2010年
数学压轴题100题精选【001】如图,已知抛物线y二a(x-1)2+3朽(aMO)经过点A(—2,0),抛物线的顶点为D,过O作射线OM〃AD•过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C,B在x轴正半轴上,连结BC.求该抛物线的解析式;若动点P从点O出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动,设点P运动的时间为t(s).问当t为何值时,四边形DAOP分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?若OC二OB,动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动•设它们的运动的时间为t(s),连接PQ,当t为何值时,四边形BCPQ的面积最小?并求出最小值及此时PQ的长.【002】如图16,在RtAABC中,ZC=90°,AC=3,AB=5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,至U达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).当t=2时,AP=,点Q到AC的距离是在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S与t的函数关系式;(不必写出t的取值范围)在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED能否成为直角梯形?若能,求t的值.若不能,请说明理由;当DE经过点C时,请直接写出t的值.图16【003】如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点.直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE丄AB交AC于点E,①过点E作EF丄AD于点F,交抛物线于点G•当t为何值时,线段EG最长?②连接EQ.在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值。28【004】如图,已知直线1:y=x+与直线1:y=一2兀+16相交于点C,I、I分别交x轴于133212A、B两点.矩形DEFG的顶点D、E分别在直线1、l上,顶点F、G都在x轴上,且点G与12点B重合.求厶ABC的面积;求矩形DEFG的边DE与EF的长;若矩形DEFG从原点出发,沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,设移动时间为t(0
表达式;(2)经过C,M两点作直线与x轴交于点N,在抛物线上是否存在这样的点P,使以点PACN为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;设直线y=-x+3与y轴的交点是D,在线段BD上任取一点E(不与B,D重合),经过A,B,E三点的圆交直线BC于点F,试判断厶AEF的形状,并说明理由;当E是直线y=-x+3上任意一点时,(3)中的结论是否成立?(请直接写出结论).【011】已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF丄BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.求证:EG=CG;将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.将图①中厶BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)①②③【012】如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为1的圆的圆心O在坐标原点,且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点.抛物线y二ax2+bx+c与y轴交于点D,与直线y=x交于点M、N,且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C.(1)求抛物线的解析式;抛物线的对称轴交x轴于点E,连结DE,并延长DE交圆O于F,求EF的长.过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P,判断点P是否在抛物线上,说明理由.x【013】如图,抛物线经过A(4,0),B(1O),C(0,—2)三点.求出抛物线的解析式;P是抛物线上一动点,过P作PM丄x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与AOAC相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得ADCA的面积最大,求出点D的坐标.【014】在平面直角坐标中,边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上,点O在原点•现将正方形OABC绕O点顺时针旋转,当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转,旋转过程中,AB边交直线y=X于点M,BC边交x轴于点N(如图).求边OA在旋转过程中所扫过的面积;旋转过程中,当MN和AC平行时,求正方形OABC旋转的度数;设AMBV的周长为p,在旋转正方形OABCy(第26题)的过程中,p值是否有变化?请证明你的结论.【015】如图,二次函数的图象经过点D(0,7;'3),且顶点C的横坐标为4,该图象在x轴上截得9的线段AB的长为6.⑴求二次函数的解析式;⑵在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标;⑶在抛物线上是否存在点Q,使AQAB与厶ABC相似?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.【016】如图9,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3,3).1)求正比例函数和反比例函数的解析式;把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B(6,m),求m的值和这个一次函数的解析式;第(2)问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D,求过A、B、D三点的二次函数的解析式;在第(3)问的条件下,二次函数的图象上是否存在点E,使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足:叮2S?若存在,求点E的坐标;若不存在,请说明理由.【017】如图,已知抛物线y二X2+bx+c经过A(1O),B(0,2)两点,顶点为D.求抛物线的解析式;将AOAB绕点A顺时针旋转90°后,点B落到点C的位置,将抛物线沿y轴平移后经过点C,求平移后所得图象的函数关系式;设(2)中平移后,所得抛物线与y轴的交点为B,顶点为D,若点N在平移后的抛物线上,11且满足△NBB的面积是厶NDD面积的2倍,求点N的坐标.11【018】如图,抛物线y二ax2+bx-4a经过A(—1,0)、C(0,4)两点,与x轴交于另一点B.1)求抛物线的解析式;已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标;在(2)的条件下,连接BD,点P为抛物线上一点,且ZDBP=45°,求点P的坐标.【019】如图所示,将矩形0ABC沿AE折叠,使点0恰好落在BC上F处,以CF为边作正方形CFGH,延长BC至M,使CM=|CF—E0丨,再以CM、CO为边作矩形CMN0试比较E0、EC的大小,并说明理由S令m四边形CFGH,请问m是否为定值?若是,请求出m的值;若不是,请说明理由S四边形CNMN;12在(2)的条件下,若C0=1,CE=3,Q为AE上一点且QF=3,抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点,请求出此抛物线的解析式.在(3)的条件下,若抛物线y=mx2+bx+c与线段AB交于点P,试问在直线BC上是否存在点K,使得以P、B、K为顶点的三角形与AAEF相似?若存在,请求直线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在,请说明理由。【020】如图甲,在△ABC中,ZACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连结AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEFo解答下列问题:如果AB=AC,ZBAC=90°,①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CF、BD之间的位置关系为,数量关系为。②当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?如果ABMAC,ZBACM90。点D在线段BC上运动。试探究:当△ABC满足一个什么条件时,CF丄BC(点C、F重合除外)?画出相应图形,并说明理由。(画图不写作法)若AC=4"2,BC=3,在(2)的条件下,设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P,求线段CP长的最大值。k【021】如图,点P是双曲线y=r(k<0,x<0)上一动点,过点P作x轴、y轴的垂线,分别x1交x轴、y轴于A、B两点,交双曲线y=^2(0Vkv|k|)于E、F两点.x21图1中,四边形PEOF的面积S=▲(用含k、k的式子表示;2图2中,设P点坐标为(-4,3).判断EF与AB的位置关系,并证明你的结论;记S=S-S,S是否有最小值?若有,求出其最小值;若没有,请说明理由。2APEFAOEF2【022】一开口向上的抛物线与x轴交于A(m-2,0),B(m+2,0)两点,记抛物线顶点为C,且AC丄BC.若m为常数,求抛物线的解析式;若m为小于0的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点?设抛物线交y轴正半轴于D点,问是否存在实数m,使得△BCD为等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.【023】如图,在梯形ABCD中,AD〃BC,AD=2,BC=4,点M是AD的中点,^MBC是等边三角形.求证:梯形ABCD是等腰梯形;动点P、Q分别在线段BC和MC上运动,且ZMPQ=60。保持不变.设PC=x,MQ=y,求y与x的函数关系式;在(2)中:①当动点P、Q运动到何处时,以点P、M和点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形?并指出符合条件的平行四边形的个数;②当y取最小值时,判断△PQC的形状,并说明理由.P【024】如图,已知AABC为直角三角形,ZACB=90。,AC=BC,点A、C在x轴上,点B坐标为(3,m)(m>0),线段AB与y轴相交于点D,以P(1,0)为顶点的抛物线过点B、D.求点A的坐标(用m表示);求抛物线的解析式;设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点,连结PQ并延长交BC于点E,连结BQ并【025】如图12,直线y=-x+4与两坐标轴分别相交于A、B点,点M是线段AB上任意一点(A、B两点除外),过M分别作MC丄0A于点C,MD丄0B于D.当点M在AB上运动时,你认为四边形OCMD的周长是否发生变化?并说明理由;当点M运动到什么位置时,四边形OCMD的面积有最大值?最大值是多少?当四边形OCMD为正方形时,将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动,设平移的距离为a(0
答案 )(3)求两车最后一次相遇时,距乌鲁木齐市的路程.【042】如图9,在矩形OABC中,已知A、C两点的坐标分别为A(4,0>C(0,2),D为OA的中点•设点P是ZAOC平分线上的一个动点(不与点O重合).(1)试证明:无论点P运动到何处,PC总与PD相等;(2)当点P运动到与点B的距离最小时,试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式;(3)设点E是(2)中所确定抛物线的顶点,当点P运动到何处时,HPDE的周长最小?求出此时点P的坐标和'PDE的周长;(4)设点N是矩形OABC的对称中心,是否存在点P,使ZCPN=90°若存在,请直接写出点P的坐标.【043】已知函数y=x,y=x2+bx+c,a,P为方程y一y=0的两个根,点M(1,T)在函1212数y的图象上.2若a=~,卩=只,求函数y的解析式;322在(I)的条件下,若函数y与y的图象的两个交点为A,B,当AABM的面积为丄1212时,求t的值;若0