最近的方位观察， 所以本题是单球面折射的近轴成像 问题。题中给出的是像距 s’, 需要求的是物距是 s。 s1 s1’ s2 s2’ r= -100mm n=1.53 n’=1.0 解： （1）n=1.53 n’=1.00 r=-100mm s’=-100mm 代入成像公式 ' ' ' n n n n s s r −− = s=-100mm 物为实物，且和像的位置重合， 且位于球心。 （2） 对另一个气泡，已知 n=1.53;n’=1.00; r=-100mm s’=-50mm . 代入成像公式 1.00 1.53 1.00 1.53 50 100s −− =− − s=-60.47mm 气泡为实物，它的实际位置在离球心（100-60.47）=39.53mm 的地方。 讨论： 对于第一个气泡，也可以根据光的可逆性来确定。 因为第一个气泡和像是重合 的，由可逆性将像视为物,经球面折射后仍成在相同的位置。 所以像和物只能位于球心。 2. 在制作氦氖激光管的过程中，常采用如图的装置。 已知目镜 L1 的焦距是 2 ㎝、物 镜 L2 的焦距是 2 ㎝。 凹面镜的曲率半径是 8 ㎝。 （1） 调节 L2 使 L1 和 L2 之间的距离为 5 ㎝， L2 和 L3 之间的距离为 10 ㎝，求 L2 前 1cm 的叉丝 P 经光学系统后成的像的位置。 （2）当 L1 和 L2 之间的距离为 5 ㎝时，若人眼通过目镜能观察到一个清楚的叉丝像， 问 L2 和 L3 之间的距离为多少？ L1 L2 L3 P1’ P4’ P5’P2’ P P3’ F1’ F2 解：(解题思路) 物点P经前面的系统成像，即直接经L1成像(P1’); 同时经后面的系统成像， 即先后经L2成像(P2’)、经L3反射成像(P3’)后光线方向发生改变，再经L2成像(P4’)和L1成 像(P5’)。 （1）P对L1 直接成像P1’；s1=-4cm, f1’=2cm 根据透镜成像公式 1 1 1 ' 's s f − = 得： ' 1 1 1 1 1 ' 4 ' s fs c s f = =+ m 位置位于在 L1 的左侧 4 ㎝处。 P对L2成像P2’；s2=-1cm, f2’=2cm ' 2 22 2 2 ' 2 ' s fs c s f = = −+ m 像的位置位于 L2 的物方焦点上。 进一步对L3成像P3’ s3=-12cm, f3’=r/2=-4cm 又对L2 成像P4’ s2=-4cm, f2’=2cm ' 2 22 2 2 ' 4 ' s fs c s f = =+ m 在 L2 的左侧 4 ㎝处 对L1 成像P5’ s1=-1cm, f1’=2cm ' 1 11 1 1 ' 2 ' s fs s f = = −+ cm 1 ⎞⎟⎠ 像的位置在L1 的右侧 2 ㎝处， 即位于L1的焦点上。 因此可以看到两个像，一个位于L1的左侧 4 ㎝处，一个位于L1的右侧 2 ㎝处（焦点 上）。可以设想，P经L2 成的像如果是在L3 的曲率中心，则经L3 反射后像仍然在L3 的 曲率中心，再经 L2 成的像一定和叉丝 P 重合，这样经 L1 成像后两个像是重合的。 故 经过目镜只能看到一个清楚的像。所以凹面镜曲率中心 c 应和 L2 的物方焦点重合，故 L2 和 L3 的距离是 6 ㎝。 3． 一个置于空气中的复合透镜L1 L2 ，各面曲率半径分别为r1=-1.0m, r2=1.5m, r3=-1.0m, 两透镜的厚度为d1=4cm, d2=5cm ，介质的折射率为n2=1.632， n3=1.5。 试用矩阵方法 求复合透镜的光焦度，并讨论离透镜前表面 4.0m的轴上物点的成像情况。 r1 r3 r2 （解题思路）本题中折射面的曲率半径和折射率是已知的，可以直接写出其折射和平移 矩 阵 ， ， 根 据 系 统 的 传 递 矩 阵 ，可求出系统的光焦度和像的位置和放大率。 1 ( ' ) / 1 0 , 0 1 / n n r R T d n −⎛ ⎞ ⎛= =⎜ ⎟ ⎜−⎝ ⎠ ⎝ 3 32 2 21 1S R T R T R= d1 n2 n d2 n3 n1 4 C1 C3 C2 L1 L2 解： ' ' 3 3 3 2 2 2 2 3 ' 1 1 1 1 2 1 01 ( ) / 1 ( ) / / 10 1 0 1 1 0 1 ( ) / / 1 0 1 n n r n n r S d n n n r d n ⎛ ⎞ ⎛− ⎛ ⎞ −= ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎛ ⎞−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎞⎟⎠ ' ' ' 3 4 2 3 1 2 1 2 3, , , 1.0 , 1.5 , 1.0n n n n n n r m r m r m= = = = − = = −以 代入得 1 1.5 1 0 1.5 1.6321 1 1.0 1.50.05 10 1 0 11.5 1 0 1.632 11 1.00.04 1 0 11.632 0.973 -0.202 = -0.058 1.040 S − −⎛ ⎞⎛ ⎞⎛⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ −⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎞⎟⎟⎟⎠ 验证： det 1S = 所以系统的光焦度 112 0.202 .S m−Φ = = − l=-0.4m,由物像关系 21 22 11 12 0.058 ( 4.0) 1.040' 2 0.973 ( 4.0) ( 0.202) S lSl m S lS + − + − ×= = = −+ + − × − .39 像的放大率 11 12 1 1 0.56 0.973 ( 4.0) ( 0.202)S lS β = = =+ + − × − 讨论：（1）复合透镜的光焦度是负的，所以系统是发散的。 （2）物体成像在第三折射面的前方 2.39m 处，是一缩小的正立的虚像。 4． 两个薄透镜L1和L2的孔径均为 4cm，L1的焦距为 8 ㎝，L2的焦距为 3 ㎝，L2在L1之 后 5 ㎝，对于平行于光轴入射的光线，求系统的孔径光阑、入射光瞳和出射光瞳。 （解题思路）同一光学系统对于不同的轴上物点，可以有不同的孔径光阑，本题中入射 光是平行光，对应的物点应在无穷远。 解：（1）求孔径光阑： L1对其前面的光学系统成像就是本身。L2对其前面光学系统的 成像 由公式 '2L 1 1 1 ' 's s f − = 已知 代入公式得 '15 , ' 8s cm f f c= − = = m 40' 13.33s cm= − −� ' 2L， 即 位于 右边 约 13.3 ㎝处。 1L 由 ' 'y s y s β = = ， 的口径'2L '2 ' 2 10.7sy y cs= � m m f f cm= − = = 。 由于物点在无限远处，且 的口径为 10.7cm, 的口径为 4cm, 对入射光束口径限 制最大，即 为孔径光阑。 ' 2L 1L 1L 1L （2）求入瞳； 因为孔径光阑对其前面的光学系统成像为入瞳， 所以 又为入瞳。 1L （3）求出瞳； 出瞳为孔径光阑对后面的光学系统成像， 即 对 成像。 1L '2L 已知 s c 代入公式'25 , ' 3 1 1 1 ' 's s f − = 得 ' 7.5s cm= 。 出瞳的口径 '2 ' 2 6sy y c s = × = m 即出瞳位于 右侧 7.5cm 处，口径为 6 ㎝ 2L 5．一单色平而光波的时间频率为 6×1014 Hz,在真空中沿xy面内传播，在一定 的时刻波场中的等相位线的分布如图 3.2-3 所 示。已知沿 x 方向等相位线的间隔为 1μm，求： （1）在传播方向上波场的空间频率； （2）x, y 方向的空间频率； （3）传播方向与 x, y 轴夹角。 解（1）传播方向上的空间频率等于波长的倒数，即 1 14 14 μm2 10 10 −= 3 61 × ×=== c f υλ （2）λ=c/v=1/2um xfkdx d παφ 2cos −=−= ， yfkdy d πβφ 2cos −=−= 由图可见，沿x方向坐标增加，相位减少；沿y方向坐标增加，相位增加，即 0< dx dφ ， 0> dy dφ ，因此fx>0,fy<0,则 1μm11 −== x x d f ， 122 μm3 −−=−−= xy fff （3）求传播方向与 X、Y 轴的夹角，即α、β 4π 2 0 π 8π -4π -6π -8π 6π -2π o β α K y x 根据 cos cos;x yf f α β λ λ= = 2 1cos == xfλα ， α =60° 2 3cos −== yfλβ ， β =150° 即平面波的传播方向在第二、四象限，传播矢量与x轴夹角为60°，与y轴夹角为150°， 即图中的 K 方向 6.一束准单色自然光以 1 4 3 tg − 的入射角，由空气射向水面。 问（1）反射光强和入射光 强的比例，反射光是什么光？（2）透射能流和入射能流的比例，透射光是什么光？（3） 反射光束和透射光束的夹角是多少？ 解：（1）设入射的自然光光强为 0I ，将它分解为光强为 的 s 分量线偏振光和光强 为 的 p 分量线偏振光。已知入射角 0 / 2I 0 / 2I 1 1 1 4 453.13 , 1, 3 3 oi tg n n− 2= = = = ， 折射角 1 02 3sin ( sin 53.13 ) 36.87 4 i −= = 0 s 分量线偏振光 01 2 1 2 sin( ) sin16.26 0.28 sin( )s i ir i i −= − = − = −+ 光强反射率 2 0.078s sR r= = p 分量线偏振光 0 0 1 2 0 0 1 2 ( ) (53.13 36.87 ) 0 ( ) (53.13 36.87 )p tg i i tgr tg i i tg − −= =+ + = 光强反射率 2 0p pR r= = 总的反射光强和入射光强的比例： 0 0( ) 0.039 3.9%2 s p I R R I+ ÷ = = 。 由于 p 分量不反射，所以反射光是振动方向垂直于入射面的线偏振光。 （2） 对 p 分量线偏振光，其能流透射率为 1，全部进入水中； 对于 s 分量线偏振光能 流透射率 ， 所以有 92.2%射入水中， 总的能流透射率 为 1 1 0.078 0.922s sT R= − = − = 1 (100 92.2)% 96.1% 2 + = 由于透射的 s 线偏振光和 p 线偏振光的强度不同，且没有位相关系，所以透入水中的是 部分偏振光。 （3） ， 反射光和折射光之间的夹角为0 01 2 53.13 36.87 90i i+ = + = 0 1 2( ) 2i i ππ − + = ， 两者相互垂直， 1 21 1 ni tg n −= 为布儒斯特角。 7. 低头洗脸时，很难看到自己的脸部经水面反射的像。 站在广阔平静的湖面的岸边 却可以看到对岸景物明亮的反射到像。 为什么？ 答： 由菲涅耳公式可知水面的光强反射率随入射角的变化关系。 在入射角较小时， 反射率很低；光线的入射角较大时，特别是掠射时，其反射率会急剧增大，几乎全部反 射。 所以当我们低头洗脸时，其入射角接近于零，反射率非常小，反射光强很弱，很 难看到自己脸部经水面反射的像。 而站在广阔平静的湖面的岸边观看对岸的景物时， 景物接近于掠入射，光线几乎全部反射，反射光强很强，所以可以看到对岸景物明亮的 反射倒像。 8．在如图的装置中， ㎜，离双缝 10 ㎝处的理想透镜的焦距 ㎝，其光 轴通过 s 单缝。若用 的紫光照射单缝 s，则在离透镜 12 ㎝的照相干板上摄 得什么图样？ 1 2 0.1s s = ' 10f = 0 4000Aλ = 0 4000Aλ = S S2 S1 P L 干板 （解题思路 ）本题是一个扬氏干涉的问题，在干板处有干涉条纹。需要讨论的是干板 处的干涉条纹是干板和理想透镜组成的观察系统的那一个平面上的干涉条纹。 解：s1 和s2 作为次波源，满足干涉条件，由s1 和s2发出的光线经透镜后会聚在干板上， 只要光程差在一定范围内，就会有产生干涉条纹。作出P点的共轭点P’ 设由S1发出的光线S1A 经透镜后， S2 S1 A B P P’ -S S’ 和由S2发出的光线S1B会聚在干板 P 处。光程差 可以 1 2S AP S BP− 根据透镜的成像的等光程性求出。 因为 P’和 P 是一对共轭点 1 2' 'P S AP P S BP= P 点的光程差 1 2 1 1 2 2 1( ' ) ( ' ) ( 'S AP S BP S AP P S AP S BP P S BP P S P SΔ = − = − − − = − − 2' ) 所以P面上的干涉条纹是S1和S2在P’面上的干涉条纹（由于P’这在左边，并不存在实际的 干涉是等效的虚的干涉）经透镜成像在P平面上。 已知 由透镜成像公式 ' 12 , ' 10s cm f c= = m 1 1 1 ' 's s f − = 60s cm= − P’到双缝的距离 D’=50 ㎝; t=0.1mm; ；P’面上的虚干涉条纹的条纹间距 0 4000Aλ = '' Dx t λΔ = ，代入后得 ' 2x mmΔ = 干板上的干涉条纹间距 ' 122 0.4 60 sx x x s βΔ = Δ = Δ = =−� � mm 所以在干板上摄得条纹间距是 0.4mm 的平行等间距的干涉条纹。 9. 将一平面玻璃片覆盖在平凹柱面透镜的凹面之上。（1）若用单色平行光垂直照射， 从反射光中观察干涉现象。分析干涉条纹的形状及分布情况。（2）当照射光波长 时，平凹透镜中央 A 点是暗的。 然后连续改变照射光波长，直到波长变 为 时，A 点又从新变暗。求 A 点处平面玻璃和柱面之间的空气间隙高度为 多少？ 0 1 5000 Aλ = 0 2 6000 Aλ = 解： 本题是光线在空气膜上下表面反射时产生等厚干涉的问题。 根据等厚干涉的特点， 相同厚度的地方形成同一级干涉条纹，故干涉条纹是平行于柱面轴线的直线。 设凹透镜圆柱面的半径为 R，对于空气层中距中心为 x 的任一点 P，空气层的厚度为 h, 光程差为 02 2( )2 2 h h dλ λΔ = + = − + （1） 由几何关系可得： 2 2 2 2 2 2(1 )2 2 x xd R R x R R R R = − − = − − = （2） 将（2）代入（1）， 得 2 02 2 xh R λΔ = − + （3） 根据 2 02 ( 1)2 xh K R λ λΔ = − + = + 明条纹 和 2 02 2 xh R λ λΔ = − + = 1（K+ ）2 暗条纹 明条纹和和暗条纹的坐标为 0 12 ( ) 2 x h R K Rλ= ± − + （明条纹） 和 02x h R KRλ= ± − （暗条纹） 条纹分布特点：（1）干涉条纹为直线族 x c= ± （常数）它们平行于柱面的轴线且相对 于轴线对称，每一级次相应于两条干涉条纹。（2）由 /x KΔ Δ ，可知随着 K 的增大条纹 间距变小，即从中央到边缘，条纹分布愈来愈密集 P h d R A h0 （2） 当波长由 增大到 0 1 5000 Aλ = 0 2 6000 Aλ = 中央轴线处连续两次变为暗条纹。 则 0 12 (h K K 21)λ λ= = − 解出 2 2 1 6K λλ λ= =− 3 0 1 13 1.5 102 Kh mλ λ −= = = × m 0.025) A± 10. 水银绿光的能量分布在 (5461 很小的波长范围内，今欲用 F-B 干涉仪对 此绿光进行能量随波长分布的测量，并且要求对绿光中靠得最近的 两条 超精细结构谱线能实现分辨，问应该使用间隔 h 反射率 R 多大的干涉仪才合适？ 0 0 0.002AλΔ = （解题思路）本题有两个要求（1）F-B 干涉仪应对 的 所有波长不应有重叠现象，否则将对谱线的分布认识不清（2）能分辨靠得最近的 两条超精结构谱线。所以从自由光谱范围的要求确定 h 由第二个要求确 定反射率。 0 (5461 0.025) (5461 0.025) A− +到 0 0.002AλΔ = 解：由自由光谱范围 2 2h λλΔ = ， 决定干涉仪的间隔 h 不得大于 2 2(5461 0.025) 2.982 2 2 0.05 h cλ λ −= = =Δ × m 根据第二个要求当使用 h=2.982cm 的 F-B 干涉仪时，其色分辨本领 1 RA K R λ π λ= =Δ − ， 2hK = ， λ 干涉仪的反射率 R 应满足 12.5 1 R R π =− ，解得 R=0.7783 讨论： 间隔 h 若大于 2.982cm，则发生重叠现象。 间隔小于 2.982cm，虽然不会重叠， 但因几次变小而得不到大的分辨本领。故使用 0.7783, 2.982R h≥ ≤ cm的 F-B 干涉仪 为最合适。 11．光栅A 的dA=2um，光栅宽度WA=NA dA=4cm，另一光栅B的dB=4um，光栅宽度 WB=10cm， 现有波长为 500nm和 500.01nm的平面波垂直照射这两块光栅，选定在第二级工作。试问： （1）这两块光栅分别将这两条谱线分开多大的角度？ （2）哪块光栅可以分辨出这两条谱线？ 解： 有光栅方程： sin kd kθ λ= 和角色散的定义： cos k kD d θ= 在第二级上将500.01nm 和500.00nm的双线分开的角度和角色散率 光栅A： 0 62 30 1.155 10 / , 2.38''A AD rad mθ θ= = × Δ = 光栅B： 0 62 14.5 0.516 10 / , 1.06 ''B AD rad mθ θ= = × Δ = WR Nk k d λ δλ= = = 要分辨500nm和 500.01nm这两条谱线，需要分辨本领大于： 50000== δλ λR 40000=== k d WkNR A A AA 50000=== kd WkNR B B BB 虽然光栅B将这两条谱线分开的角度小于光栅A的，但B光栅恰能分辨这两条谱线， 而A光栅则不能分辨。 13.波长为4500Å的兰色平面光波垂直入射到不透明的白色屏幕A上。 屏上有一个半径ρ 为0.6mm的小孔及一个与小孔同心的环行透光圆环，环的内半径为0.6 2 mm、外半径为 0.6 3 mm。 求在距屏A 80cm的共轴点P处的光强是将屏A撤去时的多少倍？ 解： 确定衍射是属于夫琅禾费还是菲涅耳衍射。 已知是平行光入射 R = ∞ ,衍射是菲涅耳衍射。 半波带数 2 0 0 ( ) ;R rn Rr ρ λ += 已知 0 1 2 3, 80 , 0.45 , 0.6 , 0.6 2 , 0.6 3R r cm um mm mm mλ ρ ρ ρ= ∞ = = = = = m 对于小孔的边缘处，其半波带数 2 2 1 0 1 4 0 ( ) (0.6) 1.0 4.5 10 800 R rn Rr ρ λ − += = × × = 对于圆环的内半径处，其半波带数 2 2 2 0 2 4 0 ( ) 2 (0.6) 2.0 4.5 10 800 R rn Rr ρ λ − + ×= = × × = 对于圆环的外半径处，其半波带数 2 2 3 0 3 4 0 ( ) 3 (0.6) 3.0 4.5 10 800 R rn Rr ρ λ − + ×= = × × = 根据题意，第一、第三波带为开带，第二为闭带， 所以P处的合振幅为2a1. 而撤去屏时， P点的合振幅是 a1/2. 所以P点的光强I与撤去屏时的光强I0的比为： 2 2 0 I 12 : ( ) 16 I 2 = = 倍 讨论： 本题中给出的半波带的半径是按自然数开方的规律逐级向外扩展的。即 0n r K r0ρ λ= = λ ， 这个结果和牛顿环和迈克尔逊的干涉环的半径分布规律是相同 的，所以我们可以通过牛顿环和迈克尔逊的干涉图样来制作波带片。 14. NaCl的晶体结构是简单的立方点阵，其分子量M=58.5 ，密度ρ=2.17g/cm3 , （1）试证两相邻离子间的平均距离为： nm N M A 2819.0 2 3 =ρ ， 式中NA=6.02×1023/mol为阿伏加德罗常数；（2）用X射线照射晶体时，第二级光谱的最大 值在掠射角为 10的方向上出现，试计算该X射线的波长。 解：（1）设氯化钠晶体晶胞的棱边长为d，每个晶胞含 4 个氯化钠离子，两个离子间的平均距离d0=d/2，由氯化钠的 分子量和阿伏加德罗常数可求得每个氯化钠分子的质量： m=M/NA=58.5/6.02×1023=9.72×10－23g,那么氯化钠晶体的 密度：ρ=4m/d3,由此求得 3 3 4 4 A m M N d ρ ρ= = 3 0.2819 2 A Md d nm N ρ= = =0 两个离子间的平均距离 3 0.2819 2 A Md d nm N ρ= = =0 这样有规则排列的晶体，就是一个 d=0.2819nm 的光栅 （2）将j=2,α0=10, d0=0.2819nm代入布拉格方程， 2d0sinα0=jλ, 求得: λ=2d0sinα0/j=0.2819 sin10=0.049nm. 15. 在透振方向正交的起偏器M和检偏器 N 之间，插入理想偏振片P，入射自然光强为 I0 。求(1) 当出射光强为 0 1 8 I 时偏振片P与N的夹角？ （2）当出射光强为 0 时偏振片P 与N的夹角？（3）能否找到插入偏振片P的合适方位，使最后通过的光强为入射自然光 强的 1 2 ？ M 解：（1）入射自然光的光强为 0I 通过 M 后的光强为： 0 1 2 I 通过 P 后的光强为： 20 1 sin 2 I θ 通过 N 后的光强为： 2 2 20 0 1 1sin cos sin 2 2 8 I I Iθ θ θ= = N P θ 2 0 0 1 ;sin 2 1, 45 8 I I θ θ= = = 插入的偏振片P与M、N均成 450 （2） 20;sin 2 0, 0, 2 I πθ θ= = = 插入偏振片 P 与 M 平行或与 N 平行时，最后通过的光 强为零。 （3） 20 1 ;sin 2 4 2 I I θ= = 这是不可能的，因此不论插入偏振片 P 的方位如何，最后通 过的光强都不可能为 0 1 2 I 。 16．一偏光仪器如图所示，M1、M2为折射率n=1.732 的平行平面玻璃，背面涂黑。 一 束强度为I0的单色自然光，以 的入射角射到M01 60i = 1上，反射光垂直向上以同样的角 度入射到M2上。 求（1）由M1反射的反射光的性质和强度。（2）由M2反射的反射光的 性质和强度。（3）让由M2反射的光垂直入射到该单色光的 1 4 波片上，以光线为轴将 1 4 波 片旋转 3600，人眼在 1 4 波片后会看到什么现象？（4）在 1 4 波片和人眼之间加放一尼科 耳棱镜。 固定 1 4 波片而将尼科耳棱镜旋转 3600，人眼又会看到什么现象？ 解：（1）设光线在玻璃中的折射角为i2,则 01 2 2 sin 1sin , 30 2 ii i n = = = 故 ， 既入射角i01 2 90i i+ = 1为布儒斯特角。 因此反射光为振动方向垂直于入射面的线偏振光。 根据菲涅耳公式，由M1反射的 反射光的强度 2 1 2 1 02 1 2 sin ( )1 1 2 sin ( ) 8 i i 0I I Ii i −= ⋅ =+ （2）对M2,入射光的振动方向垂直于入射面，故反射光 M2 M1 1i 2i 是振动方向垂直于入射面的线偏振光。 由M2反射的反射光的强度 2 1 2 2 12 1 2 sin ( ) 1 sin ( ) 32 i i 0I I Ii i −= =+ （3）设 1 4 波片的光轴与线偏振光的振动方向的夹角为θ，由M2反射的线偏振光通过 1 4 波片后，变为椭圆偏振光。 其光强为 2 23 2 2 2 1cos sin 32 0 I I I Iθ θ= + = = I 光强于夹角无关，因此当 1 4 波片旋转时，人眼看到光强不变。 （4）设尼科耳棱镜主截面与 1 4 波片主截面的夹角为φ，则椭圆偏振光通过尼科耳棱 镜后变为两相干光。设通过M2后的线偏振光的振幅为A 则两相干光的振幅分别为 θ φ cos cos ; sin sinA Aθ φ θ φ ， 其位相差为 2 π 所以 2 2 2 24 cos cos sin sinA A θ φ θ= + φ 光强 2 2 2 24 2 (cos cos sin sin )I I θ φ θ= + φ 所以当固定 1 4 波片而将尼科耳棱镜旋转时，θ不变、φ改变，从上式可见，光强将 随 φ 周 期 性 变 化 。 当 30, , , 2 2 π πφ π= 与 时 ， 光 强 分 别 达 到 其 极 大 值 2 2 2 2cos sinI Iθ θ与 。 17．两个偏振片的透振方向的夹角为 600， 将一块楔角为 0.50的石英劈尖置于其间，石 英的光轴与透振方向成 300， 用波长为 5893Å的平行光照射。 求干涉条纹的间距和条 纹的可见度？（no=1.5442, ne=1.5533） d 解：根据 ππλ πδ )12(2)( +=+−= kdnn eo ππλ πα )12(2)( +=+− kxnn eo 设第m和m + 1 级明条纹对应的石英劈尖上的厚度分别为xk和xk+1，则有 ( )k o e kx n n λ α= − 1 ( 1) ( )k o e kx n n λ α+ += − 7.41 ( )o e x mm n n λ αΔ = =− 条纹的间隔为一常数。 条纹特点： 平行等间隔的条纹振幅分解得两相干光的振幅分别为： sin sin 1/ 4ONA A Aα θ= ⋅ = cos cos 3/ 4eNA A Aθ α= ⋅ = 干涉极大光强： 2 2 2M eN ON ON eN 2I A A A A A= + + = 干涉极小光强： 2 2 2 1/m eN ON ON eN 24I A A A A A= + − = 条纹可见度 0.6M m M m I I I I γ −= =+ 18．在单色自然光照明的杨氏干涉装置中，于双缝后面放置四快偏振器件P1,P2,P3,P4。 讨 论在下面四种情况下， 屏幕上干涉条纹做如何变化？（1）P1、P2 是透振方向平行的偏 振片。移去P4, P3是一个迎光旋转的半波片。（2）P1、P2 是透振方向相互垂直的偏振片。 移去P4, P3是一个迎光旋转的半波片。（3）P1、P2 是透振方向相互平行的偏振片。P4, P3 是材料和形状完全一致的四分之一波片，其光轴相互平行，且与P1,P2 透振方向成 450。 （4）P1,P2 是透振方向平行的偏振片。P4, P3是材料和形状完全一致的波片，其光轴夹 角恰好被P1,P2 透振方向所平分。 解： 设入射到每一单缝上的自然光的光强为I0, 将它分解为与 屏幕 P1 P4 P3 P2 P1的透振方向平行的和垂直的两个振幅相等、无位相关系的两 线偏振光，其光强为 0 2 I 。 （1） 当 时，半波片的光轴与P1P P� 2 1成θ角时，在屏幕上是 两个振动方向夹角为 2θ的线偏振光的干涉。 干涉光强 02 (1 cos 2 2 II )θ= × + 条纹可见度： cos 2M m M m I I I I γ θ−= =+ 0,θ π= 时， 0 04 2 1.02M II I γ= × = = 时，090 ,270θ = 0 0 04 2 =1.02M II I γ= × = 但原来的亮条纹变为暗条纹。 0 0 045 ,135 ,225 ,315θ = 0 时， 0 =0M mI I I γ= = （2） 当 时，入射到屏幕上的两线偏振光无位相关系。 所以是非相干叠加。 无论波片怎样旋转，屏上的光强不变。 1P P⊥ 2 0 0 0 02 2M m I II I I γ= = + = = （3） 当 时，1P P� 2 4 λ 波片的光轴与P1成 450角时。 屏幕上各点都是两个相同旋转方 向的圆偏振光的叠加。 （4）当 时，P1P P� 2 4, P3是材料和形状完全一致的波片，其光轴夹角恰好被P1,P2 透振 方向所平分。所以屏幕上各点均是左、右旋椭圆偏振光的叠加。 0 =0M mI I I γ= = 19。光学玻璃对汞蓝光 4358Å 和绿光 5461Å 的折射率分别为 1.6525 和 1.6545。 用柯西 公式计算： （1） 此玻璃的 A 和 B （2）对钠黄光 5890 埃的折射率 （3）对钠黄光的色散。. 解： 由柯西公式 2 4( ) 2 B C Bn f A Aλ λ λ λ= = + + = + 已知 1 1 2 24358, 1.6525; 5461, 1.6245n nλ λ= = = = 代人柯西公式得 1 22 2 1 2 ;B Bn A n Aλ λ= + = + 解得： 20 61.4643 10 ; 1.5745B A A= × = 对钠黄光 2 1.6176 Bn A λ= + = 在 5890 埃的色散 10 5 3 2 1.4332 10dn B A dλ λ − −= − = − × 20．已知冕玻璃对波长为 3988Å 光的折射率 n=1.52546,色散为 0 5 11.26 10dn A dλ − −= − × 求群速和相速？ 解： 求相速， 根据 8 82.997625 10 1.96516 10 / 1.52546p cv m n ×= = = × s 求群速 pg p dvdu v dk d ω λ λ= = − 2 ( ) p p cddv vc dn dnn d d n d n dλ λ λ= = − = − λ 群速 8 (1 ) 1.90052 10 / p g p p dv dnu v v d n m s λλ dλ λ= − = + = × 21． He-Ne 气体激光器以 TEM00模振荡，中心波长 λ=0.6328μm。若该谱线的荧光线宽 为 1700MHz，激光器谐振腔腔长为 1m。求：（1）激光器纵模频率间隔；（2）激光器中 可能同时激发起的纵模数；（3）若采用缩短腔长法获得单纵模振荡，估计激光器谐振腔 腔长的最大允许值。 纵模频率间隔 nL c k 2 =Δν 取折射率 n≈1，已知激光器腔长 L＝1m 则纵模频率间隔 8 83 10 1.5 10 2 2 1k c Hz nL ν ×Δ = = = ×× 中心波长λ=0.6328μm，该谱线的荧光线宽为△ν＝1.7×109赫兹 激光器可能激发的频率的纵模数N，由激活介质的频宽△ν和纵模间隔△νk的比值决定， 即： 9 8 1.7 10 11 1.5 10k N νν Δ ×= = =Δ × 腔长 L＝1m 时的纵模数为 11 个 若采用缩短腔长法获得单纵模振荡，即要求△νk＝1.7×109赫兹由 nL c k 2 =Δν 得： 8 9 3 10 0.088 8.8 2 2 1.7 10k cL mν ×= = ≈ =Δ × × cm 获得单纵模振荡的腔长应小于 8.8 ㎝.