东莞理工(试卷）08级高数II(A)（A卷）

东莞理工学院（本科）试卷（A卷）2008--2009学年第二学期《高等数学(A)II》试卷开课单位：数学教研室，考试形式：闭卷，允许带计算器、尺规入场:题序一二三四总分专业年级得分评卷人一、选择题（共27分每小题3分）1．设s1m1,n1,p1，s1m2,n2,p2分别为直线L1，L2的方向向量，则L1与:L2垂直的充要条件是（）)系别题m1n1p1答（A）mmnnpp0（B）121212m2n2p2不内m1n1p1线（C）mmnnpp1（D）1121212m2n2p2封密_____________________(2．通过点（2，4，-3）且与平面2x3y5z5平行的平面方程是（）:（A）2x3y5z5（B）2x3y5z31学号（C）2x4y3z5（D）2x4y3z313．yoz平面上曲线zy21绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为():（A）（B）zy2x2姓名222（C）zyx1（D）zyx4．二元函数zlny22x1的定义域为（）《高等数学(A)II(本科)》试卷第1页共15页………………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线………………………………………（A）(x,y)|y22x0（B）(x,y)|y22x10（C）(x,y)|y22x10（D）(x,y)|x0,y01y5．交换积分顺序：dyf(x,y)dx（）001111（A）dxf(x,y)dy（B）dyf(x,y)dx0x0y1y1x（C）dyf(x,y)dx（D）dxf(x,y)dy01016．空间闭区域由曲面x2y2z21所围成，则三重积分2dv=（）（A）2（B）284（C）（D）33z7．函数zz(x,y)由方程x2y2z24z0所确定，则=（）x（A）y（B）x2z2yzx（C）（D）2z2zxn8．幂级数的收敛域是（）nn1n3（A）3,3（B）0,3（C）3,3（D）3,39．已知微分方程yy2yex的一个特解为y*xex，则它的通解是（）2xx2xx（A）C1xC2xxe（B）C1eC2exe2xxxx（C）C1xC2xe（D）C1eC2exe二、填空题（共15分每小题3分）1．曲面x2y2z在点(1,0,1)处的切平面的方程是．《高等数学(A)II(本科)》试卷第2页共15页2．若limun0，则级数un的敛散性是．nn1cosn3．级数的敛散性是．2n1n14．二元函数f(x,y)(x2y2)sin，当x,y0,0时的极限等于。x25．全微分方程ydxxdy0的通解为_______________．三、解答题（共54分每小题6分）1．用对称式方程及参数方程示直线xyz102xy3z402．设zuev，而ux2y2，vxy，求dz．《高等数学(A)II(本科)》试卷第3页共15页3．求两个底圆半径都等于1的直交圆柱面所围成的立体的体积。4．计算三重积分x2y2dv，其中是平面z2及曲面zx2y2所围成的区域（提示：利用柱面坐标计算）．《高等数学(A)II(本科)》试卷第4页共15页5．计算曲线积分ydx2xdy，其中L是在圆周y2xx2上由LA(2,0)到点O(0,0)的有向弧段。6．求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积。《高等数学(A)II(本科)》试卷第5页共15页7．计算xyzds，其中为平面yz4被柱面x2y216所截的部分。xn8．求幂级数(1)n1的和函数。n1n《高等数学(A)II(本科)》试卷第6页共15页'''29．求微分方程y1y的通解。四、题（4分）证明：若函数f(x,y)在Ra1xb1,a2yb2上连续，,R，令Ra1x,a2y，则2f(x,y)dxdyf(,)R《高等数学(A)II(本科)》试卷第7页共15页东莞理工学院（本科）试卷（A卷）2008--2009学年第二学期《高等数学(A)II》试卷（答案）开课单位：数学教研室，考试形式：闭卷，允许带计算器、尺规入场:题序一二三四总分专业年级得分评卷人一、选择题（共27分每小题3分）1．设s1m1,n1,p1，s1m2,n2,p2分别为直线L1，L2的方向向量，则L1与:L垂直的充要条件是（A）)2系别题m1n1p1答（A）mmnnpp0（B）121212m2n2p2不内m1n1p1线（C）mmnnpp1（D）1121212m2n2p2封密_____________________(2．通过点（2，4，-3）且与平面2x3y5z5平行的平面方程是（B）:（A）2x3y5z5（B）2x3y5z31学号（C）2x4y3z5（D）2x4y3z313．Yoz平面上曲线zy21绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为(C)（A）（B）zy2x2:（C）zy2x21（D）zy2x姓名24．二元函数zlny2x1的定义域为（B）（A）(x,y)|y22x0（B）(x,y)|y22x10《高等数学(A)II(本科)》试卷第8页共15页………………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线………………………………………（C）(x,y)|y22x10（D）(x,y)|x0,y01y5．交换积分顺序：dyf(x,y)dx（A）001111（A）dxf(x,y)dy（B）dyf(x,y)dx0x0y1y1x（C）dyf(x,y)dx（D）dxf(x,y)dy01016．空间闭区域由曲面r1所围成，则三重积分2dv=（C）（A）2（B）284（C）（D）33z7．函数zz(x,y)由方程x2y2z24z0所确定，则=（D）x（A）y（B）x2z2yzx（C）（D）2z2zxn8．幂级数的收敛域是（C）nn1n3（A）3,3（B）0,3（C）3,3（D）3,39．已知微分方程yy2yex的一个特解为y*xex，则它的通解是（B）2xx2xx（A）C1xC2xxe（B）C1eC2exe2xxxx（C）C1xC2xe（D）C1eC2exe二、填空题（共15分每小题3分）1．曲面x2y2z在点(1,0,1)处的切平面的方程是2xz10．2．若limun0，则级数un的敛散性是发散．nn1《高等数学(A)II(本科)》试卷第9页共15页cosn3．级数的敛散性是收敛（或绝对收敛）．2n1n14．二元函数f(x,y)(x2y2)sin，当x,y0,0时的极限等于0。x25．全微分方程ydxxdy0的通解为_____xyc____________．三、解答题（共54分每小题6分）1．用对称式方程及参数方程表示直线xyz102xy3z40解：因所求直线与两平面的法向量都垂直，于是该直线的方向向量为ijks1114,1,3(3分)213在直线上找出一点，例如，取x01代入题设方程组得直线上一点1,0,2（4分）故题设直线的对称式方程为x1y0z2(5分)413参数方程为x14tyt（6分）z23t2．设zuev，而ux2y2，vxy，求dz．zzuzv解：ev2xuevyexy(2xx2yy3)xuxvx(2分)zzuzvev2yuevxexy(2yx3xy2)(4分)yuyvydzexy(2xx2yy3)dxexy(2yx3xy2)dy(6分)《高等数学(A)II(本科)》试卷第10页共15页3．求两个底圆半径都等于1的直交圆柱面所围成的立体的体积。解：设两个圆柱面的方程分别为x2y21x2z21（2分）由于对称性，只要算出它在第一卦限部分的体积V1，然后再乘以8即可。V12x2dxdy1（4分）D112x2221xdydx（5分）002316从而所求立体的体积为V8V（6分）134．计算三重积分x2y2dv，其中是平面z2及曲面zx2y2所围成的区域（提示：利用柱面坐标计算）．解：:rz2,0r2,02(2分)222x2y2dvdrdrrdz（5分）00r8（6分）35．计算曲线积分ydx2xdy，其中L是在曲线y2xx2上由LA(2,0)到点O(0,0)的有向弧段．《高等数学(A)II(本科)》试卷第11页共15页解法1：添加有向辅助线段OA，有向辅助线段OA与有向弧段AO围成的闭区域记为D，根据格林公式（2分）ydx2xdy3dxdyydx2xdy(4分)LOAD30(6分)22解法2：直接求曲线积分6．求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积。解法1：设长方体的长、宽、高分别为x,y,z，则题设问题归结为约束条件(x,y,z)2xy2yz2xza20下，求函数Vxyz（均大于0）的最大值。（2分）作拉格朗日函数L(x,y,z,)xyz(2xy2yz2xza2)（4分）由方程组LXyz2(yz)0Lyxz2(xz)0（5分）Lzxy2(yx)0进而解得唯一可能的极值点6axyz6由问题的本身意义知，该点就是所求的最大值点。故该问题的最大体积为6Va3（6分）36解法2：从条件中解出z代入目标函数中，再用无条件极值的办法求解。7．计算xyzds，其中为平面yz4被柱面x2y216所截的部分。《高等数学(A)II(本科)》试卷第12页共15页解：积分曲面的方程为z4y，它在xoy面上的投影为闭区域22Dxyx,yxy16（2分）22又1zxzy2所以xyzds=xy4y2dxdy（4分）Dxy24=24xdxdy=2d4rcosrdr（5分）00Dxy=642（6分）xn8．求幂级数(1)n1的和函数。n1n解：该幂级数的收敛域是1,1。（2分）设其和函数为s(x)，即x2x3x4xns(x)x......(1)n1.........234n因为s(0)0，且11s'(x)1xx2......(1)n1xn1......x(1,1)1(x)1x（4分）x由积分公式s'(x)dxs(x)s(0)，得0s(x)ln(1x)（5分）因题设级数在x1处收敛，所以xn(1)n1ln(1x)x1,1（6分）n1n'''29．求微分方程y1y的通解。《高等数学(A)II(本科)》试卷第13页共15页解：令y'u则原方程变为'2u1u（2分）分离变量后积分得arctanuxc1（4分）'则，ytanxc1（5分）故原方程的通解为ylncosxc1c2（6分）四、证明题（4分）证明：若函数f(x,y)在Ra1xb1,a2yb2上连续，,R，令Ra1x,a2y，则2f(x,y)dxdyf(,)R证：已知在R连续，，设F(,)f(x,y)dxdydxf(x,y)dy（分）aa212R因为(x)f(x,y)dy在a1,连续，所以，有a2Ff(,y)dy（3分）a2又因为f(,y)在a2,b2上连续，所以有2Ff(,)即（4分）《高等数学(A)II(本科)》试卷第14页共15页《高等数学(A)II(本科)》试卷第15页共15页