数值分析第三章函数逼近与曲线拟合习题答案

第三章函数逼近与曲线拟合兀1-f⑶=SinTx，给出［0'1］上的伯恩斯坦多项式%f，x)及B3(f，"I。解：兀Qf(x)=sin—,xe[0,1]2伯恩斯坦多项式为B(f,x)=£f(-)P(x)nnk-=0其中Pk(x)=xk(1—x)n—k当n二1时,P0(x)=r11<0丿(1—x)01(1—x)sin(x0)+xsin22P(x)=x1・•・B(f,x)=f(0)P(x)+f(1)P(x)1(11<0丿=x当n二3时,P0(x)=P1(x)=P2(x)=P3(x)=r11<0丿r11<0丿r31J丿r31<3丿(1—x)3x(1—x)2=3x(1—x)2x2(1—x)=3x2(1-x)X3=x33k・•・B(f,x)仝f(-)P(x)3nkk=0兀兀兀=0+3x(1-x)2/in+3x2(1-x)@in+x3sin632=—x(1-x)2+x2(1-x)+x3225-3爲3朽-63=%3+x2+x222沁1.5x-0.402x2-0.098x32.当f(x)=x时，求证B(f,x)=xn证明：若f(x)=x，则B(f,x)=£f(-)P(x)nnkk=0上-$]n(k丿k=0xk(1-x)n-kykn(n-1)L(n-k+1)，-、=xk(1-x)n-knk!k=0丄(n-1)L[(n-1)-(k-1)+1]xk(1-x)nk=(k-1)!x八k=1丄[n-\k-1丿'n—1、jk-1丿k=1=x[x+(1-x)]n-1xk(1-x)n-kXk-1(1-X)(n-1)-(k-1)3.证明函数1,x,L,xn线性无关证明：若a+ax+ax2+L+axn=0,VxeR012n分别取xk(k=0,l,2,L,n)，对上式两端在［0,1］上作带权p(x)三1的内积，得1L1)「a)(0、n+10a0MOM1=11MML2n+1丿〔aJnv0JQ此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵，对称正定非奇异•••只有零解a=0。函数1,x,L,xn线性无关。4。计算下列函数f(x)关于C[0,1]的||力|J|f与|f||:812(l)f(x)=(x-1)3,xe[0,1]⑵f(x)=x—2,⑶f(x)二xm(1—x)n,m与n为正整数,⑷f(x)二(x+1)10e-x解：(1)若f(x)二(x—1)3,xe[0,1],则f'(x)二3(x—1)2>0•f(x)二(x—1)3在(0,1)内单调递增IlfII=maxf(x)|00f'(x)=mxm-1(1—x)n+xmn(1-x)n-1(-1)=xm-1(1-x)n-1m(1-"+"x)mm当xe(0,——)时，f'(x)>0n+mm•••f(x)在(0,)内单调递减n+mm当xe(——,1)时f'(x)<0n+mm•••f(x)在(，1)内单调递减。n+mmxe(——,1)八x)<0n+m\f=max/(x)=800f'(x)=10(x+1)9e-x+(x+1)10(-e-x)=(x+1)9e-x(9-x)>0•••f(x)在[0,1]内单调递减。”11=maxlf(x)=8/00a若(f，f)=0，则Jb[f'(x)]2dx二0，且f2(a)二0a••・f'(x)三0,f(a)=0・•・f(x)三0即当且仅当f=0时，(f,f)=0.故可以构成G[a,b]上的内积。7。令T*(x)=T(2x-1),xg[0,1]nn试证n*(x)｝是在[0,1]上带权P(x)=—x一x2的正交多项式，并求T*(x),T*(x),T*(x),T*(x)。0123解：若T*(x)=T(2x-1),xg[0,1]，则nnJ1T*(x)T*(x)P(x)dx0nm=J1T(2x-1)T(2x-1)1=:dx0nmx-x2令t=(2x-1)，则te[一1,1],且x=¥，故令t=(2x-1)，则te[一1,1],且x=¥，故=f1-1J-1f1T*(x)T*(x)p(x)dx0nm¥)又Q切比雪夫多项式*(x)｝在区间［0，1］上带权p(x)=正交，且ka/1-X2兀A,n=m丰02兀,n=m=00,n丰mf1T(x)T(x)dX=<-1nmJ1一12*(x)｝是在［o，i］上带权p(x)=；二的正交多项式。nX一X2又QT(x)=1,xe[-1,1]0T*(x)=T(2x一1)=1,xe[0,1]00QT(x)=x,xe[-1,1]1.T*(x)=T(2x-1)=2x-1,xe[0,1]11QT(x)=2x2-1,xe[-1,1]2.T*(x)=T(2x-1)22=2(2x-1)2-1=8x2-8x-1,xe[0,1]QT(x)=4x3-3x,xe[-1,1]3.T*(x)=T(2x-1)33=4(2x-1)3-3(2x-1)=32x3-48x2+18x一1,xe[0,1]8。对权函数p(x)=1-x2，区间[—1,1],试求首项系数为1的正交多项式9(x),n=0,l,2,3.n解：若p(x)=1-x2，则区间[-1,1]上内积为5252(f,g)=J1f(x)g(x)P(x)dx-1定义w(x)—1，贝q0w(x)二(x-a)w(x)-Pw(x)n+1nnnn-1其中a=(xw(x),w(x))/(w(x),w(x))nnnnnP=(w(x),w(x))/(w(x),w(x))nnnn-1n-1.•・a=(x,1)/(1,1)10J1x(1+x2)dx-1=0.•.w(x)=x1a=(x2,x)/(x,x)J1x3(1+x2)dxJ1x2(1+x2)dx-1P1=(x,x)/(1,1)J1x2(1+x2)dxT1(1+x2)dx-11615.w222a=(x=』j5j1x2(1+x2)dx1361=52—=1670・W(x)=x3—2x2-17x=x3—2x570149。试证明由教材式(2.14)给出的第二类切比雪夫多项式族p(x)=7]—x2的正交多项式。证明：sin[(n+l)arccosx]若U(x)=令x=cos0，可得j1U(x)U(x)\；1-x2dx—1mn—x,x2—)/(x2—,x2—)2555522j1(x3——x)(x2——)(1+x2)dx=一155jsin[(m+1)arccosx]sin[(n+1)arccosx],=Jdx冗<1一C0S20=j"sin[(m+1)0sin[(n+1)0]d0(x2—2)(x2—2)(1+x2)dx—155=022卩=(x2—,x2—)/(x,x)255x2)dx{u(x)}是[0,1]上带权n—1vl一x2=j0sin[(m+1)0sin[(n+1)0切j1(x2—2)(x2—sin2[(m+1)0d01-cos[2(m+1)0]nd02卜sin[(m+1)0sin[(n+1)0]d00=sin[(m+1)0d{-^—cos(n+1)0}0n+1=卜」cos(n+1)0d{sin[(m+1)0]}0n+1m+1=JK-cos(n+1)0cos(m+1)0d00n+1m+11=-JKcos[(m+1)0]d{sin[(n+1)0]}0n+1n+1m+1=-JKsin[(n+1)]0d{cos[(m+1)0]}0(n+1)2m+1=JK()2sin[(n+1)0]sin[(m+1)0]d00n+1=0m+1:.[1-()2『sin[(n+1)0]sin[(m+1)0]d0=0n+10m+1又Qm主n，故()2丰1n+1.小sin[(n+1)0]sin[(m+1)0]d0=00得证。10。证明切比雪夫多项式T(x)满足微分方程n(1-x2)T"(x)-xT'(x)+n2T(x)=0nnn证明：切比雪夫多项式为T(x)=cos(narccosx),|x|<1从而有-1T'(x)=—sin(narccosx)gng.)n1—X2=.n——sin(narccosx)1—x2T"(x)=nsin(narccosx)--—cos(narccosx)n31—x2(1—x2)2(1—x2)T"(x)一xT'(x)+n2T(x)nnn=nxsin(narccosx)-ncos(narccosx)1—x2nXsin(narccosx)+n2cos(narccosx)得证。11。假设f(x)在［a,b］上连续，求f(x)的零次最佳一致逼近多项式解：Qf(x)在闭区间［a,b］上连续存在xi，x2e[a,b]，f(x1)=minf(x),a0)两边同时取对数，则Iny=Ina-—t取①=span,S=lny,x=-则S=a*+b*x155!和2=11,|札||2=0.062321,(p)=—0.603975,01(p,f)=—87.674095,(p,f)=5.032489,01则法方程组为'11—0.603975'a*(—87.674095),—0.6039750.062321丿b*\U丿,5.032489丿从而解得Ja*=—7.5587812lb*=7.4961692因此a=ea*=5.2151048b=b*=7.49616927.4961692y=5.2151048e—t22。给出一张

记录

混凝土 养护记录下载土方回填监理旁站记录免费下载集备记录下载集备记录下载集备记录下载

{f}=(4,3,2,1,0,123),用FFT算法求{c}的离散谱。kk解：{f}=(4,3,2,1,0,1,2,3),k则k=0,1丄,7,N=8①0=®4=1,_工.①1=①5=e_41,①2=①6=e21=_i,並.C164+2、：204—2、：204—2\204+2、；2j3x2+6x23,用辗转相除法将R(x)=化为连分式。22x2+6x+6解R(x)=3X2+6X22x2+6x+612x+18x2+6x+612312—0.75x+4.5x+1.524。求f(x)=sinx在x二0处的(3,3)阶帕德逼近R(x)。33解：由f(x)=sinx在x二0处的泰勒展开为TOC\o"1-5"\h\zx3x5x7sinx=x—+—+L3!5!7!得C0=0,C=1,1C=0,2C=0,41120C=0,6从而—Cb-Cb-Cb=C1322314-Cb-Cb-Cb=C2332415-Cb-Cb-Cb=C3342516(b)31b=2120Ib1丿0丿601120丿从而解得b=03人1