2022河南数学中考总复习--一次函数（试题、含解析）

—PAGE\*MERGEFORMAT1—2022河南数学中考总复习--3.2　一次函数五年中考考点1　一次函数的概念、图象与性质1.(2017陕西,3,3分)若一个正比例函数的图象经过A(3,-6),B(m,-4)两点,则m的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.2　　　　B.8　　　　C.-2　　　　D.-8答案　A　设正比例函数的解析式为y=kx(k≠0),将点A(3,-6)代入,可得k=-2,故y=-2x,将点B(m,-4)代入y=-2x,可得m=2.故选A.2.(2021陕西,6,3分)在平面直角坐标系中,若将一次函数y=2x+m-1的图象向左平移3个单位后,得到一个正比例函数的图象,则m的值为(　　)A.-5　　　　B.5　　　　C.-6　　　　D.6答案　A　将一次函数y=2x+m-1的图象向左平移3个单位后,得到的图象对应的函数为y=2(x+3)+m-1=2x+m+5,因为平移后的图象经过原点,所以m+5=0,即m=-5.故选A.3.(2020安徽,7,4分)已知一次函数y=kx+3的图象经过点A,且y随x的增大而减小,则点A的坐标可以是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.(-1,2)　　　　B.(1,-2)　　　　C.(2,3)　　　　D.(3,4)答案　B　∵y随x的增大而减小,∴k<0,代入坐标验证只有选项B符合.故选B.4.(2020陕西,7,3分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点.若直线y=x+3分别与x轴、直线y=-2x交于点A、B,则△AOB的面积为(　　)A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.6答案　B　在y=x+3中,令y=0,可得x=-3,则A(-3,0).联立y=x+3,y=-2x,可得x=-1,y=2.∴B(-1,2).∴S△AOB=12×2×3=3.故选B.5.(2019四川成都,13,4分)已知一次函数y=(k-3)x+1的图象经过第一、二、四象限,则k的取值范围是　　　　. 答案　k<3解析　由题意得k-3<0,所以k<3.6.(2020宁夏,13,3分)如图,直线y=52x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,把△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A1O1B,则点A1的坐标是　　　　. 答案　4,125解析　对于y=52x+4,令x=0,得y=4,则OB=4;令y=0,得x=-85,则OA=85.延长O1A1交x轴于点C.∵△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A1O1B,∴∠ABA1=∠OBO1=90°,∠AOB=∠A1O1B=90°,∴四边形OBO1C是矩形.∴BO1∥x轴,O1A1∥y轴,由旋转的性质得BO1=OB=4,O1A1=OA=85,∴A1C=OB-A1O1=4-85=125,∴A14,125.7.(2019江西,17,6分)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为-32,0,32,1,连接AB,以AB为边向上作等边三角形ABC.(1)求点C的坐标;(2)求线段BC所在直线的解析式.解析　(1)过点B作BD⊥x轴于点D,则∠ADB=90°.∵A-32,0,B32,1,∴DA=3,DB=1,∴AB=2.∴sin∠BAD=12,∴∠BAD=30°.∵△ABC为等边三角形,∴AC=AB=2,∠BAC=60°.∴∠CAD=90°.∴点C的坐标为-32,2.(2)设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b,k≠0.将B32,1,C-32,2代入,得32k+b=1,-32k+b=2.解得k=-33,b=32.∴线段BC所在直线的解析式为y=-33x+32.8.(2021北京,23,5分)在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=12x的图象向下平移1个单位长度得到.(1)求这个一次函数的解析式;(2)当x>-2时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值,直接写出m的取值范围.解析　(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=12x的图象向下平移1个单位长度得到,∴k=12,且一次函数y=kx+b的图象过(0,-1),∴b=-1,∴这个一次函数的解析式为y=12x-1.(2)12≤m≤1.提示:画图找出临界位置即可得到m的取值范围.考点2　一次函数的应用问题1.(2021重庆A卷,8,4分)甲无人机从地面起飞,乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞,两架无人机同时匀速上升10s.甲、乙两架无人机所在位置距离地面的高度y(单位:m)与无人机上升的时间x(单位:s)之间的关系如图所示.下列说法正确的是(　　)A.5s时,两架无人机都上升了40m　　　　B.10s时,两架无人机的高度差为20m　　　　C.乙无人机上升的速度为8m/s　　　　D.10s时,甲无人机距离地面的高度是60m答案　B　由题图可知,5s时,乙无人机上升的高度为40-20=20(m),故A说法错误.设甲的函数解析式为y=kx(k≠0),将(5,40)代入得40=5k,所以k=8,故甲的函数解析式为y=8x,当x=10时,y甲=80m,故D说法错误.设乙的函数解析式为y=mx+20(m≠0),将(5,40)代入得40=5m+20,所以m=4,故乙的函数解析式为y=4x+20,当x=10时y乙=60m.由y甲=80m,y乙=60m,可知10s时,两架无人机的高度差为20m,故B说法正确.乙无人机从0s~5s上升的高度为40-20=20(m),所以v乙=205=4m/s,故C说法错误.故选B.2.(2021河南,21,9分)猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色,猕猴玩偶非常畅销.小李在某网店选中A,B两款猕猴玩偶,决定从该网店进货并销售.两款玩偶的进货价和销售价如下表:　　类别价格　　A款玩偶B款玩偶进货价(元/个)4030销售价(元/个)5645(1)第一次小李用1100元购进了A,B两款玩偶共30个,求两款玩偶各购进多少个;(2)第二次小李进货时,网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半.小李购进两款玩偶共30个,应如何进货才能获得最大利润,最大利润是多少?(3)小李第二次进货时采取了(2)中设计的方案,并且两次购进的玩偶全部售出,请从利润率的角度分析,对于小李来说哪一次更合算?注:利润率=利润成本×100%解析　(1)设A款玩偶购进x个,B款玩偶购进y个,(1分)根据题意,得x+y=30,40x+30y=1100.解得x=20,y=10.答:A款玩偶购进20个,B款玩偶购进10个.(4分)(2)设A款玩偶购进a个,则B款玩偶购进(30-a)个,根据题意,得a≤12(30-a).解得a≤10.(6分)设利润为w元,则w=(56-40)a+(45-30)(30-a)=a+450.∵1>0,∴w随a的增大而增大.∴当a=10时,w有最大值,w最大=10+450=460.30-a=30-10=20.答:应购进A款玩偶10个,B款玩偶20个才能获得最大利润,最大利润为460元.(8分)(3)∵第一次销售利润为(56-40)×20+(45-30)×10=470,∴利润率为4701100×100%≈43%.第二次销售利润率为46010×40+20×30×100%=46%.∵43%<46%,∴从利润率的角度分析,第二次更合算.(9分)3.(2020河南,19,9分)暑期将至,某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动,活动方案如下:方案一:购买一张学生暑期专享卡,每次健身费用按六折优惠;方案二:不购买学生暑期专享卡,每次健身费用按八折优惠.设某学生暑期健身x(次),按照方案一所需费用为y1(元),且y1=k1x+b;按照方案二所需费用为y2(元),且y2=k2x.其函数图象如图所示.(1)求k1和b的值,并说明它们的实际意义;(2)求打折前的每次健身费用和k2的值;(3)八学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次,应选择哪种方案所需费用更少?说明理由.解析　(1)∵y1=k1x+b的图象过点(0,30)和点(10,180),∴30=b,180=10k1+b.∴k1=15,b=30.(3分)k1的实际意义是:打六折后的每次健身费用为15元.(4分)b的实际意义是:每张学生暑期专享卡的价格为30元.(5分)(2)打折前的每次健身费用为15÷0.6=25(元).k2=25×0.8=20.(7分)(3)∵k1=15,b=30,∴y1=15x+30.∵k2=20,∴y2=20x,当y1=y2时,15x+30=20x.解得x=6,所以,结合函数图象可知,小华暑期前往该俱乐部健身8次,选择方案一所需费用更少.(9分)一题多解　(3)当x=8时,y1=150,y2=160,所以y1w2时,10m+600>-10m+1500,∴m>45;②当w1=w2时,10m+600=-10m+1500,∴m=45;③当w10,∴w1随m的增大而增大,∴当m=50时,w1最大,此时w1=15.6×50+520=1300.(9分)∴当0≤m<50(或00,∴y随a的增大而增大.∴当a=22时,y取最大值,为10520.答:最大费用为10520元.(8分)思路分析　(1)设每个A类摊位占地面积为x平方米,则每个B类摊位占地面积为(x-2)平方米,根据“用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35”列分式方程求解即可.(2)设建造A类摊位a个,则建造B类摊位(90-a)个,列出总费用y关于a的表达式,根据一次函数的性质和a的取值范围进行求解即可.三年模拟A组　基础题组一、选择题(每题3分,共12分)1.(2021安阳一模,3)在平面直角坐标系中,将函数y=-2x的图象向上平移4个单位长度,则平移后的图象与x轴交点的坐标为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.(4,0)　　　　B.(-2,0)　　　　C.(2,0)　　　　D.(-4,0)答案　C　将函数y=-2x的图象向上平移4个单位长度得y=-2x+4,当y=0时,-2x+4=0,x=2,所以平移后的图象与x轴交点坐标为(2,0).故选C.2.(2020南阳新野二模,8)如图,点M(m,3)在直线y=-2x+7与直线y=-2x+1之间(不在这两条直线上),则m的取值范围是(　　)A.-10,∴y随x的增大而增大,∵1<2,∴m0,∴w随x的增大而增大,∴当x=40时,w取最小值,此时60-x=20.答:当购买A型激光翻页笔40支,B型激光翻页笔20支时最省钱.B组　提升题组一、选择题(每题3分,共9分)1.(2020河南联考,8)若函数y=32x+1和y=ax-2的图象交于点A(m,4),则关于x的方程ax-2=4的解为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.x=2　　　　B.x=-2　　　　C.x=6　　　　D.x=-6答案　A　由题意知方程ax-2=4的解即点A的横坐标m,把(m,4)代入y=32x+1,得m=2.故选A.2.(2019洛阳二模,9)如图,直线y=-43x+4与x轴,y轴的交点分别为A点,B点.按以下步骤作图:①以点A为圆心,适当长度为半径作弧,分别交直线AB,x轴于点C,D;②分别以点C,D为圆心,大于12CD的长为半径作弧,两弧在∠OAB内交于点M;③作射线AM,交y轴于点E.则点E的坐标为(　　)A.(0,2)　　　　B.(0,3)　　　　C.0,32　　　　D.0,43答案　C　过点E作EF⊥AB于点F,由作图步骤知AM平分∠OAB,因为直线y=-43x+4与x轴,y轴的交点分别为A点,B点,所以易求得A(3,0),B(0,4),在Rt△AOB中,由勾股定理得AB=OA2+OB2=5,∵∠OAE=∠FAE,∠EOA=∠EFA=90°,AE=AE,∴△EAO≌△EAF,∴AF=AO=3,∴BF=AB-AF=2,∵△BFE∽△BOA,∴BEBF=BABO,∴BE=52,∴OE=BO-BE=32,∴点E的坐标为0,32.故选C.3.(2021洛阳涧西一模,8)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=3x经过点A,过点A作AB⊥x轴于点B,将△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△CBD,若点B的坐标为(2,0),则点C的坐标为(　　)A.(5,3)　　　　B.(-2,3)　　　　C.(-3,1)　　　　D.(3,2)答案　A　∵AB⊥x轴,B(2,0),∴当x=2时,y=23,∴点A(2,23).∴tan∠AOB=3,∴∠AOB=60°,∴∠OAB=30°.∵△ABO绕点B顺时针旋转60°得△CBD,∴∠C=30°,CB=AB=23,∠DBO=60°=∠BDC,∴CD∥x轴.设AB与CD交于点E,则在Rt△BCE中,BE=12BC=3,CE=BC2-BE2=3,∴点C的横坐标为5,∴点C的坐标为(5,3).故选A.二、填空题(共3分)4.(2021郑州一模,14)如图,矩形硬纸片ABCD的顶点A在y轴的正半轴上滑动,顶点B在x轴的正半轴上滑动,E为AB的中点,AB=24,BC=5,当OD最大时,直线OD的表达式为　　　　. 答案　y=5x解析　如图,连接DE,OE,过点D作DG⊥y轴于点G,∵E为AB的中点,∴AE=OE=12AB=12,在矩形ABCD中,∠DAE=90°,AD=5,∴DE=AD2+AE2=52+122=13,∵DE+OE≥OD,∴当O,E,D三点共线时,OD有最大值,为25.∵∠AOD=∠OAB,∠OAB+∠GAD=∠GAD+∠GDA,∴∠GOD=∠GDA,∴△GAD∽△GDO,∴GOGD=ODAD=255=5.设点D的横坐标为m,则点D的纵坐标为5m,设直线OD的表达式为y=kx,则5m=km,k=5,∴直线OD的表达式为y=5x.思路分析　根据题意判断出当O,E,D三点共线时OD的长度最大,为定长OE与DE的和,再利用题中条件构造“一线三垂直”模型,找出相等的角并判定三角形相似,运用相似的性质求出线段比,设出点D的坐标并求出解析式.三、解答题(每题3分,共48分)5.(2021许昌一模,20)草莓是一种极具营养价值的水果,当下正是草莓的销售旺季,某水果店以2850元购进两种不同品种的盒装草莓,若全部出售可获毛利润1500元(毛利润=售价-进价),这两种盒装草莓的进价、售价如下表所示:价格/品种A品种B品种进价(元/盒)4560售价(元/盒)7090(1)求这两个品种的草莓各购进多少盒;(2)该店计划下周购进这两个品种的草莓共100盒,并在两天内将所进草莓全部销售完毕(损耗忽略不计),因B品种草莓的销售情况较好,水果店计划购进B品种的盒数不低于A品种盒数的2倍,且A品种不少于20盒,如何安排进货,才能使毛利润最大,最大毛利润是多少?解析　(1)设A品种的草莓购进x盒,B品种的草莓购进y盒,根据题意得45x+60y=2850,(70-45)x+(90-60)y=1500,解得x=30,y=25.答:A品种的草莓购进30盒,B品种的草莓购进25盒.(3分)(2)设A品种的草莓购进a盒,则B品种的草莓购进(100-a)盒,根据题得100-a≥2a,解得a≤3313,∵a≥20,∴20≤a≤3313,(6分)设全部销售后获得的利润是w元,则w=(70-45)a+(90-60)(100-a)=3000-5a,∵-5<0,∴w随a的减小而增大,∴当a=20时,w取最大值,此时w=2900,100-a=80.答:该店A种草莓购进20盒,B种草莓购进80盒时,获得利润最大,最大利润为2900元.(9分)6.(2021郑州一模,19)工厂某车间需加工一批零件,甲组工人加工中因故停产检修机器一次,然后以原来的工作效率继续加工,由于时间任务重,乙组工人也加入共同加工零件,设甲组加工时间为t(小时),甲组加工零件的数量为y甲(个),乙组加工零件的数量为y乙(个),其函数图象如图所示.(1)求y乙与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;(2)求a的值,并说明a的实际意义;(3)求甲组加工多长时间时,甲、乙两组加工零件的总数为480个.解析　(1)设y乙与t之间的函数关系式为y乙=kt+b,把(5,0),(8,360)分别代入,得5k+b=0,8k+b=360,解得k=120,b=-600.∴y乙与时间t之间的函数关系式为y乙=120t-600,t的取值范围是5≤t≤8.(2)当0≤t≤3时,由题图知,甲组前3小时加工120个,故甲组的工作效率为每小时加工零件40个.甲组共加工8-1=7(小时),a=40×7=280(个).∴a的实际意义是:从甲组开始工作起,8小时时,甲组加工零件的总量为280件.(3)由题意可知,当4≤t≤8时,由于工作效率没变,∴y甲=120+40(t-4)=40t-40.当y甲+y乙=480时,480=120t-600+40t-40,解得t=7.答:甲组加工7小时时,甲、乙两组加工零件的总数为480个.7.(2020许昌一模,20)某商场销售A、B两种型号的电风扇,进价及售价如下表:品牌AB进价(元/台)120180售价(元/台)150240(1)该商场4月份用21000元购进A、B两种型号的电风扇,全部售完后获利6000元,求商场4月份购进A、B两种型号电风扇的数量;(2)该商场5月份计划用不超过42000元购进A、B两种型号电风扇共300台,且B种型号的电风扇不少于50台;销售时准备A种型号的电风扇价格不变,B种型号的电风扇打9折销售.那么商场如何进货才能使利润最大?解析　(1)设4月份购进A种型号的电风扇x台,B种型号的电风扇y台,依题意得120x+180y=21000,(150-120)x+(240-180)y=6000,解得x=100,y=50.答:商场4月份购进A种型号的电风扇100台,B种型号的电风扇50台.(2)设5月份购进A种型号的电风扇m台,则购进B种型号的电风扇(300-m)台,利润为w元.由题意得,120m+180(300-m)≤42000,解不等式得m≥200,又∵300-m≥50,即m≤250,∴200≤m≤250.w=(150-120)m+(0.9×240-180)(300-m)=-6m+10800,∵-6<0,∴w随m的增大而减小,∴当m=200时,w取最大值,此时300-m=100.答:A种型号的电风扇购进200台,B种型号的电风扇购进100台时,利润最大.思路分析　本题考查二元一次方程组,一元一次不等式,一次函数性质的应用.(1)根据购进两种型号电风扇的总价及销售完后的利润,建立二元一次方程组,解之即可得出结论.(2)根据总利润=单台利润×销售数量(购进数量)列出函数关系式,由一次函数的性质结合不等式的解集即可求解.8.(2021洛阳洛宁一模,19)如图所示,在平面直角坐标系中,直线y=2x+4交x轴于点A,直线y=-12x+2交x轴于点B,两直线交于点C.(1)求证:△ABC是直角三角形;(2)平面直角坐标系内是否存在点D,使以点A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.解析　(1)证明:∵直线y=2x+4交x轴于点A,当y=0时,x=-2,∴点A的坐标为(-2,0).∵直线y=-12x+2交x轴于点B,当y=0时,x=4,∴点B的坐标为(4,0).由y=2x+4,y=-12x+2,得x=-45,y=125,∴点C的坐标为-45,125.∴AC=-2--452+0-1252=655,BC=-45-42+125-02=1255,AB=4-(-2)=4+2=6.∵AC2+BC2=6552+12552=62=AB2,∴△ABC是直角三角形.(2)平面直角坐标系内存在点D,使以点A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,点D的坐标为-345,125,145,-125或265,125.提示:如图所示,①当CD1∥AB时,∵点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(4,0),点C的坐标为-45,125,AB=CD1=6,∴D1的坐标为-345,125;②当AC∥BD2时,由直线AC的函数解析式为y=2x+4,可设直线BD2对应的函数解析式为y=2x+c,∵点B(4,0)在该直线上,∴0=2×4+c,∴c=-8,∴直线BD2对应的函数解析式为y=2x-8,∵点D2的纵坐标为-125,∴-125=2x-8,∴x=145,∴D2的坐标为145,-125;③当CD3∥AB时,∵点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(4,0),点C的坐标为-45,125,AB=CD3=6,∴D3的坐标为265,125.综上,点D的坐标为-345,125,145,-125或265,125.思路分析　(1)根据题目中的直线解析式,可以得到点A、B、C的坐标,然后利用勾股定理,即可得到AC、BC的长,再根据勾股定理的逆定理即可判断△ABC的形状.(2)先判断是否存在点D,然后利用分类讨论的方法,分别以AB,BC,AC为边画出相应的图形,进而求出点D的坐标.