高等数学教案

高等数学教案第1次课学科高等数学一课题函数周次5时数2授课班级1202114主要教学：1、集合与区间2、函数概念3、函数的几种特性4、反函数5、复合函数·初等函数教学目的和要求：1、理解函数的概念,掌握函数的示方法,并会建立简单应用问题中的函数关系式;2、理解函数的性质,掌握函数的四则运算;3、了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质有界性、最大值和最小值定理、介值定理,并会应用这些性质;教学重点：函数的概念函数的特性复合函数教学难点：1、函数的概念2、函数的特性教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教学过程§1函数集合与区间1.集合概念集合简称集:集合是指具有某种特定性质的事物的总体.用A,B,C….等表示.元素:组成集合的事物称为集合的元素.a是集合M的元素表示为aM.集合的表示:列举法:把集合的全体元素一一列举出来.例如A{a,b,c,d,e,f,g}.描述法:若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成,则M可表示为A{a1,a2,,an},M{x|x具有性质P}.例如M{x,y|x,y为实数,x2y21}.几个数集:N表示所有自然数构成的集合,称为自然数集.N{0,1,2,,n,}.N{1,2,,n,}.R表示所有实数构成的集合,称为实数集.Z表示所有整数构成的集合,称为整数集.Z{,n,,2,1,0,1,2,,n,}.Q表示所有有理数构成的集合,称为有理数集.子集:若xA,则必有xB,则称A是B的子集,记为AB读作A包含于B或BA.如果集合A与集合B互为子集,AB且BA,则称集合A与集合B相等,记作AB.若AB且AB,则称A是B的真子集,记作AB.例如,NZQR.不含任何元素的集合称为空集,记作.规定空集是任何集合的子集.2.集合的运算设A、B是两个集合,由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集简称并,记作AB,即AB{x|xA或xB}.设A、B是两个集合,由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集简称交,记作AB,即AB{x|xA且xB}.设A、B是两个集合,由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集简称差,记作A\B,即A\B{x|xA且xB}.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行,所研究的其他集合A都是I的子集.此时,我们称集合I为全集或基本集.称I\A为A的余集或补集,记作AC.集合运算的法则:设A、B、C为任意三个集合,则1交换律ABBA,ABBA;2结合律ABCABC,ABCABC;3分配律ABCACBC,ABCACBC;4对偶律ABCACBC,ABCACBC.ABCACBC的证明:xABCxABxA且xBxAC且xBCxACBC,所以ABCACBC.直积笛卡儿乘积:设A、B是任意两个集合,在集合A中任意取一个元素x,在集合B中任意取一个元素y,组成一个有序对x,y,把这样的有序对作为新元素,它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积,记为AB,即AB{x,y|xA且yB}.例如,RR{x,y|xR且yR}即为xOy面上全体点的集合,RR常记作R2.3.区间和邻域有限区间:设a1时,y1x.例如;;f3134.函数的几种特性1函数的有界性设函数fx的定义域为D,数集XD.如果存在数K1,使对任一xX,有fxK1,则称函数fx在X上有上界,而称K1为函数fx在X上的一个上界.图形特点是yfx的图形在直线yK1的下方.如果存在数K2,使对任一xX,有fxK2,则称函数fx在X上有下界,而称K2为函数fx在X上的一个下界.图形特点是,函数yfx的图形在直线yK2的上方.如果存在正数M,使对任一xX,有|fx|M,则称函数fx在X上有界;如果这样的M不存在,则称函数fx在X上无界.图形特点是,函数yfx的图形在直线yM和yM的之间.函数fx无界,就是说对任何M,总存在x1X,使|fx|>M.例如1fxsinx在,上是有界的:|sinx|1.2函数在开区间0,1内是无上界的.或者说它在0,1内有下界,无上界.这是因为,对于任一M>1,总有x1:,使,所以函数无上界.函数在1,2内是有界的.2函数的单调性设函数yfx的定义域为D,区间ID.如果对于区间I上任意两点x1及x2,当x1fx2,则称函数fx在区间I上是单调减少的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.函数单调性举例:函数yx2在区间,0上是单调增加的,在区间0,上是单调减少的,在,上不是单调的.3函数的奇偶性设函数fx的定义域D关于原点对称即若xD,则xD.如果对于任一xD,有fxfx,则称fx为偶函数.如果对于任一xD,有fxfx,则称fx为奇函数.偶函数的图形关于y轴对称,奇函数的图形关于原点对称,奇偶函数举例:yx2,ycosx都是偶函数.yx3,ysinx都是奇函数,ysinxcosx是非奇非偶函数.4函数的周期性设函数fx的定义域为D.如果存在一个正数l,使得对于任一xD有xlD,且fxlfx则称fx为周期函数,l称为fx的周期.周期函数的图形特点:在函数的定义域内,每个长度为l的区间上,函数的图形有相同的形状.反函数定义:设函数f:DfD是单射,则它存在逆映射f1:fDD,称此映射f1为函数f的反函数.按此定义,对每个yfD,有唯一的xD,使得fxy,于是有f1yx.这就是说,反函数f1的对应法则是完全由函数f的对应法则所确定的.一般地,yfx,xD的反函数记成yf1x,xfD.若f是定义在D上的单调函数,则f:DfD是单射,于是f的反函数f1必定存在,而且容易证明f1也是fD上的单调函数.相对于反函数yf1x来说,原来的函数yfx称为直接函数.把函数yfx和它的反函数yf1x的图形画在同一坐标平面上,这两个图形关于直线yx是对称的.这是因为如果Pa,b是yfx图形上的点,则有bfa.按反函数的定义,有af1b,故Qb,a是yf1x图形上的点;反之,若Qb,a是yf1x图形上的点,则Pa,b是yfx图形上的点.而Pa,b与Qb,a是关于直线yx对称的.复合函数·初等函数1.复合函数:复合函数是复合映射的一种特例,按照通常函数的记号,复合函数的概念可如下表述.设函数yfu的定义域为D1,函数ugx在D上有定义且gDD1,则由下式确定的函数yfgx,xD称为由函数ugx和函数yfu构成的复合函数,它的定义域为D,变量u称为中间变量.函数g与函数f构成的复合函数通常记为,即fgx.与复合映射一样,g与f构成的复合函数的条件是:是函数g在D上的值域gD必须含在f的定义域Df内,即gDDf.否则,不能构成复合函数.例如,yfuarcsinu,的定义域为1,1,在上有定义,且gD1,1,则g与f可构成复合函数,xD;但函数yarcsinu和函数u2x2不能构成复合函数,这是因为对任xR,u2x2均不在yarcsinu的定义域1,1内.多个函数的复合:2.基本初等函数:幂函数:yxR是常数;指数函数:yaxa0且a1;对数函数:ylogaxa0且a1,特别当ae时,记为ylnx;三角函数:ysinx,ycosx,ytanx,ycotx,ysecx,ycscx;反三角函数:yarcsinx,yarccosx,yarctanx,yarccotx.课后作业是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等;第18页第15题课后小结课后小结是教案执行情况的经验

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,目的在于改进和调整教案,为下一轮课讲授

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;应全面审视教学过程,特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写;注：从第二页开始以课时或单元为单位编制,每节课或每个单元都要有教案;第2次课学科高等数学一课题函数的极限周次5时数2授课班级1202114主要教学内容：自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于无穷大时的函数的极限教学目的和要求：1、会计算自变量趋于有限值时和自变量趋于无穷大时函数的极限;教学重点：极限的概念、极限的性质及四则运算法则;教学难点：极限的概念教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教学过程§3函数的极限一、函数的极限1．自变量趋于有限值时函数的极限定义如果当x无限接近于xo函数fx的值无限接近于常数A则称当x趋于x0时fx以A为极限记作fxA或fxA当x定义的简单表述00当0|xx0|时|fxA|2.单侧极限若当xx0时fx无限接近于某常数A则常数A叫做函数fx当xx0时的左极限记为或f=Ayyx111yx1x若当xx0时fx无限接近于某常数A则常数A叫做函数fx当xx0时的右极限记为或f=A3．自变量趋于无穷大时函数的极限设fx当|x|大于某一正数时有定义如果存在常数A对于任意给定的正数总存在着正数X使得当x满足不等式|x|>X时对应的函数数值fx都满足不等式|fxA|<则常数A叫做函数fx当x时的极限记为或fxAx0X0当|x|X时有|fxA|类似地可定义和结论且课后作业是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等;第36页第2、5题课后小结课后小结是教案执行情况的经验总结,目的在于改进和调整教案,为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案;应全面审视教学过程,特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写;第3次课学科高等数学一课题无穷大与无穷小周次7时数2授课班级1202114主要教学内容：无穷大无穷小教学目的和要求：理解无穷小、无穷大的概念教学重点：无穷小及无穷小的比较;教学难点：无穷大与无穷小教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教学过程§4无穷大与无穷小无穷大与无穷小1.无穷小定义：如果函数fx当xx0或x时的极限为零那么称函数fx为当xx0或x时的无穷小特别地以零为极限的数列{xn}称为n时的无穷小例如因为所以函数为当x时的无穷小因为所以函数为x1当x1时的无穷小因为所以数列{}为当n时的无穷小讨论很小很小的数是否是无穷小0是否为无穷小提示无穷小是这样的函数在xx0或x的过程中极限为零很小很小的数只要它不是零作为常数函数在自变量的任何变化过程中其极限就是这个常数本身不会为零无穷小与函数极限的关系定理1在自变量的同一变化过程xx0或x中函数fx具有极限A的充分必要条件是fxA其中是无穷小证明设00使当0|xx0|时有|fxA|令fxA则是xx0时的无穷小且fxA这就证明了fx等于它的极限A与一个无穷小之和反之设fxA其中A是常数是xx0时的无穷小于是|fxA|||因是xx0时的无穷小00使当0|xx0|有||或|fxA|这就证明了A是fx当xx0时的极限简要证明令fxA则|fxA|||如果00使当0|xx0|有fxA|就有||反之如果00使当0|xx0|有||就有fxA|这就证明了如果A是fx当xx0时的极限则是xx0时的无穷小如果是xx0时的无穷小则A是fx当xx0时的极限类似地可证明x时的情形例如因为而所以定理2有限个无穷小的和也是无穷小定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小2.无穷大定义：如果当xx0或x时对应的函数值的绝对值|fx|无限增大就称函数fx为当xx0或x时的无穷大记为或应注意的问题当xx0或x时为无穷大的函数fx按函数极限定义来说极限是不存在的但为了便于叙述函数的这一性态我们也说“函数的极限是无穷大”并记作或定理2无穷大与无穷小之间的关系：在自变量的同一变化过程中如果fx为无穷大则为无穷小反之如果fx为无穷小且fx0则为无穷大简要证明如果且fx0那么对于0当0|x|时有由于当0|x|时fx0从而所以为xx0时的无穷大如果那么对于0当0|x|时有即所以为xx时的无穷小简要证明如果fx0xx0且fx0则00当0|xx0|时有|fx|即所以fxxx0如果fxxx0则M00当0|xx0|时有|fx|M即所以fx0xx0课后作业是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等;第43页第2题课后小结课后小结是教案执行情况的经验总结,目的在于改进和调整教案,为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案;应全面审视教学过程,特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写;第4次课学科高等数学一课题函数运算法则周次7时数2授课班级1202114主要教学内容：极限运算法则教学目的和要求：掌握极限运算法则;教学重点：极限运算法则教学难点：两个重要极限教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教学过程§5极限运算法则一、极限运算法则定理1如果limfxAlimgxB那么1limfxgxlimfxlimgxAB2limfxgxlimfxlimgxAB3B0证明1因为limfxAlimgxB根据极限与无穷小的关系有fxAgxB其中及为无穷小于是fxgxABAB即fxgx可表示为常数AB与无穷小之和因此limfxgxlimfxlimgxAB定理2如果xx而limxalimxb那么ab推论1如果limfx存在而c为常数则limcfxclimfx推论2如果limfx存在而n是正整数则limfxnlimfxn例3求解例4求解根据无穷大与无穷小的关系得例5．求解先用x3去除分子及分母然后取极限例6．求解先用x3去除分子及分母然后取极限例7求解因为所以例8求解当x时分子及分母的极限都不存在故关于商的极限的运算法则不能应用因为是无穷小与有界函数的乘积所以课后作业是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等;第50页第2题课后小结课后小结是教案执行情况的经验总结,目的在于改进和调整教案,为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案;应全面审视教学过程,特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写;第5次课学科高等数学一课题极限存在准则·两个重要极限周次8时数2授课班级1202114主要教学内容：夹逼准则单调有界收敛准则教学目的和要求：了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法;教学重点：两个重要极限教学难点：两个重要极限教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教学过程§6极限存在准则·两个重要极限极限存在准则·两个重要极限1.夹逼准则准则I如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件1ynxnznn1232那么数列{xn}的极限存在且证明因为以根据数列极限的定义0N10当nN1时有|yna|又N20当nN2时有|zna|现取Nmax{N1N2}则当nN时有|yna||zna|同时成立即aynaazna同时成立又因ynxnzn所以当nN时有aynxnzna即|xna|这就证明了简要证明由条件20N0当nN时,有|yna|及|zna|即有aynaazna由条件1有aynxnzna即|xna|这就证明了准则I如果函数fx、gx及hx满足下列条件OCADB1x1gxfxhx2limgxAlimhxA那么limfx存在且limfxA第一重要极限：证明首先注意到函数对于一切x0都有定义参看附图图中的圆为单位圆BCOADAOA圆心角AOBx0x显然sinxCBxtanxAD因为SAOBS扇形AOBSAOD所以sinxxtanx即sinxxtanx不等号各边都除以sinx就有或注意此不等式当x0时也成立而根据准则I简要证明参看附图设圆心角AOBx显然BCABAD因此sinxxtanx从而此不等式当x0时也成立OCADB1x因为根据准则I应注意的问题在极限中只要x是无穷小就有这是因为令ux则u0于是x02.单调有界收敛准则准则II单调有界数列必有极限如果数列{xn}满足条件x1x2x3xnxn1就称数列{xn}是单调增加的如果数列{xn}满足条件x1x2x3xnxn1就称数列{xn}是单调减少的单调增加和单调减少数列统称为单调数列如果数列{xn}满足条件xnxn1nN在第三节中曾证明收敛的数列一定有界但那时也曾指出有界的数列不一定收敛现在准则II表明如果数列不仅有界并且是单调的那么这数列的极限必定存在也就是这数列一定收敛准则II的几何解释单调增加数列的点只可能向右一个方向移动或者无限向右移动或者无限趋近于某一定点A而对有界数列只可能后者情况发生根据准则II可以证明极限存在设现证明数列{xn}是单调有界的按牛顿二项公式有比较xnxn1的展开式可以看出除前两项外xn的每一项都小于xn1的对应项并且xn1还多了最后一项其值大于0因此xnxn1这就是说数列{xn}是单调有界的这个数列同时还是有界的因为xn的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替得第二重要极限：根据准则II数列{xn}必有极限这个极限我们用e来表示即我们还可以证明e是个无理数它的值是e2指数函数yex以及对数函数ylnx中的底e就是这个常数在极限中只要x是无穷小就有这是因为令则u于是x0例3求解令tx则x时t于是或课后作业是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等;第60页第1题课后小结课后小结是教案执行情况的经验总结,目的在于改进和调整教案,为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案;应全面审视教学过程,特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写;第6次课学科高等数学一课题无穷小的比较周次8时数2授课班级1202114主要教学内容：无穷小的比较教学目的和要求：掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限;教学重点：用等价无穷小求极限教学难点：用等价无穷小求极限教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教学过程§7无穷小的比较无穷小的比较1．定义：1如果,就说是比高阶的无穷小,记作；2如果,就说是比低阶的无穷小,3如果,就说是比同阶的无穷小,4如果,就说是关于的阶的无穷小,5如果,就说与是等价的无穷小,记作例1.证明：当时,定理1与是等价无穷小的充分必要条件为例2.因为当时,,,,,所以当时有,,,定理2设,,且存在,则例3求例4求例5求课后作业是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等;第72页第2题课后小结课后小结是教案执行情况的经验总结,目的在于改进和调整教案,为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案;应全面审视教学过程,特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写;第7次课学科高等数学一课题函数的连续性周次9时数2授课班级1202114主要教学内容：函数连续性的概念函数的间断点初等函数的连续性教学目的和要求：理解函数连续性的概念含左连续与右连续,会判别函数间断点的类型;了解连续函数的性质和初等函数的连续性;教学重点：连续函数的性质和初等函数的连续性教学难点：连续函数的性质和初等函数的连续性教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教学过程§8函数的连续性函数的连续性1.变量的增量设变量u从它的一个初值u1变到终值u2终值与初值的差u2u1就叫做变量u的增量记作u即uu2u1设函数yfx在点x0的某一个邻域内是有定义的当自变量x在这邻域内从x0变到x0x时函数y相应地从fx0变到fx0x因此函数y的对应增量为yfx0xfx02.函数连续的定义设函数yfx在点x0的某一个邻域内有定义如果当自变量的增量xxx0趋于零时对应的函数的增量yfx0xfx0也趋于零即或那么就称函数yfx在点x0处连续注①②设xx0+x则当x0时xx0因此函数连续的等价定义2设函数yfx在点x0的某一个邻域内有定义如果对于任意给定义的正数总存在着正数使得对于适合不等式|xx0|<的一切x对应的函数值fx都满足不等式|fxfx0|<那么就称函数yfx在点x0处连续3.左右连续性如果则称yfx在点处左连续如果则称yfx在点处右连续左右连续与连续的关系函数yfx在点x0处连续函数yfx在点x0处左连续且右连续函数在区间上的连续性在区间上每一点都连续的函数叫做在该区间上的连续函数或者说函数在该区间上连续如果区间包括端点那么函数在右端点连续是指左连续在左端点连续是指右连续4.连续函数举例1如果fx是多项式函数则函数fx在区间内是连续的这是因为fx在内任意一点x0处有定义且2函数在区间0内是连续的3函数ysinx在区间内是连续的证明设x为区间内任意一点则有ysinxxsinx因为当x0时y是无穷小与有界函数的乘积所以这就证明了函数ysinx在区间内任意一点x都是连续的．4函数ycosx在区间内是连续的函数的间断点1.间断定义设函数fx在点x0的某去心邻域内有定义在此前提下如果函数fx有下列三种情形之一1在x0没有定义2虽然在x0有定义但fx不存在3虽然在x0有定义且fx存在但fxfx0则函数fx在点x0为不连续而点x0称为函数fx的不连续点或间断点例1正切函数ytanx在处没有定义所以点是函数tanx的间断点因为故称为函数tanx的无穷间断点例2函数在点x0没有定义所以点x0是函数的间断点当x0时函数值在1与1之间变动无限多次所以点x0称为函数的振荡间断点例3函数在x1没有定义所以点x1是函数的间断点因为如果补充定义令x1时y2则所给函数在x1成为连续所以x1称为该函数的可去间断点例4设函数因为所以x1是函数fx的间断点如果改变函数fx在x1处的定义令f11则函数fx在x1成为连续所以x1也称为该函数的可去间断点例5设函数因为所以极限不存在x0是函数fx的间断点因函数fx的图形在x0处产生跳跃现象我们称x0为函数fx的跳跃间断点2.间断点的分类:通常把间断点分成两类如果x0是函数fx的间断点但左极限fx00及右极限fx00都存在那么x0称为函数fx的第一类间断点不是第一类间断点的任何间断点称为第二类间断点在第一类间断点中左、右极限相等者称为可去间断点不相等者称为跳跃间断点无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点初等函数的连续性1.连续函数的和、积及商的连续性定理1设函数fx和gx在点x0连续则函数fxgxfxgx当时在点x0也连续fxgx连续性的证明因为fx和gx在点x0连续所以它们在点x0有定义从而fxgx在点x0也有定义再由连续性和极限运算法则有根据连续性的定义fxgx在点x0连续例1sinx和cosx都在区间内连续故由定理3知tanx和cotx在它们的定义域内是连续的三角函数sinxcosxsecxcscxtanxcotx在其有定义的区间内都是连续的二、反函数与复合函数的连续性定理2如果函数fx在区间Ix上单调增加或单调减少且连续那么它的反函数xf1y也在对应的区间Iy{y|yfxxIx}上单调增加或单调减少且连续证明略例2由于ysinx在区间上单调增加且连续所以它的反函数yarcsinx在区间11上也是单调增加且连续的同样yarccosx在区间11上也是单调减少且连续yarctanx在区间内单调增加且连续yarccotx在区间内单调减少且连续总之反三角函数arcsinx、arccosx、arctanx、arccotx在它们的定义域内都是连续的定理3设函数yfgx由函数yfu与函数ugx复合而成若而函数yfu在连续则简要证明要证00当0|xx0|时有|fgxfu0|因为fu在连续所以00当|uu0|时有|fufu0|又gxu0xx0所以对上述00当0|xx0|时有|gxu0|从而|fgxfu0|2定理的结论也可写成求复合函数fgx的极限时函数符号f与极限号可以交换次序表明在定理3的条件下如果作代换ugx那么求就转化为求这里把定理5中的xx0换成x可得类似的定理例3求解提示是由与复合而成的函数在点连续gx0定理4设函数yfgx由函数yfu与函数ugx复合而成Ux0Dfog若函数ugx在点x0连续函数yfu在点u0gx0连续则复合函数yfx在点x0也连续证明因为x在点x0连续所以xx0u0又yfu在点uu0连续所以fxfu0fx0这就证明了复合函数fx在点x0连续例4讨论函数的连续性解函数是由ysinu及复合而成的sinu当0a1对于一切实数x都有定义且在区间内是单调的和连续的它的值域为0由定理4对数函数logaxa>0a1作为指数函数ax的反函数在区间0内单调且连续幂函数yx的定义域随的值而异但无论为何值在区间0内幂函数总是有定义的可以证明在区间0内幂函数是连续的事实上设x>0则yx因此幂函数x可看作是由yauulogax复合而成的由此根据定理6它在0内是连续的如果对于取各种不同值加以分别讨论可以证明幂函数在它的定义域内是连续的结论基本初等函数在它们的定义域内都是连续的最后根据初等函数的定义由基本初等函数的连续性以及本节有关定理可得下列重要结论一切初等函数在其定义区间内都是连续的所谓定义区间就是包含在定义域内的区间初等函数的连续性在求函数极限中的应用如果fx是初等函数且x0是fx的定义区间内的点则fxfx0例5求解初等函数fx在点是有定义的所以例6求解初等函数fxlnsinx在点是有定义的所以例7求解例8求解例9求解令ax1t则xloga1tx0时t0于是课后作业是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等;课后小结课后小结是教案执行情况的经验总结,目的在于改进和调整教案,为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案;应全面审视教学过程,特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写;第8次课学科高等数学一课题导数概念周次10时数2授课班级1202114主要教学内容：导数的定义求倒数举例导数的几何意义函数的可导性与连续性之间的关系教学目的和要求：1.了解导数概念的实际背景,能描述导数的概念掌握表达形式,会用导数变化率描述简单的实际问题；2.了解导数的几何意义,会用导数求曲线的切线和法线方程；3.了解可导与连续的关系;教学重点：1.导数的概念；2.导数的几何意义；3.函数可导与连续的关系;教学难点：1.导数的概念；2.函数可导与连续的关系;教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教学过程§1导数概念导数概念引例直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动时刻t质点的坐标为ss是t的函数S=ft求动点在时刻t0的速度考虑比值这个比值可认为是动点在时间间隔t=t0内的平均速度如果时间间隔选较短这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度但这样做是不精确的更确地应当这样令t=t00取比值的极限如果这个极限存在设为v即这时就把这个极限值v称为动点在时刻t0的速度2．切线问题设有曲线C及C上的一点M在点M外另取C上一点N作割线MN当点N沿曲线C趋于点M时如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线设曲线C就是函数yfx的图形现在要确定曲线在点Mx0,y0y0fx0处的切线只要定出切线的斜率就行了为此在点M外另取C上一点Nx,y于是割线MN的斜率为其中为割线MN的倾角当点N沿曲线C趋于点M时xx0如果当x0时上式的极限存在设为k即存在则此极限k是割线斜率的极限也就是切线的斜率这里ktan其中是切线MT的倾角于是通过点Mx0,fx0且以k为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线二、导数的定义1函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限令△x=x-x0则△y=fx0+△x-fx0=fx-fx0xx0相当于△x0于是成为或定义设函数y=fx在点x0的某个邻域内有定义当自变量x在x0处取得增量△x点x0+△x仍在该邻域内时相应地函数y取得增量△y=fx0+△x-fx0如果△y与△x之比当△x0时的极限存在则称函数y=fx在点x0处可导并称这个极限为函数y=fx在点x0处的导数记为即也可记为或函数fx在点x0处可导有时也说成fx在点x0具有导数或导数存在导数的定义式也可取不同的形式常见的有在实际中需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题在数学上就是所谓函数的变化率问题导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述如果极限不存在就说函数y=fx在点x0处不可导如果不可导的原因是由于也往往说函数y=fx在点x0处的导数为无穷大如果函数y=fx在开区间I内的每点处都可导就称函数fx在开区间I内可导这时对于任一xI都对应着fx的一个确定的导数值这样就构成了一个新的函数这个函数叫做原来函数y=fx的导函数记作或2.导函数的定义式fx0与fx之间的关系函数fx在点x0处的导数fx就是导函数fx在点x=x0处的函数值即导函数fx简称导数而fx0是fx在x0处的导数或导数fx在x0处的值左右导数所列极限存在则定义fx在的左导数fx在的右导数如果极限存在则称此极限值为函数在x0的左导数如果极限存在则称此极限值为函数在x0的右导数导数与左右导数的关系三、求导数举例例1．求函数fxCC为常数的导数解即C=0例2求的导数解例3求的导数解例4．求函数fxxnn为正整数在xa处的导数解faxn1axn2an1=nan1把以上结果中的a换成x得fx=nxn1即xn=nxn1C0例5．求函数fxsinx的导数解fx即sinx=cosx用类似的方法可求得cosx=-sinx例6．求函数fxaxa>0a1的导数解fx特别地有ex′=ex例7．求函数fxlogaxa>0a1的导数解解即特殊地1．单侧导数极限存在的充分必要条件是及都存在且相等fx在处的左导数fx在处的右导数2．导数与左右导数的关系函数fx在点x0处可导的充分必要条件是左导数左导数fx0和右导数fx0都存在且相等如果函数fx在开区间a,b内可导且右导数fa和左导数fb都存在就说fx有闭区间a,b上可导例8．求函数fxx|在x0处的导数解因为f0f0所以函数fx|x|在x0处不可导四、导数的几何意义函数y=fx在点x0处的导数fx0在几何上表示曲线y=fx在点Mx0,fx0处的切线的斜率即fx0=tan其中是切线的倾角如果y=fx在点x0处的导数为无穷大这时曲线y=fx的割线以垂直于x轴的直线x=x0为极限位置即曲线y=fx在点Mx0,fx0处具有垂直于x轴的切线x=x0由直线的点斜式方程可知曲线yfx在点Mx0,y0处的切线方程为y-y0=fx0x-x0过切点Mx0,y0且与切线垂直的直线叫做曲线y=fx在点M处的法线如果fx00法线的斜率为从而法线方程为例9求等边双曲线在点处的切线的斜率并写出在该点处的切线方程和法线方程解所求切线及法线的斜率分别为所求切线方程为即4xy40所求法线方程为即2x8y150例10.求曲线的通过点04的切线方程解设切点的横坐标为x0则切线的斜率为于是所求切线的方程可设为根据题目要求点04在切线上因此解之得x04于是所求切线的方程为即3xy40五、函数的可导性与连续性的关系设函数yfx在点x0处可导即存在则这就是说函数yfx在点x0处是连续的所以如果函数y=fx在点x处可导则函数在该点必连续另一方面一个函数在某点连续却不一定在该点处可导例7．函数在区间,内连续但在点x=0处不可导这是因为函数在点x=0处导数为无穷大x课后作业是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等;第91页第5题课后小结课后小结是教案执行情况的经验总结,目的在于改进和调整教案,为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案;应全面审视教学过程,特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写;第9次课学科高等数学一课题函数的和、积、商的求导法则周次10时数2授课班级1202114主要教学内容：函数的线性组合的求导法则函数积的求导法则函数商的求导法则教学目的和要求：熟练掌握导数的四则运算法则教学重点：导数的四则运算法则教学难点：导数的求导法则教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教学过程§2函数的和、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则定理1如果函数uux及vvx在点x具有导数那么它们的和、差、积、商除分母为零的点外都在点x具有导数并且uxvxuxvxuxvxuxvxuxvx证明1uxvx法则1可简单地表示为uvuv2uxvxuxvx其中vxhvx是由于vx存在故vx在点x连续法则2可简单地表示为uvuvuv3法则3可简单地表示为uvuvuvuvuv定理1中的法则1、2可推广到任意有限个可导函数的情形例如设uux、vvx、wwx均可导则有uvwuvwuvwuvwuvwuvwuvuvwuvwuvwuvwuvw即uvwuvwuvwuvw在法则2中如果vCC为常数则有CuCu例1．y2x35x23x7求y解y2x35x23x72x35x23x72x35x23x23x252x36x210x3例2求fx及解例3．yexsinxcosx求y解yexsinxcosxexsinxcosxexsinxcosxexcosxsinx2excosx例4．ytanx求y解即tanxsec2x例5．ysecx求y解secxtanx即secxsecxtanx用类似方法还可求得余切函数及余割函数的导数公式cotxcsc2xcscxcscxcotx课后作业是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等;第91页第5题课后小结课后小结是教案执行情况的经验总结,目的在于改进和调整教案,为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案;应全面审视教学过程,特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写;第10次课学科高等数学一课题反函数和复合函数的求导法则周次11时数2授课班级1202114主要教学内容：反函数的导数复合函数的求导法则教学目的和要求：熟练掌握复合函数的求导法则,熟练掌握基本初等函数的导数公式,了解一阶微分形式的不变性,会求函数的微分;教学重点：复合函数的求导法则教学难点：复合函数的求导法则教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教学过程§3反函数和复合函数的求导法则反函数和复合函数的求导法则反函数的求导法则定理2如果函数xfy在某区间Iy内单调、可导且fy0那么它的反函数yf1x在对应区间Ix{x|xfyyIy}内也可导并且或简要证明由于xfy在Iy内单调、可导从而连续所以xfy的反函数yf1x存在且f1x在Ix内也单调、连续任取xIx给x以增量xx0xxIx由yf1x的单调性可知yf1xxf1x0于是因为yf1x连续故从而上述结论可简单地说成反函数的导数等于直接函数导数的倒数例6．设xsiny为直接函数则yarcsinx是它的反函数函数xsiny在开区间内单调、可导且sinycosy0因此由反函数的求导法则在对应区间Ix11内有类似地有例7．设xtany为直接函数则yarctanx是它的反函数函数xtany在区间内单调、可导且tanysec2y0因此由反函数的求导法则在对应区间Ix内有类似地有例8设xaya0a1为直接函数则ylogax是它的反函数函数xay在区间Iy内单调、可导且ayaylna0因此由反函数的求导法则在对应区间Ix0内有到目前为止所基本初等函数的导数我们都求出来了那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢如函数lntanx、、的导数怎样求复合函数的求导法则定理3如果ugx在点x可导函数yfu在点ugx可导则复合函数yfgx在点x可导且其导数为或证明当ugx在x的某邻域内为常数时y=fx也是常数此时导数为零结论自然成立当ugx在x的某邻域内不等于常数时u0此时有=fugx简要证明例9求解函数可看作是由yeuux3复合而成的因此例10求解函数是由ysinu复合而成的因此对复合函数的导数比较熟练后就不必再写出中间变量例11．lnsinx求解例12．求解复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形例如设yfuuvvx则例13．ylncosex求解例14．求解例15设x0证明幂函数的导数公式xx1解因为xelnxelnx所以xelnxelnxlnxelnxx1x1基本求导法则与导数公式1．基本初等函数的导数1C02xx13sinxcosx4cosxsinx5tanxsec2x6cotxcsc2x7secxsecxtanx8cscxcscxcotx9axaxlna10exex1112131415162．函数的和、差、积、商的求导法则设uuxvvx都可导则1uvuv2CuCu3uvuvuv4反函数的求导法则设xfy在区间Iy内单调、可导且fy0则它的反函数yf1x在IxfIy内也可导并且或复合函数的求导法则设yfx而ugx且fu及gx都可导则复合函数yfgx的导数为或yxfugx例16求双曲正弦shx的导数.解因为所以即shxchx类似地有chxshx例17求双曲正切thx的导数解因为所以例18求反双曲正弦arshx的导数解因为所以由可得由可得类似地可得例19．ysinnxsinnxn为常数求y解ysinnxsinnx+sinnxsinnxncosnxsinnx+sinnxnsinn1xsinxncosnxsinnx+nsinn1xcosxnsinn1xsinn+1x课后作业是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等;第91页第5题第99页第8题课后小结课后小结是教案执行情况的经验总结,目的在于改进和调整教案,为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案;应全面审视教学过程,特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写;第11次课学科高等数学一课题高阶导数周次11时数2授课班级1202114主要教学内容：高阶导数及简单函数的n阶导数教学目的和要求：了解高阶导数的概念,会求某些简单函数的n阶导数;教学重点：高阶导数；教学难点：求函数的高阶导数教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教学过程§4高阶导数一般地函数yfx的导数yfx仍然是x的函数我们把yfx的导数叫做函数yfx的二阶导数记作y、fx或即yyfxfx,相应地把yfx的导数fx叫做函数yfx的一阶导数类似地二阶导数的导数叫做三阶导数三阶导数的导数叫做四阶导数一般地n1阶导数的导数叫做n阶导数分别记作yy4yn或函数fx具有n阶导数也常说成函数fx为n阶可导如果函数fx在点x处具有n阶导数那么函数fx在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数二阶及二阶以上的导数统称高阶导数y称为一阶导数yyy4yn都称为高阶导数例1．yaxb求y解yay0例2．ssint求s解scostssint例3．证明函数满足关系式y3y10证明因为所以y3y10例4．求函数yex的n阶导数解yexyexyexy4ex一般地可得ynex即exnex例5．求正弦函数与余弦函数的n阶导数解ysinx一般地可得即用类似方法可得例6．求对函数ln1x的n阶导数解yln1xy1+x1y=-1+x2y-1-1-x3y4=-1-2-31+x4一般地可得yn=-1-2n-11-xn即例7．求幂函数yx是任意常数的n阶导数公式解yx1y1x2y12x3y4123x4一般地可得yn12n1xn即xn12n1xn当n时得到xnn12321n而xnn10如果函数uux及vvx都在点x处具有n阶导数那么显然函数uxvx也在点x处具有n阶导数且uvnunvnuvuvuvuvuv2uvuvuvuv3uv3uvuv用数学归纳法可以证明这一公式称为莱布尼茨公式例8．yx2e2x求y20解设ue2xvx2则uk2ke2xk1,2,,20v2xv2vk0k3,4,,20代入莱布尼茨公式得y20uv20u20vC201u19vC202u18v220e2xx220219e2x2x218e2x2220e2xx220x95课后作业是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等;第112页第1题课后小结课后小结是教案执行情况的经验总结,目的在于改进和调整教案,为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案;应全面审视教学过程,特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写;第12次课学科高等数学一课题隐函数的导数以及由参数方程所确定的函数的导数周次12时数2授课班级1202114主要教学内容：隐函数的导数由参数方程确定的函数的导数教学目的和要求：会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数,会求反函数的导数;教学重点：隐函数和由参数方程确定的函数的导数;教学难点：隐函数和由参数方程确定的导数教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教学过程§5隐函数的导数以及由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数显函数形如yfx的函数称为显函数例如ysinxylnx+ex隐函数由方程Fxy0所确定的函数称为隐函数例如方程xy310确定的隐函数为y如果在方程Fxy0中当x取某区间内的任一值时相应地总有满足这方程的唯一的y值存在那么就说方程Fxy0在该区间内确定了一个隐函数把一个隐函数化成显函数叫做隐函数的显化隐函数的显化有时是有困难的甚至是不可能的但在实际问题中有时需要计算隐函数的导数因此我们希望有一种方法不管隐函数能否显化都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来例1．求由方程eyxye0所确定的隐函数y的导数解把方程两边的每一项对x求导数得eyxye0即eyyyxy0从而xey0例2．求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yfx在x0处的导数y|x0解把方程两边分别对x求导数得5yy2y121x60由此得因为当x0时从原方程得y0所以例3求椭圆在处的切线方程解把椭圆方程的两边分别对x求导得从而当x2时代入上式得所求切线的斜率所求的切线方程为即例4．求由方程所确定的隐函数y的二阶导数解方程两边对x求导得于是上式两边再对x求导得对数求导法这种方法是先在yfx的两边取对数然后再求出y的导数设yfx两边取对数得lnylnfx两边对x求导得yfxlnfx对数求导法适用于求幂指函数yuxvx的导数及多因子之积和商的导数例5．求yxsinxx>0的导数解法一两边取对数得lnysinxlnx上式两边对x求导得于是解法二这种幂指函数的导数也可按下面的方法求yxsinxesinx·lnx例6求函数的导数解先在两边取对数假定x>4得lnylnx1lnx2lnx3lnx4上式两边对x求导得于是当x<1时当2